中考數(shù)學專項復習：全等三角形（解析版）

專題02全等三角形

考H點H聚H焦

?思維導圖

全等形

?核心考點聚焦

1、全等圖形

2、全等三角形的性質

3、全等三角形的判定方法

4、添加條件使三角形全等

5、全等三角形的應用

6、全等三角形與動點問題

7、角平分線的性質與判定

8、倍長中線模型

9、證明線段和差問題

10、常見的輔助線

一、全等三角形的定義和基本性質

1.基本定義

(1)全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

(2)全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

(3)對應頂點：全等三角形中互相重合的頂點叫做對應頂點.

(4)對應邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應邊.

(5)對應角：全等三角形中互相重合的角叫做對應角.

2.尋找全等三角形對應邊、對應角的三種方法：

(1)圖形特征法：

最長邊對最長邊，最短邊對最短邊；

最大角對最大角，最小角對最小角.

(2)位置關系法：

①公共角(對頂角)為對應角、公共邊為對應邊.

②對應角的對邊為對應邊，對應邊的對角為對應角.

(3)字母順序法：

根據(jù)書寫規(guī)范按照對應頂點確定對應邊或對應角.

3.全等三角形的性質及應用

①全等三角形的對應邊相等；

②全等三角形的對應角相等；

③全等三角形對應邊上的高、中線、角平分線分別相等；

④全等三角形的周長相等，面積相等.

二、三角形全等的判定方法及思路

1.全等三角形的判定方法：

“邊邊邊”定理(SSS)：三邊對應相等的兩個三角形全等.

“邊角邊”定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.

“角邊角”定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.

“角角邊”定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

“斜邊、直角邊”定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

2.全等三角形的證明思路：

'找夾角-＞SAS

已知兩邊找直角fHL

找另一邊f(xié)SSS

一邊為角的對邊f(xié)找任一角fAAS

'找夾角的另一邊f(xié)SAS

已知一邊一角＜

邊為角的鄰邊找夾邊的另一角fASA

找邊的對角■AAS

'找夾邊今ASA

已知兩角＜

找一角的對邊―AAS

三、角平分線的性質

1.角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

注意：三角形的三條角平分線交于一點，到三邊的距離相等.

2.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，通常連接角的頂點和該點就能得到角

平分線.

一、全等的幾種模型

（1）平移型

二、常見的幾種添加輔助線構造全等三角形的方法

1.倍長中線法

倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過程中，遇到一般三角形邊上的中線或

中點，考慮中線倍長.如圖：

已知：在三角形4BC中，。為3c邊中點，

輔助線：延長/。到點。使/。=。。，

結論：AAOB^ADOC.

證明：如圖，延長40到點。使40=。。，由中點可知，OB=OC,

OA=OD

在和△DOC中，,NAOB=NDOC,：./\AOB^/\DOC.

OB=OC

總結：由倍長中線法證明三角形全等的過程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長線后出現(xiàn)的對頂角

決定的.

2.截長或補短(含有線段一關系或求證兩線間關系時常用).

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長：在長線

段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分

等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段.

基本圖形，如下：

在△48C中，N8>/C,4W平分/A4C

(1)在N2上截取(2)把NC延長到點E,使=

?考點剖析

考點一、全等圖形

例1.如圖1,把大小為4x4的正方形網(wǎng)格分割成了兩個全等形.請在圖2中，沿著虛線畫出四種不同的分

割方法，把4x4的正方形網(wǎng)格分割成兩個全等形.

圖1

畫法1畫法2畫法3畫法4

圖2

【解析】???要求分成全等的兩塊，

:.每塊圖形要包含有8個小正方形.

畫法1畫法2畫法3

考點二、全等三角形的性質

例2.如圖，A,E,C三點在同一直線上，且△48C也△D4E.

(2)猜想：當V/DE滿足什么條件時。E〃3C?并證明你的猜想.

