中考數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)：平行四邊形的綜合及詳細(xì)答案

中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一平行四邊形的綜合及詳細(xì)答案

一、平行四邊形

1.如果兩個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，夾角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做互補(bǔ)三角形，如

圖2,分別以AABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF,則圖中的兩個(gè)三角形

就是互補(bǔ)三角形.

（1）用尺規(guī)將圖1中的△ABC分割成兩個(gè)互補(bǔ)三角形；

（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個(gè)互補(bǔ)三角形；

（3）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上再以BC為邊向外作正方形BCHI.

①已知三個(gè)正方形面積分別是17、13、10,在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的

邊長為1）畫出邊長為嚴(yán)、0J1n的三角形，并計(jì)算圖3中六邊形DEFGHI的面積.

②若△ABC的面積為2,求以EF、DKHG的長為邊的三角形面積.

【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）①62；②6

【解析】

試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可.

（2）根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義證明即可.

（3）①畫出圖形后，利用割補(bǔ)法求面積即可.

②平移△CHG至IJAMF,連接EM,IM,貝1|AM=CH=BI,只要證明SAEFM=3SAABC即可.

試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD,△ABD和△ADC是互補(bǔ)三角形.

（2）如圖2中，延長FA到點(diǎn)H,使得AH=AF,連接EH.

E

,四邊形ABDE,四邊形ACGF是正方形,

.AB=AE,AF=AC,NBAE=ZCAF=90°,

/.ZEAF+ZBAC=180°,

「.△AEF和^ABC是兩個(gè)互補(bǔ)三角形.

,/ZEAH+ZHAB=ZBAC+ZHAB=90°,

/.ZEAH=ZBAC,

,/AF=AC,

AH=AB,

itAAEH和^ABC中，

AE=AB

'Z.EAB=ABAC

AH=AC

「.△AEHM△ABC,

:SAAEF=SAAEH=SAABC.

（3）①邊長為A/17、0W的三角形如圖4所示.

（圖4）

「SAABC=3X4-2-1.5-3=5.5,

??S六邊形=17+13+10+4x5.5=62.

②如圖3中，平移△CHG至ljAMF,連接EM,IM,則AM二CH=BL設(shè)NABC=x,

（圖3）

.AMIICH,CH±BC,

.AM±BC,

.NEAM=90°+90°-x=180°-x,

,ZDBI=360°-90°-90°-x=180°-x,

.ZEAM=ZDBI,?/AE=BD,

.△AEMM△DBI,

?在△DBI和△ABC中,DB=AB,BI=BC,ZDBI+ZABC=180°,

.△DBI和^ABC是互補(bǔ)三角形，

?SAAEM=SAAEF=SAAFM=2,

??SAEFM=3SAABC=6.

考點(diǎn)：1、作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，2、三角形面積

2.操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD,點(diǎn)P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，

得到AAEP,DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F.

探究：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，①若NBAP=30。，求NAFE的度數(shù)；②若點(diǎn)E

恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)通過運(yùn)算說明點(diǎn)P會(huì)在線段BC的什么位置？并求出此時(shí)NAFD

的度數(shù).

歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B,C重合）,NAFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)

生變化？試證明你的結(jié)論；

猜想：（3）如圖2,若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí)，ZAFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試在

圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論.

【答案】（1）①45。；②BC的中點(diǎn)，45。；（2）不會(huì)發(fā)生變化，證明參見解析；（3）不

會(huì)發(fā)生變化，作圖參見解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，①由折疊得到一對(duì)角相等，再利用正方形性質(zhì)求

出NDAE度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；②由E為DF中

點(diǎn)，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)0,作EGIIAD,得EG11BC,得至I」AF

垂直平分BE,進(jìn)而得到三角形B0P與三角形E0G全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到

BP=EG=1,得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一

點(diǎn)時(shí)（不與B,C重合），NAFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，作AGJ_DF于點(diǎn)G,如圖1（a）所

示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出N1+N2的度數(shù)，即為NFAG

度數(shù)，即可求出NF度數(shù)；（3）作出相應(yīng)圖形，如圖2所示，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上

時(shí)，NAFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由為：作AGLDE于G,得NDAG=NEAG,設(shè)

ZDAG=ZEAG=a,根據(jù)NFAE為NBAE一半求出所求角度數(shù)即可.

