數(shù)值積分（基于MATLAB）課件 chapter6 非線性方程數(shù)值解；chapter7 特征值與特征向量的計(jì)算

二分法迭代法迭代法的加速（Aitken加速法、Steffensen迭代法）牛頓迭代法第6章非線性方程的數(shù)值解§1.非線性方程實(shí)根的對(duì)分法(二分法)2）對(duì)[a1,b1]重復(fù)1)的計(jì)算，并產(chǎn)生[a2,b2]二分法的收斂性ax*x0ba1b1§2.迭代法迭代過(guò)程的幾何表示Ox*x2x1x0xy迭代法需解決的三個(gè)問(wèn)題迭代函數(shù)的構(gòu)造由迭代函數(shù)產(chǎn)生的解序列的收斂性序列的收斂速度和誤差估計(jì)如何選取合適的迭代函數(shù)？下面介紹三個(gè)迭代法的收斂定理。

實(shí)際用迭代法計(jì)算時(shí)，先用對(duì)分區(qū)間法求較好的初值，然后再進(jìn)行迭代。迭代法收斂速度定義迭代法加速（Aitken法）Steffensen迭代法Aitken加速法的加速技巧與原迭代法的結(jié)合，即Newton迭代法Newton迭代法的收斂性簡(jiǎn)單Newton迭代法Newton下山法Newton迭代法的重根處理弦截法§3.Newton迭代法非線性問(wèn)題的最簡(jiǎn)單解法是線性近似。將非線性方程線性化，以線性方程的解逐步逼近非線性方程的解，這就是Newton法的基本思想。一、牛頓迭代法

Newton法的幾何解釋

Newton法具有收斂快，穩(wěn)定性好，精度高等優(yōu)點(diǎn)，是求解非線性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需計(jì)算函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，故計(jì)算量較大。而且當(dāng)導(dǎo)數(shù)值提供有困難時(shí)，Newton法無(wú)法進(jìn)行。二、Newton迭代法的收斂性三、簡(jiǎn)單迭代法四、弦截法弦截法弦截法的幾何表示x0Xx*x1

x2

x3Y

f(x)<0P0P2

P1弦截法收斂性定理用弦截法給出埃特金算法的幾何解釋

非線性方程的解通常叫做方程的根,也叫做函數(shù)的零點(diǎn),本章討論了求解非線性方程近似根常用的一些數(shù)值方法。先要確定有根區(qū)間,且對(duì)于收斂的迭代格式,這個(gè)區(qū)間要足夠小。針對(duì)各種求根的數(shù)值方法的特點(diǎn),要考慮其收斂性、收斂速度和計(jì)算量。二分法是逐步將含根區(qū)間分半,主要用來(lái)求實(shí)根;迭代法是一種逐次逼近的方法,起著把根的精確值一步一步算出來(lái)的作用;牛頓法具有較快的收斂速度,但對(duì)初值選取要求較高。弦截法避開(kāi)了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,具有超線性的收斂速度,每計(jì)算一步,要用到前面兩步的信息。本章小結(jié)

第7章第7.1節(jié)引言

物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問(wèn)題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題.計(jì)算方陣A的特征值，就是求特征方程

即的根.求出特征值后，再求相應(yīng)的齊次線性方程組的非零解,即是對(duì)應(yīng)于的特征向量.這對(duì)于階數(shù)較小的矩陣是可以的,但對(duì)于階數(shù)較大的矩陣來(lái)說(shuō),求解是十分困難,所以用這種方法求矩陣的特征值是不切實(shí)際的.

我們知道,如果矩陣A與B相似，則A與B有相同的特征值.因此人們就希望在相似變換下,把A化為最簡(jiǎn)單的形式.一般矩陣的最簡(jiǎn)單的形式是約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.由于在一般情況下,用相似變換把矩陣A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是很困難的,于是人們就設(shè)法對(duì)矩陣A依次進(jìn)行相似變換,使其逐步趨向于一個(gè)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,從而求出A的特征值.

本章介紹求部分特征值和特征向量的冪法,反冪法;求實(shí)對(duì)稱矩陣全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多項(xiàng)式方法；求任意矩陣全部特征值的QR方法.

