數(shù)值積分（基于MATLAB）課件 chapter6 非線性方程數(shù)值解；chapter7 特征值與特征向量的計算

二分法迭代法迭代法的加速（Aitken加速法、Steffensen迭代法）牛頓迭代法第6章非線性方程的數(shù)值解§1.非線性方程實根的對分法(二分法)2）對[a1,b1]重復(fù)1)的計算，并產(chǎn)生[a2,b2]二分法的收斂性ax*x0ba1b1§2.迭代法迭代過程的幾何表示Ox*x2x1x0xy迭代法需解決的三個問題迭代函數(shù)的構(gòu)造由迭代函數(shù)產(chǎn)生的解序列的收斂性序列的收斂速度和誤差估計如何選取合適的迭代函數(shù)？下面介紹三個迭代法的收斂定理。

實際用迭代法計算時，先用對分區(qū)間法求較好的初值，然后再進(jìn)行迭代。迭代法收斂速度定義迭代法加速（Aitken法）Steffensen迭代法Aitken加速法的加速技巧與原迭代法的結(jié)合，即Newton迭代法Newton迭代法的收斂性簡單Newton迭代法Newton下山法Newton迭代法的重根處理弦截法§3.Newton迭代法非線性問題的最簡單解法是線性近似。將非線性方程線性化，以線性方程的解逐步逼近非線性方程的解，這就是Newton法的基本思想。一、牛頓迭代法

Newton法的幾何解釋

Newton法具有收斂快，穩(wěn)定性好，精度高等優(yōu)點，是求解非線性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需計算函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，故計算量較大。而且當(dāng)導(dǎo)數(shù)值提供有困難時，Newton法無法進(jìn)行。二、Newton迭代法的收斂性三、簡單迭代法四、弦截法弦截法弦截法的幾何表示x0Xx*x1

x2

x3Y

f(x)<0P0P2

P1弦截法收斂性定理用弦截法給出埃特金算法的幾何解釋

非線性方程的解通常叫做方程的根,也叫做函數(shù)的零點,本章討論了求解非線性方程近似根常用的一些數(shù)值方法。先要確定有根區(qū)間,且對于收斂的迭代格式,這個區(qū)間要足夠小。針對各種求根的數(shù)值方法的特點,要考慮其收斂性、收斂速度和計算量。二分法是逐步將含根區(qū)間分半,主要用來求實根;迭代法是一種逐次逼近的方法,起著把根的精確值一步一步算出來的作用;牛頓法具有較快的收斂速度,但對初值選取要求較高。弦截法避開了導(dǎo)數(shù)的計算,具有超線性的收斂速度,每計算一步,要用到前面兩步的信息。本章小結(jié)

第7章第7.1節(jié)引言

物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問題.計算方陣A的特征值，就是求特征方程

即的根.求出特征值后，再求相應(yīng)的齊次線性方程組的非零解,即是對應(yīng)于的特征向量.這對于階數(shù)較小的矩陣是可以的,但對于階數(shù)較大的矩陣來說,求解是十分困難,所以用這種方法求矩陣的特征值是不切實際的.

我們知道,如果矩陣A與B相似，則A與B有相同的特征值.因此人們就希望在相似變換下,把A化為最簡單的形式.一般矩陣的最簡單的形式是約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.由于在一般情況下,用相似變換把矩陣A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是很困難的,于是人們就設(shè)法對矩陣A依次進(jìn)行相似變換,使其逐步趨向于一個約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,從而求出A的特征值.

本章介紹求部分特征值和特征向量的冪法,反冪法;求實對稱矩陣全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多項式方法；求任意矩陣全部特征值的QR方法.

