有理數(shù)及其運算（解析版）-2024-2025學年七年級數(shù)學上冊（北師大版）

清單02有理數(shù)及其運算（22個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

有

理

數(shù)

及

其

運T交換律）

算T運算律I一-1結合律I

，分類律

有理數(shù)的運算一T加減

|w|j-|薪

q乘方

T科學記數(shù)法，有效數(shù)拈近似數(shù)|

【清單01】正數(shù)和負數(shù)

（1）概念

正數(shù)：大于。的數(shù)叫做正數(shù)。

負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“一”的數(shù)叫做負數(shù)。

注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。

（不是帶“一”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“一”的數(shù)。）

（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。

【清單02】有理數(shù)

（1）概念

整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱

為非正整數(shù)。

(2)分類：兩種

⑴按正、負性質(zhì)分類:⑵按整數(shù)、分數(shù)分類:

「正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)

有理數(shù)正分數(shù)整數(shù)40

l-t-J

李有理數(shù)負整數(shù)

,負有理數(shù)「負整數(shù)分數(shù)「正分數(shù)

負分數(shù)負分數(shù)

【清單03】數(shù)軸

(1)概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

三要素：原點、正方向、單位長度

(2)對應關系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應的。

「比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(3)應用j求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。

(注意不帶“+”“一”號)

【清單04】相反數(shù)

(1)概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。(0的相反數(shù)是0)

幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。

(2)性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，貝！］a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,則a與b互為相反數(shù)。

「兩個符號：符號相同是正數(shù)，符號不同是負數(shù)。

(3)多重符號的化簡-

-多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負號的個數(shù)

(注意：當“一”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結果取正號當“一”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結果取負號)

【清單05】絕對值

(1)幾何意義：一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值。

廠個正數(shù)的絕對值是它的本身(若|a|=|b|,貝1J2=1)或&=-1))

(2)代數(shù)意義j一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

0的絕對值是0

(3)代數(shù)符號意義：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,則a20,|a|=-a,則a=0|

-a=0,|a|=0

_a<0,|a|=-a

注：非負數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

(4)性質(zhì)：絕對值是a(a>0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即土a。

(5)非負性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即間\0。幾個非負數(shù)之和等于0,則每個非負數(shù)都等

于0。故若|a|+|b|=0,則a=0,b=0

1.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(6)比較大小

L2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)。

兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。

【清單07】加法法則

⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0o

⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

【清單08】加法運算定律

(1)加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

(2)加法結合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。

即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

【清單09】減法法則

減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a—b=a+(-)b

【清單10】乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0。

(3)多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確

定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。

(4)多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0,則積等于0；反之，若積為0,則至少有一個因數(shù)是0。

【清單11】乘法運算定律

(1)乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即aXb=ba

(2)乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即aXbXc=(aXb)

Xc=aX(bXc)。

(3)乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即aX(b+c)=

aXb+aXc()

【清單12】倒數(shù)

(1)定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

(2)性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。

注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.

【清單13】除法法則

(1)除以一個(不等于0)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

(3)0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

【清單01】乘方法則運算

(1)正數(shù)的任何次事都是正數(shù)

(2)負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次事是正數(shù)

(3)0的任何正整數(shù)次第都是0

【清單01】混合運算

(1)先乘方，再乘除，最后加減。

(2)同級運算，從左到右的順序進行。

（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，要分兩

步走：先確定符號，再求值。

【清單01】科學計數(shù)法

1.科學記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成axion的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。

這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法。（lW|a|<10）

注：一個n為數(shù)用科學記數(shù)法表示為aX10"i

2.近似數(shù)的精確度：兩種形式

（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。

（2）保留幾個有效數(shù)字

注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結果一般用科學記數(shù)法來表示

例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6X105

3.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非。數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。

注：

（1）用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0X104的有效數(shù)字是3o

（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。

例如:2.605萬的有效數(shù)字是2,6,0,5o

型需單

【考點題型一】正負數(shù)

【典例1】《夏陽候算經(jīng)》說：“滿六以上，五在上方.六不積算，五不單張.”意思就是說，在用算籌

計數(shù)時，1?5分別以縱橫方式排列相應數(shù)目的算籌來表示，6?9則以上面的算籌再加下面相應的算籌

來表示.我國是世界上最早使用負數(shù)的國家，在《九章算術》中，記載了我國古代在算籌上面斜著放

一支算籌表示負數(shù)的方法.如:II=TTT'表不+238,則JI表不—238.那么，

I內(nèi)’表示的數(shù)是（）

A.-136B.+136C.-132D.+132

【答案】A

【分析】本題考查了負數(shù)的定義，解題關鍵是通過閱讀材料理解和掌握我國古代用算籌記數(shù)的規(guī)

定.根據(jù)題中規(guī)定解答即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：“I三y”表示的數(shù)是-136,

故選：A.

