新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)：平面向量及其應(yīng)用 （含答案）

2025屆新高考一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)平面向量及其應(yīng)用

一、選擇題

1.在△ABC中,4=105。,。=45。,相=4,則AC=()

A.1B.2C.2V2D.2石

2.已知向量￡=(3,2)，B=(-U)，則慳+3%()

B.5C.屈D.^/130

3.已知不共線的向量￡、I，若向量左石與左￡_石共線，則實(shí)數(shù)左的值為()

A.1B±1C.±0D.也

4.在△ABC中，A=60°-AB=1>AC=2，則△ABC的面積=（）

A.1B.走C.gD.26

22

5.在△ABC中，“△ABC是正三角形”是“A,B,C成等差數(shù)列且sinA,sinB,sinC

成等比數(shù)歹！!”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.在△ABC中,。是上一點(diǎn)，滿足瓦5=3力是AD的中點(diǎn)，若麗'=/麗+〃元,

則4+〃=()

75

AB.lC.-D.-

488

7.設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()

A.q與日一.B?G+4與G-3約，

C.,-262與-3q+6e2D.2q+3e?與q-2e?

8.已知向量々J滿足J2-2,=忸—*2,且忖=1,則＞否=()

A.lB.-lC.-D.-l

4422

二、多項(xiàng)選擇題

9.△AB。中，角4B,C所對(duì)的邊為a,。,c下列敘述正確的是()

A.若￡+32—02>0,則△回(?一定是銳角三角形

B.若，=—也=，—，則△AB。一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

C.若A>5,則cosA<cosB

D.若2Z?2a+c，則Be］。，三

10.已知向量a=(sina,cosa),A=(1,2),則下列命題正確的是()

A.若a//A,貝hana=L

2

B.若aJ_。，則tana=4

2

C.設(shè)/(tz)=a-萬(wàn)，則當(dāng)/(。)取得最大值時(shí)，tana=g

D.|a-切的最大值為6+1

11.關(guān)于非零向量￡石,下列命題中正確的是()

A.若問=忖,則￡=小B.若￡=多，則-//b-

C.若問〉忖,則小D.若￡=很不=入則￡=

三、填空題

12.在△ABC中，AQ是邊上的高，若麗=(1,3)，碇=(6,3)，則

\AD\=.

13.“若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，月，工為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線平分

22

NKPE的外角”,這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一.已知橢圓C：土+匕=1,點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，

84

在點(diǎn)尸處的切線為直線/,過左焦點(diǎn)可作/的垂線,垂足為M設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.若Q

是曲線E上一點(diǎn)，已知點(diǎn)A(4,0),3(5,4),則】字H0+忸Q］的最小值為..

14.銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若。=2,且

c-2

bcosA-2cosB=a,則b的取值范圍為.

四、解答題

15.記/XABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+百cosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,?sinC=csin2B,求ZVlBC的周長(zhǎng).

16.如圖，在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,aD為邊上一點(diǎn)，記

ZDAB=a，NDAC=/?.向量身=a)，為=(/?—c,a+c)，沆J_為.

⑴若詬=上通+工而，請(qǐng)比較a與夕的大?。?/p>

b+cb+c

(2)若sin〃=2sintz,且A￡>=J7，求而?(通+/)的最小值.

,

17.如圖，在四邊形ABCD中,>15=2,47=療，4￡>=25，/?1。=/。84=71r.

⑴求sin/BOL；

(2)求BD.

18.(1)已知同=2,忖=3,且h-求(￡+石).(2力)

(2)已知|￡+q=歸—力求ZB

19.已知平面內(nèi)有兩兩不重合的三點(diǎn)A(l,-2。)，3(2,。),。(2+區(qū)0).若46,。三點(diǎn)共線,

求實(shí)數(shù)a的值.