試題解析：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，「NEAP=NBAP=30°,=NDAE=90°-

30°x2=30°,在△ADE中，AD=AE,ZDAE=30°,ZADE=ZAED=（180°-30°）+2=75°,在

△AFD中，ZFAD=30°+30°=60°,ZADF=75°,/.ZAFE=180°-60°-75°=45°；②點(diǎn)E為DF

的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：

連接BE交AF于點(diǎn)0,作EGIIAD,得EGIIBC,,/EGIIAD,

1

DE=EF,EG=2AD=1,AB=AE,.,.點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點(diǎn)P在線段

BE的垂直平分線上，二AF垂直平分線段BE,二0B=0E,BGEIIBP,/.Z0BP=ZOEG,

ZOPB=ZOGE,ABOP空△EOG,BP=EG=1,即P為BC的中點(diǎn)，/.ZDAF=90°-

ZBAF,ZADF=45°+NBAF,ZAFD=180°-ZDAF-ZADF=45°；(2)ZAFD的度數(shù)不會(huì)

發(fā)生變化，作AG_LDF于點(diǎn)G,如圖1(a)所示，

在△ADE中，AD=AE,AG±DE,；AG平分NDAE,即N2=NDAG,且

1

Z1=ZBAP,Z1+Z2=1x90°=45°,即NFAG=45°,貝l|NAFD=90°-45°=45°；(3)如圖2

所示，NAFE的大小不會(huì)發(fā)生變化，NAFE=45。，

設(shè)NDAG=ZEAG=a,

ZBAE=90°+2a,/.ZFAE=，NBAE=45°+a,/.ZFAG=ZFAE-ZEAG=45°,在RtAAFG中，

ZAFE=90°-45°=45°.

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.折疊性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì).

3.已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF_LBD交BC于F,連接DF,

G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG.

（1）請(qǐng)問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG,

CG.問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中

的結(jié)論是否仍然成立？（請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不必寫出理由）

圖①圖②圖⑤

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）結(jié)論仍然成立

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.

（2）結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點(diǎn)作于/W,與EF的延長線交于N點(diǎn)；再證

DAG^：△DCG,得出AG=CG；再證出△OMGV△FNG,得至！J/MG=NG；再證明

AAMG^△ENG,得出AG=EG；最后證出CG=EG.

（3）結(jié)論依然成立.

【詳解】

（1）CG=EG.理由如下：

；G為。F的中點(diǎn)，，CG=』F。,

???四邊形ABCD是正方形，，ZDCF=90".在RtAFCD中,

2

同理.在RtADEF中，EG=—FD,：.CG=EG.

2

(2)(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.

證法一：連接AG,過G點(diǎn)作于M,與EF的延長線交于N點(diǎn).

在ADAG與AOCG中，?，-AD=CD,ZADG=ACDG,DG=DG,:?&DAG^&DCG(SAS),

/.AG=CG；

在小DMG與4FNG中，:NDGM=NFGN,FG=DG,ZMDG=NNFG,：.△DMG空△FNG

(ASA),：.MG=NG.

:NEAM=NAEN=NAMN=90°,二四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN.在

△AMG與4ENG中，AM=EN,NAMG=NENG,MG=NG,：.△AMG^△ENG(SAS),

/.AG=EGf/.EG=CG.

證法二：延長CG至M,使MG=CG,連接MF,ME,EC.在AOCG與AFMG中，

FG=DG,ZMGF=NCGD,MG=CG,：.△DCG合△FMG,：.MF=CD,ZFMG=NDCG,

MFWCDIIAB,：.EF工MF.