【變式1-1】如果向南走10米記作+10米，那么向北走5米記作（）米

A.+5B.+15C.0D.-5

【答案】D

【分析】本題主要考查了正數(shù)與負數(shù)，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反

意義的量.在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.在一對具有相

反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【詳解】解：???向南走10米記作+1。米，

二向北走5米記作-5米，

故選：D.

【變式1-2】體育老師對六年級學生進行了仰臥起坐測試.以每分鐘25個為達標，記作0.小明的成績

記作-2,則他仰臥起坐的個數(shù)是（）

A.27B.24C.23D.25

【答案】C

【分析】本題主要考查了正負數(shù)的意義，深刻理解正負數(shù)的意義是解題的關鍵.正數(shù)與負數(shù)表示意義

相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負.

用正負數(shù)表示意義相反的兩種量：高于每分鐘25個記為正，則低于每分鐘25個就記作負，由此得解.

【詳解】解：25—2=23（個），

故選：C.

【變式1-3］如果節(jié)約用電30千瓦時記作+30千瓦時，那么浪費用電20千瓦時可以記作（）

A.-50千瓦時B.-30千瓦時C.-20千瓦時D.+20千瓦時

【答案】C

【分析】本題考查了負數(shù)的認識，用正負數(shù)表示一對相反意義的量，如果收入用正數(shù)表示，支出就用

負數(shù)表示.根據(jù)正負數(shù)的意義即可求解.

【詳解】解：節(jié)約用電30千瓦時記作+30千瓦時，那么浪費用電20千瓦時可以記作-20千瓦時，

故選：C.

【考點題型二】相反意義的量表示

【典例2】早在公元前2世紀，中國古代勞動人民就認識到負數(shù)的存在.如果把收入8元記作+8元，

那么支出6元記作()

A.一6元B.-8元C.+6元D.+8元

【答案】A

【分析】本題考查了正負數(shù)的應用.根據(jù)正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量，收入記為正，可得支出的表

示方法.

【詳解】解：如果把收入8元記作+8元，那么支出6元記作-6元，

故選：A.

【變式2-1】中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義，并進行負數(shù)運算的國家.若糧庫把運進20噸糧食

記為“+20”,則“-20”表示()

A.賣掉20噸糧食B.運出20噸糧食C.吃掉20噸糧食D.虧損20噸糧食

【答案】B

【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義，熟練掌握正負數(shù)的意義是解題的關鍵.

在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示即可解答.

【詳解】???糧庫把運進20噸糧食記為“+20”，

“-20”表示為運出20噸糧食，

故選：B.

【變式2-2】如果向東走8m,記作+8m,那么向西走10m,記作.

【答案】—10m/—10米

【分析】此題主要考查相反意義的量，解題的關鍵是熟知正負數(shù)的代表相反的含義.根據(jù)正負數(shù)的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如果向東走8m,記作+8m,那么向西走10m,記作一10m.

故答案為：—10m.

【變式2-3】一次數(shù)學測試，如果80分為優(yōu)秀，以80分為基準簡記，例如90分記為+10,那么70分

應記為分.

【答案】-10

【分析】根據(jù)相反意義的量可以用正負數(shù)來表示，高于80分記為正，低于80分記為負，據(jù)此解答即

可.

本題考查了相反意義的量，熟練掌握定義是解題的關鍵.

【詳解】解：70-80=-10,

所以70分應記為-10.

故答案為：-10.

【考點題型三】有理數(shù)的概念辨析

【典例3】下列說法正確的個數(shù)為（）

①有理數(shù)與無理數(shù)的差都是有理數(shù)；

②無限小數(shù)都是無理數(shù)；

③無理數(shù)都是無限小數(shù)；

④兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)；

⑤無理數(shù)分為正無理數(shù)、零、負無理數(shù).

