中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：勾股定理與幾何綜合

專題2.3勾股定理與幾何綜合

典例精析

【典例1】如圖，△4BC中，“=90。，AB=10cm,BC=6cm,若動點尸從點C開始，按C

的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為，秒.

備用圖1

U)出發(fā)2s后，求△ABP的周長；

(2)求出/為何值時，ABCP為等腰三角形；

(3)當(dāng)點尸運(yùn)動到aABC任意一條角平分線上時(不與頂點/、B、C重合)，直接寫出f的值.

【思路點撥】

(1)利用勾股定理得出AC=8cm,進(jìn)而表示出AP的長，由勾股定理求出P8,進(jìn)而得出答案；

(2)利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案；

(3)分三種情況討論，當(dāng)點P恰好在乙48c的角平分線上時，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出方程，

PRQ

解方程即可；當(dāng)點P恰好在乙4cB的角平分線上時，利用面積法求得言=；,據(jù)此可求解；當(dāng)點P恰好在NB2C

的角平分線上，同理利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出方程，解方程即可.

【解題過程】

⑴解：:NC=90。AB=10cm,BC=6cm,

由勾股定理得AC=4102—62=8(cm),

由題意得，出發(fā)2秒后，貝IJCP=2cm,那么ZP=6cm.

???zC=90°,

???由勾股定理得PB=2V10cm.

；.△A8P的周長為：AP+PB+AB=6+10+2V10=(16+2V10)(cm)；

(2)解：若尸在邊ac上時，

BC=CP=6cm,

此時用的時間為6s,故t=6s時△BCP為等腰三角形;

若尸在邊上時，有三種情況：

①BP=CB—6cm,

此時力P=4cm,P運(yùn)動的路程為12cm,

所以用的時間為12s,故t=12s時△BCP為等腰三角形;

②若CP=8C=6cm,過C作斜邊48的高CD,

11

根據(jù)面積法，-X6x8=-x10xCD,

.,.CD=4.8cm,

根據(jù)勾股定理求得8。=“62—4.82=3.6(cm),

所以。運(yùn)動的路程為18—2X3.6=10.8(cm),

所以用的時間為10.8s,故t=10.8s時△BCP為等腰三角形;

③若BP=CP時，

貝此PCB=NPBC,

■：/-ACP+^BCP=90°,NPBC+NC4P=90°,

：.Z.ACP=Z.CAP,

.-.PA=PC,

.t.PA=PB=5cm,

:.P的路程為13cm,

所以時間為13s,故t=13s時ABCP為等腰三角形.

:.t為6s或10.8s或12s或13s時△BC尸為等腰三角形；

(3)解：點尸恰好在乙4BC的角平分線上時，

如圖所示，過點P作尸G1ZB于點G,

：.PG=PC.

在RSBPC與RgBPG中，｛^pBP

???Rt△BPC=Rt△BPG(HL),

：.BG=BC=6cm,

.t.AG=10—6=4cm.

設(shè)PC=久，貝!jP4=(8-x),

在RtAAPG中，PG2+AG2=PA2,

即/+42=(8—x)2,

解得：%=3,

.?.當(dāng)t=3s時，點尸恰好在乙48c的角平分線上;

當(dāng)點尸恰好在乙4cB的角平分線上時，

作PE14C于E,PF1BC于尸.

???PC平分N2C8,

：.PE=PF,

.SABCPPB}BGPF_BC_6_3

"'S^APC~PA-^-AC-PE―4C—8-4’

■■PA=^AB=y,

.-p的路程為%m,

二當(dāng)t=養(yǎng)時，點P恰好在“BC的角平分線上；

當(dāng)點尸恰好在NB4C的角平分線上，過P作PH1AB,

?:點尸恰好在N84C的角平分線上,

且=90°,AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm,

；,CP=HP,

.'./\ACP=AAHP,

：.AH=AC=8cm,BH=10-8=2(cm).

設(shè)CP=a,貝！|8P=6-a,PH=a,

??.RtABHP中，BH2+PH2=BP2,

即22+Q2=(6—Q)2,

解得a=2

.M的路程為24-?=竽(cm),

.?.當(dāng)t=券時，點尸恰好在AB"的角平分線上;

綜上所述，滿足條件的t的值為3s或半s或與s.

學(xué)霸必刷

1.（2023春?浙江?九年級專題練習(xí)）已知△4BC與△4BD在同一平面內(nèi)，點C,。不關(guān)于AB對稱，

zXBC=zXBD=30°,AB=2,AC^AD=y[2,貝iJCD長為（）

A.2或g-lB.2或歷

C.V3-1^V3+1D.2或仃+1

【思路點撥】

分類討論，①當(dāng)點。和點C在直線4B同側(cè)時，過點/作4E18D于點￡.②當(dāng)點。和點C在直線48異

側(cè)時，過點/作于點“，4F1BC交8c延長線于點尸，過點C作CN1BD于點N.分別根據(jù)含30

度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解.

【解題過程】

解：分類討論，①當(dāng)點。和點C在直線同側(cè)時，如圖，過點/作AELBD于點E.