在RtAMFE與RtACBE中，,：MF=CB,ZMFE=NEBC=90°,EF=BE,：.△MFE^△CBE

：.ZMEF=ZCEB,ZMEC=NMEF+NFEC=NCEB+NCEF=90°,：.△MEC為直角三角形.

1

：MG=CG,：.EG=-MC,：.EG=CG.

2

(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：

過F作C。的平行線并延長CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過F作F/V垂直于AB于N.

由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG^△MFG,得至I]CD=FM,又因?yàn)锽E=EF,易證

ZEFM=NEBC,貝！!△EFM^△EBC,ZFEM=NBEC,EM=EC

■：ZFEC+Z.BEC=90°,:.NFEC+NFEM=9G°,即N/WEC=90°,二△/WEC是等腰直角三角形.

G為CM中點(diǎn)，EG=CG,EG±CG

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題.（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；

（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)解答.

4.如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.

⑴試猜想AE與GC有怎樣的關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）；

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和

圖1圖2

【答案】⑴AE=CG,AELGC；⑵成立，證明見解析；⑶0.

【解析】

【分析】

（1）觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下面著手證明.由于四邊形ABCD、

DEFG都是正方形，易證得△ADE2△CDG,則N1=N2,由于N2、N3互余，所以N1、

Z3互余，由此可得AE±GC.

（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證AADE叁△CDG,得N5=

N4,由于N4、N7互余，而N5、N6互余，那么N6=N7；由圖知NAEB=NCEH=90。

-Z6,即N7+NCEH=90。，由此得證.

(3)如圖3中，作CM_LDG于G,GN_LCD于N,CH_LFG于H,則四邊形CMGH是矩

形，可得CM=GH,CH=GM.想辦法求出CH,HF,再利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】

(1)AE=CG,AE±GC；

證明：延長GC交AE于點(diǎn)H,

在正方形ABCD與正方形DEFG中，

AD=DC,ZADE=ZCDG=90°,

DE=DG,

/.△ADEM△CDG(SAS),

:AE,CG,Z1=N2

?/Z2+Z3=90°,

/.Z1+Z3=90°,

/.ZAHG=180°-(Z1+Z3)=180°-90°=90°,

/.AE±GC.

⑵答：成立；

證明：延長AE和GC相交于點(diǎn)H,

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD=DC,DE=DG,ZADC=ZDCB=ZB=ZBAD=ZEDG=90°,

/.Z1=Z2=90°-Z3；

/.△ADE合△CDG(SAS),

:AE=CG,Z5=N4；

又Z5+Z6=90°,Z4+N7=180°-ZDCE=180°-90°=90°,

/.Z6=Z7,

又「N6+NAEB=90°,NAEB=NCEH,

ZCEH+Z7=90°,

/.ZEHC=90°,

/.AE±GC.

⑶如圖3中，作CM_LDG于G,GN_LCD于N,CH_LFG于H,則四邊形CMGH是矩形，可

得CM=GH,CH=GM.

BE=CE=1,AB=CD=2,

AE=DE=CG=DG=FG=布,

???DE=DG,ZDCE=ZGND,ZEDC=ZDGN,

/.△DCE合△GND(AAS),

/.GCD=2,

.11一一

ee

SADCG=-CD*NG——*DGCM,

22

/.2x2=y/5*CM,

非

/.FH=FG-FG=—,

5

CF=y/FH2+CH2=J咚）2+（孚）2=應(yīng).

故答案為0.

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

5.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，且

CF=AE,連接DE,DF,EF.FH平分ZEFB交BD于點(diǎn)H.

（1）求證：DEA.DF-,

（2）求證：DH=DF：

（3）過點(diǎn)H作石拉，石下于點(diǎn)M,用等式表示線段AB,與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

DAD

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）ER=2AB—2HM，證明詳見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，CF=AE得到戶.

（2）由得。石=DF.由NABC=90°,5。平分NABC,

得NDBF=45°.因?yàn)镕H平分NEFB,所以NEFH=NBFH.由于

ZDHF=ZDBF+ZBFH=45°+ZBFH,ZDFH=ZDFE+/EFH=45°+ZEFH,

所以DH=DF.