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)、無理數(shù)的概念和性質(zhì)，熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)的概念和性質(zhì)是解題的

關鍵.

根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)的概念和性質(zhì)進行分析，判斷每個說法的正確性即可.

【詳解】解：①有理數(shù)與無理數(shù)的差不一定是有理數(shù)，例如：1-五,故該項不正確；

②無限小數(shù)不都是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故該項不正確；

③無理數(shù)都是無限小數(shù)，故該項正確；

④兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，例如詬+（-何）=0是有理數(shù)，故該項正確；

⑤無理數(shù)分為正無理數(shù)、零、負無理數(shù)，0不是無理數(shù)，故該項不正確；

故正確的個數(shù)有2個；

故選：A

【變式3-1】在-1,0,|,-6.8和2024這五個有理數(shù)中，正數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查正數(shù)的定義，找出所有的正數(shù)即可得解，掌握正數(shù)的定義是解題的關鍵.

【詳解】正數(shù)有：羨和2024,有2個正數(shù).

故選B.

【變式3-2】如果a為有理數(shù)，則下列結論中正確的是()

A.-a一定是負數(shù)B.2a是偶數(shù)C.|a|是正數(shù)D.(-a)3=-a3

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)的相關概念.根據(jù)題意，逐項判斷即可.

【詳解】解：A.a為負數(shù)時，-a是正數(shù)，此項不正確；

B.a為分數(shù)時，2a是不是偶數(shù)，此項不正確；

C.a為0時，|a|是0，此項不正確；

D.(—a)3=—a3,此項正確.

故選：D.

【變式3-3]在0,p1.3434434443...,等，3.14中，有理數(shù)的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，其中分數(shù)可以化為有限小數(shù)或無限循

環(huán)小數(shù)，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：在0,p1.3434434443...,y,3.14中，有理數(shù)有0,等，3.14三個.

故選：C

【考點題型四】有理數(shù)的分類

【典例4】把下列各數(shù)分別填在它所在的集合里：

—5,-2004,一(—4)，+(—])'13卜—36%,0,6.2

(1)正有理數(shù)集合{}

(2)負有理數(shù)集合{}

(3)分數(shù)集合{}

(4)非負整數(shù)集合{}

【答案】(1)2004,-(-4),y,6.2

(2)—5,_g,—|—13|，-36%

(3)——?—36%,6.2

(4)2004,一(一4)，0

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解答本題的關鍵.

(1)直接利用正有理數(shù)的定義分析得出答案；

(2)直接利用負有理數(shù)的定義分析得出答案；

(3)直接利用非分數(shù)的定義分析得出答案；

(4)直接利用非負整數(shù)的定義分析得出答案.

【詳解】⑴解：—(—4)=4,+(-=)=-p-|-13|=-13；

91

正有理數(shù)集合｛2004,-(-4),y,6.2...｝;

21

故答案為:2004,-(-4),6.2；

(2)負有理數(shù)集合｛-5,-i-|-13|，-36%...)；

故答案為：-5,-i-|-13h—36%；

1

(3)分數(shù)集合｛一g,-36%,6.2...｝；

1

故答案為：—士—36%,6.2；

(4)非負整數(shù)集合：｛2004,-(—4)，0...｝；

故答案為：2004,一(—4),0.

【變式4-1］把下列各數(shù)填入它所在數(shù)集的大括號內(nèi)：

10n??

—2.4,3,7.004,——,1，—0.15,0,—(—6,28)，14,—|—4|

正有理數(shù)集合：｛…｝

非負整數(shù)集合：｛…｝

負分數(shù)集合：｛…｝

【答案】見解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)正有理數(shù)、非負整數(shù)、負分數(shù)及有理數(shù)的定義，結合所給數(shù)

據(jù)進行判斷即可.

【詳解】解：—(—6.28)=6.28,—|—4|=-4,

正有理數(shù)集合：｛3,7.004,-(-6.28)，14｝

非負整數(shù)集合：｛3,0,14｝

1n..

負分數(shù)集合：｛—2.4,—,-0.15｝

【變式4-2]把下列各數(shù)分別填入相應的集合：0,-7,5.6,-4.8,-%y,15,也

整數(shù)集合（...）;

分數(shù)集合（...）

非負數(shù)集合（...）;

負數(shù)集合（...）.

