2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷11.2 三角形全等的條件(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷11.2三角形全等的條件(含答案)11．2三角形全等的條件◆夯實(shí)基礎(chǔ)一、耐心選一選，你會(huì)開(kāi)心（每題6分，共30分）1．在△△中，已知，，要判定這兩個(gè)三角形全等，還需要條件()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如圖6，AB＝DB，BC＝BE，欲證△ABE≌△DBC，則需補(bǔ)充的條件是（）12A．∠A＝∠D12B．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠23．如圖，AB＝DB，BC＝BE，欲證△ABC≌△DBC，則需補(bǔ)充的條件是（）Ａ．∠A＝∠DＢ．∠E＝∠CＣ．∠A＝∠CＤ．∠1＝∠24．如果兩個(gè)三角形有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等，那么它們第三邊所對(duì)的角的關(guān)系是（）A．相等 B．互補(bǔ) C．互余 D．相等或互補(bǔ)5．如圖5，已知：∠1＝∠2，要證明△ABC≌△ADE，還需補(bǔ)充的條件是（）A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DEC．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不對(duì)二、精心填一填，你會(huì)輕松（每題6分，共30分）6．△ABC和中，若，，則需要補(bǔ)充條件可得到△ABC≌．7．如圖3所示，AB、CD相交于O，且AO＝OB，觀察圖形，明顯有，只需補(bǔ)充條件，則有△AOC≌△（ASA）．8．如圖5，在△ABC中，∠BAC＝60°，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到△ADE，則∠BAE的度數(shù)為．ＡＢＣabcba甲ＡＢＣabcba甲cb乙a丙10．如圖3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和AC的垂線AX上移動(dòng)，則當(dāng)AP＝時(shí)，才能使△ABC和△APQ全等．三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）11．如圖，相交于點(diǎn)，你能找出兩對(duì)全等的三角形嗎？你能說(shuō)明其中的道理嗎？12．如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①、②、③、④、⑤．ABABCED已知：求證：證明： 13．如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，可以在的垂線上取兩點(diǎn)，使，再定出的垂線，使在一條直線上，這時(shí)測(cè)得的的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，為什么？◆綜合創(chuàng)新14．飛翔建筑公司在擴(kuò)建二汽修建廠房時(shí)，在一空地上發(fā)現(xiàn)有一個(gè)較大的圓形土丘，經(jīng)分析判斷很可能是一座王儲(chǔ)陵墓，由于條件限制，無(wú)法直接度量A、B兩點(diǎn)間的距離，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，按以下要求設(shè)計(jì)測(cè)量方案．（1）畫(huà)出測(cè)量方案；（2）寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）；（3）計(jì)算AB的距離（寫出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）．15．小明、小敏兩人一起做數(shù)學(xué)作業(yè)，小敏把題讀到如圖8（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC時(shí)，還沒(méi)把題讀完，就說(shuō)：“這題一定是求證∠B＝∠C，也太容易了．”她的證法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC＝∠AEB＝90°，公共角∠DAC＝∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠B＝∠C．小明說(shuō)：“小敏你錯(cuò)了，你未弄清本題的條件和結(jié)論，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC＝∠BAE，你的推理也是錯(cuò)誤的．看我畫(huà)的圖8（2），顯然△DAC與△EAB是不全等的．再說(shuō)本題不是要證明∠B＝∠C，而是要證明BE＝CD．”（1）根據(jù)小敏所讀的題，判斷“∠B＝∠C”對(duì)嗎？她的推理對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)做出正確的推理．（2）根據(jù)小明說(shuō)的，要證明BE＝CD，必然是小敏丟了題中條件，請(qǐng)你把小敏丟的條件找回來(lái)，并根據(jù)找出的條件，你做出判斷BE＝CD的正確推理．（3）要判斷三角形全等，從這個(gè)問(wèn)題中你得到了什么啟發(fā)？◆ＡDＡDFCBE16．下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等17．如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料摸板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．則四邊形的面積是．18．已知：如圖，是的中點(diǎn)，，．ABCDABCDE1219．你一定玩過(guò)蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱與地面垂直．當(dāng)一方著地時(shí)，另一方上升到最高點(diǎn)．問(wèn)：在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過(guò)程中，兩人上升的最大高度，有何數(shù)量關(guān)系？為什么？AACBO20．如圖，在中，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，與有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．