直線、平面平行與垂直的判定與性質-2025年高考數(shù)學一輪復習（天津專用）

第30講直線、平面平行與垂直的判定與性質

（6類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關系有關命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握空間集體中的線面關系。

2.能掌握線面平行與垂直的問題。

3.會解空間中的動點問題，利用線與面中的平行與垂直關系去參數(shù)問題。

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出幾何體求解線與面的關系，以及動點問題。

HA.考點梳理?

1

一知識點一.直線和平面平行知識點四.平面與平面垂直

直線、平面平行與垂直的判定與性質

知識講解

知識點一.直線和平面平行

1.定義：直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面1平行，記作/〃a

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個

l//lx

線〃線n線〃面平面內的一條直線平行，那么這條Z_//]ua>n/〃a

直線和這個平面平行（簡記為“線線IqLa

平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在一a//。

//>=>a//0

面〃面n線〃面?zhèn)€平面內的所有直線都平行于另一aua

個平面//

3.性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和1//a

一個平面平行，經過lu/3,n/〃/'

線〃面n線〃線二y

這條直線的平面和這1aCB=l',

個平面相交，那么這

條直線就和交線平行

知識點二.兩個平面平行

1.定義:沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和萬，若=則a〃夕

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

2

判定定理如果一個平面內有兩aa.ba,aC\b=P

線〃面=>條相交的直線都平行于另

a//0,b//0na///?

面〃面一個平面，那么這兩個平面

平行（簡記為“線面平行n

面面平行

線，面n如果兩個平面同垂直1.La]

>na〃§

面〃面于一條直線，那么這兩個平"J"

面平行

3.性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那/a/

面〃面n線〃面al1(3'

么在一個平面中的所有直線>=a〃0

aua

都平行于另外一個平面//

如果兩個平行平面同時

al1(5]

和第三個平面相交，那么他〃/

性質定理Q/

們的交線平行（簡記為“面面BCy=b,

平行二>線面平行”）

如果兩個平面中有一個

alIB

面〃面=>線，面垂直于一條直線，那么另一

1La

個平面也垂直于這條直線/?/

【解題方法總結】

線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示.

“1公//面、

判定

y----------和質判定性質

［線〃線）v--------------------

面

J性質

1.證明直線與平面平行的常用方法:

3

①利用定義，證明直線a與平面a沒有公共點，一般結合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行n線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向

進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；

③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；

2.證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個平面垂直于同一條直線；

④證明兩個平面同時平行于第三個平面.

3.證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

知識點三.直線與平面垂直

1.定義

如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.

2.判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一1

個平面內的兩條相a,bua

a.LI

判斷定理交直線都垂直，則>n/_La

Vbll

該直線與此平面垂acb=P

直

兩個平面垂

直，則在一個平面a10

ac0=a

面_|_面=>線_|_面內垂直于交線的直>=>b.La

7bu0

線與另一個平面垂Z：bLa

直

一條直線與兩-a

一

平行平面中的一個

/all13\

平行與垂直的關系平面垂直，則該直

線與另一個平面也

垂直

兩平行直線中Qb

有一條與平面垂a//b]

平行與垂直的關系

直，則另一條直線a-La]

與該平面也垂直

4

3.性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

7b

alia

垂直于同一平面

性質定理au01=Q//b

的兩條直線平行7

ac/3=b

文字語言圖形語言符號語言

-a

垂直于同一/_y

aVa\

垂直與平行的關系直線的兩個平面

al/3\

/_______

平行

如果一條直

線垂直于一個平

線垂直于面的性質面，則該直線與平I_La,aua=/_L〃

面內所有直線都

垂直

知識點四.平面與平面垂直

1.定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相

垂直.（如圖所示，若ac〃=CD,CD,且acy=AB,0cy=BE,AB工BE,則々_1_萬）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2.判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過b-La]