【答案】0）—7,15；5.6,—4.8,—8p][0,5.6,y-,15,1—7,—4.8,—8；

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，由題意直接根據(jù)有理數(shù)的分類，把相應的數(shù)填寫到相應的集合中

即可，熟練掌握有理數(shù)的分類是解此題的關鍵.

【詳解】解：整數(shù)集合（0,—7,15）；

分數(shù)集合（5.6,—4.8,—畛y,|）

1

非負數(shù)集合（0,5.6,15,-）；

負數(shù)集合（-7,-4.8,—8?

【變式4-3】把下列各數(shù)分別填入相應的大括號內(nèi)：

12,22

—4,10%,-1-,-2,101,-1.5,0,0.6,—3,—,—3.1；

正數(shù)集合：｛____________________

負數(shù)集合：｛____________________

負分數(shù)集合：｛____________________

整數(shù)集合：｛____________________

非負數(shù)集合：｛...｝.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的概念是解題的關鍵.根據(jù)有理數(shù)的分類直接

進行解答.

【詳解】解：正數(shù)集合：｛10%、101、3'亍、06｝；

負數(shù)集合：｛一4、一片、—2、一1.5、-3、-3.1）；

負分數(shù)集合：｛一岑T.5、-3.1｝；

整數(shù)集合：｛一4、-2、0、101、-3｝；

非負數(shù)集合：｛10%、101、0、0.■6,年7?、17）,

故答案為：10%、101、—>—>0.6；—4、—1—>—2、—1.5、—3、—3.1；—1—>—1.5、—3.1；—4、

1222

一2、0、101、-3；10%、101.0、0.6、彳、

【考點題型五】有理數(shù)的大小比較

【典例5】如果—l<a<0,那么關于-a,a,?1三者的大小關系，下列正確的是（）

1ri

A.-a<-<aB,-<-a<a

11

C-a<-a<-D,-<a<-a

【答案】D

【分析】本題考查簡單的有理數(shù)比較，倒數(shù)，代入滿足條件的數(shù)字即可.本題可代入一個滿足條件的

數(shù)字，然后再進行比較即可.

【詳解】解：根據(jù)分析可設a=《，代入可得—a*,卜―2,

可得￡<a<—a,

故選：D

【變式5-1】一1、0、—2的大小順序是（）.

A.|>0>-1>-2B.-1<-2<|<0

C.|>0>-2>-1D.-2>-1>|>0

【答案】A

【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較，根據(jù)負數(shù)都比。小，正數(shù)都比0大，兩個負數(shù)比較大小時絕對

值越大反而越小比較即可.

【詳解】=1、|-2|=2,

-1>—2,

1

>0>—1>—2,

故選：A.

【變式5-2］大于一3.5且小于2.3的整數(shù)共有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【答案】A

【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較，根據(jù)題意得到大于-3.5且小于2.3的整數(shù)有-3、-2、-1、0、

1、2,即可求解.

【詳解】解：大于—3.5且小于2.3的整數(shù)有—3、—2、—1、0、1、2,

大于-3.5且小于2.3的整數(shù)共有6個，

故選：A.

11

【變式5-3】比較大?。?-一萬（填或“=”）

【答案】＞

【分析】本題主要考查有理數(shù)的大小比較，根據(jù)兩個負數(shù)相比較，絕對值大的負數(shù)反而小，求解即

可.

故答案為：＞,

【考點題型六】數(shù)軸的三要素及其畫法

【典例6】如圖各圖中，表示的數(shù)軸正確的是（）

A.-3-2-101234

1111__1____1?

B.-3-2-1123

111.

C.-101

11_____11?

D.-1012

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.根據(jù)數(shù)軸的三要素，即

可解答.

【詳解】解：如上圖各圖中，表示的數(shù)軸正確的是

—?------------1--------------1-＞

-I0I

故選：C.

【變式6-1】下圖中是數(shù)軸的為（）

A.0B.210-1-2

111111

????-A

C.-2T012D.-2-1012

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)軸的定義，解題的關鍵是熟記數(shù)軸的三要素.根據(jù)“數(shù)軸是規(guī)定了原點、單位長

度和正方向的直線”，即可求解.