【解析】(1)解：,；AABC沿乙DAE,

：.BC=AE,AC=DE,

DE=AC=CE+AE=CE+BC；

(2)解：猜想，44助=90。時，DE//BC,

丁AABCmADAE,

???/AED=ZBCA,

DE//BC,

：.ZBCE=/DEC,

???/DEC=/AED,

又/DEC+ZAED=180。，

??.ZAED=90°,

???當V4DE是直角三角形，且//￡。=90。時，DE//BC.

考點三、全等三角形的判定方法

例3?如圖，點C,E,F,5在同一直線上，點/,。在5。異側，4B〃CD,AE=DF,ZA=ZD.

(1)請判斷45和C。的數(shù)量關系，并說明理由;

(2)若AB=CF,25=40°,求/。的度數(shù).

【解析】(1)證明：??,48〃。。，

???ZB=ZC.

在△48￡和△QC廠中，

Z=ND

?.?1/5=NC,

AE=DF

：.AABE絲Z\DCF,

：.AB=CD.

(2)解：???/\ABE之/\DCF,

AB=CD,BE=CF,/B=/C,

9：4=40。,

ZC=40°.

???AB=CF,

CF=CD,

：.ZD=NC77)=；x(180°-40°)=70°.

考點四、添加條件使三角形全等

例4.如圖，已知AB〃ED,CD=BF.

(1)現(xiàn)要從如下條件中再添加一個①ZC=E尸；?AB=DE；?ZA=ZE；④。尸=C8得到

△ZBC0AEDF.你添加的條件是：.(填序號)

(2)選擇(1)中的一種情況進行證明.

【解析】(1)解：②或③(任選一個填即可)

(2)選擇②

證明：???8=8尸，

:.CD+CF=BF+CF,

DF=CB,

AB//ED，

NB=ND,

AB=DE

???在△A8C和AEDF中，ZS=Z￡>,

DF=CB

△/3C絲△￡￡>尸(SAS)；

選擇③

證明：???。=瓦"

:.CD+CF=BF+CF,

DF=CB,

AB//ED，

NB=ND,

Z=ZE

???在△Z8C和中，\ZB=ZD,

DF=CB

AABC”叢EDF(AAS).

考點五、全等三角形的應用

例5.如圖①，油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國的一種紙制或布制傘.油紙傘的制作工藝十分巧

妙，如圖②，傘圈。沿著傘柄AP滑動時，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的,傘骨AD,

CD的2,C點固定不動，且到點/的距離48=/C.

(1)當。點在傘柄/P上滑動時，處于同一平面的兩條傘骨8。和C。相等嗎？請說明理由.

⑵如圖③，當油紙傘撐開時，傘的邊緣跖N與點。在同一直線上，若/R4c=140。，乙磔。=120。，求/。八4

的度數(shù).

【解析】(1)解：相等.理由如下：

'/傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的/3/C,

/./BAD=ZCAD.

在△/助和△/CD中，

'AB=4C

?/]ZBAD=ZCAD,

AD=AD

：.△48。絲△ZCD(SAS).

Z.BD=CD.

(2)解：/A4c=140。，

ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-xl40°=70°.

22

又：/A皿)=120°,

NBDA=ZMBD-/BAD=120°-70°=50°.

AABDdACD,

：.NCDA=ABDA=50°.

考點六、全等三角形與動點問題

例6.如圖，已知△Z8C中，ZB=NC,48=8厘米，3c=6厘米，點。為N3的中點，如果點尸在線段

8c上以每秒2厘米的速度由8點向C點運動，同時，點。在線段C4上以每秒。厘米的速度由。點向/點

運動，設運動時間為，(秒)(0＜，＜3).

A

CPB

(1)用含/的代數(shù)式表示PC的長度；

(2)若點尸、。的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，ABPD與VCQP是否全等,請說明理由；

(3)若點尸、。的運動速度不相等，當點。的運動速度。為多少時，能夠使△3PO與VCQP全等?