?.?乙4BC=30°,乙4EB=90°,

.-.AE=^AB=1.

?.?在RtZkAEC中，AC=42

.■.EC=S4C2一4u=1.

同理在中，可求DE=1,

.?.CD=EC+OE=2；

②當(dāng)點。和點C在直線異側(cè)時，如圖，過點/作力M1BD于點M,4F1BC交2c延長線于點尸，過點

C作CN1BD于點N,

由作圖可知4力FB=Z.AMB=90°,/.ABC=乙ABD=30°,

.-.AF=AM=^AB=1,BF=BM=^AB=5

?.,在RtaADM中，AD^y[2

：.DM=yjAD2-AM2=1,

:.BD=DM+BM=1+^3.

同理可求CF=1,

:.BC=BF-CF=W-\.

■.■ACBA+^ABD=60°,即“BN=60。，NCNB=90。

.-.BN=CN=爭C=a?T)=

：.DN=BD-BN=1+VS-^1=

22

在Rt△(7￡)%中，CD=>JCN2+DN2=(呼=遍.

綜上可知CD長為2或痣.

故選B.

2.（2023春?八年級課時練習(xí)）如圖，在AIBC中，48=/C=6,NA4c=120。，過點”作4D1A4交2C

于點。，過點。作。E18C交NC于點E,則4E的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【思路點撥】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NB=/C,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得4D的長，再求出EC的長，即可

確定4E的長.

【解題過程】

解：-：AB=AC=6,ABAC=120°,

4B=NC=30°,

■.■ADIBA,

?-?/.BAD=90°,

設(shè)=則BD=2x,

根據(jù)勾股定理，可得62+/=（2x）2,

解得汽=2百或汽=一2仃（舍去），

???AD=2V3,

???皿1。=120。-90。=30。，

???Z.C=Z.DAC,

???DC=AD=2V3,

DE1BC,

???4EDC=90。，

設(shè)ED=TH,則EC=2m,

2

根據(jù)勾股定理，得血2+（2遍）=（2m）2,

zn=2或m=-2（舍去），

??.EC=2m=4,

ZE=6-4=2,

故選：B.

3.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，三角形紙片/3C中，點。是8c邊上一點，連接ND,把小臺。

沿著直線翻折，得到△/￡￡>,DE交4c于點G,連接BE交AD于點?若DG=EG,4F=4,48=5,

A4EG的面積為，貝舫。2的值為（）

A.13B.12C.11D.10

【思路點撥】

首先根據(jù)S/S證明△A4五三△及4尸可得/尸根據(jù)三角形的面積公式求出AD,根據(jù)勾股定理求出AD即

可.

【解題過程】

解：由折疊得，AB=AE,4BAF=4EAF,

在ABAF和中，

(AB=AE

]/.BAF=/.EAF,

IAF^AF

:ABAF三△EAF(SAS),

：.BF=EF,

???AFLBE,

又以尸=4,AB=5,

■-BF=V4B2-AF2=3,

在A4DE中，EFVAD,DG=EG,設(shè)邊上的高線長為力，

???S/viOE=夕。?"=初?/l+湖?h,

即S/i/DG+=3。,EF,

19

???S/VIEG=5,GE,%=5，S^ADG=S^AEG,

99

???S"0G+^AAEG=5+5=9，

.?.9=9。-3,

:.AD—6,

.-.FD=AD-AF=6-4=2,

在RtABDF中,BF=3,FD=2,

:.BD2=BF2+FD2=32+22=13,

故選：A.

4.（2023春?八年級單元測試）如圖，在等腰"△ABC中，N4=90。，BD平分〃BC,BE平分乙DBC,M、

N分別為射線BE、8c上的動點，若BD=8,貝UCM+MN的最小值為（）

C.8D.10

【思路點撥】

如圖，作N關(guān)于8E的對稱點N，，則MN=MM,當(dāng)C,M,M三點共線時最短即CM,當(dāng)CM1BF時最短，過點C

作CF1BD,交BD的延長線于點F,即N，與尸點重合時最短，過點。作DG1BC于點G,根據(jù)等面積法求得CF,

即可求解.

【解題過程】

解：如圖，作N關(guān)于BE的對稱點N一過點C作CF1BD,交BD的延長線于點F,過點。作DG1BC于點G,

.-.MN=MN',當(dāng)三點共線時CM+MN最小即CM,當(dāng)CM1BF時最短，CF即為所求,

"DG1BC,RtaABC是等腰直角三角形，

.?.△DGC是等腰直角三角形，

.'.DC=V2OG

???8。平分44BC,

.'.DA=DG

-AC=AB,

設(shè)=a,貝！J/B=AC=(1+V2)tt

在RtZkABO中，BD=8,AD=a,AB=(1+V2)a

-：BD2=AD2+AB2

.-.82=a2+[(1+V2)a]2

解得小=32-16立

：.BC=V2i4C=(V2+2)a

?S△BDC—xDG=^BDxCF

.爐_BCXDG_(V2+2)axa_(V2+2)x(32-16V2)

，，Cr-BD~8-8

=(V2+2)(4-272)

=4V2—4+8—4^2

=4

故選A.