AADBCFE參考答案夯實(shí)基礎(chǔ)1．C2．D3．D4．D 5．C6．略（答案不惟一） 7．，8．9．乙和丙10．或11．事實(shí)上有四對(duì)全等的三角形．理由分別是：的理由：“角邊角”，即的理由．“邊角邊”，即的理由：“邊角邊”．即的理由：“邊角邊”．即12．情況一：已知：求證：（或或）證明：在△和△中△△即．情況二：已知：求證：（或或）證明：在△和△中，△△．13．由，，可得，又由于直線與交于點(diǎn)，可知（對(duì)頂角相等），再加上條件，根據(jù)“”有，從而，即測(cè)得的長(zhǎng)就是兩點(diǎn)間的距離．綜合創(chuàng)新14．（1）圖略；（2）略；（3）理由略15．（1）小敏的推理不正確．正確推理略（2）條件為或．證明略．（3）要判斷兩個(gè)三角形全等，不可缺少的元素是邊，至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等中考鏈接16．B17．1618．證明：是的中點(diǎn)在和中， 19．解：，理由如下： 是的中點(diǎn)．． 又， ． ．20．解：．證明：在和中，由，得．所以．故． 11.2三角形全等的條件(一)名師導(dǎo)航：1、本課重點(diǎn)是探索三角形全等的條件(SSS),以及利用這個(gè)公理判定兩個(gè)三角形全等.由于這個(gè)判定方法是作為基本事實(shí)（公理）提出的，一定要通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖實(shí)驗(yàn)，以對(duì)這個(gè)公理確信無(wú)疑，這樣印象才能深刻．2、本課難點(diǎn)是學(xué)會(huì)運(yùn)用邊邊邊條件證明兩個(gè)三角形全等，特別是把證明過(guò)程規(guī)范的表達(dá)出來(lái)．典例精析例題(2007年湖南張家界，改編)如圖，在四邊形中，AB=DB，AC=DC，請(qǐng)問(wèn)∠A和∠D相等嗎？若相等，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路點(diǎn)撥：要看∠A和∠D是否相等，可看△ABC和△DBC是否全等，又已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，可考慮是否第三邊對(duì)應(yīng)相等．解析：∵在△ABC和△DBC中，∴△ABC≌△DBC（SSS）．∴∠A=∠D．規(guī)律總結(jié)：全等三角形是證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等或兩條直線平行的常用方法，要注意書(shū)寫全等時(shí)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)應(yīng)該寫在對(duì)應(yīng)的位置．跟蹤訓(xùn)練：1.如圖，中，，，則由“”可以判定（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．以上答案都不對(duì)2.如圖，是等邊三角形，若在它邊上的一點(diǎn)與這邊所對(duì)角的頂點(diǎn)的連線恰好將分成兩個(gè)全等三角形，則這樣的點(diǎn)共有（）Ａ．1個(gè) Ｂ．3個(gè) Ｃ．6個(gè) Ｄ．9個(gè)3．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）Ａ．全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊Ｂ．全等三角形兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角Ｃ．全等三角形是一種特殊三角形Ｄ．如果兩個(gè)三角形都與另一個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形也全等4.小明用四根竹棒扎成如圖所示的風(fēng)箏框架，已知，，下列判斷不正確的是（）．．(第4題)(第5題)(第6題)A．B．C．D．5.如圖，中，，，，則________，__________．6.如圖，，，，找出圖中的一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明你的理由．8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到△ADE，則∠BAE的度數(shù)為_(kāi)_________．9.如圖，AB=DE，AC=DF，BF=EC，△ABC和△DEF全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．10.如圖，在中，，分別為上的點(diǎn)，且，，．求證：．參考答案1.Ｂ2.Ｂ3．C4．D6.，7.答案不惟一．如．理由：根據(jù)“”即，，．8．100°9.要想知道△ABC和△DEF是否全等，由題意得AB=DE，AC=DF，雖然還有BF=EC，但卻不是這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，結(jié)合圖形，不難由BF=EC得到BC=EF．解：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC（等量加等量，和相等）．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．10.在和中，11.2三角形全等的條件思維啟動(dòng)我們知道，自行車都做成三角形結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性．問(wèn)題：三角形的穩(wěn)定性說(shuō)明了什么？綜合探究探究一證明三角形全等的方法11．2三角形全等的條件自測(cè)題夯實(shí)基礎(chǔ)一、耐心選一選，你會(huì)開(kāi)心（每題6分，共30分）1．在△△中，已知，，要判定這兩個(gè)三角形全等，還需要條件()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如圖6，AB＝DB，BC＝BE，欲證△ABE≌△DBC，則需補(bǔ)充的條件是（）12A．∠A＝∠D12B．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠23．如圖，AB＝DB，BC＝BE，欲證△ABC≌△DBC，則需補(bǔ)充的條件是（）Ａ．∠A＝∠DＢ．∠E＝∠CＣ．∠A＝∠CＤ．∠1＝∠24．如果兩個(gè)三角形有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等，那么它們第三邊所對(duì)的角的關(guān)系是（）A．相等 B．互補(bǔ) C．互余 D．相等或互補(bǔ)5．