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文檔簡介
第07講提公因式法分解因式
01學(xué)習目標
k
課程標準學(xué)習目標
1.掌握因式分解的概念,并能夠熟練的判斷式子因式分解變形是否正確。
①因式分解的概念
2.掌握公因式的概念以及提公因式分解因式的方法,并能快速判斷多項
②提公因式法分解因式
式的公因式以及根據(jù)方法準確無誤的進行分解。
02思維導(dǎo)圖
L
分熔因式的徽念
03知識清單
知識點01因式分解的概念
1.分解因式的概念:
把一個多項式寫成幾個整式的積的形式,這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解,也
叫做把這個多項式分解因式。與整式的乘法互為逆運算。
(整式的乘法)>(因式分解)
m(a+b+c)—〃也+mb+mc―+Z?+c)
左邊是一個多項式,右邊是幾個整式的積的形式,即右邊的加減號必須在括號內(nèi)。且左右兩邊必須相
等。
【即學(xué)即練1】
1.下列等式從左到右的變形,屬于因式分解的是()
A.x(x+1)—x2+xB.(cz+Z?)(a-b)—cr-b2
C.7+4x+4=(x+2)2D.x+l=x(lJ)
【分析】根據(jù)因式分解的意義進行判斷即可.
【解答】解:A.x(x+1)=/+x是整式的乘法,故A不是因式分解;
B.(a+b)(a-/?)=/-必是整式的乘法,故6不是因式分解;
C.X2+4X+4=(X+2)2是因式分解,故C正確;
D.x+l=x(1+1)把一個多項式化為幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也
X
叫做分解因式,右邊1+工不是整式,故。不是因式分解;
X
故選:C.
【即學(xué)即練2】
2.把/+5%+c分解因式,得(x+2)(x+3),則c的值=6.
【分析】本題可先將(1+2)G+3)化簡,得出一個二次多項式,再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等可得c的值.
【角軍答】解:(x+2)(x+3),
=/+2x+3x+6,
=/+5x+6,
又f+5x+6=(x+2)(x+3),
所以c=6.
知識點02提公因式法分解因式
1.公因式的概念:
多項式中各項都有的因式叫做這個多項式的公因式。如多項式加a+〃歷+mc,各項都有一
個公因式—上則它就是這個多項式的公因式。
2.公因式的求法:
公因式=系數(shù)的最大公約數(shù)義相同字母(式子)的最低次上。若多項式首項為負號,則公因
式為負。
3.多項式提取公因式后的另一個因式的求法:
多項式提取公因式后,另一個因式=多項式的每一項+公因式。
4.提公因式分解因式:
一般地,如果多項式的各項都有公因式,可以把這個公因式提取出來,將多項式寫成公因式
與另一個因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。
【即學(xué)即練1】
3.將多項式-61/-3/廿+12/63分解因式時,應(yīng)提取的公因式是()
A.-3a1?B.-3abC.-3a2bD.-3//
【分析】在找公因式時,一找系數(shù)的最大公約數(shù),二找相同字母的最低次累.同時注意首項系數(shù)通常要
變成正數(shù).
【解答】解:系數(shù)最大公約數(shù)是-3,
相同字母的最低指數(shù)次塞是/、b2,
應(yīng)提取的公因式是-3a2店.
故選:A.
【即學(xué)即練2】
4.多項式27-4孫+2x提取公因式2天后,另一個因式為x-2y+l
【分析】直接提取公因式2x,進而分解因式得出答案.
【解答】解:2X2-4xy+2x=2x(x-2y+l).
故答案為:尤-2y+l.
【即學(xué)即練3】
5.把下列各式因式分解:
(1)-20a-15ax;
(2)-4a3b3+6a2b-2ab;
(3)-l0a2bc+l5bc2-20ab2c.
【分析】利用提取公因式法直接分解因式即可.
【解答】解:(1)-20a-15ox
=-5a(4+3x);
(2)-4cr'b3+6cTb-lab
--2ab(Icrtr-3a+l);
(3)-10/%。+156c2-20ab2c
=-5bc(2a2-3c+4ab).
題型精講
題型01判斷因式分解的變形
【典例1】下列等式中,從左向右的變形為因式分解的是()
A.尤③-左=尤(%-1)(尤+1)B.a2(a-1)—a3-a2
C.cr-2a-Y—a(a-2)-1D.(a-3)(a+3)—a^-9
【分析】根據(jù)因式分解的意義判斷即可.
【解答】解:A從左向右的變形為因式分解,
符合題意;
BD從右向左的變形為因式分解,
.??BD不符合題意;
C沒有把一個多項式化為幾個整式的積的形式,
不符合題意.