【解析】(1)解：由題意得：PB=2t,

則PC=6-2，；

(2)解：4CQP經(jīng)4BPD,理由如下：

當1=1時，由題意得：a=2,PB-CQ=2,

：.PC=6-2=4,

,/ZB=ZC,

AC=AB=8,

?.,。是45的中點，

：.BD=-AB=4,

2

：.BD=PC=4,

在VC0P和△B。。中，

PC=BD

?：\ZC=ZB,

CQ=PB

：.人CQP^A5PZ)(SAS)；

(3)解：??,點P、0的運動速度不相等，

PB^CQ,

當ABPD與YCQP全等,且N3=NC,

:.BP=PC=3,CQ=BD=4,

?:BP=2t=3,CQ=at=4,

：.t=-,

2

Q

.?.當時，能夠使△5PD與VCQP全等.

考點七、角平分線的性質與判定

例7.如圖，畫//。3=90。，并畫乙402的平分線OC.

（1）將三角尺的直角頂點落在0C的任意一點尸處，使三角尺的兩條直角邊與44。2的兩邊分別垂直，垂足分

別為￡、尸（如圖①），則PE尸尸；（填或“=”）

（2）把三角尺繞著點尸旋轉（如圖②），兩直角邊分別與0/、OB交于點E、尸，那么PE與內(nèi)相等嗎？試猜

想PE與PF的大小關系，并說明理由.

【解析】（1）解：：0C平分/PELOA,PF10B,

PE=PF,

故答案為：=;

(2)PE=PF,理由如下：

過尸作于PN103于N,如圖②所示:

則NPME=NPNF=90°,

■.■ZAOB=90°,OC平分403,

ZAOC=ZBOC=45°,

ZOPM=AOPN=45°,

ZMPN=90°,

■：ZEPF=90°,

ZMPE=2NPF,

由(1)得，PM=PN,

在4MPE和/\NPF中，

AMPE=NNPF

<PM=PN,

ZPME=ZPNF

：./\MPE^/\NPF(ASA),

PE=PF.

考點八、倍長中線模型

例8.(1)在△48C中，AB=4,AC=6,AD是3。邊上的中線，則中線ND長范圍為:

(2)如圖，在△48C中，/D是3c邊上的中線，點E,R分別在48/C上，且DEL。戶，求證：

BE+CF>EF.

【解析】(1)如圖，延長40至G,使。G=4D,連接3G,

則AG=2AD,

；40是BC邊上的中線，

BD=CD,

在△4DC和△G08中，

CD=BD

<ZADC=ZGDB,

AD=GD

:.Z\ADC^Z\GDB(SAS),

/.BG=AC=6,

???BG-AB<AG<BG+ABf

.?.6-4</G<6+4,即2<4G<10,

:.2<2AD<10,

1<AD<5,

故答案為：1<2。<5；

(2)證明：如圖，延長瓦)至以使=連接S,FH,

R

在A3DE和ACDH中，

CD=BD

</BDE=ZCDH,

ED=HD

:./\BDE^ACDH(SAS),

BE=CH,

,;DE1,DF,ED=HD,

EF=HF,

?:CF+CH>FH,

:.CF+BE>EF.

考點九、證明線段和差問題

例9.如圖所示，在△4SC,乙4=100。，ZABC=40°fBD平分NABC交AC于點、D,延長至點E,

使瓦)=40,連接CE.求證：BC=AB+CE.

【解析】證明：如圖所示，在3C上取一點尸使得時=/5,連接。尸,

/ABC=ZACB=40°,

???8。是445。的角平分線,

/ABD=ZFBD=20°,

在和中，

AB=FB

</ABD=/FBD,

BD=BD

???AABDQAFBD(SAS),

ZADB=ZFDB,AD=DF,

又?：AD=ED,ZADB=ZEDC,

??.ZADB=ZFDB=ZCDE=180。—100°-20°=60。，F(xiàn)D=ED,

：.ZFDC=180?！猌ADB-ZFDB=60°=ZEDC,

在/中，

ED=FD

<ZCDE=/CDF,

CD=CD

△CDE也△CZXF(SAS),

/.CE=CF,

：.BC=BF+CF=AB+CE.