第7章二原點平移法一消元法第7.2節(jié)冪法與反冪法三反冪法一

冪法

冪法是一種求任意矩陣A的按模最大特征值及其對應(yīng)特征向量的迭代算法.該方法最大的優(yōu)點是計算簡單,容易在計算機上實現(xiàn),對稀疏矩陣較為合適,但有時收斂速度很慢.為了討論簡單,我們假設(shè)(1)n階方陣A的特征值按模的大小排列為(2)是對應(yīng)于特征值的特征向量(3),由矩陣A構(gòu)造一個向量序列任取一個非零的初始向量稱為迭代向量.由于線性無關(guān)，構(gòu)成n維向量空間的一組基,所以,初始向量可唯一表示成于是因為比值所以當(dāng)k充分大時有從而這說明當(dāng)k充分大時,兩個相鄰迭代向量地相差一個倍數(shù),這個倍數(shù)便是矩陣A的按模最大的特征值.與近似表示向量若用個分量,則的第也就是說兩個相鄰迭代向量對應(yīng)分量的比值近似地作為矩陣A的按模最大的特征值.因為的特征向量.,又,所以有,因此向量可近似地作為對應(yīng)于這種由已知的非零向量以計算矩陣A的按模最大特征值及其相應(yīng)和矩陣A的乘冪構(gòu)造向量序列特征向量的方法稱為冪法.由(4)式知,冪法的收斂速度取決于比值的大小.比值越小,收斂越快,但當(dāng)比值接近于1時,收斂十分緩慢.個不為零的分量將隨著k無限增大而趨于無窮.反之,如果,用冪法進(jìn)行計算時,如果,則迭代向量的各則的各分量將趨于零.,則的各分量將趨于零.這樣在有限字長的計算機上計算時就可能溢出停機.進(jìn)行規(guī)范化,即用乘以一個常數(shù),使得其分量的為了避免這一點,在計算過程中，常采用把每步迭代的向量模最大為1.這樣，迭代公式變?yōu)槠渲惺悄Ｗ畲蟮牡谝粋€分量.相應(yīng)地取例1設(shè)用冪法求其模為最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量(精確到小數(shù)點后三位)。解取,計算結(jié)果如表9-1所示

1101110122-2221-1133-43-4-0.751-0.754-2.53.5-2.53.5-0.7141-0.7145-2.4283.428-2.4283.428-0.7081-0.7086-2.4163.416-2.4163.416-0.7071-0.7077-2.4143.414-2.4143.414-0.7071-0.707表7-1當(dāng)k=7時,已經(jīng)穩(wěn)定,于是得到及其相應(yīng)的特征向量為應(yīng)用冪法時,應(yīng)注意以下兩點:(1)應(yīng)用冪法時,困難在于事先不知道特征值是否滿足(7-1)式，以及方陣A是否有n個線性無關(guān)的特征向量.克服上述困難的方法是：先用冪法進(jìn)行計算,在計算過程中檢查是否出現(xiàn)了預(yù)期的結(jié)果.如果出現(xiàn)了預(yù)期的結(jié)果,就得到特征值及其相應(yīng)特征向量的近似值;否則,只能用其它方法來求特征值及其相應(yīng)的特征向量.(2)如果初始向量選擇不當(dāng),將導(dǎo)致公式(7-3)中的系數(shù)等于零.但是，由于舍入誤差的影響,經(jīng)若干步迭代后,.按照基向量展開時,的系數(shù)可能不等于零。把這一向量看作初始向量，用冪法繼續(xù)求向量序列,仍然會得出預(yù)期的結(jié)果,不過收斂速度較慢.如果收斂很慢,可改換初始向量.二原點平移法由前面討論知道,冪法的收斂速度取決于比值的大小.當(dāng)比值接近于1時,收斂可能很慢.這時,一個補救的方法是采用原點平移法.設(shè)矩陣

其中p為要選擇的常數(shù).我們知道與除了對角線元素外,其它元素都相同,而A的特征值與的特征之間有關(guān)系,并且相應(yīng)的特征向量相同.這樣,要計算的按模最大的特征值，就是適當(dāng)選擇參數(shù),使得仍然是的按模最大的特征值,且使對應(yīng)用冪法，使得在計算的按模最大的特征值

的過程中得到加速,這種方法稱為原點平移法.例2設(shè)4階方陣A有特征值比值,令作變換

則的特征值為應(yīng)用冪法計算的按模最大的特征值時，確定收斂速度的比值為所以對B應(yīng)用冪法時，可使冪法得到加速。雖然選擇適當(dāng)?shù)膒值，可以使得冪法得到加速，但由于矩陣的特征值的分布情況事先并不知道，所以在計算時，用原點平移法有一定的困難.下面考慮當(dāng)?shù)奶卣髦禐閷崝?shù)時,如何選擇參數(shù)，以使得用冪法計算時得到加速的方法.設(shè)的特征值滿足

則對于任意實數(shù),的按模最大的特征值或。如果需要計算及時，應(yīng)選擇使

且確定的收斂速度的比值當(dāng),即時,為最小.這時用冪法計算及時得到加速.如果需要計算及時，應(yīng)選擇使

且確定收斂速度的比值當(dāng)即時,為最小.這時用冪法計算及時得到加速.