故選:A.
【變式1】下列等式從左到右的變形中,屬于因式分解的是()
A.x2-4+4x=(x+2)(x-2)+4x
B.(x+3)(x-1)=X2+2X-3
C.x2-6x=x(x-6)
D.〃(x-y)=ax-ay
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項判斷即可.
【解答】解:A./-4+以=(x+2)(x-2)+4x,等式右邊不是幾個整式的積的形式,不是因式分解,
不符合題意;
B.(x+3)(x-1)=X2+2X-3,是整式乘法,不是因式分解,不符合題意;
C.x2-6x=x(x-6),符合因式分解的定義,是因式分解,符合題意;
D.a(x-y)=ax-ay,是整式乘法,不是因式分解,不符合題意;
故選:C.
【變式2】下列變形是因式分解的是()
A.x(x+1)=f+xB.X2+2X+1=(X+1)2
C.x2+xy-3=x(x+y)-3D./+6x+4=(x+3)2-5
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,可得答案.
【解答】解:A、是整式的乘法,故A錯誤;
5、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,故5正確;
C、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,故C錯誤;
。、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式,故。錯誤;
故選:B.
【變式3】下列等式從左到右的變形,屬于因式分解的是()
A.x2-y2=(x+y)(X-y')B.X2-1=(X-1)2
C.(x-2)(x-3)=/-51+6D.x2-5x+6=x(x-5)+6
【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做分解因
式,據(jù)此逐項判斷即可.
【解答】解:/72=(Ay)(X-y)符合因式分解的定義,則A符合題意;
1X2-1W(X-1)2,則5不符合題意;
(x-2)(x-3)-5x+6是乘法運算,則C不符合題意;
x2-5x+6=x(x-5)+6中等號右邊不是積的形式,則D不符合題意;
故選:A.
題型02利用因式分解的變形求值
【典例1]若W+mx-18能分解為(x-9)(x+〃),那么相、〃的值是()
A.7、2B.-7、2C.-7、-2D.7、-2
【分析】將分解因式的結(jié)果利用多項式乘以多項式法則計算,合并后根據(jù)多項式相等的條件即可求出m
與〃的值.
【解答】解:根據(jù)題意得:J?+mx-18=(x-9)(x+〃)=/+(w-9)x-9n,
,\m=n-9,-18=-9n,
解得:m--7,n—2.
故選:B.
【變式1】已知在爐+:依-16=(x+a)(x+b)中,a,%為整數(shù),能使這個因式分解過程成立的初值的個
數(shù)有()
A.4個B.5個C.8個D.10個
【分析】-16=-1X16=-2X8=-4X4=4X(-4)=2X(-8)=1X(-16)=a義b,m=a+b,
m的取值有五種可能.
【解答】解:V-16=-1X16=-2X8=-4X4=4X(-4)=2義(-8)=1X(-16)=aXb,
.力〃=。+6=-1+16或-2+8或-4+4或4+(-4)或2+(-8)或1+(-16),
即m=±15或±6或0.
則用的可能值的個數(shù)為5,
故選:B.
【變式2】已知多項式o^+bx+c分解因式后結(jié)果2(尤-3)(x+1),則6,c的值為()
A.b—3,c--1B.b=-6,c=2C.b--6,c=-4D.b--4,c=-6
【分析】首先把2(x-3)(x+1),利用整式的乘法計算得出結(jié)果,與多項式—+a+c的每一項相對應(yīng),
求出a、b、c的數(shù)值即可.
【解答】解:2(x-3)(x+1)
=2(x2-2x-3)
=27-4x-6,
a^+bx+c—Tx2-4尤-6
所以a=2,b=-4,c=-6.
故選:
【變式3】若將多項式2?-/+m進行因式分解后,有一個因式是x+1,則7〃的值為3.
【分析】由多項式2?-7+根進行因式分解后,有一個因式是尤+1,可得當x=-l時,多項式=0,從
而得出一個關(guān)于m的方程式,解得即可.
【解答】解:?..多項式2笳-/+小進行因式分解后,有一個因式是x+i,
當x=-1時,2丁-x2+m=0,
即2義(-1)3-(-1)2+rn=0,
解得m=3.
故答案為:3.
【變式4】多項式2x2-13尤+6中,有一個因式為(了一5),則b的值為()
A.-15B.-3C.15D.3
【分析】設(shè)另一個因式為(2彳+機),根據(jù)因式分解的意義計算(尤-5)(2x+m)后即可求得答案.
