一元二次不等式和基本不等式中的恒成立及有解問題（4大壓軸考法）原卷版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題08一元二次不等式和基本不等式中的恒成立

及有解問題

注意：本節(jié)專題提前涉及到第三章的部分簡單概念

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問題............................2

題型二、一元二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題...............................3

題型三、一元二次不等式在區(qū)間上的有解問題.................................3

題型四、基本不等式中的恒成立問題...........................................4

壓軸能力測評（16題）...............................................5

“解題知識必備“

一、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立

、（

1、不等式>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立川[a=b=0或4a>0

c>0[A<0

tz<0

2、不等式af,+Zzx+ccO對任意實(shí)數(shù)x恒成立川a=b=0或4

c<0[A<0

注：對于二次不等式恒成立問題，

恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在X軸上方；

恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在無軸下方.

二、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法

方法一：若y〉0在集合A中恒成立，即集合A是不等式y(tǒng)〉0的解集的子集,

可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值（或范圍）；

方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)范圍問題，即已知函數(shù)y的范圍為[加,〃],

貝Iy2a恒成立nymin>a,BPm>a-,y<a恒成立今ymax<a,即〃<a.

三、給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；

一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

四、常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理方法

不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：

1、對任意的?！祔恒成立=a〉笫皿；

若存在?！祔有解今a〉Vmin；

若對任意?！祔無解今aV丁代.

2、對任意的。<y恒成立n。<；

若存在Xe[〃Z,〃],。<丁有解今。<Vmax；

若對任意a<y無解今a2Vmax?

X壓軸題型講練??

【題型一一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問題】

一、單選題

1.（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）若關(guān)于尤的不等式爾+依+2>0的解集是R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.{40<a<8}B.|tz|0<^<81

C.{4〃<（）或a>8}D.{《aKO或a>8}

2.（23-24高一下.江蘇鎮(zhèn)江.期中）若命題FXER,f+以+看<o”是假命題，則實(shí)數(shù)，的最小值為（）.

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高一下.湖南?期中）設(shè)命題p：VxeR,x2+4x+2m>0（其中加為常數(shù)），貝『'命題p為真命題”

是“根的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

4.（23-24高一下.上海閔行?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=/+2a.3對任意實(shí)數(shù)x都有〃力<0成立，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

5.（24-25高一上?上海?期中）關(guān)于龍的一元二次不等式尤2+〃a+4<。的解集為空集，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為.

【題型二一元二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題】

一、單選題

1.（23-24高一上.全國?期末）“Vxe[-2,3],f一。與。為真命題”是“°41”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2.（23-24高一下?貴州貴陽?期中）對任意的xe（O,y）,尤2＜皿+1＞0恒成立，則加的取值范圍為（）

A.[1,+＜?）B.（-1,1）C.（-8,1]D.（fl）

3.（23-24高一上.貴州銅仁?期末）當(dāng)xe（-l,l）時(shí)，不等式2日?一打一＜。恒成立，貝心的取值范圍是（）

8

A.（—3,0）B.[—3,0）C.1-3,：D.^-3,—

二、填空題

4.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）已知-尤2+4x+aN0在xe[0,l]上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題

5.（23-24高一?全國?課堂例題）不等式〃x）=m：2+bx+c＜O（a＞。）在尤＜〃｝上恒成立，你能寫出成

立的等價(jià)條件嗎？

6.（22-23高一上?陜西咸陽?階段練習(xí)）（1）若對于一切實(shí)數(shù)x,不等式西2一3蛆一2＜0恒成立，求加的取

值范圍；

（2）當(dāng)14x42時(shí)，不等式％2+7加+4＜0恒成立，求加的取值范圍.

7.（23-24高一上?湖北恩施?期末）已知函數(shù)=-（力2-1卜+〃?一1.

⑴當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，解關(guān)于x的不等式/（力23尤+m-2；

⑵若不等式對一切xe[0,2]恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

8.（22-23高二上?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（Hn/d+Z辦一片+1.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求〃力＜0的解集；

⑵是否存在實(shí)數(shù)無，使得不等式02爐+2改一4+1卻對滿足。4_2,2]的所有。恒成立？若存在，求出x的

值；若不存在，請說明理由.

【題型三一元二次不等式在區(qū)間上的有解問題】

一、單選題

1.（23-24高一上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）命題：“女武0,4]使得不等式*2一2%-3+°20成立”是真命題，則

實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.{a|aWT}B.{o|a>4）C.{a|a>-5}D.{a\a>i\

二、填空題

2.（23-24高一上?江蘇鹽城?期末）關(guān)于x的不等式依2一2X+1W0在（0,2]上有解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是?

3.（23-24高一上?山東煙臺?期中）已知命題he（O,+8）,力^-4x+2<0為真命題，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍

為.