（3）過點(diǎn)H作HNLBC于點(diǎn)N,由正方形ABCD性質(zhì)，得

BD=[AB。+AD?=插AB?由FH平分NEFB，HM±EF,HN±BC,得

HM=HN.因?yàn)镹HBN=45。,ZHNB=90°,所以BH=」^—=42HN=叵HM.

sin45°

由所=DF=0DF=CDH,得EF=2AB_2HM.

cos45°

【詳解】

（1）證明：:四邊形ABC。是正方形，

..AD^CD,ZEAD=ZBCD=ZADC=90°.

ZEAD^ZFCD=90°.

-：CF=AE.

AAED^ACFD.

ZADE=ZCDF.

ZEDF=ZEDC+ZCDF=ZEDC+ZADE=AADC=90°.

DE工DF.

（2）證明：：AAEDdCFD,

DE=DF.

ZEDF=90°,

ZDEF=ZDFE=45。.

???ZABC=9Q°,平分/ABC,

/DBF=45°.

FH平■分ZEFB,

ZEFH=ZBFH.

ZDHF=ZDBF+ZBFH=45。+ZBFH,

ZDFH=ZDFE+ZEFH=45°+ZEFH,

ZDHF=ZDFH.

DH=DF.

（3）EF=2AB—2HM.

證明：過點(diǎn)、H作HNLBC于點(diǎn)、N,如圖，

..正方形ABC。中，AB=AD，ZBAD=90°,

BD=y/AB2+AD2=41AB-

:FH平分NEFB,HM±EF,HN±BC,

HM=HN.

■：ZHBN=45°,ZHNB=90°,

HN

BH=--------=42HN=41HM.

sin45°

???DH=BD-BH=0AB-亞HM.

-：EF=DF=血DF=yflDH,

cos45°

EF=2AB-2HM.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù).

6.菱形ABCD中、NBAD=120。，點(diǎn)。為射線CA上的動(dòng)點(diǎn)，作射線0/W與直線BC相交于

點(diǎn)E,將射線0/M繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到射線ON,射線ON與直線CD相交于點(diǎn)F.

(1)如圖①，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上，請(qǐng)直接寫出CE,CF,

CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖②，點(diǎn)。在CA的延長線上，且。4=！47,E,F分別在線段BC的延長線和線

段CO的延長線上，請(qǐng)寫出CE,CF,CA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

【分析】

(1)如圖①中，結(jié)論：CA=CE+CF.只要證明AAD碎△ACE(SAS)即可解決問題；

4

(2)結(jié)論：CF-CE=yAC.如圖②中，如圖作OGIIAD交CF于G,則△OGC是等邊三角

形.只要證明^FOGM△EOC(ASA)即可解決問題；

(3)分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題.

【詳解】

?.AB=AD=DC=BC,ZBAC=ZDAC=60°

△ABC,△ACD都是等邊三角形，

/ZDAC=ZEAF=60°,

ZDAF=ZCAE,

/CA=AD,ZD=ZACE=60°,

AAD這△ACE(SAS),

/.DF=CE,

CE+CF=CF+DF=CD=AC,

CA=CE+CF.

4

(2)結(jié)論:CF-CE=-AC.

3

理由：如圖②中，如圖作OGIIAD交CF于G,則AOGC是等邊三角形.

ZGOC=ZFOE=60°,

/.ZFOG=ZEOC,

OG=OC,ZOGF=ZACE=120",

FOG^AEOC(ASA),

CE=FG,

OC=OG,CA=CD,

OA=DG,

14

/.CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+-AC=-AC,

33

(3)作BH_LAC于H.AB=6,AH=CH=3,

?BH=36,

如圖③-1中，當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上，點(diǎn)F在線段CD上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí).

06=277，

OH=VOB2-BH2

003+1=4,

由(1)可知:CO=CE+CF,

■「004,CF=1,

/.CE=3,

BE=6-3=3.