第7章二原點(diǎn)平移法一消元法第7.2節(jié)冪法與反冪法三反冪法一

冪法

冪法是一種求任意矩陣A的按模最大特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量的迭代算法.該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單,容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),對(duì)稀疏矩陣較為合適,但有時(shí)收斂速度很慢.為了討論簡(jiǎn)單,我們假設(shè)(1)n階方陣A的特征值按模的大小排列為(2)是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量(3),由矩陣A構(gòu)造一個(gè)向量序列任取一個(gè)非零的初始向量稱為迭代向量.由于線性無(wú)關(guān)，構(gòu)成n維向量空間的一組基,所以,初始向量可唯一表示成于是因?yàn)楸戎邓援?dāng)k充分大時(shí)有從而這說(shuō)明當(dāng)k充分大時(shí),兩個(gè)相鄰迭代向量地相差一個(gè)倍數(shù),這個(gè)倍數(shù)便是矩陣A的按模最大的特征值.與近似表示向量若用個(gè)分量,則的第也就是說(shuō)兩個(gè)相鄰迭代向量對(duì)應(yīng)分量的比值近似地作為矩陣A的按模最大的特征值.因?yàn)榈奶卣飨蛄?,又,所以有,因此向量可近似地作為對(duì)應(yīng)于這種由已知的非零向量以計(jì)算矩陣A的按模最大特征值及其相應(yīng)和矩陣A的乘冪構(gòu)造向量序列特征向量的方法稱為冪法.由(4)式知,冪法的收斂速度取決于比值的大小.比值越小,收斂越快,但當(dāng)比值接近于1時(shí),收斂十分緩慢.個(gè)不為零的分量將隨著k無(wú)限增大而趨于無(wú)窮.反之,如果,用冪法進(jìn)行計(jì)算時(shí),如果,則迭代向量的各則的各分量將趨于零.,則的各分量將趨于零.這樣在有限字長(zhǎng)的計(jì)算機(jī)上計(jì)算時(shí)就可能溢出停機(jī).進(jìn)行規(guī)范化,即用乘以一個(gè)常數(shù),使得其分量的為了避免這一點(diǎn),在計(jì)算過(guò)程中，常采用把每步迭代的向量模最大為1.這樣，迭代公式變?yōu)槠渲惺悄Ｗ畲蟮牡谝粋€(gè)分量.相應(yīng)地取例1設(shè)用冪法求其模為最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)。解取,計(jì)算結(jié)果如表9-1所示

1101110122-2221-1133-43-4-0.751-0.754-2.53.5-2.53.5-0.7141-0.7145-2.4283.428-2.4283.428-0.7081-0.7086-2.4163.416-2.4163.416-0.7071-0.7077-2.4143.414-2.4143.414-0.7071-0.707表7-1當(dāng)k=7時(shí),已經(jīng)穩(wěn)定,于是得到及其相應(yīng)的特征向量為應(yīng)用冪法時(shí),應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)應(yīng)用冪法時(shí),困難在于事先不知道特征值是否滿足(7-1)式，以及方陣A是否有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.克服上述困難的方法是：先用冪法進(jìn)行計(jì)算,在計(jì)算過(guò)程中檢查是否出現(xiàn)了預(yù)期的結(jié)果.如果出現(xiàn)了預(yù)期的結(jié)果,就得到特征值及其相應(yīng)特征向量的近似值;否則,只能用其它方法來(lái)求特征值及其相應(yīng)的特征向量.(2)如果初始向量選擇不當(dāng),將導(dǎo)致公式(7-3)中的系數(shù)等于零.但是，由于舍入誤差的影響,經(jīng)若干步迭代后,.按照基向量展開(kāi)時(shí),的系數(shù)可能不等于零。把這一向量看作初始向量，用冪法繼續(xù)求向量序列,仍然會(huì)得出預(yù)期的結(jié)果,不過(guò)收斂速度較慢.如果收斂很慢,可改換初始向量.二原點(diǎn)平移法由前面討論知道,冪法的收斂速度取決于比值的大小.當(dāng)比值接近于1時(shí),收斂可能很慢.這時(shí),一個(gè)補(bǔ)救的方法是采用原點(diǎn)平移法.設(shè)矩陣

其中p為要選擇的常數(shù).我們知道與除了對(duì)角線元素外,其它元素都相同,而A的特征值與的特征之間有關(guān)系,并且相應(yīng)的特征向量相同.這樣,要計(jì)算的按模最大的特征值，就是適當(dāng)選擇參數(shù),使得仍然是的按模最大的特征值,且使對(duì)應(yīng)用冪法，使得在計(jì)算的按模最大的特征值