如圖5，已知：∠1＝∠2，要證明△ABC≌△ADE，還需補(bǔ)充的條件是（）A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DEC．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不對(duì)二、精心填一填，你會(huì)輕松（每題6分，共30分）6．△ABC和中，若，，則需要補(bǔ)充條件可得到△ABC≌．7．如圖3所示，AB、CD相交于O，且AO＝OB，觀察圖形，明顯有，只需補(bǔ)充條件，則有△AOC≌△（ASA）．8．如圖5，在△ABC中，∠BAC＝60°，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到△ADE，則∠BAE的度數(shù)為．ＡＢＣabcba甲ＡＢＣabcba甲cb乙a丙10．如圖3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和AC的垂線AX上移動(dòng)，則當(dāng)AP＝時(shí)，才能使△ABC和△APQ全等．三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）11．如圖，相交于點(diǎn)，你能找出兩對(duì)全等的三角形嗎？你能說(shuō)明其中的道理嗎？12．如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①、②、③、④、⑤．ABABCED已知：求證：證明： 13．如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，可以在的垂線上取兩點(diǎn)，使，再定出的垂線，使在一條直線上，這時(shí)測(cè)得的的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，為什么？綜合創(chuàng)新14．飛翔建筑公司在擴(kuò)建二汽修建廠房時(shí)，在一空地上發(fā)現(xiàn)有一個(gè)較大的圓形土丘，經(jīng)分析判斷很可能是一座王儲(chǔ)陵墓，由于條件限制，無(wú)法直接度量A、B兩點(diǎn)間的距離，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，按以下要求設(shè)計(jì)測(cè)量方案．（1）畫(huà)出測(cè)量方案；（2）寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）；（3）計(jì)算AB的距離（寫出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）．15．小明、小敏兩人一起做數(shù)學(xué)作業(yè)，小敏把題讀到如圖8（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC時(shí)，還沒(méi)把題讀完，就說(shuō)：“這題一定是求證∠B＝∠C，也太容易了．”她的證法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC＝∠AEB＝90°，公共角∠DAC＝∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠B＝∠C．小明說(shuō)：“小敏你錯(cuò)了，你未弄清本題的條件和結(jié)論，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC＝∠BAE，你的推理也是錯(cuò)誤的．看我畫(huà)的圖8（2），顯然△DAC與△EAB是不全等的．再說(shuō)本題不是要證明∠B＝∠C，而是要證明BE＝CD．”（1）根據(jù)小敏所讀的題，判斷“∠B＝∠C”對(duì)嗎？她的推理對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)做出正確的推理．（2）根據(jù)小明說(shuō)的，要證明BE＝CD，必然是小敏丟了題中條件，請(qǐng)你把小敏丟的條件找回來(lái)，并根據(jù)找出的條件，你做出判斷BE＝CD的正確推理．（3）要判斷三角形全等，從這個(gè)問(wèn)題中你得到了什么啟發(fā)？ＡDＡDFCBE16．（2007天津）下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等17．（2006宿遷）如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料摸板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．則四邊形的面積是．18．（2007福建泉州）已知：如圖，是的中點(diǎn)，，．ABCDABCDE1219．（2007湖北武漢）你一定玩過(guò)蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱與地面垂直．當(dāng)一方著地時(shí)，另一方上升到最高點(diǎn)．問(wèn)：在上下轉(zhuǎn)動(dòng)橫板的過(guò)程中，兩人上升的最大高度，有何數(shù)量關(guān)系？為什么？AACBO20．（2007江西南昌）如圖，在中，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，與有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．AADBCFE參考答案夯實(shí)基礎(chǔ)1．C2．D3．D4．D 5．C6．略（答案不惟一） 7．，8．9．乙和丙10．或11．事實(shí)上有四對(duì)全等的三角形．理由分別是：的理由：“角邊角”，即的理由．“邊角邊”，即的理由：“邊角邊”．即的理由：“邊角邊”．即12．情況一：已知：求證：（或或）證明：在△和△中△△即．情況二：已知：求證：（或或）證明：在△和△中，△△．13．由，，可得，又由于直線與交于點(diǎn)，可知（對(duì)頂角相等），再加上條件，根據(jù)“”有，從而，即測(cè)得的長(zhǎng)就是兩點(diǎn)間的距離．綜合創(chuàng)新14．（1）圖略；（2）略；（3）理由略15．（1）小敏的推理不正確．正確推理略（2）條件為或．證明略．（3）要判斷兩個(gè)三角形全等，不可缺少的元素是邊，至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等中考鏈接16．B17．1618．證明：是的中點(diǎn)在和中， 19．解：，理由如下： 是的中點(diǎn)．． 又， ． ．20．解：．證明：在和中，由，得．所以．故． 圖11．如圖1，分別求出∠B和∠DFE．圖1_____________________________________________________________________________________________________．