另一個平面的垂1

線，則這兩個平面

垂直

3.性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

5

文字語言圖形語言符號語言

性質定理兩個平面垂直，a工B

ac。=a

則一個平面內垂直b.La

bu0

于交線的直線與另

一b-La

一個平面垂直7

【解題方法總結】

判定定理)判定定理)

線上線,性質定理線,面,性質定理面,面

1.證明線線垂直的方法

①等腰三角形底邊上的中線是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形對角線互相垂直；

④直徑所對的圓周角是直角；

⑤向量的數(shù)量積為零；

⑥線面垂直的性質(a_Lua=>a_L6);

⑦平行線垂直直線的傳遞性(Cc,a"bnbLc).

2.證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義；

②線面垂直的判定(a_Lb,a_Lc,cua,/?ua,6cc=P=>aJ_a)；

③面面垂直的性質(aLB，acB=b,a【b,auanaLB);

平行線垂直平面的傳遞性(ala,blla=bLa)?,

⑤面面垂直的性質(a_L/，尸_Lc尸=/n/_L/).

3.證明面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(aJ_/3,aua=a10).

空間中的線面平行、垂直的位置關系結構圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關系中處于核心位置.

6

考點一、線面平行問題

典例引領

1.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在正方體48CD-4道10。1中，E是棱。小的中點.

（1）證明：BDi〃平面4EC；

（2）若正方體棱長為2,求三棱錐。-AEC的體積.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證,

（2）利用等體積法，結合錐體的體積公式即可求解.

【詳解】（1）連接BD交力C于。，連接OE,如圖，

因為在正方體中，底面力BCD是正方形，則。是BD的中點,

又E是DDi的中點，則。E是△BDOi的中位線，故。E//BD1，

7

又OEu面4EC,BDiC面4EC,所以幽〃平面4EC.

(2)因為正方體4BCD—①名的小中，力D1?平面DC。％,

所以，D-4EC=A-DEC~^^ADEC'40=E*5*""乂*AD=目*5*1*2*2=石.

2.(2024?陜西商洛?模擬預測)如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形力BCD是矩形，M,N分別是PD和BC的中

點，平面P4B_L平面ZBCDP力=PB=AB=AD=2.

BNC

(1)證明：MN〃平面P4B；

(2)求三棱錐M-4BC的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取取P4的中點E,連接EB,EM,結合中位線的性質可得四邊形MEBN是平行四邊形，即可得線

線平行，即可得線面平行；

(2)借助面面垂直的性質定理可得線面垂直，即可得三棱錐P-4BC的高，從而可通過計算力YBC得到

M-ABC-

【詳解】(1)如圖，取P力的中點E,連接EB,EM,

7

/，，//、、\\/

BNC

因為ME是△PAD的中位線，所以ME〃4D,且ME=：AD，

又因為BN〃力。且BN=所以ME//BN且ME=BN,

所以四邊形MEBN是平行四邊形，所以MN〃BE,

又因為MN，平面P4B,BEu平面/MB,所以MN〃平面P4B；

(2)取AB的中的中點F,連接PF,

因為P4=PB=4B,所以PF_L4B,且PF=百，

又因為平面P4B1平面4BCD,平面P4BC平面4BCD=AB,

PFu平面PAB,所以PF_L平面力BCD,

因為S0BC=，AB-BC=2,PF=W,

8

所以，P-4BC—1"SAABC,PF=等，

又因為M是PC的中點，所以UMYBC=^Vp-ABC=y.

也即咪機

1.(2024?江西?模擬預測)如圖所示，四邊形BCDE為直角梯形，S.BC//DE,ED1CD,BC=2,CD=V3,

ED=1.△ABE為等邊三角形，平面力BE_L平面BCDE.

(1)線段AC上是否存在一點G,使得DG//平面力BE,若存在，請說明G點的位置；若不存在，請說明理由；

(2)空間中有一動點Q,滿足4QJ.BE,且麗?近=0.求點Q的軌跡長度.

