1.1.2空間向量的數(shù)量積運算（教學(xué)課件）高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(人教A版2019)精美版

第一章

空間向量1.1.2空間向量的數(shù)量積運算人教A版2019選擇性必修二高中數(shù)學(xué)教研組素養(yǎng)/學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．4.能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).引入新知G20峰會向世界展示了杭州的無窮魅力,一些別致的建筑和設(shè)計令人印象深刻!設(shè)計、制造這些宏偉的建筑、精美的造型,都會遇到許多立體幾何問題,比如建筑的地面垂不垂直,要不要垂直?構(gòu)成建筑的部件長度是多少?彼此成多少角度比較合適等等.怎么樣才能解決這些問題呢,必須有強大的數(shù)學(xué)工具!學(xué)習(xí)新知追問：空間向量有數(shù)量積嗎?為什么?是怎樣的?問題2：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量,并深刻地體會到平面向量在解決垂直、長度、角度等問題中的應(yīng)用.我們還學(xué)習(xí)了空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算,那么空間向量中,怎么樣的運算能支持判斷垂直問題,計算長度、角度問題?問題1：在所學(xué)的數(shù)學(xué)工具中,哪些可以用來研究垂直問題,計算長度、角度問題?追問（1）：學(xué)習(xí)平面向量時，我們是如何研究它的數(shù)量積運算的？問題3：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的數(shù)量積運算，你能類比平面向量，給出空間向量的數(shù)量積運算的定義嗎？夾角數(shù)量積的定義運算律應(yīng)用學(xué)習(xí)新知追問（2）：什么是平面向量的夾角？你能類比平面向量，給出空間向量夾角的概念嗎？平面向量的夾角空間向量的夾角ba.OBαAba.OBαA學(xué)習(xí)新知追問（3）：平面向量的數(shù)量積是什么？你能類比平面向量，給出空間向量數(shù)量積的運算嗎？平面向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積證明垂直關(guān)系求線段長度求夾角大小新知探究追問（4）：在平面向量中我們學(xué)習(xí)過投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推廣到空間向量中嗎？兩個非零向量a，b，＝a，＝b，過A和B分別做在直線的垂線，垂足分別為A1和B1，得到，稱上述變換為向量a向向量b的投影，叫向量a在向量b上的投影向量.

＝|a|cos〈a，b〉baABDCA1B1ba.ONMM1空間向量的投影如圖1.1-11(1)，在空間，向量

向向量

投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面

內(nèi)，進而利用平面上向量

的投影，得到與向量共線的向量

，

，向量

稱為向量

在向量上

的投影向量．AB(1)(2)(3)圖1.1-11新知探究新知探究如圖1.1-11(3)，向量

向平面

投影，就是分別由向量

的起點

和終點

作平面

的垂線，垂足分別為

，

，得到向量

，向量

稱為向量

在平面

上的投影向量．這時，向量

，

的夾角就是向量

所在直線與平面

所成的角．AB(1)(2)(3)圖1.1-11空間向量的投影追問（5）：類比平面向量數(shù)量積運算的運算律，空間向量的數(shù)量積運算有哪些運算律？如何證明？空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：（交換律）；,；

（分配律）.請同學(xué)們課后給出運算律的證明新知探究新知探究1.對于三個均不為0的數(shù)

，若

，則

．對于向量

，

，

，由

，你能得到

嗎？如果不能，請舉出反例．設(shè)

是非零向量，且

，求證：OBCA思考新知探究思考2.對于三個均不為0的數(shù)

，若

，則

(或

)．對于向量

，

，若

，能不能寫成

（或

）的形式？3.對三個不為0的數(shù)

,有

,對于向量,,,

成立嗎？為什么?

2.

不能！因為沒有定義向量的除法運算.

3.不一定！兩個向量的數(shù)量積為一個實數(shù)，(a·b)c和

a(b·c)分別表示與向量c和向量a共線的向量，它們不一定相等.向量的數(shù)量積運算沒有結(jié)合律.新知應(yīng)用ABCD新知應(yīng)用ABCD新知應(yīng)用規(guī)律方法(1)已知向量的模和夾角利用

并結(jié)合運算律進行計算．(2)在幾何體中求空間向量的數(shù)量積先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．再利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積．求數(shù)量積的兩種情況及方法新知應(yīng)用

如圖，連接AG并延長，與BC交于點D，連接OG，∵點G是底面△ABC的重心，

新知應(yīng)用

新知應(yīng)用lmng分析新知應(yīng)用lmng能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題M能力提升題型一空間向量數(shù)量積的運算例題M新知應(yīng)用方法總結(jié)空間向量數(shù)量積運算的求解方法利用定義,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并結(jié)合運算律進行計算.利用圖形,計算兩個向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進行運算.利用向量分解,在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算時,要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算.步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線性組合形式;利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.能力提升題型二利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素例題能力提升例題題型二利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素能力提升例題題型二利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素新知應(yīng)用方法總結(jié)1．求空間向量的模有兩種方法2．向量夾角與異面直線所成角新知應(yīng)用方法總結(jié)能力提升例題題型二利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素能力提升例題題型二利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素新知應(yīng)用規(guī)律方法利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積判斷是否垂直．課堂小結(jié)作業(yè)布置鞏固作業(yè)