八年級數(shù)學下冊單元速記·巧練（人教版）-第十八章 平行四邊形（單元重點綜合測試）（解析版）

第十八章平行四邊形（單元重點綜合測試）班級___________姓名___________學號____________分數(shù)____________考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列命題正確的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C．順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是正方形 D．菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半【答案】D【分析】此題主要考查特殊平行四邊形的判定以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知特殊平行四邊形的判定方法；利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的性質(zhì)定理及正方形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A、等腰梯形的對角線相等，但它不是矩形，故該選項不符合題意；B、對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，故該選項不符合題意；C、順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，故該選項不符合題意；D、菱形的面積為兩條對角線長度乘積的一半，符合題意；故選：D2．如圖，菱形中，分別是的中點，若，則菱形的周長為（

）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，由三角形的中位線定理可得，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵E、F分別是的中點，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴菱形的周長，故選：A．3．如圖，在中，，，于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)；根據(jù)等邊對等角求出，得到，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．4．如圖，中，過點作，取邊中點，連結(jié)．若，，則長為（

）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理及直角三角形的性質(zhì)．先根據(jù)題意得出的長，再由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：，是直角三角形，點為邊的中點，，，，．故選：C．5．如圖，在中，對角線，相交于點．下列說法不一定正確的是（

）

A．若，則是菱形 B．若，則是正方形C．若，則是矩形 D．若，則是矩形【答案】B【分析】本題考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，據(jù)此逐項分析即可作答，解題的關(guān)鍵是明確它們各自的判定方法．【詳解】解：、當時，是菱形，該說法正確，不合題意；、當時，不一定是正方形，該說法不一定正確，符合題意；、當時，是矩形，該說法正確，不合題意；、當時，是矩形，該說法正確，不合題意；故選：．6．如圖，兩地被池塘隔開，小明先在外選一點，然后測出的中點．若的長為18米，則間的距離是（

）

A．9米 B．18米 C．27米 D．36米【答案】D【分析】本題主要考查三角形中位線的運用，理解并掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)點是的中點，可得，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，是的中位線，∴，∴（米），故選：．7．如圖，在菱形中，對角線、相交于點O，，，則點A到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵．先由菱形的性質(zhì)求得，，，再根據(jù)勾股定理求得，設(shè)點到的距離是h，由，得，即可得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，設(shè)點到的距離是h，，，，故選：C．8．剪紙不僅是我國傳統(tǒng)藝術(shù)，還隱藏了不少數(shù)學知識．數(shù)學活動課上，小強將一張正方形紙片沿對角線對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，如圖所示，則剪下的三角形展開后得到的平面圖形是（

）A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】本題考查了矩形、菱形、正方形的判定方法、剪紙問題；熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．由矩形、菱形、正方形的判定方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：由剪法可知，所得四邊形的四條邊相等，對角線不一定相等，∵四邊相等的四邊形是菱形，∴展開后得到的平面圖形是菱形；故選：B．9．如圖，在矩形中，對角線交于點O，過點O作交于點E，交于點F．已知，的面積為5，則的長為（）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積問題．連接，由題意可得為對角線的垂直平分線，可得，，由三角形的面積則可求得的長，然后由勾股定理求得答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

由題意可得，為對角線的垂直平分線，，，．，，，，在中，由勾股定理得，故選：D．10．我們常常在建筑中看到四邊形的元素．如圖，墻面上砌出的菱形窗戶的邊長為1米（邊框?qū)挾群雎圆挥嫞?，其中較小的內(nèi)角為，則該菱形窗戶的采光面積為（