的過(guò)程中得到加速,這種方法稱為原點(diǎn)平移法.例2設(shè)4階方陣A有特征值比值,令作變換

則的特征值為應(yīng)用冪法計(jì)算的按模最大的特征值時(shí)，確定收斂速度的比值為所以對(duì)B應(yīng)用冪法時(shí)，可使冪法得到加速。雖然選擇適當(dāng)?shù)膒值，可以使得冪法得到加速，但由于矩陣的特征值的分布情況事先并不知道，所以在計(jì)算時(shí)，用原點(diǎn)平移法有一定的困難.下面考慮當(dāng)?shù)奶卣髦禐閷?shí)數(shù)時(shí),如何選擇參數(shù)，以使得用冪法計(jì)算時(shí)得到加速的方法.設(shè)的特征值滿足

則對(duì)于任意實(shí)數(shù),的按模最大的特征值或。如果需要計(jì)算及時(shí)，應(yīng)選擇使

且確定的收斂速度的比值當(dāng),即時(shí),為最小.這時(shí)用冪法計(jì)算及時(shí)得到加速.如果需要計(jì)算及時(shí)，應(yīng)選擇使

且確定收斂速度的比值當(dāng)即時(shí),為最小.這時(shí)用冪法計(jì)算及時(shí)得到加速.

原點(diǎn)平移的加速方法,是一種矩陣變換方法.這種變換容易計(jì)算,又不破壞A的稀疏性，但參數(shù)p的選擇依賴于對(duì)A的特征值的分布有大致了解.三反冪法反冪法用于求矩陣A的按模最小的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量,及其求對(duì)應(yīng)于一個(gè)給定的近似特征值的特征向量.設(shè)n階方陣A的特征值按模的大小排列為相應(yīng)的特征向量為.則的特征值為

對(duì)應(yīng)的特征向量仍然為.因此,計(jì)算矩陣A的按模最小的特征值,就是計(jì)算的按模最大的特征值.這種把冪法用到上,就是反冪法的基本思想.任取一個(gè)非零的初始向量,由矩陣構(gòu)造向量序列用(7-4)式計(jì)算向量序列時(shí)，首先要計(jì)算逆矩陣.由于計(jì)算時(shí)，一方面計(jì)算麻煩，另一方面當(dāng)A為稀疏陣時(shí),不一定是稀疏陣,所以利用進(jìn)行計(jì)算會(huì)造成困難.在實(shí)際計(jì)算時(shí),常采用解線性方程組的方法求.(7-4)式等價(jià)于為了防止溢出，計(jì)算公式為

相應(yīng)地取(9-5)式中方程組有相同的系數(shù)矩陣A，為了節(jié)省工作量,可先對(duì)矩陣A進(jìn)行三角分解

再解三角形方程組當(dāng)A是三對(duì)角方陣,或是非零元素較少且分布規(guī)律的方陣時(shí),無(wú)論存儲(chǔ)或計(jì)算都比較便.根據(jù)冪法的討論,我們知道,在一定條件下,可求得的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量,從而得到A的按模最小的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量,稱這種方法為反冪法.反冪法也是一種迭代算法,每一步都要解一個(gè)系數(shù)矩陣相同的線性方程組.設(shè)p為任一實(shí)數(shù),如果矩陣可逆,則的特征值為

對(duì)應(yīng)的特征向量仍為.如果p是矩陣A的特征值的一個(gè)近似值,且

則是矩陣的按模最大的特征值.因此,當(dāng)給出特征值的一個(gè)近似值p時(shí),可對(duì)矩陣應(yīng)用反冪法，求出對(duì)應(yīng)于的特征向量.反冪法迭代公式中的通過(guò)方程組

求得.例3用反冪法求矩陣

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.解取解方程組得再解方程組

得與的對(duì)應(yīng)分量大體上成比例,所以對(duì)應(yīng)于的特征向量為

第7章第7.3節(jié)旋轉(zhuǎn)變換和雅可比方法

雅可比方法是用來(lái)計(jì)算實(shí)對(duì)稱矩陣A的全部特征值及其相應(yīng)特征向量的一種變換方法.在介紹雅可比方法之前，先介紹方法中需要用到的線性代數(shù)知識(shí)與平面上的旋轉(zhuǎn)變換.一預(yù)備知識(shí)（1） 如果