5.(2023春?八年級課時練習(xí))如圖，在等腰RN4BC中，zC=90°,48=8,點。和E分別是BC和48上兩

點，連接DM將沿DE折疊，得到△夕DE,點夕恰好落在4：的中點處，DE與BB交于點F,則折痕DE

A.2V2B.V10C.理D.平

62

【思路點撥】

在RtABCB'中，求出BB'=2V10,設(shè)BD=x,貝i|CD=4V2-x,B'D=x,在Rt△CDB'中，

由勾股定理得/=(4&—Jef+(2V2)\求得BD=乎，在Rt^BDF中，求出。?=當(dāng)，過點

作B'GIAB于點G,貝!|AG=B'G=2,設(shè)BE=y,則GE=6-y,B'E=y,在RtAB,GE中，G

E2+B'G2=B'E2,可求BE=彳，在RfABEF中,EF2=BE2-BF2,可求EF=^-,則

ED=DF+EF=^-.

6

【解題過程】

解：由折疊可知，BD=B'D,BF=B'F,DF1BF,

v等腰放△ABC中，NC=90。，AB=8,

BC—AC—4V2,

-B'是AC的中點，

???CB1=2V2,

在RtABCB'中，BB,-VBC2+B'C^=J(4V2)2+(2V2)2=2V10,

BF=V10,

設(shè)BD=x,則CD=4V2-X,B,D=x,

在Rt△CDB'中，B'D=y/CD2+B'C2,

22

.?.x2=(4V2—%)+(2V2)

._5V2

??Av---,

2

...BD=歲，

在RtABDF中，DF=y/BD2-BF2=J(|V2)2-(V10)2^

AG=B，G

???w=2V2

:.AG=BfG=2,

設(shè)BE=y,則GE=6—y,B/E=y,

在RtAB'GE中，GE2+B'G2=B'E2,

(6—%)2+4=x2

在RtABEF中，EF2=BE2-BF2,

???EF2=(y)-(V10)2=Y>

EF=孚

ED=DF+EF=—+—=

236

故選:C.

6.(2023春?八年級課時練習(xí))如圖，在紙片2MBe中，A8=2C=12,zB=30°,折疊紙片，使點8落在2C

的中點。處，折痕為EF,貝MDEF的面積為()

A.等B.10V3C.11V3D.警

【思路點撥】

過點。作的垂線，垂足為G,過。作CP的垂線，垂足為H,過/作2C的垂線，垂足為N,分別求

1

出和△。尸。的面積，利用員QEF=]X(S^ABC—SQEA—SQFC)可得結(jié)果.

【解題過程】

解：過點。作45的垂線，垂足為G,

FNH

^^BAC=nO0,

??ZG/C=60°,NG￡U=30°,

：.AG=\AD==3,DG=7AD2—AG2=3V3,

設(shè)AE=x,則BE=\1-x^DE,

在MADGE中，DE2=GE2+GD2,

即(12T)2=(X+3)2+27,

解得：x=y,

：.SAADE=^DGXAE=^Xyx3V3=^/3,

過。作C尸的垂線，垂足為H,過/作BC的垂線，垂足為N,

MB=30°,

.?.AN=^AB=6,SJV=V122-62=6V3,

???BC=12V3,

設(shè)DF=y,

則CF=12V3-y,

DH=1CD=3,CH=7CD2—DH2=3后

22

貝ij有D"2+FH2=DF2,即32+(12V3-y-3V3)=y,

解得：？=喈

則SADFC=^DH-CF=1X3X(12V3-喈)=11V3,

1

：.SADEF=-x(SAABC-SADEA-SADFC)

-1x(--BC?

2.2

Ix(1x12V3x6-yV3-llV3)

故選/.

7.（2023秋?浙江寧波?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為（0,2）,3是X軸上一

點.以4B為腰，作等腰直角三角形ABC,AABC=90°,連接。C,則AC+OC的最小值為

【思路點撥】

如圖所示，過點C作CDlx軸于。，設(shè)點8的坐標(biāo)為(m,o)(m>0),證明△40B三△BDC,得到

BD=CM=2,CD=OB=m,進(jìn)而求出點。的坐標(biāo)為(巾+2,m),利用勾股定理得到。C+AC=

V(m+2)2+m2+7(m+2)2+(m-2)2,貝函+OC的最小值即為點(一1,1)到點(0,-2)的距離的五倍,

由此求解即可.

【解題過程】

解：如圖所示，過點C作CDlx軸于。，設(shè)點8的坐標(biāo)為(?n,0)(m>0),

,?,點N的坐標(biāo)為(0,2),

.'.OA=2,

???△/BC是等腰直角三角形，乙4BC=90。，

.'.^OBA+Z.OAB=90°=乙DBC+/.OBA,AB=BC,

：.Z-OAB=2DBC,

AXOB=ABDC(AAS),

；.BD=OA=2,CD=OB=m,

：.0D=OB+BD=m+2,

???點。的坐標(biāo)為(TH+2,m).