如圖③-2中，當(dāng)點(diǎn)0在線段AH上，點(diǎn)F在線段DC的延長線上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí).

由(2)可知：CE-CF=OC,

/.CE=4+1=5,

/.BE=1.

如圖③-3中，當(dāng)點(diǎn)0在線段CH上，點(diǎn)F在線段CD上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí).

圖③"3

同法可證：OC=CE+CF,

OC=CH-OH=3-1=2,CF=1,

/.CE=1,

BE=6-1=5.

如圖③-4中，當(dāng)點(diǎn)。在線段CH上，點(diǎn)F在線段DC的延長線上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí).

圖③*4

同法可知：CE-CF=OC,

CE=2+1=3,

BE=3,

綜上所述，滿足條件的BE的值為3或5或1.

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，

屬于中考?jí)狠S題.

7.現(xiàn)有一張矩形紙片48C。(如圖)，其中4B=4cm,BC=6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將紙

片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形AEC。內(nèi)，記為點(diǎn)&,過E作EF垂直BC,交BC于

F.

(1)求AE、EF的位置關(guān)系；

【解析】

【分析】

(1)由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可證得△B,EC是等腰三角形，再有條件證明NAEF=90°

即可得到AE±EF；

(2)連接BB一通過折疊，可知NEBB，=NEBZB,由E是BC的中點(diǎn)，可得EB，=EC,

ZECBz=ZEBZC,從而可證小BBZC為直角三角形，在RtAAOB和RtABOE中，可將OB,BBZ

的長求出，在RtABB'C中，根據(jù)勾股定理可將B，C的值求出.

【詳解】

（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

EB=EB'=EC,ZAEB=NAEB',

△B，EC是等腰三角形，

又EF±B'C

,EF為NB'EC的角平分線,即NB'EF=AFEC,

：.ZAEF=180Q-QAEB+NCEF）=90°,即NAEF=90°,

即AELEF；

（2）連接88咬AE于點(diǎn)O,由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

EB=EB'=EC,

：.ZEBB'=ZEB'B,ZECB'=NEB'C；

又ABB'C三內(nèi)角之和為180°,

ZBB'C=90"；

點(diǎn)&是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，

AE垂直平分BB,；

在RtAAOB和RtABOE中,BO2=AB2-AO2=BE2-（.AE-AO）2

將AB=4cm,BE=3cm,AE=5cm,

16

/.AO=—cm,

5

BO=^AB2-AO2=?cm，

24

BB'=2BO=—cm,

5

在RtABB'C中,BC=^/BC2-BB'2cm,

由題意可知四邊形OEFB，是矩形，

12

EF=OB'=——，

5

1n，d11812108

..SAB'EC=-xBCEF=-x—x—=------.

225525

【點(diǎn)睛】

考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是要

理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大

小不變，只是位置變化.

8.（感知）如圖①，四邊形ABCD、CEFG均為正方形.可知BE=DG.

（拓展）如圖②，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，且NA=NF.求證：BE=DG.

（應(yīng)用）如圖③，四邊形ABCD、CEFG均為菱形，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在AD延長線

上.若AE=2ED,ZA=ZF,△EBC的面積為8,菱形CEFG的面積是.（只填結(jié)

果）

【解析】

試題分析：探究：由四邊形ABCD、四邊形CEFG均為菱形，利用SAS易證得

ABCE合△DCG,則可得BE=DG；

應(yīng)用：由ADIIBC,BE=DG,可得SAABE+SACDE=SABEC=SACDG=8,又由AE=3ED,可求得△CDE

的面積，繼而求得答案.

試題解析：

探究：??.四邊形ABCD、四邊形CEFG均為菱形，

BC=CD,CE=CG,ZBCD=NA,ZECG=NF.

ZA=ZF,

ZBCD=ZECG.

ZBCD-ZECD=ZECG-ZECD,

即NBCE=ZDCG.

在小BCE和ADCG中，

BC=CD

<NBCE=NDCG

CE=CG

：.△BCE合△DCG(SAS),

BE=DG.