原點平移的加速方法,是一種矩陣變換方法.這種變換容易計算,又不破壞A的稀疏性，但參數(shù)p的選擇依賴于對A的特征值的分布有大致了解.三反冪法反冪法用于求矩陣A的按模最小的特征值和對應(yīng)的特征向量,及其求對應(yīng)于一個給定的近似特征值的特征向量.設(shè)n階方陣A的特征值按模的大小排列為相應(yīng)的特征向量為.則的特征值為

對應(yīng)的特征向量仍然為.因此,計算矩陣A的按模最小的特征值,就是計算的按模最大的特征值.這種把冪法用到上,就是反冪法的基本思想.任取一個非零的初始向量,由矩陣構(gòu)造向量序列用(7-4)式計算向量序列時，首先要計算逆矩陣.由于計算時，一方面計算麻煩，另一方面當(dāng)A為稀疏陣時,不一定是稀疏陣,所以利用進(jìn)行計算會造成困難.在實際計算時,常采用解線性方程組的方法求.(7-4)式等價于為了防止溢出，計算公式為

相應(yīng)地取(9-5)式中方程組有相同的系數(shù)矩陣A，為了節(jié)省工作量,可先對矩陣A進(jìn)行三角分解

再解三角形方程組當(dāng)A是三對角方陣,或是非零元素較少且分布規(guī)律的方陣時,無論存儲或計算都比較便.根據(jù)冪法的討論,我們知道,在一定條件下,可求得的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量,從而得到A的按模最小的特征值和對應(yīng)的特征向量,稱這種方法為反冪法.反冪法也是一種迭代算法,每一步都要解一個系數(shù)矩陣相同的線性方程組.設(shè)p為任一實數(shù),如果矩陣可逆,則的特征值為

對應(yīng)的特征向量仍為.如果p是矩陣A的特征值的一個近似值,且

則是矩陣的按模最大的特征值.因此,當(dāng)給出特征值的一個近似值p時,可對矩陣應(yīng)用反冪法，求出對應(yīng)于的特征向量.反冪法迭代公式中的通過方程組

求得.例3用反冪法求矩陣

的對應(yīng)于特征值的特征向量.解取解方程組得再解方程組

得與的對應(yīng)分量大體上成比例,所以對應(yīng)于的特征向量為

第7章第7.3節(jié)旋轉(zhuǎn)變換和雅可比方法

雅可比方法是用來計算實對稱矩陣A的全部特征值及其相應(yīng)特征向量的一種變換方法.在介紹雅可比方法之前，先介紹方法中需要用到的線性代數(shù)知識與平面上的旋轉(zhuǎn)變換.一預(yù)備知識（1） 如果

階方陣

滿足

則稱

為正交陣.（2）設(shè)

是

階實對稱矩陣，則

的特征值都是實數(shù)，并且有互相正交的

個特征向量.（3）相似矩陣具有相同的特征值.（4）設(shè)

是

階實對稱矩陣，

為

階正交陣,則

也是對稱矩陣.（5）

階正交矩陣的乘積是正交矩陣.（6）設(shè)

是

階實對稱矩陣，則必有正交矩陣

，使其中

的對角線元素的是

的

個特征值，正交陣

的第

列是

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.

對于任意的

階實對稱矩陣，只要能求得一個正交陣

，使

(

為對角陣)，則可得到A的全部特征值及其相應(yīng)的特征向量,這就是雅可比方法的理論基礎(chǔ).

二旋轉(zhuǎn)變換

設(shè)

為二階實對稱矩陣,

即

.

因為實對稱矩陣與二次型是一一對應(yīng)的,

設(shè)

對應(yīng)的二次型為由解析幾何知識知道,

方程

表示在

，

平面上的一條二次曲線.如果將坐標(biāo)軸,旋轉(zhuǎn)一個角度

,使得旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)軸

,

與該二次曲線的主軸重合,如圖7-1所示,

圖7-1坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)示意圖則在新的坐標(biāo)系中,二次曲線的方程就化成這個變換就是

(7-6)變換(7-6)把坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn),所以稱為旋轉(zhuǎn)變換.其中

稱為平面旋轉(zhuǎn)矩陣。顯然有

,

所以

是正交矩陣.上面的變換過程即

由于所以只要選擇

滿足

即

(6)(當(dāng)

時，可選取

)

就成對角陣，這時

的特征值為

相應(yīng)的特征向量為三雅可比方法

雅可比方法的基本思想是通過一系列的由平面旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的正交變換將實對稱矩陣逐步化為對角陣,

從而得到

的全部特征值及其相應(yīng)的特征向量.

