中考數(shù)學專項復習：公式法分解因式（2個知識點+4類熱點題型講練+習題鞏固）（解析版）

第08講公式法分解因式

01學習目標

課程標準學習目標

1.掌握能用平方差公式分解的多項式的特點以及平方差公式分

①用平方差公式分解因式解因式的方法并能在題目中熟練應(yīng)用。

②用完全平方公式分解因式2.掌握能用完全平方公式分解的多項式的式子特點以及用完全

平方公式分解因式的方法并能夠熟練應(yīng)用。

02思維導圖

L

用平方差分解因式

03知識清單

知識點01用平方差公式分解因式

1.平方差公式分解因式的內(nèi)容：

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差。即：a2-b2^_(a+b\a-b)

2.式子特點分析與因式分解結(jié)果：

①式子特點分析：式子是一個二項式，符號相反且都可以寫成平方的形式。

②因式分解結(jié)果：等于寫成平方形式時的底數(shù)的和乘以底數(shù)的差。差時用正項底數(shù)減

去負項的底數(shù)。

【即學即練1】

1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.W+4y2B.-/+4y2c.x2-2y+lD.-x2-4y2

【分析】能用平方差公式分解因式的式子必須是兩平方項的差.

【解答】解：A./+4f兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式；

B.-/+4/是2y與x的平方的差，能用平方差公式分解因式；

C.?-2y+l是三項不能用平方差公式分解因式；

D.兩項的符號相同，不能用平方差公式分解因式.

故選：B.

【即學即練2】

2.把下列各式因式分解：

(1)x2-25j2.(2)-4m2+25n2.(3)Ca+b)2-4a2.

(4)/-].(5)9(m+n)2-(m-n)2.(6)mx2-4my2.

【分析】(1)直接利用平方差公式進行分解即可；

(2)直接利用平方差公式進行分解即可；

(3)直接利用平方差公式進行分解，再把括號里的同類項進行合并即可；

(4)利用平方差公式分解兩次即可；

(5)直接利用平方差公式進行分解，再把括號里的同類項進行合并即可；

(6)首先提取公因式〃?，再利用平方差公式進行分解即可.

【解答】解：(1)原式=(x+5y)(x-5y)；

(2)原式=(5n-2m)(5n+2m)；

(3)原式=(〃+。-2a)(〃+Z?+2〃)

=(b-a)(3a+b)；

(4)原式=(a2+l)(a2-1)

=($+1)(〃+1)(a~1)；

(5)原式=(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n)

=(2m+4n)(4m+2n)

=4(m+2n)(2m+n)；

(6)原式(x2-4y2)

=m(x-2y)(x+2y).

【即學即練3】

3.若多項式如2-4在有理數(shù)范圍內(nèi)能利用平方差公式進行因式分解，則”的值不可能是()

A.1B.5C.9D.16

【分析】根據(jù)平方差公式的公式結(jié)構(gòu)對各選項分析判斷即可.

【解答】解：A、m=l時，/-4=(x+2)(x-2),可以用平方差公式分解因式，故該選項不符合題意；

2、機=5時，5?-4,不可以用平方差公式分解因式，故該選項符合題意；

C、加=9時，9?-4=(3元+2)(3x-2),可以用平方差公式分解因式，故該選項不符合題意；

D、根=16時，16f-4=(4x+2)(4x-2)=4(2x+l)(2x-1),可以用平方差公式分解因式，故該選

項不符合題意；

故選：B.

【即學即練4】

4.若a+6=3,a-b=^,貝Uf-廬的值為()

3

A.1B.gC.此D.9

33

【分析】直接利用平方差公式分解因式，進而將已知代入求出即可.

【解答】解：a+6=3,a-b=—,

3

.,.a2-i>2=3XA=1.

3

故選：A.

知識點02用完全平方公式分解因式

i.完全平方公式分解因式的內(nèi)容：

兩個數(shù)的平方的和加上(或減去)這兩個數(shù)乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方。

即cT+2ab+b~—(a+。

2.式子特點分析與因式分解結(jié)果：

①式子特點分析：式子是一個三項式，其中兩項符號相同且都能寫成平方的形式,

第三項是平方兩項底數(shù)乘積的兩倍。

②因式分解結(jié)果：等于底數(shù)和的平方或底數(shù)差的平方。若第三項與平方兩項符號相同，

則等于底數(shù)和的平方，若第三項與平方兩項符號相反，則等于底數(shù)差的平方。若平方兩項是負號,

則在括號前添加負號。

【即學即練1】

5.下列多項式中，可以用完全平方式進行因式分解的是()

A.x2+2xy+4y2B.-9x2-y2

C.4x-y2D.x2-8xy+16y2

【分析】根據(jù)整式的加減運算法則即可求出答案.

