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云南省南澗縣民族中學(xué)2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若非零實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)點(diǎn),P為曲線上動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A,P間距離的最小值為,則實(shí)數(shù)t的值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A. B. C. D.6.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、8.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對(duì)任意都有零點(diǎn);則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.9.已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,則球O的表面積為()A. B. C. D.10.若,則()A. B. C. D.11.下列選項(xiàng)中,說(shuō)法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿(mǎn)足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件12.已知直線:()與拋物線:交于(坐標(biāo)原點(diǎn)),兩點(diǎn),直線:與拋物線交于,兩點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個(gè)整數(shù),則當(dāng)n最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.14.五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階,故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個(gè)音階全用上,排成一個(gè)五個(gè)音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成______種不同的音序.15.若正實(shí)數(shù)x,y,滿(mǎn)足x+2y=5,則x216.正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè),各點(diǎn)到平面的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且面面,分別為線段的中點(diǎn).為線段上的點(diǎn),且.(1)證明:為線段的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線與交于兩點(diǎn),,且.(1)求的方程;(2)已知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn),不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),直線的斜率都存在,且,求的值.19.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.20.(12分)已知函數(shù)(,),且對(duì)任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.21.(12分)設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點(diǎn)為,證明:.22.(10分)已知橢圓過(guò)點(diǎn)且橢圓的左、右焦點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點(diǎn)為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.2、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】是純虛數(shù),則,,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時(shí),,時(shí),,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.4、A【解析】

作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.5、D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長(zhǎng)為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長(zhǎng)為,因?yàn)閳A柱的表面積公式為,所以,解得,因?yàn)閳A柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握?qǐng)A柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.6、B【解析】

分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中等題.7、A【解析】

設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.8、A【解析】

先分別判斷每一個(gè)命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí),直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí),,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當(dāng)時(shí),沒(méi)有零點(diǎn),所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、D【解析】

由題意畫(huà)出圖形,找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O,通過(guò)求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑,則答案可求.【詳解】如圖;設(shè)AB的中點(diǎn)為D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB為直角三角形,且斜邊為AB,故其外接圓半徑為:rAB=AD=2;設(shè)外接球球心為O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2?R2=(R)2+r2?R;∴球O的表面積為:4πR2=4π.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,考查思維能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.10、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.11、D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿(mǎn)足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿(mǎn)足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿(mǎn)足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿(mǎn)足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.12、D【解析】

設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】

討論三種情況,a<0時(shí),根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計(jì)算等號(hào)成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時(shí),[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當(dāng)且僅當(dāng)﹣a,即a=﹣1時(shí)取等號(hào),∴a的最大值為﹣4,當(dāng)且僅當(dāng)a4時(shí),A中共含有最少個(gè)整數(shù),此時(shí)實(shí)數(shù)a的值為﹣1;②a=0時(shí),﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無(wú)窮多,故a=0不符合條件;③a>0時(shí),[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無(wú)窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.14、1【解析】

按照“角”的位置分類(lèi),分“角”在兩端,在中間,以及在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè),此時(shí)有種;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè);③若“角”在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生分類(lèi)討論思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、8【解析】

分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個(gè)整體,之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點(diǎn)睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類(lèi)問(wèn)題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.16、【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過(guò)點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),根據(jù)題意F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為a,求得,再用余弦定理求得:,從而求得,再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,得到,然后利用等體積法求解,【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過(guò)點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),如圖所示:由題意得:F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為a,,頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以,由余弦定理得:,所以,所以,又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,所以,因?yàn)?,所以,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象,運(yùn)算求解的能力,屬于難題,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié),先證明,可證得,假設(shè)不為線段的中點(diǎn),可得平面,這與矛盾,即得證;(2)以為原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【詳解】(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié).∴,,又平面,平面,∴.又分別為中點(diǎn),,又,∴.假設(shè)不為線段的中點(diǎn),則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線,從而平面,這與矛盾,所以為線段的中點(diǎn).(2)以為原點(diǎn),由條件面面,∴,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量為所以取,則,.同法可求得平面的法向量為∴,由圖知二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)不妨設(shè),,計(jì)算得到,根據(jù)面積得到,計(jì)算得到答案.(2)設(shè),,,聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到,,代入化簡(jiǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由題意不妨設(shè),,則,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程為.(2)設(shè),,,則.∵,∴,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得.∵在上,∴,∴上式可化為.∴,,,∴,,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,定值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1)(2)【解析】

(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?,所以解得(舍)或所以,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.20、(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗(yàn)證,可得當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個(gè)極值點(diǎn),,則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根,所以或解得或無(wú)解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時(shí),,即,所以在上單調(diào)遞減,所以即時(shí),.(Ⅲ)因?yàn)?,.令得,.由(Ⅱ)知時(shí),的對(duì)稱(chēng)軸,,,所以.又,可得,此時(shí),在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn).又因?yàn)椋栽谏线f增,即時(shí),恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由

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