【答案】(1)線段ZC上存在中點G,使得DG//平面4BE,理由見解析

⑵百兀

【分析】(1)取BC的中點F,4C的中點G,連接DG,GF,DF,即可證明DF//8E,GFHAB,從而得到平面GFD//

平面4BE,即可得到DG//平面4BE；

(2)取BE的中點H,連接4H、CH,即可證明BE1平面力HC,從而得到Qe平面4HC,又礪=0,則

點Q在以BC為直徑的球與平面的交線上，即點Q的軌跡為圓，取BC的中點。，過點。作。77/CH交CH于點

T,則071平面力HC,再求出Q的軌跡圓的半徑r,即可氣求出軌跡長.

【詳解】(1)線段4C上存在中點G,使得DG//平面4BE,理由如下：

取BC的中點F,AC的中點G,連接DG,GF,DF,

因為BC//DE且DE=|BC=BF,所以四邊形DEBF為平行四邊形，

所以。F〃8E,平面ABE,BEu平面ABE,所以。尸〃平面ABE,

5LGF//AB,GFC平面4BE,ABu平面力BE,所以GF〃平面力BE,

又DFCiGF=F,DF,GFu平面GFD,所以平面GFD〃平面4BE,

9

又DGu平面GFD,所以DG//平面ABE,

即G為線段4C的中點時，DG〃平面4BE.

(2)取BE的中點H,連接AH、CH,

又CB=EC=J12+(b)2=2,aaBE為等邊三角形，所以力H1BE,CH1BE,

AHCtCHH,AH,CHu平面力HC,所以BE，平面AHC,

又AQ1BE,所以Qe平面AHC,

又礪?無=0,所以點Q在以BC為直徑的球上，

所以點Q在以BC為直徑的球與平面AHC的交線上，

即點Q的軌跡為圓，

取BC的中點0,由平面力HC,過點。作。T1CH交CH于點T,

貝IJ0T，平面4HC,

又BE=J(V3)2+(2-1)2=2,貝1JOT=

設球的半徑為R,Q的軌跡圓的半徑為r,則/?制弘=1,r=J/一=苧，

所以點Q的軌跡長度為2TTT=2itx烏=V3rt.

2.(2024?寧夏吳忠?模擬預測)如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD是邊長為2的正方形,PD1底面力BCD,

(1)試確定點E的位置，并說明理由；

(2)是否存在實數(shù)九使三棱錐E-BPD體積為(若存在，請求出具體值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)點E是PC的中點，理由見解析

(2)存在；I=2,使三棱錐E-BPD體積為：

10

【分析】（1）連接力C,交BD于點。，連結。E,根據(jù)線面平行的性質定理，證出P4II0E,再結合。是4C的

中點，判斷出點E是PC的中點，可得答案；（2）若三棱錐E-BPD體積為芯則可推出三棱錐P-BDC的體積

為,進而利用棱錐的體積公式與PD1底面力BCD,列式算出實數(shù)2的值，即可得到答案.

?.?底面力BCD是正方形，AC.BD相交于點。，

。是2C的中點，

??,PA〃平面EBD,P2含于平面PAC,平面PACC平面BDE=0E,

PA//OE,???△4PC中，。是4c的中點，

E是PC的中點.

(2)為PC中點，

J^E-BPD=C-BPD~P-DBC-

:?若嗓—BPD=g，貝UPp—OBC=1

???PD，底面ZBCO,PD=ACD=2A,

S^BCD=]X2x2=2

1-1O

P-DBC=3,S&BCD-2A=-X2x2A=-,解得4=2.

???存在4=2,使三棱錐E-BPD體積為:

3.(2025高三?全國?專題練習)如圖，在四棱臺ZBCD-&8也1。1中，D￡)iJ"平面ABCD,AD//BC,AD=DC=

2,BC=1,NBCD=60°,4]Di=Di。=1.記平面力J.ADD1與平面BiBCCi的交線為Z,證明：1//BC-,

【答案】證明見解析

【分析】利用線線平行證明線面平行，再由線面平行即可證線線平行.