【解答】解：4此式子不是完全平方式；

8、此式子不是完全平方式；

C、此式子不是完全平方式；

。、此式子是完全平方式.

故選：D.

【即學即練2】

6.把下列各式分解因式.

(1)n2-6mn+9m2(2)a2-14ab+49b2

(3)cr-4ab+4b2(4)tti2-10m+25.

【分析】直接利用完全平方公式分解即可.完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±6)2.

【解答】解：(1)M2_6mn+9m2=(n-3m)2；

(2)a2-14ab+49b2=(a-76)2；

(3)a2-4ab+4b2=(a-2b)2；

(4)m2-10%+25=(m-5)2.

【即學即練3】

7.把3-7-/分解因式，結(jié)果正確的是()

A.(x-y)2B.(-x-y)2C.-(x-y)2D.-(x+y)2

【分析】先添加帶負號的括號，再利用完全平方公式進行因式分解.

【解答】解：

=-(/-2xy+y2),

=-(x-y)2.

故選：C.

【即學即練4】

8.已知9/+優(yōu)口+16y2能運用完全平方公式因式分解，則機的值為()

A.12B.±12C.24D.+24

【分析】這里首末兩項是版和4y個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去3x和4y乘積的2倍，進而

得出答案.

【解答】解：V(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2,

在9x2+mxy+16y2中，m=±24.

故選：D.

題型精講

題型01判斷式子能否用公式法分解

【典例1］下列多項式能用平方差公式分解因式的是()

A.4X2+J2B.-4.x2-y2C.-4x2+y2D.-4x+y2

【分析】根據(jù)能用平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、兩平方項的符號相同，故本選項錯誤；

8、兩平方項的符號相同，故本選項錯誤；

C、符合平方差公式，正確；

D,只有一個平方項，故本選項錯誤.

故選：C.

【變式1】下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是()

A.-x1+6x+9B.-7+6x-9C.x2-6x-9D.x2-2x+9

【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征逐項進行判斷即可.

【解答】解：A.-?+6x+9=-（?-6x-9）,因此不能利用完全平方公式進行因式分解，所以選項A

不符合題意；

B.-/+6x-9=-（x2-6x+9）=-（x-3）2,因此選項8符合題意；

C./-6x-9不能利用完全平方公式進行因式分解，所以選項C不符合題意；

D.f-2x+9不能利用完全平方公式進行因式分解，所以選項。不符合題意.

故選：B.

【變式2】下列多項式，能用公式法分解因式的有（）個.

①3x2+3;/②-f+y2③-x2-y1?^+xy+y1?xL+1xy-y2?-x2+4xy-4j2

A.2B.3C.4D.5

【分析】因式分解可套用公式分別是公式/-必=（。心（a-b）和公式/±2"+廿=（.土6）2,所

給出的6個多項式中，根據(jù)公式結(jié)構(gòu)特點對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：①3f+3y2兩平方項符號相同，不能運用公式；

②-7+/=（y+x）（y-尤），兩平方項符號相反，能運用平方差公式；

③兩平方項符號相同，不能運用公式；

④/+肛+y2,乘積項不是二倍，不能運用完全平方公式；

⑤？+%-7兩平方項符號相反，不能運用完全平方公式；

2

⑥-7+4孫-4/=-（7-4孫+4y2）=-（x-2y）,整理后可以利用完全平方公式.

所以②⑥兩項能用公式法分解因式.

故選：A.

【變式3】下列各式：①-x2-;/；②2b4③④/+2盯+/；⑤*2可以用公式

44

法分解因式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】利用公式法進行因式分解，逐一判斷即可得出答案.

【解答】解：①不可以因式分解；

②可以用平方差公式進行因式分解；

③不可以因式分解；

④可以用完全平方公式進行因式分解；

⑤可以用完全平方公式進行因式分解.

故答案為：B.

題型02用公式法分解因式

【典例1］把多項式16/-24x+9分解因式得（）

A.C16x-3）2B.（4元-3）2

C.(16x+3)(16x-3)D.(4尤+3)(4x-3)

【分析】觀察原式可知，原式正好是一個完全平方式，由此利用完全平方公式分解因式即可.