首先引進(jìn)

中的平面旋轉(zhuǎn)變換.

變換

記為

,

其中

則稱

為

中

,

平面內(nèi)的一個平面旋轉(zhuǎn)變換,

稱為

,

平面內(nèi)的平面旋轉(zhuǎn)矩陣.容易證明

具有如下簡單性質(zhì)：（1）

為正交矩陣.（2）

的主對角線元素中除第

個與第

個元素為

外，其它元素均為1；非對角線元素中除第

行第

列元素為

,

第

行第列元素為

外,其它元素均為零.（3）

只改變

的第

行與第

行元素，

只改變

的第

列與第

列元素,所以

只改變

的第

行、第

行、第

列、第

列元素.

設(shè)

為

階實對稱矩陣,

為一對非對角線元素.令

則

為實對稱矩陣,且

與

有相同的特征值.通過直接計算知當(dāng)取

滿足關(guān)系式

時，

，且

由于在正交相似變換下,

矩陣元素的平方和不變，所以若用

表示矩陣

的對角線元素平方和，用

表示

的非對角線元素平方和,

則由(11)式得

這說明用

對

作正交相似變換化為

后,

的對角線元素平方和比的對角線元素平方和增加了

,

的非對角線元素平方和比

的非對角線元素平方和減少了

,且將事先選定的非對角線元素消去了(即

).因此，只要我們逐次地用這種變換，就可以使得矩陣

的非對角線元素平方和趨于零,也即使得矩陣

逐步化為對角陣.

這里需要說明一點：并不是對矩陣

的每一對非對角線非零元素進(jìn)行一次這樣的變換就能得到對角陣.因為在用變換消去

的時候,只有第

行、第

行、第

列、第

列元素在變化,

如果

或

為零,經(jīng)變換后又往往不是零了.

雅可比方法就是逐步對矩陣

進(jìn)行正交相似變換,消去非對角線上的非零元素,直到將

的非對角線元素化為接近于零為止，從而求得

的全部特征值,把逐次的正交相似變換矩陣乘起來,便是所要求的特征向量.

雅可比方法的計算步驟歸納如下：

第一步在矩陣

的非對角線元素中選取一個非零元素

.

一般說來，取絕對值最大的非對角線元素;

第二步由公式

求出

，從而得平面旋轉(zhuǎn)矩陣

;

第三步

,

的元素由公式(9)計算.

第四步以

代替

，重復(fù)第一、二、三步求出

及

，繼續(xù)重復(fù)這一過程，直到

的非對角線元素全化為充分小(即小于允許誤差)時為止.

第五步

的對角線元素為

的全部特征值的近似值,

的第j列為對應(yīng)于特征值

(

為

的對角線上第j個元素)的特征向量.

例4

用雅可比方法求矩陣的特征值與特征向量.

解首先取

,由于

,故取

,

所以再取

由得所以繼續(xù)做下去,直到非對角線元素趨于零,進(jìn)行九次變換后,得

的對角線元素就是A的特征值，即相應(yīng)的特征向量為相應(yīng)的特征值的精確值相應(yīng)的特征向量為由此可見，雅可比方法變換九次的結(jié)果已經(jīng)相當(dāng)精確了.

用雅可比方法求得的結(jié)果精度都比較高,特別是求得的特征向量正交性很好,所以雅可比方法是求實對稱矩陣的全部特征值及其對應(yīng)特征向量的一個較好的方法.但由于上面介紹的雅可比方法,每次迭代都選取絕對值最大的非對角線元素作為消去對象,花費很多機器時間.另外當(dāng)矩陣是稀疏矩陣時,進(jìn)行正交相似變換后并不能保證其稀疏的性質(zhì),所以對階數(shù)較高的矩陣不宜采用這種方法.

目前常采用一種過關(guān)雅可比方法.這種方法是選取一個單調(diào)減小而趨于零的數(shù)列

(即

,且

)作為限值，這些限值稱為”關(guān)”,

對矩陣的非對角線元素規(guī)定一個順序(例如先行后列、自左至右的順序).