應(yīng)用：1,四邊形ABCD為菱形,

ADIIBC,

BE=DG,

?SAABE+SACDE=SABEC=SACDG=8,

AE=3ED,

.4.SACDE=—X8=2,

4

?SAECG=SACDE+SACDG=10

?S菱形CEFG=2SAECG=20.

9.如圖1,在正方形ABCD中，AD=6,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA,PC過點(diǎn)P

作PE±PC交直線AB于E.

（1）求證：PC=PE;

（2）延長AP交直線CD于點(diǎn)F.

①如圖2,若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求△APE的面積；

②若AAPE的面積是竺，則DF的長為

25

（3）如圖3,點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接

PQ,MQ,過點(diǎn)P作PNIICD交EC于點(diǎn)N,連接QN,若PQ=5,MN=2^,則△MNQ的

3

面積是

【答案】（1）略；（2）①8,②4或9；（3）-

6

【解析】

【分析】

（1）利用正方形每個(gè)角都是90。，對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的

兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證；

（2）作出△ADP和仆DFP的高，由面積法容易求出這個(gè)高的值.從而得到△PAE的底和高，

并求出面積.第2小問思路一樣，通過面積法列出方程求解即可；

（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.

【詳解】

⑴證明：1,點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，

/.△ADP2△CDP,

AP=CP,ZDAP=ZDCP,

PE±PC,ZEPC=ZEPB+ZBPC=90°,

ZPEA=ZEBP+ZEPB=45°+90°-ZBPC=135°-ZBPC,

ZPAE=90°-ZDAP=90°-NDCP,

ZDCP=ZBPC-ZPDC=ZBPC-45°,

ZPAE=90°-(ZBPC-45°)=135°-ZBPC,

ZPEA=ZPAE,

PC=PE;

(2)①如圖2,過點(diǎn)P分別作PH_LAD,PG_LCD,垂足分別為H、G.延長GP交AB于點(diǎn)

?.?四邊形ABCD是正方形，P在對(duì)角線上，

?四邊形HPGD是正方形，

,PH=PG,PM_LAB,

設(shè)PH=PG=a,

??.F是CD中點(diǎn)，AD=6,則FD=3,S.ADF=9,

?'S.ADF=S.ADp+S.DFpjADxPH+g。八PG,

—。義6+—”義3=9,解得a=2,

22

AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,

又丫PA=PE,

AM=EM,AE=4,

S.APE=：￡^xMP=gx4x4=8,

②設(shè)HP=b,由①可得AE=2b,MP=6-b,

S.APE--x2^x(6-Z?)=^^-,

解得b=2.4或3.6,

=

S.ADFS#ADP+S.DFP=—ADxPH+—DFxPG,

—x6xZ?+—DFxb=—DFx6,

222

.,.當(dāng)b=2.4時(shí)，DF=4；當(dāng)b=3.6時(shí)，DF=9,

即DF的長為4或9;

(3)如圖，

-/E、Q關(guān)于BP對(duì)稱，PNIICD,

Z1=N2,Z2+Z3=NBDC=45°,

Z1+Z4=45°,

Z3=Z4,

易證△PEMM△PQM,△PNQ^△PNC,

Z5=Z6,Z7=Z8,EM=QM,NQ=NC,

Z6+Z7=90°,

「.△MNQ是直角三角形，

設(shè)EM=a,NC=b列方程組

2,

?曰15

可得一ab=—,

26

?S=』

,?MNQ-，,

O

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角

形全等是解決問題的關(guān)鍵.要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

10.如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)&處.與CD交于

點(diǎn)、E.

（1）求證：AAED^△CEB'；

（2）過點(diǎn)E作EFLAC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形AECF的形狀并給予證明.

B'

pf

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意可得AD=BC=B'C,ZB=ZD=ZB',且NAED=NCEB',利用AAS證明全等，則結(jié)

論可得；

（2）由△AED2△CEB，可得AE=CE,且EFJ_AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分

AC,ZAEF=ZCEF.即AF=CF,ZCEF=ZAFE=ZAEF,可得AE=AF,則可證四邊形AECF是菱

形.