【詳解】

11

因為AD//BC,4Du平面4"皿，BCC平面A1ADDl,

所以BC//平面A1ADD1.

又BCu平面BiBCCi,平面AiADD1n平面/BCCi=/,所以1//BC.

4.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在三棱柱力BC—A/iCi中，HC=BC,&C=&B,側面88也1。為矩

形.記平面力/Ci與平面ABC交線為I,證明：AC//1；

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)2C〃平面&B。，進而根據(jù)線面平行的性質即可求解.

【詳解】因為在三棱柱力BC-&B1C1中，

由于力CC平面力iBCi，&Ciu平面&BC1，

所以力C〃平面力道。，

又因為4cu平面ABC,平面ABCC平面力iBCi=I,

所以力?！?/p>

考點二、面面平行問題

小：典例引領

1.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，P力=3MB=2,四邊形A8CD為菱形，"BC=$

PAJ_平面4BCD,E,F,Q分別是BC,PC,PD的中點.證明：平面EFQ〃平面P4B；

P

【答案】證明見解析

【分析】利用面面平行的判定定理即可證明得出結論.

12

【詳解】因為四邊形4BCD為菱形，所以4B〃CD,

又E,F,Q分別是BC,PC,PD的中點，

所以FQ〃CD,EF//PB,板FQ“AB,

因為EFU平面PAB,PBu平面PAB,

所以EF〃平面P48,

同理可得FQ〃平面P4B.

因為EFCFQ=F,EF,FQu平面EFQ,

所以平面EFQ〃平面P4B.

2.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在三棱柱ZBC-&BiCi中，側面44忑忑為矩形，M,N分別為AC,

久的的中點.求證：平面BM&〃平面BiNC；

【答案】證明見解析

【分析】由線面平行和面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】因為M,N分別為側面441的。為矩形的邊4C,&射的中點，

所以力M〃&N,AM=&N,即四邊形44NM是平行四邊形，

所以A4i〃MN,A&=MN,

因為=AAlt

所以BBJ/MN,BB]=MN,即四邊形B/NM是平行四邊形，

所以BM〃B]N,

因為0平面JNC,B]Nu平面BiNC,

所以〃平面/NC,

因為M,N分別為側面7Mle4為矩形的邊4C,41的的中點，

所以MC//&MMC=&N,即四邊形MCN4是平行四邊形，

所以力也〃NC,

因為tt平面/NC,CNu平面/NC,

所以4M〃平面％NC,

因為BM〃平面BiNC,且BMCl=M,BMu平面BMAi，MAru平面BMA。

所以平面〃平面BiNC；

13

1.（2025高三?全國?專題練習）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺A8CD-4/也1。1中，E,F

分別為4D,4B的中點，==4,側面BBiCiC與底面4BCD所成角為45。.求證：〃平面&EF；

【答案】證明見解析

【分析】由面面平行的判定定理可證得平面&EF〃平面再由線面平行的判定定理即可證得.

【詳解】連接2D、BM，由瓦F分別為AO,48的中點，貝IJEF//BD,

又EF仁平面B/Di。，BDu平面故EF〃平面5當必。，

正四棱臺4BCD一力iBiCiDi中，A1B1//ABS.A1B1=BF,

則四邊形為FBB1為平行四邊形，故&F〃BBi，

又&FC平面BBiAD,BB]u平面故&F〃平面^當小。，

又力iFClFF=F,且力iFu平面AiEF,EFu平面41EF,

故平面&EF〃平面幽小口，又BD]u平面8當。1。，故〃平面&EF；

2.（23-24高三上?河北承德?期中）如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面S3。1平面A8CD,底面A8CD是正方

形，且E、F分別是SB、SD上靠近S的三等分點.