參考答案

1.答案：C

解析：B=7i-A-C=3O°,

則由正弦定理得上=」一,?=《,得b=2后.

sin8sinC工

2工

2.答案：C

解析：因?yàn)閆=（3,2），S=（-l,l）

所以2Z+3石=（3,7），得悼+3@=行+72=盡.

故選：C

3.答案：B

解析：由題意知，向量°,B為不共線的向量，

若向量力一屆與歷共線，則存在實(shí)數(shù)彳使得以=4（底-B），

則滿足，解得左=±1.

—k=-A

故選：B.

4.答案：B

解析：S^=-AB-AC-smA=--

ZAA/1IB5LC22

本題選擇B選項(xiàng).

5.答案：C

解析：在△ABC中，由A,B,C成等差數(shù)列，得23=A+C,而人+3+。=兀，貝|

B=~,

3

由sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列，得sin?3=sinAsinC,由正弦定理得尸=ac,

由余弦定理得人2=a?+/—2accos5,BPac-a'+c^—ac,解得。=c,因此△ABC是

正三角形；

若△ABC是正三角形，則A=3=C=工，sinA=sinB=sinC=—,

32

因此A,B,C成等差數(shù)列且sinA,sin8,sinC成等比數(shù)歹！J,

所以“△ABC是正三角形”是“A,B,C成等差數(shù)列且sinA,sinB,sinC”成等比數(shù)列

的充要條件.

故選：C.

6.答案：C

解析：由題可知，畫？=工蒞n2麗—2麗=麗—麗n麗7=工麗+工礪，

222

而=3反=3網(wǎng)-而"而

所以有就=!麗+!麗=工麗宓，所以彳=工,〃=3,得幾+〃=］.

2228288

故選:C

7.答案：C

解析：［、￡是平面內(nèi)所有向量的一組基底，

錄與4一瑟，不共線，可以作為基底，

4+1與1—3不共線，可以作為基底，

-34+6弓=-3何-2可,故冢―2%與-3鼻+6區(qū)共線，不可以作為基底，

21+3區(qū)與］-2不共線，可以作為基底，

故選：C.

8.答案：A

解析：由卜一2可=12萬(wàn)一可=2得筋一4萬(wàn)名+4小=4，皿2—4無(wú)B+廬=4，

兩式相減得，同=W=1，所以1-4&石+4=4,則G=：.

故選:A.

9.答案：BC

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，在△ABC中，因?yàn)?+9―。2>0,又“2+方2—2成85。，

所以cosC>0,即C為銳角，但題中沒有告訴C最大，

所以△ABC不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng),，=上=二,由正弦定理得出=跡=地￡,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

整理得tanA=tanB=tanC，即A=3=C，△ABC一定是等邊三角形，故B正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樨！礎(chǔ)〉3>0，y=cosx在（0,兀）單調(diào)遞減，

所以cosA<cosB，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由功之?！?得廿》（專）所以―/W—J

22{a+c\

2

由余弦定理可得d。3p+c）1，

cosB=--------------<-------------------=----------——

laclacSac4

3（。2+。2）」=包+主」22陛主」=L當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)，等號(hào)成立,

Sac48。8a4\8c8a42

則當(dāng)"c,2Z?>a+c時(shí),cosB」,即角3可以大于4，故D錯(cuò)誤；

23

故選:BC.

10.答案：ACD

解析：A項(xiàng)，若a〃A,則2sine=cosi,即tana=」也,=J_,故A項(xiàng)正確；

cosa2

B項(xiàng)，若〃_1〃，則〃?）=sina+2cosa=0,所以tana="n"=一2,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

cosa

C項(xiàng)'f(^)=ab=sincif+2COS<7=A/5sm{a+cp),其中sin0=-----,cos0=——,故

當(dāng)？+夕=2左兀+］（keZ）時(shí)，/（。）取得最大值占，此時(shí)

sin2kn-\-----(p

sma-4——-一^=您9=：,故c項(xiàng)正確;

tana=------

cos。cos(2k7i+；-e]'in。

D項(xiàng)，a-Z>=(cosiZ-l,sin(z-2),所以|a-\|=J(cosa-1)2+(sina—2)2

=Jcos2e-2cose+l+sin2?-4sin?+4

=16-2cosa—4sina=擊-2^5sin(a+cp),

即|a-"的最大值為《6+26=7(75+1)2=75+1,故D項(xiàng)正確.