???0C=J(m+2)2+m2,AC=J(m+2)2+(m—2)2,

：.OCAC=4-2)2+m2+y/(jn+2)2+(m—2)2

=V2m2+4m+4+V2m2+8

=V2(7(m4-1)2+1+Vm2+4),

.?.ac+oc的最小值可以看做在x軸上的一點到點(-1,1)和到點(o,-2)的距離之和的最小值的四倍，

..AC+。。的最小值=V2x7(-1-0)2+[1-(-2)]2=2V5,

由對稱性可知，當(dāng)加＜0,同理可證2C+0C的最小值=2店，

故答案為：2V5.

8.(2023春?八年級課時練習(xí))如圖，長方形力BCD中，48=5/D=6,點P是射線力。上一點，將△ABP

沿BP折疊得到△48P,點4恰好落在BC的垂直平分線Z上(直線Z也是2D的垂直平分線)，線段AP的長為

【思路點撥】

設(shè)直線2與AD、BC交于點E、F,分兩種情況討論：當(dāng)點P在線段4E上時，設(shè)，設(shè)4P=4P=x,PE=3-x；

當(dāng)點P在射線4。上時，設(shè)4P=4P=y,PE=y—3,分別利用勾股定理求解即可.

【解題過程】

解：根據(jù)題意，四邊形力BCD為長方形，直線1是BC、4。的垂直平分線，

則4B=CD=5,AD=BC=6,BC1l,AD11,AE=jAD=3,

設(shè)直線l與a。、8c交于點E、F,可分兩種情況討論：

①如下圖，當(dāng)點P在線段2E上時，設(shè)2P=4P=x,PE=3—X,

在RtZkBF4中，

■.-BF=^BC=3,BA'=BA=5,^BFA'=90°,

■.FA'=、BA'2-BF2=V52-3Z=4,

\'EF=AB=5,

??.4E=5—4=1,

???在中，可有4P2=PE2+4￡*2,

即有%2=（3一%）2+#,解得％=1|,

即2P=|;

②如下圖，當(dāng)點P在射線4。上時，設(shè)4P=4P=y,PE=y—3,

在RtaBfA中，

■.■BF=^BC=3,BA'=BA=5,^BFA'=90°,

：.FA'=y/BA'2-BF2=V52-32=4,

vEF=AB=5,

??.4E=5+4=9,

???在中，可有4P2=p￡2+/石2,

即有y2=(y-3)2+92,解得y=15,

即4P=15.

綜上所述，線段ZP的長為|或15.

故答案為：!或15.

9.(2023春?八年級課時練習(xí))如圖，在AABC中，BD平分N2BC,乙力=3NC,4B=6,BC^10,則

AD=.

【思路點撥】

作出如圖的輔助線，證明三△EBD(SAS),推出NE4C=NC,AE=EC,再證明BD是4E垂直平分線，利

用勾股定理和面積法求得BG和4F,再求得2C的長，再利用面積法求得笠據(jù)此求解即可.

/ICO

【解題過程】

解：在BC上取點E,使8E=4B,作4F1BC于點尸，連接4E交80于點G,如圖，

A

.-.Z.ABD=4EBD

又?:BE=AB,BD=BD,

.?.△ABD三△EBD(SAS),

■■.AD=ED,乙BAD=zJBED=3乙C,Z.BAE=Z.BEA=Z.EAC+zC,

：.Z-BAC=乙BAE+Z-EAC=Z-EAC+乙C+Z-EAC=2（EAC+Z.C,

.-.3Z.C=2/.EAC+zC,即乙EZC=NC,

：.AE=EC,

-AB=6,BC=10,

"E=EC=10-6=4,

???80平分448C,BE=AB,

???BO是ZE的垂直平分線，

：.AG=EG=2,

：.BG=y/AB^-AG2=4a,

■：^AExBG=^BExAF,

..4F=挈，EF=yjAE2_AF2=if

：.CF=CE+EF=^-,

■.AC=7CF2+旃=竽

???BD平分N4BC,

.?.點D至IJAB和BC邊上的距離相等，

SRABDAB63ADi4Z>3

?.?碼=就=而=^=而，nn即就=]

=（X呼=V6.

o3

故答案為：V6.

10.（2023春?八年級課時練習(xí)）如圖，長方形ABC。中，4。=3,=5,點￡為射線DC上一動點（不與。

重合），將△力DE沿/￡折疊得到△D2E,連接。B,若△力B。為直角三角形，則4E=

【思路點撥】

分兩種情況討論：①當(dāng)點￡在線段CD上時，三點共線，根據(jù)5%￡=/8〃。=骸小4?？汕蟮?/p>

BE=5,再由勾股定理可得=薜二萬四=4,進(jìn)而可計算DE=0E=1,在中，由勾股定理

計算力E的值；②當(dāng)點E在射線8上時，設(shè)CE=x,則。E=DE=%+5,BE=x+l,由勾股定理可解得

x=4,進(jìn)而可計算DE=9,在RtaADE中，由勾股定理計算4E的值即可.