2．可以證明出△ABC和△EDF哪些元素對(duì)應(yīng)相等？_________________________________________．3．討論總結(jié)：用什么判定方法可以說(shuō)明△ABC和△EDF全等？__________________________________________________________________________．答案：1．∠B＝180―∠A―∠ACB＝180―25―85＝70，∠DFE＝180―∠D―∠E＝180―70―25＝85．2．∠A＝∠E，∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD，AC＝EF．3．ASA、AAS圖2探究二利用三角形全等證明角相等圖2如圖2，已知AB＝DC，AC＝DB．1．____________________________________________________．2．連結(jié)AD，你還能得到哪兩個(gè)三角形全等？___________________________________________________．3．由此你能得到△ABE和△DCE哪些角相等？_________________________________________________________________________．4．討論總結(jié)：怎樣設(shè)計(jì)證明∠A＝∠D的思路？_________________________________________________________________________．答案：1．△ABC≌△DCB，SSS．2．△ABD≌△DCA．3．∠ABE＝∠DCE，∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC．4．要證∠A＝∠D，需要證明包含∠A、∠D的兩個(gè)△ABC、△DCB全等．圖3探究三利用三角形全等證明線段相等圖3如圖3，B是線段AC的中點(diǎn)，DB＝EB，∠EBA＝∠DBC．1．已知△ABD和△CBE中哪些對(duì)應(yīng)元素相等？__________________________________________________．2．△ABD和△CBE中還有哪對(duì)元素相等？為什么？__________________________________________________．3．△ABD和△CBE全等嗎？依據(jù)是什么？__________________________________________________．4．討論總結(jié)：設(shè)計(jì)證明AD＝EB的思路．________________________________________________________________________．答案：1．AB＝CB，DB＝EB．2．∵∠EBA＝∠DBC，∴∠EBA＋∠EBD＝∠DBC＋∠EBD，即∠ABD＝∠CBE．3．△ABD≌△CBE，依據(jù)是SAS．4．要證明AD＝EB，需要證明包含AD、EB的兩個(gè)△ABD、△CBE全等．探究四利用三角形全等證明兩直線平行如圖4，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．圖41．由AB∥DE可得△ABC和△DEF中哪對(duì)元素相等？怎么證明？圖4___________________________________________________．2．由BE＝CF可得△ABC和△DEF中哪對(duì)元素相等？怎么證明？__________________________________________________．3．你能證明△ABC與△DEF全等嗎？_________________________________________________________________________．4．討論總結(jié)：請(qǐng)你說(shuō)明AC∥DF的思路．_________________________________________________________________________．答案：1．∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF．2．∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF．3．∵AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF．4．要證AC∥DF，需證∠ACB＝∠F，進(jìn)而要證明△ABC≌△DEF．圖5探究五利用三角形全等證明兩直線垂直圖5如圖5，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．求證：AF⊥CD．1．由AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED可以得到哪兩個(gè)三角形全等，依據(jù)是什么？___________________________________________________．2．要證AF⊥CD，可以證明哪兩個(gè)角相等？__________________________________________________________________________．3．要證2中的兩個(gè)角相等，需要證明哪兩個(gè)三角形全等？__________________________________________________________________________．4．如何證明3中的兩個(gè)三角形全等？依據(jù)是什么？__________________________________________________________________________．5．討論總結(jié)：請(qǐng)你說(shuō)明如何利用三角形全等證明兩線垂直．__________________________________________________________________________．答案：1．△ABC≌△AED，SAS．2．∠AFC＝∠AFD．3．△ACF≌△ADF．4．連結(jié)AC、AD，∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，∴△ABC≌△AED．∴AC＝AD．∵AF＝AF，CF＝DF，∴△ACF≌△ADF．SSS．5．可以證明兩直線相交所成的兩個(gè)角相等，進(jìn)而證明這兩個(gè)角所在的三角形全等．探究六網(wǎng)格中的全等三角形1．如圖6，方格紙中△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)你在圖中再畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形頂上的△DEF，使△DEF≌△ABC．