考點十、常見的輔助線

例10.如圖，A45C中，45=4。，在45上取一點￡,在4C的延長線上取一點尸，使。尸=5瓦連接交

BC于點D.求證：DE=DF.

【解析】證明：作尸7力745交5C延長線于

H

BD

,:FHIIAB,

:?/FHC=/B,/BED=/HFD.

又，：AB=AC,

：.NB=NACB.

又NACB=/FCH,

：.ZFHC=ZFCH.

：.CF=HF,

又?：BE=CF,

：.HF=BE.

在ADBE和△C中，

'ZB=ZFHC

<BE=HF,

/BED=ZHFD

:.△DBEQdDHF(ASA).

：.DE=DF.

?過關檢測

一、選擇題

I.如圖，工人師傅設計了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點。為44'、88'的中點，只要量出

的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度.依據(jù)的數(shù)學基本事實是()

A.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

C.三邊分別相等的兩個三角形全等D.兩點之間線段最短

【答案】B

【解析】???點。為44'、區(qū)8'的中點，

：.OA=OA',OB=OB',

由對頂角相等得NAOB=ZA'OB',

在和△HOB'中，

OA=OA

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

.?.△208也△HOB'(SAS),

/.AB=A'B',

即只要量出4"的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度，

故選B.

2.如圖，△403之△4QC,ZO=ZD=90°,AOAD=70°,當時，則乙450度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【答案】A

【解析】VAAOB^AADC,

:,AB=AC,/BAO=/CAD,

：./ABC=/ACB,

設ZABC=ZACB=x,

BC//OA,

：.ZABC=ABAO=ZCAD=x,ZACB+ZCAO=1SO°f

：.ZACB+ZCAD+ZOAD=180。，

??,ZOAD=70°,

x+x+70°=180°,

解得：x=55°,

??.440=55。，

?「4405=90。，

??.ZABO=90°-55°=35°.

故選A.

3.如圖，點A,C,B,。在同一條直線上，已知：CE=DF,ZACE=ZBDF,下列條件中不能判

定下的是

【答案】C

【解析】A、符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△4C￡^AaCE,故本選項不符合題意;

B、符合全等三角形的判定定理SAS,能推出4/06二,故本選項不符合題意；

C、不符合全等三角形的判定定理，SSA不能推出9，故本選項符合題意；

D、因為Z￡〃89，所以NN=所以符合全等三角形的判定定理AAS,能推出

△ACEdBDF,故本選項不符合題意.

故選C.

4.如圖，在△48C中，AC=BC,ZACB=9Q°,AD平分/BAC,BE，4D交NC的延長線于歹，E為

垂足，則結論：①40=8尸；②CF=CD；@AC+CD=AB；@BE=CF；⑤BF=2BE?,其中正確結論

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】BC=AC,ZACB=90°,

ZCAB=ZABC=45°,

-,-AD平分N2/C,

ZBAE=ZEAF=22.5°,

???在RtAACDRtZ\BFC中，

ZEAF+ZF=90°,ZFBC+NF=90°,

/LEAF=AFBC,

■：BC=AC,ZEAF=ZFBC,ZBCF=AACD,

/.Rt/XZOC2RtzXBEC,

AD=BF,故①正確.

②①中RtZXADC&Rt△即C,

CF=CD,故②正確.

③???①中RtA^DC^RtA5FC

:.CF^CD,AC+CD=AC+CF=AF,

ZCBF=ZEAF=22.5°,

...在Rt^4EF中，ZF=90°-Z￡4F=67.5°,

ZCAB=45°,

ZABF=180°-ZF-ZCAB=180°-67.5°-45°=67.5°,

..△ABEmAAFE,

AF=AB,

即/C+CD=/8,故③正確.

④由③可知，AF—AB,

易知NCBF=NEAB=22.5°,

若BE=CF,則有△BC/名△4E3,

則有48=2斤，則可得△/臺尸為等邊三角形，

這與①中的/C48=45。矛盾，故④錯誤.