【解答】解:設(shè)另一個因式為(2x+m),
貝!J(x-5)(2x+m)=22-13x+。,
整理得:2f+(m-10)x-5m=2x2-13x+。,
貝ljm-10=-13,b=-5m,
那么m=-3,Z?=15,
故選:C.
題型03求多項式的公因式
【典例1】在多項式8a3廬-4a3品中,各項的公因式是()
A.cc'bB.4a%C.4cz3D.-a3
【分析】利用公因式的確定方法可得答案.
【解答】解:這兩項系數(shù)的最大公約數(shù)是4,兩項的字母部分//與/兒都含有字母a和b,其中a
的最低次數(shù)是3,6的最低次數(shù)是1,因此多項式8/廬-4/兒中各項的公因式是4/乩
故選:B.
【變式1】多項式-8fyz4+12x4y2z3的公因式是()
244322
A.4?yzB.-8?yzC.12%/2D.4XJZ
【分析】根據(jù)找公因式的規(guī)律找出即可.
【解答】解:多項式dyz2-S^yz^lTx^z3的公因式是4x2yz2.
故選:D.
【變式2]多項式2Wy"7-4/-V(m,n均為大于1的整數(shù))各項的公因式是()
A.4/一1”一1B.C.2^ynD.4^/
【分析】直接利用公因式的定義進而得出各項的公因式.
【解答】解:多項式2/y”1-4”、"(如〃均為大于1的整數(shù))各項的公因式是:
故選:B.
【變式3]若A=10/+3啟-5a+5,B=cr+3b2-8a+5,則A-8的值與-91d的公因式為()
A.aB.-3C.943b2D.3a
【分析】根據(jù)合并同類項,可化簡整式,根據(jù)公因式是每項都含有的因式,可得答案.
【解答】解:A-B=9a2+3a,
A-B的值與-9a3戶的公因式為3a,
故選:D.
題型04求多項式提取公因式后的式子
【典例1】把多項式-lab-14abx+49aby分解因式,提公因式-lab后,另一個因式是()
A.l+2x-7yB.1-2x-7yC.-l+2x+2yD.-1-2x+7y
【分析】-lab-I4abx+49aby的公因式為-lab,提取公因式后化簡即可.
【解答】解:~lab-l^abx+^9aby
=-lab(1+2%-7y).
故選:A.
【變式1】把5(a-b)+m(。-〃)提公因式后一個因式是(。"),則另一個因式是(
A.5-mB.5+mC.m-5D.-m-5
【分析】根據(jù)提公因式,可得答案.
【解答】解:原式=5(.a-/?)-m(a-b)=(a-b)(5-m),
另一個因式是(5-m),
故選:A.
【變式2】把多項式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式m-1后,另一個因式為(
A.m+1B.2mC.2D.m+2
【分析】利用提公因式法,進行分解即可解答.
【解答】解:(m+1)(m-1)+(m-1)
=(m-1)(m+1+1)
=(m-1)(m+2),
所以,把多項式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式根-1后,另一個因式為(m+2),
故選:£).
【變式3】多項式X2>(〃-b)-xy(b-a)+y(a-b)提公因式后,另一個因式為()
A.x2-x+1B.x2+x+lC.x2-x-1D.x2+x-1
【分析】根據(jù)提公因式,可得答案.
【解答】解:原式=(。-。)y(7+x+l),
公因式是(〃-b)y,
故選:B.
題型05提公因式法分解因式
【典例1]分解因式:2/d-3/曲=/2(24-3)
【分析】提公因式即可解答.
【解答】解:原式=。2戶(2a-3).
故答案為:苑(2a-3).
【變式11把下列各式分解因式:
(1)-8a3Z?2+6t7Z?3c;
(2)x(x-y)~-y(y-尤).
【分析】(1)提取公因式-2裙2分解因式即可;
(2)提取公因式(尤-y)分解因式即可.
【解答】解:(1)原式=-2〃廬(4。2-3反);
(2)原式=(x-y)[x(x-y)+y]
=(x-y)(x2-孫+y).
【變式2】因式分解:
(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z.
(2)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
【分析】(1)利用提公因式法因式分解即可;
(2)利用提公因式法因式分解即可.
【解答】解:(1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z=4xy2(xy+2xz-3z);
(2)5x(%-2y)3-20y(2y-x)3
=5x(x-2j)3+20yG-2y)3
=5(x-2y)3(x+4y).
【變式3】把下列各式因式分解:
(1)(x-y)2+(y-x){
(2)ab(3x-y)+ac(y-3x)-ad(y-3x).