【詳解】解：A、有原點和正方向，沒有單位長度，所以該選項不正確，不符合題意；

B、正、負數(shù)的位置反了，所以該選項不正確，不符合題意；

C、沒有規(guī)定正方向，所以該選項不正確，不符合題意；

D、有原點、單位長度和正方向，所以該選項正確，符合題意.

故選：D.

【變式6-2】下列是四位同學畫的數(shù)軸，正確的是（）

111?11II1

C.21（）I2D.-2-I（）

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)軸的三要素和畫法.掌握原點、正方向、單位長度稱數(shù)軸的三要素是解題關

鍵.根據(jù)三要素逐一分析即可.

【詳解】解：根據(jù)原點、正方向、單位長度稱數(shù)軸的三要素，即可知C選項正確.

故選：C.

【變式6-3］下列圖形表示數(shù)軸正確的是（）

A.?21112B.41n能汽售

------------------?->值好批-維_________裨

C.?01D.加I國霸岑

【答案】B

【分析】本題是對數(shù)軸的考查，熟記數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度以及數(shù)軸上的數(shù)的特點

是解題的關鍵.

【詳解】解：A.從左向右點所表示的數(shù)依次增大，故A錯誤；

B.符合數(shù)軸的三要素原點、單位長度，正方向，故B正確；

C.單位長度不一致，故C錯誤；

D.畫成射線了，故D錯誤.

故選：B.

【考點題型七】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【典例7】在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：—10,-4,(—2)2,RI，并用號把它們連接起來.

I____I_____|_____|____|_____|____|_____|____I?

-4-3-2-101234

【答案】在數(shù)軸上表示見解析，—4<—1<0<|—33<(—2)2

【分析】本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，絕對值和有理數(shù)的大小比較，能熟記有理數(shù)的大小比較法則的內(nèi)

容是解此題的關鍵，注意：在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.先在數(shù)軸上表示出各個

數(shù)，比較即可.

【詳解】解：(-2)2=4,|-3||=3|,

-4F0卜3萬|(-2)2

―?---1----L_?_l----1----1----1----1----L—?—I----1_>

-5-4-3-2-1012345-4<-|<0<|-3||<(-2)2.

【變式7-1］有理數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是()

-b=46~~ai

A.a+Z?>0B.b-a<0C.ab>0D.\a\>\b\

【答案】B

【分析】先根據(jù)數(shù)軸可以得到力<0<a,且網(wǎng)>|a|,再利用實數(shù)的運算法則即可判斷.本題主要考查

了利用數(shù)軸來進行實數(shù)大小比較.由于引進了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和

“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，在學習中要注意

培養(yǎng)數(shù)形結合的數(shù)學思想.

【詳解】解：根據(jù)點在數(shù)軸的位置，知：/?<0<a,且網(wǎng)>|a|.

A、vft<0<a,且網(wǎng)〉|a|,a+&<0,故本選項錯誤；

B>vb<a,b-a<0,故本選項正確；

C、a>0,b<0,/.ab<0,故本選項錯誤；

D、\b\>\a\,故本選項錯誤.

故選：B.

【變式7-2］若有理數(shù)。在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則。，-a,-1的大小關系是()

?&t

A.CL<—CL<-1B.-CLVa<-1C.-CL<-1VCLD.CL<—1<—CL

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)大小比較：正數(shù)大于0,負數(shù)小于0;兩個負數(shù)比較大小負數(shù)的絕對值越

大，這個數(shù)越小.也考查了數(shù)軸.

【詳解】解：由數(shù)軸可得a<—L

.,.-a>1,

■■CL<—1<—CL,

故選D.

【變式7-3］把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并將各數(shù)按從小到大的順序排列，用連接.

2石，—(+3)，|-3|>0.

-5-4-3-2-101234

【答案】各數(shù)表示見解析，一(+3)<-3<0<21<［-3|

【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較的應用，能根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的位置比較兩個數(shù)的大小是解

此題的關鍵.

先在數(shù)軸上表示各個數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大比較即可.

【詳解】解：—(+3)=—3,|-3|=3,

11

把2目，-—(+3),|-3|,0表示在數(shù)軸上如圖所?。?/p>

11

2o1-31

-(+3)-EO3

.?--(+3)<-1<0<2|<|-3|.

【考點題型八】數(shù)軸上兩點之間的距離

【典例8】在數(shù)軸上，距離表示數(shù)-2的點4個單位長度的點是()

A.-6B.6C.2D.-6或2

【答案】D

【分析】本題主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，掌握分類討論思想成為解題的關鍵.