⑤由③可知，BE=EF,

:.BF=2BE,故⑤正確.

①②③⑤四項正確，

故選D.

5.如圖，在△48C中，/48C和//C8的平分線相交于點。，過點。作所〃BC交48于點交NC

于點汽過點。作0Q1/C于點D.下列四個結論：

①EF=BE+CF；②/30C=90。+；44；③點。到△ZBC各邊的距離相等；

④設0。=加，AE+AF=n,則54九尸=；相〃.其中正確的結論有（）

【答案】D

【解析】①???乙48。和的平分線相交于點O,

2EBO=NCBO,ZBCO=ZFCO,

*/EF//BC,

NCBO=ZEOB,NBCO=ZCOF,

NEBO=NEOB,ZFCO=ACOF,

BE=EO,OF=CF,

:.EF=EO+OF=BE+CF,故①正確；

②；乙4BC和ZACB的平分線相交于點O,

ZOBC+ZOCB=^(ZABC+N/C8)=；(180°-ZA),

\D5OC=180°-(BOSC+DOC5)

=180°-1(180°-zL4)

=90。+：乙4,故②正確；

③；ZABC和ZACB的平分線相交于點O,

二點。是△48C的內(nèi)心，

???點O到AABC各邊的距離相等，故③正確;

④連接/。，

.??點。是△48C的內(nèi)心，OD=m,AE+AF=n,

：

.S△^4.EFFF=2-AEOD+-2AFOD

=^(AE+AF)-OD

=3”，故④正確；

綜上分析可知，正確的有4個.

故選D.

二、填空題

6.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中標出了N1和/2,貝l]Nl+N2=度.

【答案】135

【解析】如圖，連接N。、BD,ZADB=90°,AD=BD=BC,ZDAB=ZDBA=45°,

由圖可知，在△。尸5和/XBEC中,

DF=BE

<ZDFB=/.BEC=90°,

FB=EC

:.△DFBgABEC(SAS),

ZDBF=Z2,

ZDBA=45°,

Z1+Z2=Z1+ZDBF=180°-45°=135°,

故答案為：135.

7.如圖，已知/C平分NTM3,若添加一個條件使△ZBC之△NQC,則這個條件可以是(寫三個條

件).

【答案】40=/2或/3=/4或/5=4>

【解析】???/(?平分NZU8,

Zl=Z2,

又；AC=AC,

■■添加AD=AB,利用SAS即可得到△"C學；

添加/3=/4,利用ASA即可得到AABC烏4ADC；

添加NB=ZD,利用AAS即可得到△4BS△ADC.

故答案為：40=48或/3=/4或/5=".

8.如圖，在RtZ\/BC中，ZABC=90°,BC=5,8D_L/C于點。，點E在邊N8上，且BE=BC,過點E

作所_L/5交2。延長線于點尸，若斯=12,則/￡=.

A

【答案】7

【解析】?：EFLAB,

：./FEB=90°,

,ZBFLAC,

：.ZADB=90°,

：.ZF+ZFBE=90°,ZA+ZFBE=90°,

???NA=NF,

在△4C5和Z\FEB中，

Z=ZF

</ABC=/FEB,

CB=EB

.??/\ACB^AFSE(AAS).

AB=EF=U.

???EB=BC=5,

：.AE=12—5=7.

故答案為：7.

9.如圖，已知在△%(?￡中，//EC=90。，點。，8分別在邊C￡,/月上，4。于尸，BDCD,

BE=CF.

(1)若/C=60。，貝；

(2)已知4C=10,BE=2,則45的長是.