【解題過程】

解根據(jù)題意，四邊形/8CO為長方形，4D=3,AB=5,將△4DE沿4E折疊得到△D71E,貝此D=

A=90°,AD=BC=AD'=3,AB=CD=5,

圖1

?：Z-ED'A=ZD=Z-AD'B=90°,

??B。萬三點共線，

?.62BE=/B-AD=[BE-AD',

:.BE=AB=5,

?；BD'=7AB2—AD2=452—32=4,

.-.DE=D'E=BE-BD'=5-4=1；

.?.在RtZXADE中，AE=VXD2+DE2=V32+I2=V10；

②如圖2,當(dāng)點￡在射線CD上時，

???4D'B=48CE=90°,aD=BC=AD'=3,ABCD5,

■.BD,=7AB2-AD，2=4,

設(shè)CE=x,則。E=￡）E=x+5,

.,.BE=D'E—BD'=x+1,

-：CE2+BC2=BE2,即/+32=（%+i）2,

解得x=4,

:.DE=CD+CE=5+4=9,

.?.在Rt△ADE中，AE=y/AD2+DE2=V32+92=3V10.

綜上所述，/E的值為06或3V15.

故答案為：V1U或3aU.

11.（2023秋?浙江杭州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，△4BC中，AB=AC,4￡>18。于點。，DE平分N&DC,

交力C與點￡,EF14B于點R且交力LT于點G,若4G=2,BC=12,則4尸=.

【思路點撥】

過點8作BH14C于"，過點。作DK14C于K,過點E作EMLCD于初，ENLAD于N,連接BE,先證得

△DEG^△DEC,運(yùn)用勾股定理可得AB=10,利用面積法可求得：DK=g,BH聾,EM=EN=與,

AE=9,EF=詈，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

【解題過程】

解：如圖，點2作BHL4C于〃，過點。作DKLAC于K,過點E作于M,5可14。于"，連接

BE

...BD=CD=卻=：x12=6,/.BAD+=90°,乙ABC=AC,

■：EFLAB,

.-./.BAD+AAGF=90°,

：.Z.ABC—Z.AGF=Z-C,

,：Z-AGF=乙DGE,

.t.Z.DGE=zC,

???OE平分4ZOC,EM1CDfEN1AD,

.-.EM=EN/EDG=乙EDC,

在△DEG和△函;中，

(Z.DGE=乙C

、人EDG=^EDC,

(DE=DE

AZ)EG=AZ)EC(AAS),

：.DG=CD=6,

'.'AG=2,

：.AD=AG+DG=2+6=8,

在RtZkABO中，AB=y/AD2+BD2=V82+62=10,

.t.AC=AB=10,

?；AC,DK=AD,CD,

???10OK=8X6,

??.DK=g,

-AC-BH=BC-ADf

??.10BH=12x8,

48

：.BH=y,

'?'^AADE+S^CDE=S"C。，

：^AD?EN+^CD?EM=^AD-CD,

MEN+3EM=24,

-EN=EM,

???7EN=24,

；.EN若,

24

.-.EM=EN=—,

???DK?AE=AD,EN,

.?.爭E=8Xy,

：.AE=y,

-AB?EF=AE,BH,

4048

：A0EF=—x—f

LL192

在RtzXAEF中，4F=7AE2-EF2=/（竺/一嚴(yán)『

\K77v3575

故答案為：

12.（2023秋?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△48C中，AB=50cm,BC=30cm,AC=40cm.

(1)求證：ZJCS=90°

(2)求N8邊上的高.

(3)點。從點5出發(fā)在線段48上以2c%/s的速度向終點/運(yùn)動，設(shè)點。的運(yùn)動時間為f(s).

@BD的長用含t的代數(shù)式表示為.

②當(dāng)△BCD為等腰三角形時，直接寫出t的值.

【思路點撥】

(1)運(yùn)用勾股定理的逆定理即可證得NACB=90。；

(2)運(yùn)用等面積法列式求解即可；

(3)①由路程=速度x時間，可得BD=2t；②分三種情況進(jìn)行求解，即可完成解答.

【解題過程】

證明：(1)v5C2+^C2=900+1600=2500cw2,AB2=2500cm2,

：.BC2+AC2=AB2,

■■■^ACB=90°,

??.A43c是直角三角形；

(2)設(shè)N8邊上的高為和以，

由題意得以/3。=等=等竺,

解得h=24.

■'-AB邊上的IWI為24cm；

(3)①?.?點D從點B出發(fā)在線段N3上以2cm/s的速度向終點A運(yùn)動，

■■.BD=2t；

故答案為：2f；

②如圖］,若BC=BD=30cm,則-司=15s,

圖1

如圖2,若CD=BC,過點C作CEL48,

圖2

由(2)可知：CE=24cm,

■■.BE=VBC2-CE2=V900-576=18cm,

■：CD=BC,HCEVBA,

:.DE=BE=18cm,

??.BD=36cm,

?"=m=185,

若CD=DB,如圖2,

222

-CD=CE+DEf

,?CD2=(CD-18)2+576,

.-.CZ)=25,

25

綜上所述：當(dāng)f=15s或18s或卷時，△BCD為等腰三角形.