首先對限值

按規(guī)定的順序逐個檢查矩陣的非對角線元素,碰到絕對值小于

的元素就跳過去，否則就作變換將其化為零.重復(fù)上述過程,直到所有的非對角元素的絕對值都小于

為止.

再取

類似處理，直到所有的非對角線元素的絕對值都小于

時,

迭代停止.

這時的

應(yīng)小于給定的誤差限

.

實際運算中常用如下的辦法取限值：對于矩陣,計算

的非對角線元素平方和

,任取

,

取

第7章第7.4節(jié)QR算法QR算法也是一種迭代算法,是目前計算任意實的非奇異矩陣全部特征值問題的最有效的方法之一.該方法的基礎(chǔ)是構(gòu)造矩陣序列,并對它進(jìn)行QR分解.

由線性代數(shù)知識知道,若A為非奇異方陣,則A可以分解為正交矩陣Q與上三角形矩陣R的乘積,即A=QR,而且當(dāng)R的對角線元素符號取定時,分解式是唯一的.

若A為奇異方陣,則零為A的特征值.任取一數(shù)p不是A的特征值,則A-pI為非奇異方陣.只要求出A-pI的特征值,就很容易求出A的特征值,所以假設(shè)A為非奇異方陣,并不妨礙討論的一般性.設(shè)A為非奇異方陣,令,對進(jìn)行QR分解,即把分解為正交矩陣與上三角形矩陣的乘積

做矩陣?yán)^續(xù)對進(jìn)行QR分解并定義一般地,遞推公式為

QR算法就是利用矩陣的QR分解,按上述遞推公式構(gòu)造矩陣序列.只要A為非奇異方陣,則由QR算法就完全確定.這個矩陣序列具有下列性質(zhì).性質(zhì)1所有都相似,它們具有相同的特征值.

證明因為

若令,則為正交陣,且有

因此與A相似,它們具有相同的特征值.性質(zhì)2的QR分解式為

其中證明用歸納法.顯然當(dāng)k=1時,有

假設(shè)有分解式于是

因為,所以

因為都是正交陣,所以也是正交陣,同樣也是上三角形陣,從而的QR分解式為由前面的討論知.這說明QR算法的收斂性有正交矩陣序列的性質(zhì)決定.定理1如果收斂于非奇異矩陣為上三角形矩陣,則存在并且是上三角形矩陣.證明因為收斂,故下面極限存在

由于為上三角形矩陣,所以為上三角形矩陣.又因為

所以存在,并且是上三角形矩陣.定理2(QR算法的收斂性)設(shè)A為n階實矩陣,且1) A的特征值滿足:2) ,其中且設(shè)有三角分解式(L為單位下三角陣,U為上三角陣),則由QR算法得到的矩陣序列本質(zhì)上收斂于上三角形矩陣.即滿足當(dāng)當(dāng)?shù)臉O限不一定存在證明因為,矩陣決定的收斂性.又我們利用求,然后討論的收斂性.

由定理條件得

令其中的(i,j)元素為于是

由假設(shè),當(dāng)i>j時,故

設(shè)方陣X的QR分解式為由

由知,對充分大的非奇異,它應(yīng)有唯一的QR分解式,并且

于是

但上三角陣的對角線元素不一定大于零.為此,引入對角矩陣

以便保證()的對角線元素都是正數(shù),從而得到的QR分解式由的QR分解式的唯一性得到

從而

由于,所以

從而其中

于是

因為為上三角陣,為對角陣,且元素為1或-1,所以當(dāng)當(dāng)?shù)臉O限不一定存在例8用QR算法求矩陣

的特征值.A的特征值為-1,4,1+2i,1-2i.解令,用施密特正交化過程將分解為將與逆序相乘,求出

用代替A重復(fù)上面過程,計算11次得由不難看出,矩陣A的一個特征值是4,另一個特征值是-1,其他兩個特征值是方程

的根.求得為

第7章7.3.2特征向量球法7.3.1多項式系數(shù)的求法補充內(nèi)容Gauss主元素消去法我們知道，求n階方陣A的特征值就是求代數(shù)方程

的根。稱為A的特征多項式。上式展開為其中為多項式的系數(shù)。從理論上講，求A的特征值可分為兩步：第一步直接展開行列式||求出多項式；第二步求代數(shù)方程的根，即特征值。對于低階矩陣，這種方法是可行的。但對于高階矩陣，計算量則很大，這種方法是不適用的。這里我們介紹用F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特征方程(9-7)中多項式的系數(shù)。由于代數(shù)方程求根問題已經(jīng)介紹，所以本節(jié)中解決特征值問題的關(guān)鍵是確定矩陣A的特征多項式，所以稱這種方法為多項式方法求特征值問題。記矩陣