【角軍答】解：16?-24x+9

=16?-2X4X3x+32

=(4x-3)2,

故選：B.

【變式1】分解因式“2-4,正確的是()

A.(a+1)((/_4)B.(a-2)2

C.(a-2)(o+2)D.(2a-1)(2cz+D

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：a2-4=o2-22=(a-2)(a+2).

故選：C.

【變式2】分解因式：

(1)4a2-16(2)-36x2+12xy-y1.

【分析】(1)先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；

(2)先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：(1)原式=4(7-4)

=4(a+2)(a-2)；

(2)原式=-(36/-12孫+/)

=-(6尤-y)2.

【變式3】分解因式：

(1)(%2-6x)2+18(x2-6x)+81；(2)(J2+3J)2-(2y+6)2.

【分析】(1)先把原式看作(/-6x)的二次三項式.利用完全平方公式分解因式，然后再利用完全平

方公式分解即可；

(2)先利用平方差公式分解因式，然后對各因式再進行分組分解即可.

【解答】解：(1)原式=(x2-6x+9)2

=[(x-3)2]2

=(x-3)4；

(2)原式=(y2+3y+2y+6)(y2+3y-2y-6)

=(，+5y+6)(尸+y-6)

=(y+2)(y+3)°(y-2).

【變式4】把下列各式分解因式

(1)(尤-y)2+4xy(2)m3-9m

(3)/(尤-y)-(x-y)(4)4cz2-3b(4a-3b)

【分析】(1)首先去括號，進而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式得出即可；

(2)首先提取公因式，進而結(jié)合平方差公式分解因式得出答案；

(3)首先提取公因式，進而結(jié)合平方差公式分解因式得出答案；

(4)首先去括號，再利用完全平方公式分解因式得出即可.

【解答】解：(1)(x-y)2+4xy

=7+/-2xy+4xy

=x1^y2+2xy

=(x+y)2；

(2)m3-9m

=m(m2-9)

=m(m+3)(m-3)；

(3)x2(x-y)-(x-y)

=(x-j)(x2-1)

=(x-y)(x+1)(x-1)；

(4)4/-3。(4i-3。)

=4/-12而+9戶

=(2a-3b)2.

題型03根據(jù)用公式法分解的式子特點求值

【典例1］關(guān)于x的二次三項式/-ax+36能用完全平方公式分解因式，則a的值是()

A.-6B.±6C.12D.±12

【分析】根據(jù)完全平方公式，第一個數(shù)為x,第二個數(shù)為6,中間應(yīng)加上或減去這兩個數(shù)積的兩倍.

【解答】解：依題意，得

tzx=±2X6x,

解得：4=±12.

故選：D.

【變式11若/+(k-2)x+9能用完全平方公式因式分解，則k的值為()

A.6B.-4或8C.-6或6D.0

【分析】利用完全平方公式得到/+(/-2)X+32=(X+3)2或/+尤+32=(x-3)2,貝廉-2

=6或左-2=-6,然后解一次方程得到人的值.

【解答】解：：/+Qk-2)x+9=f+(A-2)x+32,

而/+*-2)x+9能用完全平方公式因式分解，

.,.7+(左-2)x+32—(x+3)2或f+(k-2)x+32—(x-3)2,

'.k-2=6或％-2=-6,

解得k=8或-4.

故選：B.

【變式2】若。的值使/+6x+a=(x+3)2成立，則a的值為()

A.9B.8C.6D.3

【分析】直接利用完全平方公式計算得出答案.

【解答】解：*.*X2+6X+?=(%+3)之成立，

.\a=32=9.

故選：A.

【變式3］若81-/=(9+x2)(3+x)(3-x),那么k的值是()

A.2B.3C.4D.5

【分析】先把等式右邊利用平方差公式進行計算；然后與左邊的(81-/)比較即可求解.

【解答】解：V81-/=(9+x2)(3+x)(3-x),

???81-/=(9+x2)(9-x2)=(81-/),

Z=4.

故選：C.

【變式4】已知12-2以+/?=(X-3)2,則廬-的值是()

A.-72B.-45C.45D.72

【分析】直接利用完全平方公式：a2±2"+b2=(〃±。)2,得出〃，。的值，進而得出答案.

【解答】解：Vx2-2ax+b=(x-3)2=/-6X+9,

-2a=-6,b=9,

解得：〃=3,

故居一/=92-32=72.