【分析】(1)直接利用提取公因式法提取公因式(x-y)2,即可得到答案;
(2)直接利用提取公因式法提取公因式〃(3x-y),即可得到答案.
【解答】解:(1)(x-y)2+(yr)3
=(X-y)2+(y-x)2.()一%)
=(x-y)2+(x-y)2.(y-x)
=(x-y)2[1+(y-x)]
=(x-y)2(1-x+y);
(2)ab(3x-y)+ac(y-3%)-ad(y-3x)
—ab(31-y)-ac(3%-y)+ad(3x-y)
=a(3%-y)(Z?-c+d).
05強化訓(xùn)練
i.下列各式中,從左到右的變形是因式分解的是()
A./+2x+l=x(x+2)+1B.a(2。-46)=2a2-4ab
C.x(x+2y)=x2+2xyD.x2-2xy=x(x-2y)
【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也叫做分解因
式,據(jù)此逐項判斷即可.
【解答】解:f+2x+l=x(x+2)+1中等號右邊不是積的形式,則A不符合題意;
a(2.-4。)=2/-4ab是乘法運算,則8不符合題意;
x(x+2y)=/+2盯是乘法運算,則。不符合題意;
7-2孫=%(x-2y)符合因式分解的定義,則。符合題意;
故選:D.
2.多項式-8的3+12孫?z3-240次的公因式是()
A.-xyzB.-4x3y3z3C.-4xyzD.-x3,y3z3
【分析】根據(jù)多項式的公因式的確定方法,即可求解.
232332
【解答】解:多項式-8xyz+12xyz-24xyz的公因式是-4xyzf
故選:C.
3.已知多項式2x2+析+。分解因式為2(x-3)(x+1),則b、c的值為()
A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積,可得答案.
【解答】解:由多項式2/+fec+c分解因式為2(x-3)(x+1),得
2j^+bx+c=2(x-3)(x+1)-4x-6.
b--4,c--6,
故選:D.
4.已知關(guān)于x的二次三項式%2+7%+〃有一個因式為(%+5),則〃的值為()
A.-18B.2C.10D.12
【分析】設(shè)另一個因式為x+m,則%2+7%+孔=(x+m)(x+5),根據(jù)多項式乘以多項式法則展開,即可得
出答案.
【解答】解:設(shè)另一個因式為X+M,
貝!J/+7%+y=(x+m)(x+5),
而(x+m)(x+5)=W+(5+m)x+5m,
所以5+m=7,
解得:m=2,
幾=5X2=10,
故選:C.
5.如圖,長寬分別為。、匕的長方形周長為16,面積為12,則〃2計必2的值為()
b
<a
A.80B.96C.192D.240
【分析】根據(jù)題意得出〃+。=8,"=12,然后將整式因式分解化簡,整體代入求解即可
【解答】解:???邊長為小。的長方形周長為16,面積為12,
a+b=8,ab=12,
=ab(〃+。)
=12X8
=96.
故選:B.
6.若(x+y)3-xy(x+y)=(x+yWO),則M是()
A.f+y2B.x2-xy+y2C.x2-3xy+y2D./+孫+9
【分析】運用提公因式法將等式左邊的多項式進行因式分解即可求解.
【解答】解:(%+》)3-孫(%+y)
=(x+y)[(x+9-xy]
=(%+>)(/+孫+》2)
*.*(x+y)3-xy(x+y)=(x+j)*M(x+yWO),
.\M=j?+xy+y1,
故選:D.
7.如果q-b=3,ab=7,那么〃28-〃房的值是()
A.-21B.-10C.21D.10
【分析】首先分解因式,再代入求值即可.
【解答】解:c^b-ab2=ab(〃-。)=7X3=21,
故選:C.
8.計算(-5)2。13+(-5)2。14的結(jié)果是()
A.4X52013B.-5C.-4X52013D.-4
【分析】先將原算式變式后,運用提公因式因式分解法進行求解.
【解答】解:(-5)2013+(_5)2014
__2013^2014
=5X52013_52013
=52013X(5-1)
=4X52013,
故選:A.
9.已知a-b=5,b-c=-6,則代數(shù)式a2-ac-b(a-c)的值為()
A.-30B.30C.-5D.-6
【分析】將代數(shù)式進行因式分解,再利用整體代入法求值即可.
【解答】解::a-。=5,b-c=-6,
a-c--1,
cr-ac-bCa-c)
=a(〃-c)-b(a-c)
—(q-c)(〃-b)
=5X(-1)
-5;
故選:c.