14

s

(2)在SC上是否存在一點M,使平面MBD〃平面力EF?若存在，求出券的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2淺4理由見解析

【分析】

(1)借助面面垂直的性質定理，可得線面垂直，再借助線面垂直的性質定理可得線線垂直；

(2)假設存在該點，構造出相應的點后結合性質即可得.

【詳解】(1)因為四邊形4BCD是正方形，所以

因為平面SBD1平面力BCD,平面SBDn平面4BCD=BD,4Cu平面48CD,

所以4C1平面SBD,

又SBu平面SBD,所以4clsB.

(2)設4CnBD=。，則。為正方形4BCD的中心，

如圖，連接SO,交EF于點G,連接4G并延長交SC于點”.

若平面MBD〃平面4EF,平面S4CCI平面MB。=0M,平面SACn平面AEF=所以。M〃AH.

因為E、尸分別是SB、SD上靠近S的三等分點，

所以EF//BD,所唱，焉制，

又。是4c的中點，所以。“〃/1H,

所以處=絲=所以%=?

MCOCMC2

故SC上存在一點M,使平面M8D〃平面AEF,此時券的值為今

3.(2024高三?全國?專題練習)如圖1,直角梯形4BCD中，AB2,AD2,AD1CD.ABHCD,將直

15

角梯形4BCD繞月D旋轉一周得到如圖2的圓臺，EF為圓臺的母線，且CF=4,M是BC的中點.在線段CF上是

否存在一點N,使MN//平面4EFD?說明理由；

【答案】存在，理由見解析

【分析】作輔助平面MGN找點N,再由線線平行證明線面平行，然后利用面面平行的判定定理、性質定理可

證得點N滿足MN//平面力EFD

【詳解】線段CF上存在一點N,^MN/mAEFD.理由如下：

過M作MG1CD,垂足為G,過B作垂足為H,

由M為8c中點，又AB=$D=2,

所以G為DC靠近點C的四等分點.

取CF靠近點C的四等分點N,連接GN,MN,

貝1|GN//DF,又MGHBH,BH//AD,

所以MG〃4D,而力Du平面4EFD,MGC平面4EFD,所以MG〃平面力EFD.

同理GN〃平面力EFD,又MGCNG=G,“。可6<=平面聞62，

所以平面MGN//平面4EFD,MNu平面MGN,

所以MN//平面AEFD,

故線段CF上存在一點N,使MN//平面4EFD,且2=；.

CF4

考點三、平行中的動點問題

典例引領

1.（2024?四川樂山?三模）在三棱柱ABC—&BiCi中，點。在棱上，滿足乙.BC/D=［唳BC-AB?，點M

在棱41的上，且而^=隔，點N在直線BBi上，若MN〃平面ADCi，則箴=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

16

【分析】作出示意圖，根據(jù)體積關系可得。為BBi的靠近B的三等分點，再根據(jù)面面平行的判定定理及性質,

可找到N點位置，從而可求解.

【詳解】如圖所示：

12

因為K4-4B1C1=WK4BC-&BICI，所以K4-BCC181-^ABC-A1B1C1>

所以吸-8CC1D=g^/lBC-XiBiCi=§*/4-BCC1B1=|吸-BCC/i

所以S梯形BCCiD=四邊形Becm，所以S^CiBiD=四邊形BCCIBJ則豪=9

設三棱柱ZBC-&B1C1的側棱長為6,則DB1=4,DB=2,

又M為41cl的中點，取的中點E,連接ME,則ME//CM。

過E作EN〃4D,且ENCBB1=N,連接MN,又MECEN=E,

所以平面MNE〃平面力DC〉又MNu平面MNE,

所以MN〃平面4。的，所以DN=E4=3,

所以NBi=DB1—DN=4-3=1,所以BN=5,則券=5,

故選：D

2.（2024?遼寧?模擬預測）已知四棱錐P—HBCD的底面4BCD是邊長苗的正方形，PA=百，P力_L平面48CD,

M為線段PA的中點，若空間中存在平而a滿足8D〃a,MCca,記平面a與直線PD,PB分別交于點E,F,

則PE=,四邊形MECF的面積為.