圖62．討論總結(jié)：說(shuō)說(shuō)你畫(huà)圖的思路．__________________________________________________________________________．答案：1．如圖7所示：圖72．略．圖8探究七全等三角形的實(shí)際應(yīng)用圖8如圖8，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃不小打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么應(yīng)該帶哪些玻璃去呢？1．任意一個(gè)三角形都有六個(gè)元素，即三條邊和三個(gè)角．如果帶去三塊到玻璃店，帶去了三角形的幾個(gè)元素？能不能配成一塊完全一樣的玻璃？_______________________________________________________________________．2．帶去①②兩塊，帶去了幾個(gè)元素？能不能配成一塊完全一樣的玻璃？_______________________________________________________________________．3．帶去①③兩塊，帶去了幾個(gè)元素？能不能配成一塊完全一樣的玻璃？_______________________________________________________________________．4．帶去②③兩塊，帶去了幾個(gè)元素？能不能配成一塊完全一樣的玻璃？_______________________________________________________________________．5．分別帶去①、②、③一塊，都帶去了幾個(gè)元素？能不能配成一塊完全一樣的玻璃？_______________________________________________________________________．6．討論總結(jié)：用數(shù)學(xué)理論解釋上面的配玻璃事實(shí)．_______________________________________________________________________．答案：1．6，能．2．1，不能．3．3，能．4．3，能．5．帶①帶去了一個(gè)角，不能；帶②帶去了一個(gè)角，不能；帶③帶去了角邊角三個(gè)元素，能．6．有兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．探究八構(gòu)造全等三角形——中線加倍構(gòu)造法如圖9，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC邊上的中線，求AD的取值范圍．圖9圖101．要想求AD的取值范圍，聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系定理，必須設(shè)法把AB、AC、AD或與之有數(shù)量關(guān)系的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去．因此要作什么樣的輔助線？__________________________________________________________________．2．討論總結(jié)：AD的取值范圍是什么？為什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．如圖10，延長(zhǎng)AD到H，使DH＝AD，連結(jié)BH．2．2＜AD＜10．理由：∵BD＝CD，AD＝HD，∠CDA＝∠BDH，∴△ACD≌△HBD．∴AC＝BH＝8．在△ABH中，12－8＜AH＜12＋8，4＜2AD＜20，∴2＜AD＜10．探究九構(gòu)造全等三角形——截長(zhǎng)補(bǔ)短法如圖11，AC＝BC，∠ACB＝90，AD平分∠CAB．求證：AC＋CD＝AB．圖11圖12圖131．補(bǔ)短法：如圖12，要證AC＋CD＝AB，可延長(zhǎng)AC到E，使_____________，連結(jié)DE，設(shè)法證明_______________，從證明___________和___________全等入手．2．討論總結(jié)：用補(bǔ)短法如何證明AC＋CD＝AB？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．截長(zhǎng)法：如圖13，本題也可以在AB上截取____________，設(shè)法證明____________，可能過(guò)證明__________和___________全等入手．4．討論總結(jié)：用截長(zhǎng)法如何證明AC＋CD＝AB？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．CE＝CD，AB＝AE，△ADE，△ADB．2．延長(zhǎng)AC到E，使CE＝CD，連結(jié)DE．∵∠ACB＝90，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45．又∵∠DCE＝180－90＝90，CE＝CD，∴∠E＝∠EDC＝45，∴∠E＝∠B．∵AD平分∠CAB，∴∠BAD＝∠EAD．∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED．∴AB＝AE，而AE＝AC＋CE，CE＝CD，∴AC＋CD＝AB．3．AF＝AC，F(xiàn)B＝CD，△ACD，△AFD．4．在AB上截取AF＝AC，連結(jié)DF．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠FAD．∵AD＝AD，∴△ACD≌△AFD．∴CD＝DF．∵∠ACB＝90，BC＝AC，∴∠B＝∠BAC＝45．又∠AFD＝∠ACD＝90，∴∠FDB＝45，∴BF＝DF，而DF＝CD，∴BF＝CD，∴AB＝AF＋BF＝AC＋CD，即AC＋CD＝AB．隨堂反饋1．如圖，如果OA＝OC，OB＝OD，那么△AOB≌△COD，其全等的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL（第1題）（第2題）2．如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，還需要添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF3．如圖，點(diǎn)D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝EF，F(xiàn)C∥AB，若BD＝2，CF＝5，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B．3 C．5 D．7（第3題）（第4題）（第5題）4