故選：。.

題型04因式分解的應(yīng)用

【典例1］若a+6=4,ab—5,則/b+a/的值為()

A.9B.16C.20D.25

【分析】將J"”/提取公因式油，進而將已知代入求值即可.

【解答】解：；a+b=4,ab=5,

c^b+atr—ab(a+b)=5X4=20,

故選：C.

【變式11若x+y=2,則代數(shù)式x2-丁+郁的值等于4.

【分析】先根據(jù)公式法因式分解進行計算，再代入求出即可.

【解答】解：'：x+y=2,

.'.x2-y2+4y=(尤+y)(x-y)+4y

=2(x-y)+4y

—lx-2y+4y

=2x+2y

=2(x+y)

=2X2

=4,

故答案為：4.

【變式2】若a+b=4,a-b=l,則(a+2)2-(匕-2)2的值為20.

【分析】先根據(jù)平方差公式分解因式，整理后代入，即可得出答案.

【解答】解：,：a+b=4,a-b=\

：.(a+2)2-(6-2)2=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(Z?-2)]=(a+b)(a-b+4)=4X(1+4)

=20

故答案為：20

【變式3】如果a、b、c是三角形的三邊長，那么代數(shù)式『-2"-。2+廬的值是()

A.正數(shù)B.負數(shù)C.非正數(shù)D.非負數(shù)

【分析】把原式進行因式分解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷.

【解答】解:a2-2ab-c2+b2

=/-2ab+b2-c2

=(a-Z?)2-c2

=(a+c-。)[a-(Z?+c)],

,?"、b、c是三角形的三邊長，

??a+c-b>0fa-(0+c)<0,

a2-lab-c2+/?2<0,即a1-lab-c2+b2的值是負數(shù)，

故選：B.

【變式4]若a+,=2020,W=2021,c+?=2022,則/+必+。2-必-加-以的值為()

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)題目信息得到a、b.c的數(shù)量關(guān)系，然后對原式進行變化先乘2后乘工，最后利用公式法

2

即可.

【解答】解：由題意可知，

2020-G=2021-6=2022-c,

??a~b~~~1,u~c~~12,h~c~~-1,

原式=2X(a2+Z?2+c2-ab-be-ca')XA

2

=[(a-6)2+(a-c)2+Cb-c)2]xl

2

=(1+4+1)xA

2

=3.

故選：D.

05強化訓練

1.下列多項式中不能用公式法分解因式的是()

222

A.+a+A-B.2ab+cT+bC.-a+25D.-4-b

【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐項進行分析判斷即可.

22

【解答】解：A.a+a+l=(a+l),能用完全平方公式進行因式分解，不符合題意;

B.2ab+cr+b2=Q+6)2,能用完全平方公式進行因式分解，不符合題意；

C.-J+25=(5+a)(5-a),能用平方差公式進行因式分解，不符合題意；

D.-4-b2=-(4+廬)，不能用公式法分解，符合題意；

故選：D.

2.已知多項式/+辦+16可以用完全平方公式進行因式分解，則。的值為()

A.4B.8C.-8D.+8

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出a的值.

【解答】解：???多項式尤+16可以用完全平方公式進行因式分解，

/.a=±2XlX4=±8.

故選：D.

3.因式分解：2/-12a+18=()

A.2(a2-6?+9)B.(a-3)2

C.2(a-3)(a+3)D.2(a-3)2

【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：原式=2(/-6。+9)

=2(a-3)2,

故選：D.

4.已知m+n—2,則m2-?z2+4n的值是()

A.2B.6C.4D.8

【分析】先把原式進行因式分解，再把他+”=2代入進行計算即可.

【解答】解：-：m+n=2,

.,.原式=(m+n)(m-?)+4〃

=2(m-")+4n

=2m-2n+4n

=2(m+n)

=2X2

=4.

故選：c.

5.在多項式x2+工上添加一個單項式，使得到的多項式可以用完全平方公式進行因式分解，則添加的單

4

項式不可以是()

A.xB.-xC.x4D.-x4

【分析】根據(jù)完全平方和(差)公式的性質(zhì)即可求解.

22

【解答】解：4選項，X+X4j=(x+y),可以構(gòu)成完全平方和公式，不符合題意；

112

8選項，x2-x+|=(x-y)，可以構(gòu)成完全平方差公式，不符合題意；

選項，4222可以構(gòu)成完全平方和公式，不符合題意；

CX+X+X=(X4A),

。選項，-x4+x2]，不可以構(gòu)成完全平方公式，符合題意.