【答案】部|乃當

【分析】根據(jù)題意作出平面a即平面MQH,取4D中點G,利用平行線成比例式可得PE=|p。進而求出PE

的值；通過線面平行的性質得到EF〃QH,黑=；,推理得到SMCE=SHCF=；S^MQH，故可間接法求得四邊

nlVl3x3y

形MEC尸的面積.

【詳解】

17

如圖，過點C作BD的平行線QH分別交ARAB的延長線于點Q,”，

則。,8分別為AQM"的中點，連接分別交PD,PB于點E,F,則平面MQH即平面a,

取力。的中點G,由4BCD是正方形，得GD=匏￡),連接MG,則MG〃PD,

旺=迫=2=〈,ED-MG—PD,因止匕PE=ZPD=47PAi+力。2=*;

QMMGQG333333

連接EF,因為30//a,平面an平面PRO=EF,80u平面尸80,所以B0//EF,

所以EF〃QH，器啜/

依題意，PD=PB,由BD〃EF,得PE=PF,由aPEM三得ME=MF,從而MQ=MH,

由4C1QH,得C為QH的中點，由力B=百，得BD=顯,QH=2巫,

2222

MC=yjMA+AC=^(1V3)+(V6)=^,HSAQCE=SAHCF=1?^SAMQH=^SAMQH,

故四邊形MECF的面積S=(1-2X沁MQH=?AMQH=*QH.MC=/2府苧=苧

故答案為：―當

【點睛】思路點睛：解題思路在于正確理解題意，作出合理的截面，充分利用平行與垂直的判定、性質定

理，借助于相似三角形和三角形之間的面積關系計算即得.

即0睜L

1.(2024?西藏拉薩?二模)如圖，正四棱錐P-4BCD的所有棱長都為2,E為PC的中點，M是底面ABCD內(包

括邊界)的動點，且EM||平面P4B,貝UEM長度的取值范圍是.

【答案】停，后|

【分析】畫出草圖輔助分析，設BC,4D的中點分別為“1，“2，連接M1M2，先證明平面”透“2II平面P4B.

得到動點M在線段M1M2上運動.再作輔助線，將EM長度的取值范圍轉化為求出點E與線段M1M2上的點的距

離的取值范圍.后抽出等腰梯形EFM2M1，借助等腰梯形的性質解題即可.

【詳解】如圖(1),設BC,4D的中點分別為Mi，“2,連接Mi%，則如”2II力B.因為Mi"?，平面P4B,ABu

平面248,所以M1M2||平面P4B.

又EM1||PB,EMiC平面PHB,PBu平面PHB,所以EM1||平面PHB.

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又“1^2CEM1=M1，所以平面M1EM2II平面P4B,所以動點M在線段M1M2上運動.

設PD,4C的中點分別為F,0,連接聞2吃EF,M2E,0E,

則在等腰梯形EFM2Ml中，只需求出點E與線段M1M2上的點的距離的取值范圍.

易知時2尸=FE=EM1=Mi。=?！?=1，如圖（2），作EM3_LMI。，貝1JEM3=?，M2E=2EM3=b，所

以EM長度的取值范圍是反碼.

故答案為：俘，碼.

圖(1)圖(2)

2.（2024?陜西榆林?三模）如圖是一個半圓柱，DC,4B分別是上、下底面圓的直徑，。為力B的中點，且力B=

AD=2,E是半圓而上任一點（不與4B重合）.

（1）證明：平面。E41平面CEB,并在圖中畫出平面DE力與平面CEB的交線（不用證明）；

（2）若點E滿足=空間中一點P滿足加=2而，求三棱錐。-EOP的體積.