階方陣

滿足

則稱

為正交陣.（2）設(shè)

是

階實(shí)對(duì)稱矩陣，則

的特征值都是實(shí)數(shù)，并且有互相正交的

個(gè)特征向量.（3）相似矩陣具有相同的特征值.（4）設(shè)

是

階實(shí)對(duì)稱矩陣，

為

階正交陣,則

也是對(duì)稱矩陣.（5）

階正交矩陣的乘積是正交矩陣.（6）設(shè)

是

階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣

，使其中

的對(duì)角線元素的是

的

個(gè)特征值，正交陣

的第

列是

的對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量.

對(duì)于任意的

階實(shí)對(duì)稱矩陣，只要能求得一個(gè)正交陣

，使

(

為對(duì)角陣)，則可得到A的全部特征值及其相應(yīng)的特征向量,這就是雅可比方法的理論基礎(chǔ).

二旋轉(zhuǎn)變換

設(shè)

為二階實(shí)對(duì)稱矩陣,

即

.

因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣與二次型是一一對(duì)應(yīng)的,

設(shè)

對(duì)應(yīng)的二次型為由解析幾何知識(shí)知道,

方程

表示在

，

平面上的一條二次曲線.如果將坐標(biāo)軸,旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

,使得旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)軸

,

與該二次曲線的主軸重合,如圖7-1所示,

圖7-1坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)示意圖則在新的坐標(biāo)系中,二次曲線的方程就化成這個(gè)變換就是

(7-6)變換(7-6)把坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn),所以稱為旋轉(zhuǎn)變換.其中

稱為平面旋轉(zhuǎn)矩陣。顯然有

,

所以

是正交矩陣.上面的變換過(guò)程即

由于所以只要選擇

滿足

即

(6)(當(dāng)

時(shí)，可選取

)

就成對(duì)角陣，這時(shí)

的特征值為

相應(yīng)的特征向量為三雅可比方法

雅可比方法的基本思想是通過(guò)一系列的由平面旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣逐步化為對(duì)角陣,

從而得到

的全部特征值及其相應(yīng)的特征向量.

首先引進(jìn)

中的平面旋轉(zhuǎn)變換.

變換

記為

,

其中

則稱

為

中

,

平面內(nèi)的一個(gè)平面旋轉(zhuǎn)變換,

稱為

,

平面內(nèi)的平面旋轉(zhuǎn)矩陣.容易證明

具有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：（1）

為正交矩陣.（2）

的主對(duì)角線元素中除第

個(gè)與第

個(gè)元素為

外，其它元素均為1；非對(duì)角線元素中除第

行第

列元素為

,

第

行第列元素為

外,其它元素均為零.（3）

只改變

的第

行與第

行元素，

只改變

的第

列與第

列元素,所以

只改變

的第

行、第

行、第

列、第

列元素.

設(shè)

為

階實(shí)對(duì)稱矩陣,

為一對(duì)非對(duì)角線元素.令

則

為實(shí)對(duì)稱矩陣,且

與

有相同的特征值.通過(guò)直接計(jì)算知當(dāng)取

滿足關(guān)系式

時(shí)，

，且

由于在正交相似變換下,

矩陣元素的平方和不變，所以若用

表示矩陣

的對(duì)角線元素平方和，用

表示

的非對(duì)角線元素平方和,

則由(11)式得

這說(shuō)明用

對(duì)

作正交相似變換化為

后,

的對(duì)角線元素平方和比的對(duì)角線元素平方和增加了

,

的非對(duì)角線元素平方和比

的非對(duì)角線元素平方和減少了

,且將事先選定的非對(duì)角線元素消去了(即

).因此，只要我們逐次地用這種變換，就可以使得矩陣

的非對(duì)角線元素平方和趨于零,也即使得矩陣

逐步化為對(duì)角陣.

這里需要說(shuō)明一點(diǎn)：并不是對(duì)矩陣

的每一對(duì)非對(duì)角線非零元素進(jìn)行一次這樣的變換就能得到對(duì)角陣.因?yàn)樵谟米儞Q消去

的時(shí)候,只有第

行、第

行、第

列、第

列元素在變化,

如果

或

為零,經(jīng)變換后又往往不是零了.