故選：D.

6.若a,b,c是△ABC的三邊長，則(匕一。)2的結(jié)果()

A.大于零B.等于零C.小于零D.不確定

【分析】由三角形三邊關(guān)系可得a+b-c>0,a+c-Z?>0,原式再因式分解化為(〃+A-c)(a-b+c),

即可得解.

【解答】解：???〃，c是△ABC的三邊長，根據(jù)三角形的三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩

邊之差小于第三邊可得：

a+b-c>0,a+c-b>0,

a2-(Z?-c)2=(〃+。-0)[a-(。-c)]=(〃+0-c)(〃-b+c)>0.

故選：A.

7.某課外密碼研究小組接收到一條密文：8x(m2-n2)-8^(m2-n2).已知密碼手冊的部分信息如表所

75：

密文…m-nm+nx-yx+y8X…

明文…我愛中華大地…

把密文8x(92一九2)一沙(加2一層)用因式分解解碼后，明文可能是()

A.中華大地B.愛我中華C.愛大中華D.我愛中大

【分析】提取公因式后，再用平方差公式分解即可.

【解答】解：8x(m2-n2)-8y(m2-n2),

原式=8(x-y)(m2-n2),

=8(x-y)(m+w)(m-n),

對應(yīng)密文可得到的字為：愛，我，中，大；

故選：D.

8.已知a,b,c是△ABC的三邊長，且/+2浦=02+2兒，則△ABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【分析】把a2+2ab=c2+2bc因式分解后判斷即可.

【解答】解：：a2+2M=c2+26c,

a2-c2+2ab-2bc=0,

(a-c)(〃+c)+2。(4-c)=0,

Ca-c)(o+c+2Z?)=0,

??"，b,c是△ABC的三邊長，

〃+c+2/?>0,

??a-c~0,即“=c,

「?△ABC是等腰三角形，

故選：C.

9.己知x-y=-4,貝ij多項式/x2-xy總y2的值為()

A.4B.6C.8D.10

【分析】先提取公因式」，再利用完全平方公式，最后整體代入求值.

2

22

【解答】解：1X-xy4-y

=-i(x2-2xy+y2)

(尤-y)2.

2

當x-y=-4時，

原式=_lx(-4)2

2

二X16

2

=8.

故選：C.

10.如果一個數(shù)。=(2?+1)2-(2"-1)2,那么我們稱這個數(shù)a為“奇差數(shù)”.下列數(shù)中為“奇差數(shù)”

的是()

A.56B.82C.94D.126

【分析】首先化簡。=(2”+1)2-(2n-1)2=8"，再看四個選項中，能夠整除8的即為答案.

【解答】解：'：a=(1n+1)2-(2w_1)2=(2〃+1+2〃-1)(2〃+1-2H+1)=8”，

；?“奇差數(shù)”是8的倍數(shù)，

A,56+8=7,能夠被8整除，因此56是“奇差數(shù)”；

B,82+8=10…2,不能夠被8整除,因此82不是“奇差數(shù)”；

C,944-8=11-6,不能夠被8整除，因此94不是“奇差數(shù)”；

D,1264-8=15-6,不能夠被8整除，因此126不是“奇差數(shù)”；

故選：A.

11.因式分解：彳4-81丫4=(7+9y2)(x+3y)(尤-3y).

【分析】根據(jù)平方差公式求解.a

【解答】解：x4-81/=(x2+9y2)(x+3y)Cx-3y),

故答案為：(/+9/)(x+3y)(x-3y).

12.已知|x-2y-l|+/+4xy+4y2=0,貝！|x+y—_—_.

【分析】己知等式左邊后三項利用完全平方公式變形后，根據(jù)兩非負數(shù)之和為0,兩非負數(shù)分別為0得

到關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可求出無+y的值.

【解答】解：\x-2y-l\+x2+4xy+4y2-\x-2y-1|+(x+2y)2=0,

.Jx-2y-l=0

1x+2y=0

x節(jié)

解得：JJ

7=~4

則x+y=—--.

,244

故答案為：工

4

13.已知個=弓，x+y=5,則2昌+4/?+23=-25.

【分析】因式分解后，整體代入計算即可；

【解答】解：20+4。2+2孫3=2孫(x2+2xy+y2)

=2xy(x+y)2,

?xy~~~~,x+y^5,

?，?原式=-25.