13.(2023春?八年級課時練習(xí))如圖，AABC中，乙4c8=90。，AB=10cm,8c=8cm,若點P從點4出發(fā),

以每秒2cM的速度沿折線4-B-C-4運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t>0).

備用圖1備用圖2

(1)點P運(yùn)動結(jié)束，運(yùn)動時間1=；

(2)當(dāng)點尸到邊48、4C的距離相等時，求此時t的值；

(3)在點尸運(yùn)動過程中，是否存在/的值，使得44cp為等腰三角形，若存在，求出f的值，若不存在，

請說明理由.

【思路點撥】

(1)根據(jù)勾股定理定理求出AC長，從而根據(jù)時間=路程+速度計算即可得到答案；

(2)當(dāng)點P恰好在乙4BC的角平分線上，點尸到邊/2、/C的距離相等時，設(shè)PD=PC=y,則AP=3-y,

在RtAADP中，依據(jù)AD2+p￡)2=ap2,列方程求解即可得到t的值；

(3)分四種情況：當(dāng)P在48上且4P=CP時，當(dāng)P在力B上且力「=乙4=3時，當(dāng)P在4B上且AC=PC時，當(dāng)P

在BC上且"=PC=3時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到t的值.

【解題過程】

(1)解：中，NZCB=90。，AB=10cm,BC=8cm,

???AC=V102—82=6cm,

*'?C4ABe~ZB+BC+AC

=6+8+10

=24cm,

???點P從點”出發(fā)，以每秒2m的速度沿折線/—B—C—Z運(yùn)動,

二點P運(yùn)動結(jié)束，運(yùn)動時間t=g=12(秒)，

故答案為：12；

(2)解：如圖，過P作PD14B于。，

???8P平分N28C,“=90。，

???PD=PC,BC=BD=8,

AD=10—8=2,

設(shè)PD=PC=y,則4P=6—y,

在RtAADP中，AD2+PD2=AP2,

?1-22+y2=(6—y)2,解得y=3

■-CP=1，

AB+BC+CP10+84--31

?"=一2一=丁^=三；

當(dāng)點P與點B重合時，點P也在N4BC的角平分線上，此時，t=掾=5；

綜上所述，點P恰好在乙48c的角平分線上，t的值為當(dāng)或5；

(3)解：根據(jù)題意，可分四種情況：

①如圖，當(dāng)P在上且4P=CP時，

A

/LA=/.ACP,而z_4+NB=90°,/ACP+N8cp=90°,

???乙B=Z-BCP,

:?CP=BP,

??.P是4B的中點，即4P=/B=5,

AP5

t——=一:

22'

②如圖，當(dāng)P在4B上且4P=C4=6時,

③如圖，當(dāng)P在4B上且4C=PC時，過C作CD14B于D,則

rnACBC24

-1o

RtAACD中，AD^—,

：.AP=2AD=y,

工AP18

??-t=T=T;

④如圖，當(dāng)P在BC上且4C=PC=6時，BP=8—6=2,

A

AB+PB,

，t=---=6.

綜上所述，當(dāng)±=?或3或裝或6s時，A4CP為等腰三角形.

14.（2023?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在△A8C中，AB=AC=5,BC=6,動點P從點C出發(fā)，按C-N-8-C

的路徑運(yùn)動（回到C點停止），且速度為每秒3個單位，設(shè)出發(fā)時間為/秒.

（1）求2c邊上的高線NE的長與/C邊上的高線AD的長；

（2）當(dāng)CP14B時，求f的值；

（3）若aACP是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的f的值.

【思路點撥】

（1）如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE,然后再運(yùn)用勾股定理可求得4E,然后再根據(jù)S^BC=^BC?AH=

/LB。即可求得BD；

（2）如圖：過C作CFL4B于凡先求得CF=g,進(jìn)而求得力C+4F,最后根據(jù)速度、路程和時間的關(guān)系

即可解答；

（2）分①C/=CP.②C/=4P,③4尸=PC三種情形，分由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求解即可.

【解題過程】

（1）W：■.AB=AC=5,BC=6,3C邊上的高線/E

.-.BE=EC=匏。=3

在Rt△ABE中，AE=7AB2-BE2=<32-32=4

■,■|BCXAE=^ACxBD

.?.6x4=58。,解得：50=y.