將數(shù)-2分別向左或向右移動4個單位長度，即可解答.

【詳解】解：由題意知：將數(shù)-2向左移動4個單位長度，對應的點表示的數(shù)是-6；將數(shù)-2向右移動4

個單位長度，對應點表示的數(shù)是2.

故選：D.

【變式8-1】數(shù)軸上與原點距離是2的點有兩個，它們表示的數(shù)是（）

A.一2和0B.2和0

C.一2和2D.一1和1

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上與原點距離的定義即可，熟練掌握數(shù)軸上點的表示及幾何意義

是解題的關鍵.

【詳解】解：數(shù)軸上與原點距離是2的點有兩個，分別為-2和2,

故選：C.

【變式8-2】數(shù)軸上點P表示的數(shù)為-3,與點P距離為4個單位長度的點表示的數(shù)為.

【答案】—7或1

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點距離，設該點表示的數(shù)為x,根據(jù)題意得|-3-加=4,進而即可求解.

【詳解】解：設該點表示的數(shù)為％,

根據(jù)題意得：|-3-劉=4,

解得：*=-7或久=1.

故答案為：-7或1.

【變式8-3】如果數(shù)軸上的點a對應的數(shù)為3,那么與點a相距4個單位長度的點所對應的數(shù)為一.

【答案】7或一1

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，注意分類討論思想的應用.分情況計算，與點4相距4個

單位長度的點可能在點4的右邊，也可能在點4的左邊，由此計算即可.

【詳解】解：如果數(shù)軸上的點A對應的數(shù)為3,那么與點2相距4個單位長度的點所對應的數(shù)為

3+4=7或3-4=-1,

故答案為：7或-1

【考點題型九】數(shù)軸上的動點問題

【典例9】【閱讀材料】若數(shù)軸上點4、點B表示的數(shù)分別為a,b(6>a),則力、B兩點間的距離可表示

為b-a,記作AB=b—a.

【解決問題】一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點4再向右移動10個單位

長度到達點8.

(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出爾B兩點的位置；

(2)若動點P,Q分別從點48同時出發(fā)，沿數(shù)軸向左運動.已知點P的速度是每秒1個單位長度，點Q

的速度是每秒2個單位長度，設移動時間為t秒(t>0).

①用含t的代數(shù)式表示：t秒時，點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為；

②t為何值時，點P表示的數(shù)與點Q表示的數(shù)互為相反數(shù)？

③t為何值時，P,Q兩點之間的距離為4?

【答案】(1)見解析

⑵①(-2-1)，(8-2t);②t=2；③t=6或t=14.

【分析】本題考查的是數(shù)軸的定義及數(shù)軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵.

(1)根據(jù)題意畫出數(shù)軸，即可解答；

(2)①用含t的代數(shù)式表示即可；

②根據(jù)相反數(shù)的意義列式計算即可求解；

③根據(jù)題意列出絕對值方程即可求解.

【詳解】(1)解：如圖：

AB

l.lIIIIIII1.1〉

-3-2-10123456789；

(2)解：①t秒時，點P表示的數(shù)為(-2-1)，點Q表示的數(shù)為(8-2t);

故答案為：(一2-1)，(8-2t);

②由題意得：(-2-t)+(8-2t)=0，

解得：t=2；

③由題意得：|(—2T)_(8—2t)|=4,BP|t-10|=4,

/.t-10=4或10=—4,

解得：1=14或1=6.

【變式9-1］已知數(shù)軸上/、8兩點對應的數(shù)分別為a、b,且滿足奴+1|=-初一3)2

AB

(1)求點4、5兩點對應的有理數(shù)是；

(2)若點P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蟻從點尸出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，經(jīng)過一

秒時，尸到4的距離剛好等于P到5的距離的2倍.