雅可比方法就是逐步對(duì)矩陣

進(jìn)行正交相似變換,消去非對(duì)角線上的非零元素,直到將

的非對(duì)角線元素化為接近于零為止，從而求得

的全部特征值,把逐次的正交相似變換矩陣乘起來(lái),便是所要求的特征向量.

雅可比方法的計(jì)算步驟歸納如下：

第一步在矩陣

的非對(duì)角線元素中選取一個(gè)非零元素

.

一般說(shuō)來(lái)，取絕對(duì)值最大的非對(duì)角線元素;

第二步由公式

求出

，從而得平面旋轉(zhuǎn)矩陣

;

第三步

,

的元素由公式(9)計(jì)算.

第四步以

代替

，重復(fù)第一、二、三步求出

及

，繼續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，直到

的非對(duì)角線元素全化為充分小(即小于允許誤差)時(shí)為止.

第五步

的對(duì)角線元素為

的全部特征值的近似值,

的第j列為對(duì)應(yīng)于特征值

(

為

的對(duì)角線上第j個(gè)元素)的特征向量.

例4

用雅可比方法求矩陣的特征值與特征向量.

解首先取

,由于

,故取

,

所以再取

由得所以繼續(xù)做下去,直到非對(duì)角線元素趨于零,進(jìn)行九次變換后,得

的對(duì)角線元素就是A的特征值，即相應(yīng)的特征向量為相應(yīng)的特征值的精確值相應(yīng)的特征向量為由此可見(jiàn)，雅可比方法變換九次的結(jié)果已經(jīng)相當(dāng)精確了.

用雅可比方法求得的結(jié)果精度都比較高,特別是求得的特征向量正交性很好,所以雅可比方法是求實(shí)對(duì)稱矩陣的全部特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量的一個(gè)較好的方法.但由于上面介紹的雅可比方法,每次迭代都選取絕對(duì)值最大的非對(duì)角線元素作為消去對(duì)象,花費(fèi)很多機(jī)器時(shí)間.另外當(dāng)矩陣是稀疏矩陣時(shí),進(jìn)行正交相似變換后并不能保證其稀疏的性質(zhì),所以對(duì)階數(shù)較高的矩陣不宜采用這種方法.

目前常采用一種過(guò)關(guān)雅可比方法.這種方法是選取一個(gè)單調(diào)減小而趨于零的數(shù)列

(即

,且

)作為限值，這些限值稱為”關(guān)”,

對(duì)矩陣的非對(duì)角線元素規(guī)定一個(gè)順序(例如先行后列、自左至右的順序).

首先對(duì)限值

按規(guī)定的順序逐個(gè)檢查矩陣的非對(duì)角線元素,碰到絕對(duì)值小于

的元素就跳過(guò)去，否則就作變換將其化為零.重復(fù)上述過(guò)程,直到所有的非對(duì)角元素的絕對(duì)值都小于

為止.

再取

類似處理，直到所有的非對(duì)角線元素的絕對(duì)值都小于

時(shí),

迭代停止.

這時(shí)的

應(yīng)小于給定的誤差限

.

實(shí)際運(yùn)算中常用如下的辦法取限值：對(duì)于矩陣,計(jì)算

的非對(duì)角線元素平方和

,任取

,

取

第7章第7.4節(jié)QR算法QR算法也是一種迭代算法,是目前計(jì)算任意實(shí)的非奇異矩陣全部特征值問(wèn)題的最有效的方法之一.該方法的基礎(chǔ)是構(gòu)造矩陣序列,并對(duì)它進(jìn)行QR分解.

由線性代數(shù)知識(shí)知道,若A為非奇異方陣,則A可以分解為正交矩陣Q與上三角形矩陣R的乘積,即A=QR,而且當(dāng)R的對(duì)角線元素符號(hào)取定時(shí),分解式是唯一的.

若A為奇異方陣,則零為A的特征值.任取一數(shù)p不是A的特征值,則A-pI為非奇異方陣.只要求出A-pI的特征值,就很容易求出A的特征值,所以假設(shè)A為非奇異方陣,并不妨礙討論的一般性.設(shè)A為非奇異方陣,令,對(duì)進(jìn)行QR分解,即把分解為正交矩陣與上三角形矩陣的乘積

做矩陣?yán)^續(xù)對(duì)進(jìn)行QR分解并定義一般地,遞推公式為

QR算法就是利用矩陣的QR分解,按上述遞推公式構(gòu)造矩陣序列.只要A為非奇異方陣,則由QR算法就完全確定.這個(gè)矩陣序列具有下列性質(zhì).性質(zhì)1所有都相似,它們具有相同的特征值.