(2)解：如圖：過C作CF14B于F

同(1)的方法可得即=葛

^RtAAFC^p,了尸=V4C2-CF2=J52-停)2=)

7

.?.當(dāng)CP1AB時，點尸走過的路程為g+5=6.4

6.432

(3)解：①當(dāng)4C=CP=5時且在42上，如圖：過點C作CE14P于點E,

■■■AC=CP=5

■.■CELAB,BD1AC,

.??由(2)可得，CF=g

7

由勾股定理可得：AF=^

：.AC+AP=AC+2AF=54-2.8=7.8

當(dāng)4C=CP=5時且在8c上，則有4C+2B+BP=11

②如圖，當(dāng)24=AC時，即點P與點8重合,

③如圖，當(dāng)2P=PC時，點尸在BC上，過點4作4H1BC于〃

:.AHLBC

■，BH=CH=3,

由(1)可知：AH=4,

???點產(chǎn)在BC上

??.PC=16-33PH=13-3t,

71

.-.(13-3t)2+42=(16-3t)2,解得t=奇

綜上所述，滿足條件的的值為2.6或裝或當(dāng)或需

□31o

15.(2023秋?湖南衡陽?八年級校考期末)如圖1,在△力8c中，42。8=90。/8=5,8。=3,點尸從點/

出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿路線a-CrBf4運(yùn)動.設(shè)點P的運(yùn)動時間為f秒.

(i)ac=；當(dāng)點P在ac上時，CP=(用含/的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若點P在乙4BC的角平分線上，求才的值；

(3)在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)aBCP是等腰三角形時，求才的值.

【思路點撥】

(1)利用勾股定理求出4C,利用CP=4C—4P,求出CP；

(2)過點P作PD14B,交4B于點D,利用勾股定理列式求解即可；

(3)分BC=CP,BP=CP,BC=BP,三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【解題過程】

(1)解：?.?N4CB=90°/B=5,BC=3,

.?.AC-7AB2—BC2=4；

???點P從點/出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿路線a-c-B-a運(yùn)動，

.?.當(dāng)點尸在AC上時，AP=t,

.-.CP=AC-AP=4-t；

故答案為：4,4—t；

(2)解：點P作PD14B,交AB于點D,貝U：/.PDA=/.PDB=90°,

,點尸在“BC的角平分線上，4ACB=9。。,

.-.AACB=乙PDB=90°,PD=PC,

又,：BP=BP,

.??索四三△PBC(HL),

.,.BD=BC=3,

.-.AD=AB—BD-2,

由(1)知AP=t,CP=4-t,

：.PD=PC=4-t,

在Rt/XADP中，AP2=PD2+AD2,即：t2=(4-t)2+22,

解得：t=|;

(3)解：P點運(yùn)動的總時間為：(5+4+3)+1=12秒,

當(dāng)△BCP是等腰三角形時：

①當(dāng)BC=CP,點P在4C上時：如圖，

此時：4T=3,解得：t=l；

當(dāng)BC=CP,點P在上時：如圖，過點C作CE14B,交AB于點E,

貝lj：BP=t-AC-BC=t-7=2BE,

■.■SAABC=|XC-BC=^AB-CE,即：4x3=5CE,

.?.CF=y,

_9

■■BE=7BC2—CE2=

[R

:，BP=t-7=—,

???t=—；

②當(dāng)BP=CP時，如圖:

由①可知：BE=l，BP=t-7,CE=^

9

：.PE=t-7--fCP=t-7,

在RtZkPEC中，CP2=PE2+CE2,即：（t—7）2=+（學(xué)2,

解得：t=9.5；

③當(dāng)BC=BP時，如圖:

此時：BP=t-7=3,解得t=10；

綜上：當(dāng)△BCP是等腰三角形時，t的值為：1或1或9.5或10.

16.(2023秋?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期末)在RtaaBC中，^ACB=90°,CB=CA=2近,點。是射線48

上一點，連接CD,在CD右側(cè)作NDCE=90。，且CE=CD,連接己知4E=1.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點。在線段45上時，

①求NC4E的度數(shù)；

②求線段CD的長；

(2)當(dāng)點。在線段的延長線上時，其他條件不變，請在圖2中畫出圖形，并直接寫出NC/E的度數(shù)和

CD的長.

【思路點撥】

(1)①先證明△BCD三△4CE(SAS),得到=即可求解；

②先利用勾股定理求出2B=山1C2+BC2=4,再證明ND4E=NB4C+NC4E=90。，最后利用勾股定理即

可求解；

(2)先證明△BCD三△ACE(SAS),再得到NCBD=135。，即可求出NQ4E=135。，利用勾股定理即可求出

CD的長.

【解題過程】

(1)①?.?乙4cB=90。，Z￡)CE=90°,

??Z-ACB—Z-ACD=Z.DCE—Z-ACD,

：.Z-BCD—Z.ACE,

(BC=AC

在△BCD和△4CE中，\/-BCD=Z.ACE,

ICD=CE

??.△BCO三△4CE(SAS),

^Z.B=Z-CAE,

???乙4c3=90。，AC=BC,

??23=45。，

??ZC/E=45。；

②連接DE,如圖1,

R

圖1

?.24CB=90°,CB=CA=272,

."=NB"=45。，

在中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2

■■AB=7AC2+BC2=4,

△BCD三△ACE,

：.Z.B=Z.CAE=45°,BD=AE=1,

：./.DAE=Z.BAC+Z.CAE=90°,AD=AB-BD=4-1=3,

由勾股定理得：DA2+AE2=DE2

?.?ZDCE=9O°,

由勾股定理得：DC2+CE2=DE2

.-.DA2+AE2=DC2+CE2

■：CE=CD,

.-.32+1=2CD2

-'-CD—V5

(2)畫圖見圖2,NC4E=135°,CD=V13.