）平方米A．4 B． C．1 D．【答案】B【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，以及菱形面積的計算方法，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出對角線的值即可求出面積．【詳解】解：菱形，，且，，是等邊三角形，，，在中，，該菱形窗戶的采光面積為．故選B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．如圖，中，，是的中點，，則．【答案】10【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握該性質(zhì)即可解題．【詳解】解：在中，，是的中點，線段是斜邊上的中線；又，．故答案為：．12．如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O．請你添加一個適當?shù)臈l件________，使其成為菱形．【答案】AB＝BC，AC⊥BD（答案不唯一）．【詳解】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可添加條件AC⊥BD；根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可添加條件AB＝BC．AC⊥BD（答案不唯一）要判斷一個平行四邊形是菱形，可從鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直著手．13．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O．若，，則BC的長為．【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)可得為等邊三角形，則可求得AC的長，再由勾股定理即可求得BC的長．【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)：矩形的對角線互相平分且相等．解答此題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．如圖所示，點O是的對稱中心，，，是邊的三等分點；G，H是邊的三等分點．若，分別表示和的面積則與之間的關(guān)系是．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)三等分點可得，；再結(jié)合點O是的對稱中心可得，即可求解．【詳解】解：連接，則必過點，如圖所示：∵，是邊的三等分點，∴，∵G，H是邊的三等分點，∴，∵點O是的對稱中心，∴∴故答案為：15．“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥，如圖，將邊長為的正方形沿對角線方向平移得到正方形，形成一個“方勝”圖案，則點D，之間的距離為．【答案】【分析】本題考查的是平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)平移的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理求出，根據(jù)平移的性質(zhì)求出，計算即可．【詳解】解：∵四邊形為邊長為的正方形，∴，由平移的性質(zhì)可知，，∴，故答案為：．16．如圖，在邊長為的菱形中，，連接，P為圖中任意線段上一點，若，則的長為．【答案】6或或【分析】由題意知，如圖，分三種情況求解：當時，；，則，由勾股定理得，，計算求解即可；當時，如圖，作于，由勾股定理得，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，如圖，分三種情況求解：當時，；∵菱形中，，∴是等邊三角形，∵，∴，由勾股定理得，；當時，如圖，作于，∴，∴，∴，，由勾股定理得，∴；綜上所述，的長為6或或；故答案為：6或或．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理等知識．熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．如圖，四邊形中，，為上一點，與交于點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)的長為【分析】（1）證，得，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）過點作于點，證是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理得，求出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，又∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖，過點作于點，則，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，即的長為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，四邊形是矩形，對角線，相交于點O，交的延長線于點E．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，則，進而可證．（2）由四邊形為平行四邊形，四邊形是矩形，可得，，證明是等邊三角形，則，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，∴，．∵，四邊形為平行四邊形，，∴．（2）解：∵四邊形為平行四邊形，四邊形是矩形，∴，，∵，∴是等邊三角形，，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．熟練掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，D、E分別是、的中點，，延長DE到點F，使得，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由中位線可知且，由，，證明四邊形是平行四邊形，由，證明四邊形是菱形；（2）由，可得，則是等邊三角形，，過點E作于點G，則，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵D、E分別是、的中點，∴且，又∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，如圖，過點E作于點G，∴，∴，由勾股定理得，，∴．∴菱形的面積為．【點睛】本題考查了中位線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理等知識．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，點均在格點上，只用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法（所畫圖形不全等）．(1)在圖①中，以線段為邊畫平行四邊形．(2)在圖②中，以線段為邊畫菱形．(3)在圖③中，以線段為邊畫正方形．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)作圖見詳解【分析】本題主要考查作圖：平行四邊形、菱形、正方形，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)即可求解，掌握幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，∴四邊形即為所求圖形；（2）解：如圖所示，∴四邊形即為所求圖形；（3）解：如圖所示，∴四邊形即為所求圖形．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，，點E是的中點，過點E作，交于點F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證是的中位線，得，則四邊形是平行四邊形，再證，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)和中位線定理可得，．利用勾股定理可知，從而得到，最后利用矩形面積公式計算即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵點E是的中點，∴是的中位線，∴，．∵，，∴四邊形是平行四邊形．∵，即，，∴，∴四邊形是矩形．（2）∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，，∴．在中，，，∴，∴∴四邊形的面積是：．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在中，D是的中點，E是的中點，過點A作，與的延長線相交于點F，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)填空：將下列命題填完整，并使命題成立（圖中不再添加其它的點和線）①當滿足條件時，四邊形是______形；②當滿足條件______時，四邊形是正方形．【答案】(1)見解析(2)①菱；②，【分析】（1）由，得到兩對內(nèi)錯角相等，再由E為中點，得到，利用得到與全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，再由，等量代換得到，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；（2）①由，為中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到由鄰邊相等的平行四邊為菱形，即可得證；②添加條件為，，由，根據(jù)①得到四邊形為菱形，再由，利用等腰三角形的三線合一得到，根據(jù)有一個角是直角的菱形為正方形即可得證．【詳解】（1）證明：∵E為的中點，D為中點，∴，，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵∴四邊形為平行四邊形；（2）解：①當滿足條件時，四邊形是菱形，理由為：∵E為的中點，D為中點，∴，，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵∴四邊形為平行四邊形；∵，D是的中點，∴∵四邊形為平行四邊形，；∴四邊形為菱形；②當滿足條件，時，四邊形是正方形，理由為：由①知當滿足條件時，四邊形是菱形，∵，為中點，∴為邊上的中線，∴，即，∵四邊形是菱形，∴四邊形為正方形；【點睛】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．【感知】（1）如圖1，在中，分別是邊的中點．則和的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______．【應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形中，分別是邊的中點，若，，求的度數(shù)．【拓展】（3）如圖3，在四邊形中，與相交于點分別為的中點，分別交于點．求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，計算即可；（3）取的中點H，連接，則分別是的中位線，由中位線的性質(zhì)定理可得且且，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵點分別是邊的中點，∴是的中位線，∴；故答案為：．（2）如圖1，連接．分別是邊的中點，，．，，，，．（3）證明：如圖2，取的中點，連接．分別是的中點，且，同理可得且．，，，，．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．如圖，矩形中，，點在邊上，且不與點重合，直線與的延長線交于點．(1)如圖1，當點是的中點時，求證：；(2)將沿戰(zhàn)線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交于點．①如圖1，證明，并求出在（1）條件下的值；②如圖2，交于點，點是的中點，當時，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)①；②，詳見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)點P是的中點，得出，即可求證；（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，