10.計算l-a-a(l-a)-a(l-a)2-a(l-°)3-…-a(i-a)20i3_[(]_q)2014-3]的結(jié)果為()
A.3B.1
C.(1-a)2015D.(1-a)2°i5+3
【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案.
【解答】解:1-。-。(1-a)-a(1_a)"-a(l_cz)~-a(1_a)2013_[(1_a)""4-3]
—1-a~a(1-fl)-a(1-cz)~-a(1_a)-a(1-cz)-(1-a)^^+3
=(1-a)2-。(1-a)2-a(1-a)-a(1-a)-(1-o)2014+3
=(1-a)2013-?(l-?)2013-(l-?)2014+3
=(l-?)2014-(1-a)2014+3
=3.
故選:A.
11.單項式1202b2與9/6的公因式是3fb.
【分析】根據(jù)公因式的定義,找出系數(shù)的最大公約數(shù),相同字母的最低指數(shù)次累,即可確定公因式.
【解答】解:12和9的最大公因數(shù)為3,取相同字母的最低指數(shù)次幕得到
12/廿與9a3b的公因式為301b.
故答案為:301b.
12.請你寫出一個整式A,使得多項式7+4能因式分解,這個整式A可以是xy(答案不唯一).
【分析】根據(jù)因式分解的定義解答即可.
【解答】解:這個整式A可以是:孫(答案不唯一).
故答案為:孫(答案不唯一).
13.計算:20232-2023X2022=2023.
【分析】運用提公因式法進行簡便運算.
【解答】解:20232-2023X2022
=2023X(2023-2022)
=2023X1
=2023.
故答案為:2023.
14.(1)若關(guān)于尤的二次三項式/+日+》因式分解為(x-1)(尤-3),則k+b的值為-1.
(2)若/-4x+/"=(x-2)(x+〃),m=4,n=-2.
【分析】(1)根據(jù)已知得出算式b=-IX(-3),左=7+(-3),求出即可.
(2)根據(jù)已知得出等式-4=-2+〃,-2%求出即可.
【解答】解:(1):/+日+6因式分解為(x-1)(x-3),
:,b=-IX(-3)=3,k—-1+(-3)=-4,
.??女+。=3+(-4)=-1,
故答案為:-1.
(2)*.*x2-4x+m=(x-2)(x+〃),
-4—-2+〃,m=~2n,
m=4,n--2,
故答案為:4,-2.
15.已知x+y=10,xy=l,則代數(shù)式/y+x/的值為10.
【分析】將所求代數(shù)式適當變形后整體代入x+y=10,xy=l即可求解.
【解答】解:??“+》=10,xy=\,
?'?x^y+xy2
=xy(x+y)
=1X10
=10.
16.分解因式:
(1)6m2n-15n2m+30m2?2
(2)x(x-y)2-y(x-y)
【分析】(1)先確定公因式是3m小然后提取公因式即可.
(1)先確定公因式是(x-y),然后提取公因式并整理即可.
【解答】解:(1)6m2n-15n2m+30m2n2=3mH(2m-5n+10mn);
(2)x(x-y)2-y(x-y)=(x-y)(x2-xy-y).
17.簡便計算:
①1.992+1.99X0.01
②20132+2013-20142.
【分析】①直接提取公因式1.99,進而求出答案;
②將前兩項提取公因式2013,進而分解因式得出答案.
【解答】解:①1.992+1.99X0.01
=1.99X(1.99+0.01)
=3.98;
②20132+2013-20142
=2013[(2013+1)]-20142
=2013X2014-20142
=2014X(2013-2014)
=-2014.
18.已知:a+b=3,ab=2,求下列各式的值:
(1)a^b+ab2;
(2)?2+Z?2.
【分析】(1)把代數(shù)式提取公因式而后把〃+。=3,"=2整體代入求解;
(2)利用完全平方公式把代數(shù)式化為己知的形式求解.
【解答】解:(1)a2b+ab2=ab(a+6)=2X3=6;
(2)(a+6)2-2+2"+房
.".ai+b2=(a+6)2-2ab,
=32-2X2,
=5.
19.先閱讀下面的內(nèi)容,再解決問題.
如果一個整式A等于整式3與整式。之積,則稱整式B和整式C為整式A的因式.
如:①因為36=4X9,所以4和9是36的因數(shù);
因為了一元一2=(x+1)(%-2),所以1+1和%-2是f-x-2的因式.
②若x+1是/+QX-2的因式,則求常數(shù)a的值的過程如下:
解:是?+依-2的因式
;?存在一個整式(mx+幾),使得/
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