11.答案：BD

解析：對(duì)于A,忖=忖不能得到Z，B的方向，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若2=-b，則2〃石，B正確，

對(duì)于C,向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,若￡==3則￡="，D正確，

故選:BD

12.答案：亞

解析：^BD=mBC=(6m,3m)^

則標(biāo)=荏+而=(1,3)+(6加,3加)=(6加+1,3加+3)，

由AD-BC=0得AD-BC=6(6根+1)+3(3根+3)=36m+6+9+9m=0，

解得〃z=—故蒞=(1—2,3—1)=(-1,2)，所以|而|=’(—1)2+22=?.

故答案為：下.

13.答案：5

22

解析：由橢圓C方程土+2L=i,知。=2后.

84"

如圖,延長(zhǎng)耳M、8P交于點(diǎn)N,由題意可知=NNPM,

又因?yàn)镻M則〃為耳N的中點(diǎn)，且歸耳|=|尸N|,

所以，優(yōu)N|=|PN|+|尸閭回尸耳|+|尸閶=2a=40,

又因?yàn)?。為耳鳥的中點(diǎn)，則|0叫=3優(yōu)2=3義40=20.

故點(diǎn)M的軌跡E為以。為原點(diǎn),20為半徑的圓，圓的方程為必+產(chǎn)=8.

設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)T(?i,O)，使得圓上任意一點(diǎn)Q(x,y),滿足出刀=日|。川,

由A(4,0)，則"rnj+F等".+.

化簡(jiǎn)得x2+y2-4(m-2)x+2(m2-8)=0,

又.../+y2=8，代入得4(m—2)x—2機(jī)②+8=0,

要使等式恒成立，則(機(jī)一2：°，即機(jī)=2.

8-2m2=0

二存在定點(diǎn)T(2,0),使圓上任意一點(diǎn)。滿足出刀=3出山,

則〕安人@+忸@=出3+以5巧忸T卜當(dāng)0,3,7三點(diǎn)共線(B,T位于。兩側(cè))時(shí)，等號(hào)成立.

由7(5,4)，則\BT\=J(5-2『+(4—0/=5，

所以4恒0+忸口之5,當(dāng)。，昆T三點(diǎn)共線(B,T位于Q兩側(cè))時(shí)等號(hào)成立.

如圖，連接3T，線段3T與圓0的交點(diǎn)即為取最值時(shí)的點(diǎn)。，此時(shí)取到最小值5.

故答案為：5.

解析：因?yàn)椤?2,且bcosA-2cosJB=Q,所以bcosA-QCOS5=Q

由正弦定理一--=—-—得：sinBcosA—sinAcos5=sinA，所以sin(5-A)=sinA

sinAsin3v7

又銳角三角形ABC中，則笈―A=A，即5=2A

0C<AA<—兀

2

所以C=7i—A—5=兀—3A，由于銳角三角形ABC，所以＜0<2A<-,解得

2

71

0〈?！?A<2

2

—兀<A4<—兀

64

所以c-2c-asinC-sinAsin（2A+A）-sinA

bbsinBsin2A

2sinAcos*2A+cos2AsinA-sin3A-sinA

2sinAcosA

2cos2A+cos2A-sin2A-l4cos2A-2八1

=----------------------------------=---------------=2cosA4---------

2cosA2cosAcosA

由于四<A<2,則y=cosA在［巴，巴］上遞減，y—在（巴，巴］上遞增

64164；」cosA164；

所以￡ZZ=2COSA--L在匡巴］上遞減，于是有2cosA--Ljo,且］,即匕

bcosA<64JcosA13Jb

的取值范圍為

故答案為:

15.答案：（1）A=-

6

（2）2+76+372

解析：（1）法一：由sinA+^cosA=2,得^sinA+且cosA=1,

22

所以sin［A+m［=1.