的對角線元素之和為

利用遞歸的概念定義以下n個矩陣可以證明,(9-8)式中即是所求A的特征多項式的各系數(shù)。用(9-8)式求矩陣的特征多項式系數(shù)的方法稱為F-L方法。相應(yīng)特征方程為：

而且可證矩陣A的逆矩陣可表示為

例5求矩陣的特征值與.

解用F-L方法求得所以A的特征方程為

此方程的根,即特征值為

從例1中的計算結(jié)果可知Faddeev曾經(jīng)證明:對n階矩陣A,可計算出的總有7.3.2特征向量求法當(dāng)矩陣A的特征向量確定以后,將這些特征值逐個代入齊次線性程組()x=0中,由于系數(shù)矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)n,因此雖然有n個方程n個未知數(shù),但實際上是解有n個未知數(shù)的相互獨立的r個方程(r<n).當(dāng)矩陣A的所有特征值互不相同時,這樣的問題中要解的齊次方程組中有n-1個獨立方程,其中含有n個特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一個需要任意假設(shè)其值,才能求出其他特征分量.在計算機中解這樣的齊次線性程組,可用高斯-若當(dāng)消去法,以便把一組n個方程簡化為等價的一組n-1個方程的方程組.然而,用高斯-若當(dāng)消去法簡化一個齊次線性程組時,方程之間不都是獨立的,在消去過程中系數(shù)為零的情況較多.必需交換方程中未知數(shù)的次序,以避免主元素位置上為零的情況.因此,為了提高精度和避免零元素的可能性,我們總是用主元素措施把絕對值最大的系數(shù)放于主元素位置.例6假設(shè)矩陣A為

其特征方程為

展開后為故特征值分別為

下面求特征向量，將代入方程組中，得以-5為主元素,交換上式第一與第二個方程得

用高斯-若當(dāng)消去法消去-5所在列中的,并把主元素所在行調(diào)到最后,得

再以16/5為主元素,消去它所在列中的,并把主元素所在的行調(diào)到最后,得這就是用高斯若當(dāng)消去法實現(xiàn)把一組三個方程簡化為等價的一組兩個獨立方程的情形.因為這個等價的方程組包含兩個獨立的方程,而有三個未知數(shù)，所以只要假定其中一個值,則其它兩個值就可以通過兩個獨立方程解出.比如,令,則得到矩陣A的對應(yīng)于的一個特征向量為對另外兩個特征值的對應(yīng)特征向量求法與上述對的推導(dǎo)過程相同.

計算機中實現(xiàn)求解這樣的齊次線性方程組的消去步驟是,用高斯-若當(dāng)消去法的公式,方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過第一次消去后的矩陣B為

(7-9)以矩陣為方程組的系數(shù)矩陣,其中省略了有0和1元素的第一列.

在進(jìn)行第二次消元之前,要應(yīng)用完全主元素措施對前兩行進(jìn)行最大主元素選擇,然后再進(jìn)行必要的行或列交換.每完成一次消元過程,總省略只有0和1元素的第一列,并且計算機僅尋找矩陣的前n-k行中的最大主元素,其中k是消元過程應(yīng)用的次數(shù).對(7-9)式再進(jìn)行一次消元過程,則得到列矩陣此矩陣是對應(yīng)于方程組的系數(shù)矩陣,不過省略了含0和1元素的前兩列.一般來說,最后矩陣列的數(shù)目等于矩陣

的階數(shù)和秩的差值.

由于方程組有三個未知數(shù),兩個獨立方程,所以計算機必須任意給定一個未知數(shù)的值,以便可以從其他兩個獨立方程中解出另外兩個未知數(shù).為方便，在計算機決定特征向量時,要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)定任意選取的未知數(shù)的值.例如,令,由方程組知道,其他兩個分量的值正好能從含的非零系數(shù)項得出.為此,從計算機所存儲的最終矩陣中,令最上面的0元素為-1,并把它順次調(diào)到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量.在工程問題中,從特征方程所求出的特征值,少數(shù)情形也有相同的.一般地,當(dāng)一個特征方程有k重時,矩陣

的秩可能