【答案】—1,3；5或葺

Zo

【分析】(1)根據(jù)非負式子和為0它們分別等于。直接求解即可得到答案；

(2)分點尸在2點左側(cè)右側(cè)兩類討論，結合距離問題列式求解即可得到答案；

【詳解】解：⑴"\a+1|=-(b-3)2,

???|a+1|+(6-3)2=0,

.t.a+1=0,b—3—0,

解得：a=-1,b=3,

故答空1答案為：-1,3；

(2)當點尸在5點左側(cè)時，

PB=2t—(8—3)=2t-59A,P=[8—(—1)]—2t—9—23

???尸到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍,

.'.9-2t—2(2t—5)—0,

即：16—6t=0,

1Q

解得：

當點P在3點右側(cè)時，

PB=(8—3)—2t=5-2t9AP=[8—(—1)]—2t=9-2t,

???尸到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍，

.?.9-2t-2(5—2t)=0,

即：—l+2t=0,

解得：”宏

故答空2答案為：T或卷；

【點睛】本題考查絕對非負性應用及數(shù)軸上動點距離問題，解題的關鍵是注意分類討論.

【變式9-2】如圖，點4表示的數(shù)是一5.

AB

(1)在數(shù)軸上表示出原點。；

(2)點B表示的數(shù)是；

(3)將點B向左移動3個單位長度到點C,那么點C表示的數(shù)是；

(4)在數(shù)軸上找點D,使點。到4、。兩點的距離相等，那么點。表示的數(shù)是；

(5)點E在數(shù)軸上，與點B的距離為3個單位長度，那么點E表示的數(shù)是.

【答案】(1)見解析

⑵2

(3)-1

⑷-3

(5)5或一1

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上的點位置和絕對值，確定原點的位置；

(2)原點確定后，確定點B所表不的數(shù)；

(3)根據(jù)(2)中求得B所表示的數(shù)再向左移3個單位長度到點C；

(4)根據(jù)距離的表示方法即可求得：

(5)分兩種情況分別求出點E所表示的數(shù)，一種是點E在點B的左側(cè)，另一種是點E在點B的右側(cè)，根據(jù)

距離和絕對值求出所表示的數(shù).

【詳解】(1)

解：原點在點/的右側(cè)距離點/五個單位長度，如圖所示，原點。即為所求

AOB

J111111111A

(2)解：點8在原點的右側(cè)距離原點2個單位，因此點8所表示的數(shù)為2.

(3)解：將點B所表示的數(shù)，向左移3個單位長度得到點C,故得到2-3=-1,因此點C表示的數(shù)為

-1.

(4)解：???點。到4、C兩點的距離相等，4表示的數(shù)是一5,C表示的數(shù)為-1,

???設。表示的數(shù)為工，則可得—If=x—(―5),解得x=-3

故點D表示的數(shù)為-3.

(5)解：①當點E在點B的左側(cè)時，2—3=—1,

②當點E在點B的右側(cè)時，3+2=5,

因此點E表示的數(shù)為-1或5.

故點E表示的數(shù)為-1或5.

【點睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)，確定點在數(shù)軸上的位置，掌握數(shù)軸的相關概念是解題的關鍵.

【變式9-3】點4B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,4、8兩點之間的距離表示為48,在數(shù)軸上4、B兩

點之間的距離48=\a-b\.利用數(shù)形結合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示4和8兩點之間的距離是.

(2)數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為.

(3)若x表示一個有理數(shù)，則|久-2|+|x+4|的最小值=.

(4)己知，如圖2、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應的數(shù)為-10,B點對應的數(shù)為90.若當電子螞蟻P從

B點出發(fā)時，以3個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從4點出發(fā)，以2個單位/秒的速

度向右運動，經(jīng)過多長的時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距40個單位長度？

【答案】(1)4；

(2)|%-7|：

(3)6；

(4)12秒或28秒.

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的求法即可求解；

(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的求法即可求解；

(3)根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的求法，然后分情況討論即可求解；

(4)根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的求法，分情況討論即可求解.

【詳解】(1)數(shù)軸上表示4和8兩點之間的距離是|8-4|=4,

故答案為：4：

(2)數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為僅一7|,

故答案為：|x—7];

(3)根據(jù)絕對值的定義有：|久-2|+|x+4|可表示為點x到2與-4兩點距離之和,

根據(jù)幾何意義分析可知：

當x<—4時,|x—'2|+|x+4|——X+2—X—4=—2x—2>6,

當一4<x<2時,|x—2|+|x+4|=~x+2+x+4=6,

當x>2時，\x-2\+|x+4|=x-2+x+4=2x+2>6,

當％在一4與2之間時，|%-2|+|x+4|的最小值=6,

故答案為：6:

（4）AB=90-（-10）=100,

相遇前：（100-40）+（2+3）=12（秒），

相遇后：（40+100）+（2+3）=28（秒）,

則經(jīng)過12秒或28秒，2只電子螞蟻在數(shù)軸上相距40個單位長度.