三、解答題

4.（23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=ox2-（2a+3）x+6（aeR）.

⑴若>>。的解集是{Nx<2或%>3},求實(shí)數(shù)。的值；

⑵當(dāng)a=l時(shí)，若-24xV2時(shí)函數(shù)yW—（7"+5）X+3+〃Z有解，求機(jī)?+3的取值范圍.

5.（23-24高一上?福建?期中）已知函數(shù)/（力=加-（2。+3）兀+6（℃11）

⑴若〃力>0的解集是{x|x<2或x>3},求實(shí)數(shù)。的值;

⑵當(dāng)a=l時(shí)，若-24xW2時(shí)函數(shù)/（04一（%+5）%+3+2%有解，求機(jī)的取值范圍.

6.（23-24高一上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（》）=/-依+b.

⑴若不等式”x）>0的解集為（F,1）（3,內(nèi)），求實(shí)數(shù)a,6的值；

⑵當(dāng)〃-1）=0時(shí)，

（i）解關(guān)于x的不等式/（力>0；

（i）若存在xe[l,2],使得〃x）W0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【題型四基本不等式中的恒成立問題】

一、單選題

1.（23-24高一上?江西?階段練習(xí)）已知x>0,y>0,且x+y+孫=8,若不等式x+y2療-3利恒成立,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.4<m<lB.p77|-l<m<4^

C.{m\m<-4^m>l]D.{加|根W-1或加24}

2.⑵-24高一下?貴州遵義?階段練習(xí)）“a=9”是'不等式28（。>0）對于任意正實(shí)數(shù)無，>恒

成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高一上?江蘇鹽城?期中）設(shè)x>y>z,〃eN,且」一+」一之」一恒成立，貝!J”的最大值為（）

x—yy—zx-z

A.2B.4C.6D.8

2

4.（23-24高一上?四川眉山?階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x,V滿足了>1，y>2,不等式

27尤3+,3-18》2-2,22機(jī)。-2）（3尤-2）恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為（）

A.20B.4&C.8D.16

二、解答題

,*4

5.（23-24局一上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知命題p：使得〃?2尤+；成立；命題q：正數(shù)a,b滿

x-1

12

足2a+6=1,不等式機(jī)V—+—恒成立.

ab

⑴若命題〃真命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）若命題p和命題q有且僅有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

21

6.（23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí)）已知x,y都是正數(shù)，且一+—=1.

^y

（1）分別求％,y的取值范圍；

（2）求2x+y的最小值及此時(shí)％,y的取值；

（3）不等式（2%+?2機(jī)（x+2y）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

??壓軸能力測評2

一、單選題

1.（23-24高二下?廣西玉林?期末）已知命題。：Vxe[1,2],尤?+依一2>0,則P的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.a<—\B.a>0C.a>\D.a>2

2.（23-24高一上.江蘇南京.階段練習(xí)）若；,2,使得3年-2%+1V0成立是假命題，則實(shí)數(shù)九可能

取值是（）

A.2后B.2退C.4D.5

3.（23-24高二上.浙江?期中）若關(guān)于尤的不等式Y(jié)-（m+l）x+9V。在[1,4]上有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為（）

A.9B.5C.6D.—

4

4.（23-24高一上廣東深圳?階段練習(xí)）不等式1。町W6+2y2對任意的”九0及2<yW3恒成立，則實(shí)數(shù)

。的范圍是（）

A.>81B.{44212}C.\aD.j?p

二、填空題

5.（23-24高一上?天津?期中）已知關(guān)于x的不等式2日2十玄—?<o對一切實(shí)數(shù)元都成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)

O

k的取值范圍為.

6.（23-24高一上?北京豐臺?期末）能說明“關(guān)于x的不等式V一依+2。>。在R上恒成立，，為假命題的實(shí)數(shù)。的

一個(gè)取值為.

7.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知x2+x+5Wor2+2（2x+cW2x2+5x+9對任意xeR恒成立，貝U

a+c=.

8.（23-24高二下.江蘇南京.期末）“VxeR,,2-4）尤?+（4+2）尤+G0”為真命題，請寫出一個(gè)滿足條件的

實(shí)數(shù)a的值______.

9.（23-24高一下?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試）設(shè)0<根<：,若一+1丁之左恒成立，則左的取值范圍為________.

2m1-2m

91m

10.（23-24高一上.江西南昌?階段練習(xí)）已知。>6>。且--+--2——恒成立，實(shí)數(shù)機(jī)的最大值

a—bb—ca—c

是.

三、解答題

4—x

11.（23-24高一上.山東濟(jì)寧?期中）已知關(guān)于x的不等式一->1,其解集為A.

x+2

（1）求該不等式的解集A；

（2）對VxeA,不等