故答案為-25.

14.已知〃3+2/+4+2=0,貝IJ。2024,2〃2022+4〃2021的值為Q.

【分析】利用因式分解求，的值，再代入代數(shù)式求值.

【角軍答】解：:〃3+2〃2+〃+2=0,

(〃+2)+(〃+2)=0,

(/+1)(〃+2)=0,

。+2=0,

??一2,

?...2024.2a2022+4/021

=a2021(a3-2a+4)

=(-2)2021X[(-2)3-2X(-2)+4]

=(-2)2021X(-8+4+4)

=(-2)2021XO

=0.

15.在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是

對于多項d-y4,因式分解的結(jié)果是(x+y)(x-y)(/+y2),若取彳=9,y=9,則各個因式的值是：x+y

=18,x-y=O,/+?=162,于是就可以把“180162”作為一個六位數(shù)的密碼.那么對于多項式9爐-

孫2,取x=ll,y=6時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是113927(答案不唯一)(寫出一個即可).

【分析】把所給式子提公因式尤后.繼續(xù)用平方差公式進行因式分解，算出各個因式的值，任選一組當

密碼即可.

【解答】解：9/-孫2

=x(9X2-y2)

=x(3x+y)(3x-y).

當x=H,y=6時，

各個因式的值是：x=U,3x+y=39,3x-y=27.

用上述方法產(chǎn)生的密碼是：113927或112739或391127或392711或273911或271139.

故答案為：113927(答案不唯一).

16.因式分解：

(1)2?-12^+18/.

(2)9(m-2n)2-(m+2n)2.

【分析】(1)原式提取公因數(shù)2后，再運用完全平方公式進行因式分解即可；

(2)原式運用平方差公式進行因式分解即可.

【解答】解：(1)2?-12xy+18y2

=2(/-6xy+9y之)

=2(x-3y)2；

(2)9(m-2n)2-(m+2n)2

=[3(m-2n)+(m+2n)][3(m-2n)-(m+2n)]

=(3m-6n+m+2n)(3m-6n-m-2n)

=(4m-4n)(2m-8n)

=8(m-n)(m-4n)

17.若定義一種運算：aAb=a3-b2+ab+L

如：2A(-3)=23-(-3)2+2X(-3)+1=8-9-6+1=-6.

(1)計算：(-x)△(1-x).

(2)將(1)計算所得的多項式分解因式；

【分析】(1)把(-x)看成小(1-x)看成兒按照定義的運算，代入計算即可；

(2)先提取公因式，再按照平方差公式進行因式分解.

【解答】解：(1)由題意，得：

(-尤)△(1-X)

=(-無)3-(1-X)2+(-X)(1-X)+1

—~-(1-2x+?)-x+x^+1

—~x'~l+2x~-x+x^+1

=-

(2)-JC'+X

--x(x2-1)

=-X(x+l)(X-1).

18.先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：將“x+y”看成整體，令x+y=?b

則原式=川+2m+1=(W+1)2.

再將x+y=/w代入，得原式=(x+y+1)2.

上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題:

(1)因式分解：1-2(x-y)+(尤-y)2=(尤-y-1)2；

(2)因式分解：9(x-2)2-6(尤-2)+1.

【分析】(1)把原式看作關(guān)于(x-j)的二次三項式，然后利用完全平方公式分解因式；

(2)把原式看作關(guān)于(尤-2)的二次三項式，然后利用完全平方公式分解因式.

【解答】解：⑴將“x-y”看成整體，令x-尸加，

則原式=1-2m+iTT=(.tn-1)2.

再將代入，得原式=(x-y-1)2；

故答案為：G-y-1)2；

(2)將“x-2”看成整體，令x-2=m,

則原式=9冽2-6優(yōu)+1=(3m-1)2.

再將x-2=??代入，得原式=[3(x-2)-1肝=(3尤-7)2.

19.認真觀察下面這些等式，按其規(guī)律，完成下列各小題：

①42-22=4X3；

@62-42=4X5；

③82-62=4X7；

④d-82=4X9；

(1)將橫線上的等式補充完整；

(2)驗證規(guī)律：設(shè)兩個連續(xù)的正偶數(shù)為2”，2/1+2("為正整數(shù))，則它們的平方差是4的倍數(shù)；

(3)拓展延伸：判斷兩個