【詳解】

證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形

AD=BC,CDIIAB,ZB=ZD

???平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊

BC=B'C,ZB=ZB'

二.ND=NB',AD=B'C且NDEA=NB'EC

/.△ADE要&B'EC

（2）四邊形AECF是菱形

△ADE叁△B'EC

AE=CE

；AE=CE,EF±AC

二EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEF

AF=CF

CDIIAB

ZCEF=NEFA且NAEF=NCEF

ZAEF=NEFA

AF=AE

AF=AE=CE=CF

?四邊形AECF是菱形

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練

掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵.

1L⑴問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,點(diǎn)E.F分別在正方形ABC。的邊BC、CO上/E4F=45。，連接EF、貝！|EF=BE+OF,試說

明理由；

（2）類比引申

如圖2,在四邊形ABCD中,BAD=90。,點(diǎn)E.F分別在邊BC、CD上/EAF=45。，若

ZB,NO都不是直角，則當(dāng)NB與N。滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF；

⑶聯(lián)想拓展

如圖3,在4ABC中/BAC=90°,AB=AC,^D、E均在邊BC上，且NDAE=45°,猜想BD、DE、EC

滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,可使AB與AD重合，證出

△AFG2△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案；

（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,可使AB與AD重合，證出△AFE2△AFG,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案；

（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF,證明△AFEV△AFG（SAS）,則EF=FG,

NC=NABF=45。，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷.

試題解析：⑴理由是：如圖1,

AB=AD,

.,.把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADG,可使AB與AD重合，如圖1,

ZADC=ZB=90。，

ZFDG=180°,點(diǎn)F.D.G共線，

貝此DAG=ZBAE,AE=AG,

ZFAG=NFAD+ZGAD=ZFAD+ZBAE=90o-45o=450=ZEAF,

即NEAF=ZFAG,

在小EAF和4GAF中，

AF=AF,ZEAF=NGAF,AE=AG,

/.&AFG2&AFE(SAS),

EF=FG=BE+DF；

(2)ZB+ZD=180。時(shí)，EF=BE+DF；

AB=AD,

.,.把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADG,可使AB與AD重合，如圖2,

BA

：.ZBAE=ZDAG,

???ZBAD=90°,ZEAF=450,

/.ZBAE+ZDAF=45。,

ZEAF=ZFAG,

ZADC+ZB=180°,

ZFDG=180°,點(diǎn)F.D.G共線，

在AAFE和以AFG中,

AE=AG,ZFAE=ZFAG,AF=AF,

△AFE合△AFG(SAS),

/.EF=FG,

即：EF=BE+DF,

故答案為：NB+ZADC=180°；

(3)BD2+CE2=DE2.

理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF,

則NFAB=ZCAE.

,,,ZBAC=90°,ZDAE=45°,

ZBAD+ZCAE=45。，

又「ZFAB=ZCAE,

/.ZFAD=ZDAE=45o,

貝1!在4ADF^AADE中，

AD=AD,ZFAD=ZDAE,AF=AE,

/.△AD這△ADE,

/.DF=DE,ZC=ZABF=45o,

ZBDF=90o,

ABDF是直角三角形，

BD2+BF2=DF2,

BD2+CE2=DE2.

1

12.如圖，拋物線y=/-3x交X軸的正半軸于點(diǎn)4點(diǎn)B(2,a)在拋物線上，點(diǎn)C是

拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接AB、BC,以AB、BC為鄰邊作口ABCD,記點(diǎn)C縱坐標(biāo)為"，

(1)求。的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)。恰好落在拋物線上時(shí)，求n的值；

(3)記CO與拋物線的交點(diǎn)為E,連接AE,BE,當(dāng)AAEB的面積為7時(shí)，

n=.(直接寫出答案)

47

a=Tn=T

【答案】(1)4,A(3,0)；(2)

【解析】

試題解析：(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出

點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)即可求解；

(3)運(yùn)用AAEB的面積為7,列式計(jì)算即可得解.