證明因?yàn)?/p>

若令,則為正交陣,且有

因此與A相似,它們具有相同的特征值.性質(zhì)2的QR分解式為

其中證明用歸納法.顯然當(dāng)k=1時(shí),有

假設(shè)有分解式于是

因?yàn)?所以

因?yàn)槎际钦魂?所以也是正交陣,同樣也是上三角形陣,從而的QR分解式為由前面的討論知.這說(shuō)明QR算法的收斂性有正交矩陣序列的性質(zhì)決定.定理1如果收斂于非奇異矩陣為上三角形矩陣,則存在并且是上三角形矩陣.證明因?yàn)槭諗?故下面極限存在

由于為上三角形矩陣,所以為上三角形矩陣.又因?yàn)?/p>

所以存在,并且是上三角形矩陣.定理2(QR算法的收斂性)設(shè)A為n階實(shí)矩陣,且1) A的特征值滿足:2) ,其中且設(shè)有三角分解式(L為單位下三角陣,U為上三角陣),則由QR算法得到的矩陣序列本質(zhì)上收斂于上三角形矩陣.即滿足當(dāng)當(dāng)?shù)臉O限不一定存在證明因?yàn)?矩陣決定的收斂性.又我們利用求,然后討論的收斂性.

由定理?xiàng)l件得

令其中的(i,j)元素為于是

由假設(shè),當(dāng)i>j時(shí),故

設(shè)方陣X的QR分解式為由

由知,對(duì)充分大的非奇異,它應(yīng)有唯一的QR分解式,并且

于是

但上三角陣的對(duì)角線元素不一定大于零.為此,引入對(duì)角矩陣

以便保證()的對(duì)角線元素都是正數(shù),從而得到的QR分解式由的QR分解式的唯一性得到

從而

由于,所以

從而其中

于是

因?yàn)闉樯先顷?為對(duì)角陣,且元素為1或-1,所以當(dāng)當(dāng)?shù)臉O限不一定存在例8用QR算法求矩陣

的特征值.A的特征值為-1,4,1+2i,1-2i.解令,用施密特正交化過(guò)程將分解為將與逆序相乘,求出

用代替A重復(fù)上面過(guò)程,計(jì)算11次得由不難看出,矩陣A的一個(gè)特征值是4,另一個(gè)特征值是-1,其他兩個(gè)特征值是方程

的根.求得為

第7章7.3.2特征向量球法7.3.1多項(xiàng)式系數(shù)的求法補(bǔ)充內(nèi)容Gauss主元素消去法我們知道，求n階方陣A的特征值就是求代數(shù)方程

的根。稱為A的特征多項(xiàng)式。上式展開(kāi)為其中為多項(xiàng)式的系數(shù)。從理論上講，求A的特征值可分為兩步：第一步直接展開(kāi)行列式||求出多項(xiàng)式；第二步求代數(shù)方程的根，即特征值。對(duì)于低階矩陣，這種方法是可行的。但對(duì)于高階矩陣，計(jì)算量則很大，這種方法是不適用的。這里我們介紹用F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特征方程(9-7)中多項(xiàng)式的系數(shù)。由于代數(shù)方程求根問(wèn)題已經(jīng)介紹，所以本節(jié)中解決特征值問(wèn)題的關(guān)鍵是確定矩陣A的特征多項(xiàng)式，所以稱這種方法為多項(xiàng)式方法求特征值問(wèn)題。記矩陣

的對(duì)角線元素之和為

利用遞歸的概念定義以下n個(gè)矩陣可以證明,(9-8)式中即是所求A的特征多項(xiàng)式的各系數(shù)。用(9-8)式求矩陣的特征多項(xiàng)式系數(shù)的方法稱為F-L方法。相應(yīng)特征方程為：

而且可證矩陣A的逆矩陣可表示為

例5求矩陣的特征值與.