【答案】（1）證明見解析，作圖見解析

硝

【分析】（1）根據(jù)題意可證EB,平面DE4即可得結果；可證8c〃平面OE4進而可得BC〃1,即可得交線;

（2）根據(jù)題意利用解三角知識可得SAEOB=|，利用錐體的體積公式運算求解.

【詳解】（1）因為E在荏上，貝IJE41EB,

由題意可知：DA1EB,DAC=A,EA,DAu平面DE4

可得EB_L平面DE4且EBu平面CEB,所以平面DE4_L平面CEB.

因為AD〃BC,ADu平面DE力，BCC平面DE力，可得BC〃平面DE4,

19

設平面DE力與平面CEB的交線為1,

且BCu平面CEB,可得BC〃1,

過E作BC的平行線交元于點F,貝IJE尸即為平面DE4與平面CEB的交線.

(2)因為亦=AD2+AE2^4+AE2,BE2=AB2-AE24-AE2,

可得4+A#=|(4一4#),解得AE=W，

則sinNEOA=sin2z.EBA=可得S—OB=1X1X1XsinzFOB=

又因為點P滿足加=2PB,即點P是線段DB上靠近B的三等分點，

可得了D-EOP=Vo-DEP=-Vo-DEB=D-OEB=3X[S^EOB'力。=石，

所以三棱錐。-EOP的體積為力.EOP=白

考點四、線線、線面垂直問題

典例引領

1.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖1,在高為6的等腰梯形4BCD中，AB//CD,且CD=6,48=12,將它

沿對稱軸。。1折起，使平面A。/。，平面BCOi。，如圖2,點P為BC的中點，點E在線段力B上（不同于4B

兩點），連接。E并延長至點Q,使AQ〃OB.

（1）證明：。￡），平面「加；

（2）若BE=24E,求三棱錐P—力BQ的體積.

【答案】（1）證明見解析

20

⑵9

【分析】(1)由。40B,。。1兩兩垂直建立空間直角坐標系，由向量坐標運算得到。D0D1PQ,

再根據(jù)線面垂直判定定理即可證明；

(2)先計算S^BQ，再計算三棱錐P-4BQ的高無=等，然后根據(jù)棱錐體積計算即可.

【詳解】(1)由題設知。4。8,。。1兩兩垂直，

以。為坐標原點，。40B,。0所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設力Q=m,則0(0,0,0),一(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),Z)(3,0,6),Q(6,m,0),

則麗=(3,0,6),AQ=(0,m,0),PQ=(6,m-1,-3),

因為P為BC中點，所以P(0?,3).

因為赤?而=0,OD-PQ^0,

所以話1而，布_L而，

即。。1AQ,OD1PQ,

又AQ,PQu平面R4Q/QnPQ=Q,

所以。D1平面P4Q.

(2)因為8E=24E,AQ//OB,

所以4Q=；OB=3,

因為4B=12,由題設知。4_LOB,所以。4=6,

所以S^BQ=|/4Q-O/4=1x3x6=9

因為高為6的等腰梯形AABCD中，AB//CD,

所以三棱錐尸一4BQ的高h=等=3,

所以%-4BQ='等=/9?3=9.

2.(24-25高三上?山西大同?期末)如圖，四棱錐P—A8CD中，底面4BCD為矩形，PA1底面力BCD,且M,N

分別為棱AB,PC的中點，平面CMN與平面PAD交于直線Z.

21

（2）若PD與底面A8CD所成角為a,當a滿足什么條件時，MN1平面PCD.

【答案】（1）證明見解析

（2）答案見解析

【分析】（1）首先證得線面平行，然后利用線面平行的性質定理即可證得線線平行；

（2）先確定為PC與底面4BCD所成角，當NP￡M=45。時，結合（1）的結論以及線面垂直的判定定理

即可得答案.

【詳解】（1）證明：取PD的中點G,連接G4GN,

G,N分別為PD,PC的中點，

1

???GNW-CD.

—2

為4B的