【答案】15°6

【解析】(1)VZAEC=90°,DFLAC,

/BED=NDFC=90°,

在RQBDE和RtACDF中,

\BE=CF

[BD=CD'

RtABDE咨RtACDF(HL),

:.DE=DF,

AD平分/E4尸,

:.ABAD=-AEAC,

2

■■ZAEC=90°,ZC=60°,

/EAC=90°-NACE=30°,

NBAD=L/EAC=15。,

2

故答案為：15°；

(2)?:BE=2,

CF=BE=2,

AF=AC-CF=W-2=S,

在RSADE和RtA^DF中，

(DE=DF

[AD=AD'

RtZUOEgRtZUD尸(HL),

AE=AF=S,

:.4B=AE-BE=8-2=6,

故答案為：6.

10.如圖，在△45C中，N8=NC=24厘米，BC=16厘米，點。為4B的中點，點尸在線段5c上以4厘

米/秒的速度由B點向。點運動，同時，點。在線段。上由C點向/點運動，當點。的運動速度為厘

米/秒時，能夠在某一時刻使43尸。與△CQP全等.

【解析】設經(jīng)過無秒后，使與VC0P全等,

?.?NB=/C=24厘米，點。為48的中點，

.?.8￡>=12厘米，

NABC=NACB,

要使△BPD與YCQP全等,必須&）=CP或BP=CP,

即12=16-4x或4x=16—4x,

解得：x=l或x=2,

x=1時，BP-CQ=4,4+1=4；

x=2時，BD=CQ=12,12+2=6；

即點。的運動速度是4厘米/秒或6厘米/秒，

故答案為：4或6.

三、解答題

11.如圖，在△48C中，AB=AC,D為BC上一氤,DELAB,DF1AC,垂足分別為￡、F,且

DE=DF.請選擇一對你認為全等的三角形并加以證明.

⑴你選擇的是：△；

（2）根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程.

【解析】（1）解：根據(jù)圖形和已知條件，選擇證明的全等三角形為“ED會上如，

故答案為：AED,AFD（答案不唯一）；

（2）證明：???DELAB,DF1AC,

和△/FD是直角三角形，

在Rt/\AED和RtZxAFD中，

jAD=AD

[DE=DF'

.?.RtZUEDgRtA/FD（HL）.

12.如圖，點D、E分別在線段/瓦/。上，AE=AD,不添加新的線段和字母，從下列條件①/B=/C,②

BE=CD,③AB=AC,④=中選擇一個使得.

A

DI\E

BC

(1)你選擇的一個條件是(填寫序號)

(2)根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程.

【解析】(1)解：???N￡=/D,乙4=44,可以利用SAS,AAS,ASA三種方法證明；

故可以選擇的條件可以是：①或③或④

(2)選擇①：

在△48￡和44。。中，

Z=N4

<ZB=ZC,

AE=AD

：.△ABEdACD(AAS):

選擇③

在△48￡和2\/8中，

AB=AC

<AA=AA,

AE=AD

：.△ABEdACD(SAS)；

選擇④

在△48￡和4.4?！?中，

ZADC=NAEB

<AE=AD,

/A=/A

：.AABE^AACD(ASA).

13.如圖，點/,B,C,。在同一條直線上，點￡,廠分別在直線N8的兩側，且4E=5尸，ZA=NB,

ZACE=ZBDF.

(1)求證：AADE2ABCF.

(2)若42=8,AC=2,求CD的長.

【解析】(1)證明：在和V3。尸中,

ZA=NB

</ACE=ZBDF,

AE=BF

.*.△ACE^ABDF(AAS).

AC=BD.

AD-BC.

在V4D￡和△BCb中

AE=BF

<NA=/B,

AD=BC

:.LADE/ABCF(SAS).

(2)由(1)知YACEaBDF,

,-.BD=AC=2,

■：AB=8,

:.CD=AB-AC-BD=4,

故CD的長為4.

14.如圖，△48C的外角N7X4C的平分線交2c邊的垂直平分線于尸點，于。，PELAC^E,

連接8P,CP.

⑴求證：BD=CE；

(2)若48=6cm,NC=10cm,直接寫出4D的長為

【解析】(1)證明：???點尸在5c的垂直平分線上，

BP=CP,

-：4P是ND