11217

x=—a=(-—)-3x(-_)=_

試題解析：(1)當(dāng)2時(shí)，224

由/-3%=0,得修=°(舍去)，*2=3(1分)

A(3,0)

(2)過D作DG_L.y軸于G,3口_1_“軸于乩

X

,/CDIIAB,CD=AB

717

CG=BH=-DG=AH=-4-3=—

?.?4，22

37

XD=+=5y=IO

?.?22，D

747

71=10+—=——

.44

19

n=—

13.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點(diǎn)。落在邊BC上

的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FGIICD,交4E于點(diǎn)G,連接。G.

（1）求證：四邊形DEFG為菱形；

CE

（2）若CD=8,CF=4,求"E的值.

3

【答案】（1）證明見試題解析；（2）耳.

【解析】

試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)，可以得到DG=FG,ED=EF,Z1=Z2,由FGIICD,可得

Z1=Z3,再證明FG=FE,即可得到四邊形DEFG為菱形；

CE

（2）在RtAEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE,從而求出說的值.

試題解析：（1）由折疊的性質(zhì)可知：DG=FG,ED=EF,Z1=Z2,/FGIICD,/.Z2=Z3,

，F(xiàn)G=FE,DG=GF=EF=DE,四邊形DEFG為菱形;

(2)設(shè)DE=x,根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF=DE=x,EC=8-x,在RtAEFC中，F(xiàn)(72+E(：2=Ep2

CE3

即42+(8-X)2=%2,解得：*=5,CE=8-X=3,..殂，

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.菱形的判定與性質(zhì)；4.矩形的性

質(zhì)；5.綜合題.

14.如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZABC=60°,AH_LBC于點(diǎn)H.動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿

線段BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)E作EFJ_AB,垂足為點(diǎn)F.點(diǎn)E出

發(fā)后，以EF為邊向上作等邊三角形EFG,設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，AEFG和AAHC的重

合部分面積為S.

（1）CE=（含t的代數(shù)式表示）.

（2）求點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)t的值.

（3）當(dāng)S>0時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）點(diǎn)P在點(diǎn)E出發(fā)的同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿A-H-A以每秒2避個(gè)單位長度的速度作往復(fù)運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)P在^EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范

【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）當(dāng)2Vts2時(shí)，S=312+^-3%^；當(dāng)2ct43時(shí)，S=-

65m29m33m312

24t2+2t-2；（4）2ct<5.

【解析】

試題分析：（1）由菱形的性質(zhì)得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；

（2）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出NACB=60。，由等邊三角形

的性質(zhì)和三角函數(shù)得出NGEF=60°,GE=EF=BE?sin60o=V3t,證出NGEC=90°,由三角函數(shù)求

GE

出CE=tan60°=t,由BE+CE=BC得出方程，解方程即可;

3

（3）分兩種情況：①當(dāng)1＜長2時(shí)，5=△EFG的面積-△NFN的面積，即可得出結(jié)果；

②當(dāng)2Vt43時(shí)，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論；

3

（4）由題意得出t=1時(shí)，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，得出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)，t的不

等式，解不等式即可.

試題解析：（1）根據(jù)題意得：BE=2t,

???四邊形ABCD是菱形，

/.BC=AB=6,

CE=BC-BE=6-2t；

（2）點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)，如圖1所示：

圖1

四邊形ABCD是菱形，

:AB=BC,

,/ZABC=60°,

△ABC是等邊三角形，

/.ZACB=60°,

△EFG是等邊三角形，

/.ZGEF=60°,GE=EF=BE-sin60°=A/gt,

?「EF±AB,

/.ZBEF=90°-60°=30°,

ZGEB=90°,

ZGEC=90°,

GE

.「匚tan60°.

..CE=v=t,

,/BE+CE=BC,

2t+t=6,

解得：t=2；

3

（3）分兩種情況：①當(dāng)2Vt42時(shí)，如圖2所示:

D