解用F-L方法求得所以A的特征方程為

此方程的根,即特征值為

從例1中的計(jì)算結(jié)果可知Faddeev曾經(jīng)證明:對(duì)n階矩陣A,可計(jì)算出的總有7.3.2特征向量求法當(dāng)矩陣A的特征向量確定以后,將這些特征值逐個(gè)代入齊次線性程組()x=0中,由于系數(shù)矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)n,因此雖然有n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù),但實(shí)際上是解有n個(gè)未知數(shù)的相互獨(dú)立的r個(gè)方程(r<n).當(dāng)矩陣A的所有特征值互不相同時(shí),這樣的問(wèn)題中要解的齊次方程組中有n-1個(gè)獨(dú)立方程,其中含有n個(gè)特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一個(gè)需要任意假設(shè)其值,才能求出其他特征分量.在計(jì)算機(jī)中解這樣的齊次線性程組,可用高斯-若當(dāng)消去法,以便把一組n個(gè)方程簡(jiǎn)化為等價(jià)的一組n-1個(gè)方程的方程組.然而,用高斯-若當(dāng)消去法簡(jiǎn)化一個(gè)齊次線性程組時(shí),方程之間不都是獨(dú)立的,在消去過(guò)程中系數(shù)為零的情況較多.必需交換方程中未知數(shù)的次序,以避免主元素位置上為零的情況.因此,為了提高精度和避免零元素的可能性,我們總是用主元素措施把絕對(duì)值最大的系數(shù)放于主元素位置.例6假設(shè)矩陣A為

其特征方程為

展開(kāi)后為故特征值分別為

下面求特征向量，將代入方程組中，得以-5為主元素,交換上式第一與第二個(gè)方程得

用高斯-若當(dāng)消去法消去-5所在列中的,并把主元素所在行調(diào)到最后,得

再以16/5為主元素,消去它所在列中的,并把主元素所在的行調(diào)到最后,得這就是用高斯若當(dāng)消去法實(shí)現(xiàn)把一組三個(gè)方程簡(jiǎn)化為等價(jià)的一組兩個(gè)獨(dú)立方程的情形.因?yàn)檫@個(gè)等價(jià)的方程組包含兩個(gè)獨(dú)立的方程,而有三個(gè)未知數(shù)，所以只要假定其中一個(gè)值,則其它兩個(gè)值就可以通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立方程解出.比如,令,則得到矩陣A的對(duì)應(yīng)于的一個(gè)特征向量為對(duì)另外兩個(gè)特征值的對(duì)應(yīng)特征向量求法與上述對(duì)的推導(dǎo)過(guò)程相同.

計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)求解這樣的齊次線性方程組的消去步驟是,用高斯-若當(dāng)消去法的公式,方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)第一次消去后的矩陣B為

(7-9)以矩陣為方程組的系數(shù)矩陣,其中省略了有0和1元素的第一列.

在進(jìn)行第二次消元之前,要應(yīng)用完全主元素措施對(duì)前兩行進(jìn)行最大主元素選擇,然后再進(jìn)行必要的行或列交換.每完成一次消元過(guò)程,總省略只有0和1元素的第一列,并且計(jì)算機(jī)僅尋找矩陣的前n-k行中的最大主元素,其中k是消元過(guò)程應(yīng)用的次數(shù).對(duì)(7-9)式再進(jìn)行一次消元過(guò)程,則得到列矩陣此矩陣是對(duì)應(yīng)于方程組的系數(shù)矩陣,不過(guò)省略了含0和1元素的前兩列.一般來(lái)說(shuō),最后矩陣列的數(shù)目等于矩陣

的階數(shù)和秩的差值.

由于方程組有三個(gè)未知數(shù),兩個(gè)獨(dú)立方程,所以計(jì)算機(jī)必須任意給定一個(gè)未知數(shù)的值,以便可以從其他兩個(gè)獨(dú)立方程中解出另外兩個(gè)未知數(shù).為方便，在計(jì)算機(jī)決定特征向量時(shí),要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)定任意選取的未知數(shù)的值.例如,令,由方程組知道,其他兩個(gè)分量的值正好能從含的非零系數(shù)項(xiàng)得出.為此,從計(jì)算機(jī)所存儲(chǔ)的最終矩陣中,令最上面的0元素為-1,并把它順次調(diào)到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量.在工程問(wèn)題中,從特征方程所求出的特征值,少數(shù)情形也有相同的.一般地,當(dāng)一個(gè)特征方程有k重時(shí),矩陣

的秩可能