【點睛】此題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，理解數(shù)軸上兩點間的距離表示和采用數(shù)形結合的思想是解

題的關鍵.

【考點題型十】倒數(shù)的概念和相反數(shù)的概念

【典例10]—6的倒數(shù)是（）

11

A.6B.-6C.6~D.--6

【答案】D

【分析】此題主要考查倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：???—6x（—0=1

6的倒數(shù)是-《

O

故選：D.

【變式10-11一2023的相反數(shù)是（）

A.-2023B.2023C.七D.一夫

【答案】B

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，解答本題的關鍵是熟練掌握相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號不同的

兩個數(shù)是互為相反數(shù)解答即可.

【詳解】解：-2023的相反數(shù)是2023.

故選B.

【變式10-2]一9的倒數(shù)是（）

334

氏C

A.4--4-3-D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的倒數(shù)，根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)進行求解即可.

【詳解】解：?.?—公（一0=1,

.一輛倒數(shù)是一也

故選：B.

【變式10-3】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.3和弓B.3和一3c.|—小耳D.抑一（一鄉(xiāng)

【答案】B

【分析】本題考查了相反數(shù)，解題的關鍵是掌握相反數(shù)的定義.利用相反數(shù)的定義判斷.

【詳解】解：3和1不互為相反數(shù)，A選項不符合題意；

3和-3互為相反數(shù)，B選項符合題意；

兩個數(shù)不互為相反數(shù)，C選項不符合題意；

兩個數(shù)不互為相反數(shù)，D選項不符合題意.

故選：B.

【考點題型十一】相反數(shù)的性質(zhì)運用

【典例11］已知a+4與2互為相反數(shù)，那么a=.

【答案】-6

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：:a+4與2互為相反數(shù)，

a+4+2=0,

/.a=-6,

故答案為：-6.

【點睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟知互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為零是解題的關鍵.

【變式11-1］若m、n互為相反數(shù)，則|m-5+n|=.

【答案】5

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,可得-5的絕對值，根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得

答案.

【詳解】解：m,幾互為相反數(shù)，

|m-5+n|=|-5|=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了絕對值，先算m+九的值，再算絕對值.

【變式11-2］若a,6互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，貝U3(a+b)—4(cd)=.

【答案】-4

【分析】互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,互為倒數(shù)的兩數(shù)乘積為1,據(jù)此作答.

【詳解】a,b互為相反數(shù)，故a+6=0：

c,d互為倒數(shù)，故cd=l；

則3(a+b)-4(cd)=3X0—4X1=-4

故答案為：-4.

【點睛】本題考查相反數(shù)、倒數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟悉相反數(shù)、倒數(shù)的性質(zhì)并應用.

【變式11-3］若(a-2)2與|6+3|互為相反數(shù)，貝必―匕=

【答案】5

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)“兩個非負數(shù)相加，和為0,這兩個非負數(shù)的值都為0”解出。、方的值，再代

入所求代數(shù)式計算即可.

【詳解】解：:(。-2)2與|6+3|互為相反數(shù)，

.?.(a-2)2+|b+3|=0,

.■-a-2=0且6+3=0,

解得a=2且b=-3,

.■-a—b=2—(-3)=2+3=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負數(shù)：

(1)絕對值；

(2)偶次方；

(3)二次根式(算術平方根).

當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0.根據(jù)這個結論可以求解這類題目.

【考點題型十二】絕對值定義、絕對值的性質(zhì)

【典例12】一個數(shù)的絕對值等于*則這個數(shù)是.

【答案】

【分析】本題考查了絕對值的意義，根據(jù)絕對值的定義進行求解即可.

【詳解】解：???一個數(shù)的絕對值等于

???這個數(shù)是士*

故答案為：士*

【變式12-11—3的絕對值是（）

11

A.-3B.3C.--D.-

【答案】B

【分析】本題主要考查了絕對值，根據(jù)絕對值的性質(zhì)：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，進行解答即可.

【詳解】?.?負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，

；?—3的絕對值是3,

故選：B.

【