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2025屆北京市西城區(qū)第四十四中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.2.某中學(xué)有高中生人,初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間,采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人,則的值為()A. B. C. D.3.袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球,從袋子中一次性摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù),則獲獎(jiǎng),若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.5.“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”,最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612426.設(shè)是等差數(shù)列,且公差不為零,其前項(xiàng)和為.則“,”是“為遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限8.如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn),線(xiàn)段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長(zhǎng)為()A.4 B. C.2 D.9.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.10.已知集合,則=()A. B. C. D.11.雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于兩點(diǎn),與雙曲線(xiàn)的其中一個(gè)交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.12.已知向量,,當(dāng)時(shí),()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則_______.14.設(shè),滿(mǎn)足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為_(kāi)_____.15.已知,,且,則的最小值是______.16.實(shí)數(shù),滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)2019年9月26日,攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國(guó)慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》,2018年國(guó)慶假日期間,西安共接待游客1692.56萬(wàn)人次,今年國(guó)慶有望超過(guò)2000萬(wàn)人次,成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定:若公司某位導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收人不低于40(單位:萬(wàn)元),則稱(chēng)該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名,統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:分組頻數(shù)(1)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位:萬(wàn)元)的導(dǎo)游中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn),設(shè)來(lái)自甲公司的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實(shí)數(shù)的值.(2)若,,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且滿(mǎn)足1e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))求x1?x2的最大值.20.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F(xiàn)分別是棱AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.21.(12分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn);(2)在上恒成立,求的取值范圍.22.(10分)在極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線(xiàn)與極軸所在直線(xiàn)圍成圖形的面積;(2)設(shè)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)2、B【解析】
利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意,,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣,某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比,本題是一道基礎(chǔ)題.3、C【解析】
先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個(gè)球中摸出2個(gè),共有種結(jié)果,兩個(gè)球的號(hào)碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎(jiǎng)的概率是,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎(jiǎng),恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率,考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率,解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí),循環(huán)終止,此時(shí),即可得答案.【詳解】,.運(yùn)行第一次,,不成立,運(yùn)行第二次,,不成立,運(yùn)行第三次,,不成立,運(yùn)行第四次,,不成立,運(yùn)行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.5、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。6、A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】是等差數(shù)列,且公差不為零,其前項(xiàng)和為,充分性:,則對(duì)任意的恒成立,則,,若,則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列,則必存在,使得當(dāng)時(shí),,則,不合乎題意;若,由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則對(duì)任意的,,合乎題意.所以,“,”“為遞增數(shù)列”;必要性:設(shè),當(dāng)時(shí),,此時(shí),,但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以,“,”“為遞增數(shù)列”.因此,“,”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵,屬于中等題.7、D【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.8、A【解析】
由,兩邊平方后展開(kāi)整理,即可求得,則的長(zhǎng)可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.9、C【解析】
作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.10、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的補(bǔ)集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線(xiàn)方程整理得:,又因?yàn)?,即可得到,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計(jì)算雙曲線(xiàn)的離心率或范圍,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出,,即可求解.【詳解】,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由坐標(biāo)系可知考點(diǎn):復(fù)數(shù)運(yùn)算14、【解析】
先根據(jù)條件畫(huà)出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線(xiàn),過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)取得最大值,從而得到一個(gè)關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【詳解】解:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】
先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個(gè)變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.16、10【解析】
畫(huà)出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線(xiàn),當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫(huà)法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),乙公司影響度高;(2)見(jiàn)解析,【解析】
(1)利用各小矩形的面積和等于1可得a,由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b,再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率;(2)易得總收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,則甲公司的人數(shù)的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】(1)由直方圖知,,解得,由頻數(shù)分布表中知:,解得.所以,甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,由于,所以乙公司影響度高.(2)甲公司旅游總收入在中的有人,乙公司旅游總收入在中的有2人,故的可能取值為1,2,3,易知:,;.所以的分布列為:123P.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.18、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性,分類(lèi)討論,即可求解.解法二:可利用導(dǎo)數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導(dǎo)數(shù),分類(lèi)討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故方程①有且僅有唯一解,實(shí)數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,滿(mǎn)足題意.(ii)若時(shí),,滿(mǎn)足題意.(iii)若時(shí),,在單調(diào)遞減,所以.不滿(mǎn)足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時(shí),,所以當(dāng)時(shí),.又由上式得,當(dāng)時(shí),,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.(ii)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當(dāng)時(shí),此時(shí),,,則需由(*)知,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),所以.②當(dāng)時(shí),此時(shí),,則當(dāng)時(shí),(由(*)知);當(dāng)時(shí),(由(*)知).故對(duì)于任意,.綜上述:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力,對(duì)于恒成立問(wèn)題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化簡(jiǎn)函數(shù)h(x),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出(2)函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,則f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個(gè)正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消參數(shù)m化簡(jiǎn)整理可得ln(x1x2)=ln?,設(shè)t,構(gòu)造函數(shù)g(t)=()lnt,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值.【詳解】(1)令m=2,函數(shù)h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)<0,∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個(gè)不等正根,∴l(xiāng)nx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,兩式相減可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),兩式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴l(xiāng)n(x1x2)=ln?,設(shè)t,∵1e,∴1<t≤e,設(shè)g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g(t)max=g(e),∴l(xiāng)n(x1x2),∴x1x2故x1?x2的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值,考查了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題20、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)取的中點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形,得到,從而證出平面;(2)先證平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【詳解】證明:(1)如圖,取的中點(diǎn),連接,,是棱的中點(diǎn),底面是矩形,,且,又,分別是棱,的中點(diǎn),,且,,且,四邊形為平行四邊形,,又平面,平面,平面;(2),點(diǎn)是棱的中點(diǎn),,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定,面面垂直的判定,首選判定定理,是中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析
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