圖2

VZ.ACB=90°,Z.DCE=90°,

工人ACB一乙BCE=^DCE—乙BCE,

：.Z.BCD=Z.ACE,

(BC=AC

在△3C0和△4CE中，］/-BCD=/.ACE,

ICD=CE

??.△BCD三(SAS),

，乙CBD=cCAE,

???乙4CB=90。，AC=BC,

??ZCB4=45。，

,480=135。

??ZC4E=135。；

連接QE,

??2CBD=NG4E=135。，BD=AE=1,

：,Z.DAE=^CAE-/,BAC=90°,AD^AB+BD=4+1=5,

由勾股定理得：DA2+AE2=DE2

???4OCE=90。,

由勾股定理得：DC2+CF2=DE2

.-.DA2+AE2=DC2+CE2

?：CE=CD,

.-.52+l=2CZ)2

?'-CD=VT3

17.(2023秋?福建莆田?八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/在y軸上，點、B、C在x軸上,

^ABO=30°,AB=2,OB=OC.

(1)如圖1,求點AB、C的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若點。在第一象限且滿足AD=AC,ND4c=90。，線段BD交＞軸于點G,求線段BG的長；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若在第四象限有一點E,滿足NBEC=NBDC.請?zhí)骄緽E、CE、4E之間的

數(shù)量關(guān)系.

【思路點撥】

(1)根據(jù)心力8。=30。，AB=2,在RtZkAB。中，有：AO=^AB=1,進(jìn)而有B。=Vd/—4。=722T=

V3,問題隨之得解；

(2)求出ac=，ao2+oc2=2,^AB=AC,可得=接著求出NBAG=120。，證明

△BAOmACA。,即有NBA。=60°=NG4。，可得NG4D=1800-NLMC-NOAC=30°,得出

/.BAD=/.BAG+Z.GAD=150°,進(jìn)而有zABD=44。8=15°,可得NGB。=Z7180+NAB。=45°,即有

乙GBO=乙BGO=45°,問題隨之得解；

(3)由(2)可矢［1Z.ADB=15°,=^ADB+Z.ADC=60°,進(jìn)而有4BEC=N8DC=60。，延長EB

至尸，使BF=CE,連接AF,過/點作4MLEF于〃點，根據(jù)NtMB=NtMC=60。，即有N84C=120。，進(jìn)

一步有NB4C+NBEC=180°,即可證明N4BF=N4CE,接著證明△力BF三△ACE(SAS),問題隨之得解.

【解題過程】

(1)-.-/.ABO=30°,48=2,

.?.在RtZkABO中，有：40=/B=1,

■.BO=7AB2-AO2=422—12=V3,

■.■OB=OC,

■■.OB=OC=V3,

”(0,1),B(-V3,0),c(返0)；

(2)*-'OC=V3,AO=1,

22

???在Rta/CO中，AC=y/AO+OC=29^AB=AC,

-AD=AC,

.*.AD=2,

?\AD=2=AB,

：.Z.ABD=Z.ADB,

??2480=30。，44。8=90。，

?""。=60。,即484G=120。，

?：OB=OC,AB=AC=2,AO=AO,

ABAO=ACAO,

?44。=60。=4乙4。，

??2￡MC=90。，

.-./.GAD=1800-ADAC-/.0AC=30°,

?：/.BAG=120°,

??/BAD=乙BAG+Z-GAD=150°,

???乙4BD=N4DB=15。，

.?Z4BO=30。，44。8=90。，

：/GBO=乙ABD+Z.ABO=45°,

???4GBO=4BGO=45。，

；.BO=OG,

,:BO=V3,

??.BO=OG=V3,

??.在△BOG中，BG=y/BO2+OG2=V6；

(3)BE+CE=6AE,理由如下：

由(2)可知：乙4OB=15。，

-AD=AC,N￡MC=90。，

.'^ADC=Z.ACD=45°f

：.Z.BDC=Z-ADB+Z-ADC=60°,

：./.BEC=^BDC=60°,

延長EB至R使=連接4尸，過4點作/MlEF于M點，如圖,

??2。48=4。4c=60。，

.4/C=120。，

/.Z^C+ZFEC=180°,

.?Z4CE+44BE=180。，

-/.ABF+/.ABE=180°,

：.Z-ABF=乙4cM

又“8=ZC,BF=CE,

:,AABF=AACE(SAS),

：,AF=AE,乙BAF=^CAE,

,^FAE=ABAC=120°f

??ZF=Z.AEF=30°,

-AM1EFfAF=AE,

.-.AM=^AE,ME=|￡F,

：.ME=y/AE2-AM2=爭E

■■.FE=y/3AE,

：.BE+CE=BE+BF=FE=WAE,

即BE+CE=d^4E.

18.（2023秋?山東濟(jì)南?八年級統(tǒng)考期末）已知乙4OB=/COD=90。，OA=OB=10,OC=OD=8

B