因?yàn)?＜4＜兀，所以巴〈A+囚〈生，

333

所以A+呆？故4吟

法二：由sinA+石cosA=2,得/cosA=2-sinA,

兩邊同時(shí)平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A,

則3(^l-sin2=4-4sinA+sin2A,

整理，得l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—2sinA)2=0,則sinA=」.

2

因?yàn)?<4<兀，所以A=二或A=型.

66

當(dāng)4=烏時(shí)，sinA+6cosA=2成立，符合條件；

6

當(dāng)A=2時(shí)，sinA+百cosA=2不成立，不符合條件.

6

故A

6

法三：由sinA+百cosA=2,得sinA=2一百cosA,

兩邊同時(shí)平方，得sin?A=4-4A/3COSA+3COS2A,

則l-cos?A=4-4A/3COSA+3cos2A,

整理，得3-4后cosA+4cos2A=0,

所以(G—2COSA)2=0,貝I]COSA=3.

因?yàn)?<A<7l,所以人=二.

6

(2)由41bsinC=csin25,得&Z?sinC=2csinBcosB,

由正弦定理，得枝bc=2cbcosB,所以cosB=交,

2

因?yàn)?<6<兀，所以3=2

4

7兀

C=Jr—(A+B)=,

7jr7171.兀7171.71

所以sinC=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sm—

12343434

A/3V21A/2A/6+A/2

=------X----------F—X-------=-------------------

22224

法一：由正弦定理^=上=^,得/,=竺*=—^=2后，

sinAsinBsinCsinA.兀

sin—

6

c.7兀

?k2sin——

c=竺』—Q=n+

sinA.二

6

所以ZVIBC的周長(zhǎng)為a+6+c=2+痛+3后.

法二：由正弦定理^=―竺=^,

sinAsinBsinC

4日。a+b+c2.

PT-----------------------------4>

sinAsinA+sinB+sinC-兀

soin——

6

B/A+歷、

所以a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4x—H----1--------=2+A/6+3^2,

I224J

所以ZVIBC的周長(zhǎng)為2+的+3血.

16.答案：(l)(z=/7；

(2)7+2710

解析：(1)因?yàn)槌蒍_萬(wàn)，所以/?3-°)+(<;-4)(4+°)=0

整理得62+02_6=歷,

所以由余弦定理可得cosA="+c2—1=工

2bc2

因?yàn)锳￡（0,兀），所以A=工

3

又詬=”-通+-^正

b+cb+c

所以一^―而一一—AB=-^-AC———AD,BPbBD=eDC)§P—=—

b+cb+cb+cb+cDCBD

記NAOC=y,則在△AB￡＞，△ADC中由正弦定理可得:

./、csinaZ?sinB

sin(7i-Y)------，sin/=------

BDDC

所以空吧="她，即sina=sin〃

BDDC

又因?yàn)锳=/，所以/〃e(O，m)，所以。=分

(2)由(1)知里吧=羽她

BDDC

因?yàn)閟in，=2sintz,所以歲2=￡,所以瓦5=--~BC

DC2b2b+c

所以蒞=荏+麗=麗+—^—就=通+—^（衣—通）=^-通+—^—衣

2b+c2b+c2b+c2b+c

因?yàn)锳D=A/7，AB-AC=bccos—=—bc

32

所以（二+^_恁）2=7,整理可得％+cMc，即c=2^〉0

2b+clb+cb—1

由sin4=2sina,a+〃=；可得sin1]—。）=2sin。，展開整理得sina=^-cosa

所以史—osa+cos2a-\y所以cosa=

I5J