蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略：全等三角形中的（常見五種解題模型）原卷版+解析

專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略

『匚【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】.................................................1

【解題模型二一線三等角模型】.............................................................2

【解題模型三三垂直模型】.................................................................4

【解題模型四倍長中線模型1...............................................................................................6

【解題模型五倍長中線模型1...............................................................................................9

【典型例題】

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對鄰邊

相等(如圖)，常連接這兩對鄰邊的交點(diǎn)

構(gòu)造全等三角形解題.

例題：如圖，在四邊形A3C。中，于點(diǎn)8,CD,AD于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別在48,AD上，AE=AF,

CE=CF.

⑴若AE=8,CD=6,求四邊形AECT的面積；

(2)猜想SDAB,0ECF,SDBC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式訓(xùn)練】

1.在四邊形48OC中，AC=AB,DC=DB,13cA8=60。，0C￡)B=12O°,E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn),

且CE=BF.

⑴試說明：DE=DF：

(2)在圖中，若G在上且SE￡>G=60。，試猜想CE,EG,BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

⑶若題中條件"EICAB=60。，EICDB=120。改為EICAB=a,0CDB=180°-a,G在AB上，EIEDG滿足什么條件時(shí),

(2)中結(jié)論仍然成立?

【解題模型二一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，N6=NC=EF

N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有/

關(guān)性質(zhì)易得/2=N3，N4=/5,~學(xué)一

DD

再加上任一組對應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

例題：(2023春?七年級課時(shí)練習(xí))【探究】如圖①，點(diǎn)8、C在的邊AM、AN上，點(diǎn)￡、尸在—M4N

內(nèi)部的射線AD上，4、/2分別是“WE、VC4r的外角.若AB=AC,N1=N2=NBAC,求證：

YABEACAF.

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>3C,點(diǎn)。在邊上，CD=2BD,點(diǎn)、E、F

在線段AD上，Z1=Z2=ZR4C,若"EC的面積為9,則AABE與△€1用的面積之和為.

圖①

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在BABC中，點(diǎn)。是邊8C上一點(diǎn)，CD=A8,點(diǎn)E在邊AC上，5.AD^DE,SBAD^CDE.

⑴如圖1,求證：BD=CE；

（2）如圖2,若DE平分0ADC,在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與0AOE相等的角（BAOE除

外）.

2.已知CD是經(jīng)過NBCA頂點(diǎn)C的一條直線，C4=Cfi.E、/分別是直線8上兩點(diǎn)，且NBEC=ZCFA=乙a.

圖1圖3

⑴若直線C￡）經(jīng)過NBC4的內(nèi)部，且E、B在射線C￡＞上，請解決下面問題:

①如圖1,若N3C4=90。，Za=90°,求證：BE=CF；

②如圖2,若Na+/3C4=180。，探索三條線段EF,BE,AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖3,若直線8經(jīng)過N3G4的外部，Nc=NBC4,題(1)②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給

予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明.

3.在直線旭上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)2AE,在直線加上方有AB=AC,且滿足

⑴如圖1,當(dāng)&=90。時(shí)，猜想線段。及82CE之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,當(dāng)0<&<180。時(shí)，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由;

(3)應(yīng)用：如圖3,在AABC中，ZBAC是鈍角，AB^AC,/BAD<NCAE,NBDA=NAEC=NBAC,直線機(jī)

與CB的延長線交于點(diǎn)尸，若BC=3FB,AABC的面積是12,求AFBD與AACE的面積之和.

【解題模型三三垂直模型】

方法稹遠(yuǎn)急翦:茬三住置會(huì)前第;前海茶葡而桂應(yīng)潺,

:兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對邊相等，

:易證兩直角三角形全等，常見的模型如下：

例題：問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1,0ACB=9O°,AC=BC,BE3\MN,AD3\MN,

垂足分別為E、D.圖中哪條線段與A。相等？并說明理由.

問題2：試問在這種情況下線段。及AD,8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由.

問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線的位置時(shí)，試問。E、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請

寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.在0ABe中，0BAC=9O°,AC=AB,直線A/N經(jīng)過點(diǎn)A,且于Z),BE0A/N于E.

圖1圖2

⑴當(dāng)直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，NEAB+NDAC=度；

⑵求證：DE=CD+BE；

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問OE、C。、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系,

并加以證明.

2.如圖，已知：在AABC中，/4CB=90。，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,AD1MN,BELMN.

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證:DE=AD-BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí),試問OE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出

這個(gè)等量關(guān)系：

【解題模型四倍長中線模型】

例題：（2023秋,山東濱州,八年級統(tǒng)考期末）如圖，是AABC的中線，AB=1O,BC=6,求中線8。的

取值范圍.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在AABC中，AQ是3C邊上的中線.延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE.

⑴求證：AACD^AEBD；

(2)AC與亞的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：

(3)若/BAC=90。，猜想與BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

2.(1)方法呈現(xiàn)：如圖1,在AABC中，若AB=10,AC=6,。為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的

取值范圍.

E

解決此問題可以用如下方法：

延長AO至點(diǎn)E,使。再連接BE,可證△ACD四△EBD,從而把AB,AC,2A￡＞集中在1中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4D的取值范圍是_(直接寫出范圍即可).這種解決問題的方法我們稱

為“倍長中線法

(2)知識運(yùn)用：如圖2,在A4BC中，。為8C的中點(diǎn)，AB=2,AC=6,且線段AD的長度為整數(shù).求AD

的長度.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形.如圖，OA=OB,OC=OD,

0AOB=I3COD=90。，回答下列問題:

B

P

(1)求證：AOAC和AOB。是兄弟三角形.

(2廣取2。的中點(diǎn)P,連接OP,試說明AC=2OP.”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講

的"中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列問題.

①請?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造ABP碗SDPO,并證明BE=OD；

②求證：AC^2OP.

4.閱讀理解

在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

如圖1,AD是的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長到點(diǎn)M,使DM=AD,

連接易證△ADC四△MD3,所以=接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得40

的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是；

類比應(yīng)用

如圖2,在四邊形ABCD中，AB//DC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).若AE是/BAD的平分線，試判斷AB,AD,

DC之間的等量關(guān)系，并說明理由；

拓展創(chuàng)新

如圖3,在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與。C的延長線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是44r的

平分線，試探究AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論.

AA

【解題模型五倍長中線模型】

例題：如圖，AB=AC,AE=AD,ZCAB^ZEAD^a.

E

(1)求證：AAEC^AADB；

(2)若&=90。，試判斷3D與C￡的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;

(3)若NCAB=NEAD=a,求NCFA的度數(shù).

【變式訓(xùn)練】

1.問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,已知C為線段A3上一點(diǎn)，分別以線段AC,8C為直角邊作等腰直角三角形，

/ACD=90。，CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,3。之間的數(shù)量關(guān)系為；位置關(guān)系

為

拓展探究：如圖2,把RtaACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段AE,BD交于點(diǎn)F,則AE與8。之間的關(guān)系是否

仍然成立？請說明理由.

2.如圖，在AABC中，AB=BC,0ABe=120。，點(diǎn)。在邊AC上，且線段8。繞著點(diǎn)8按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

120。能與8E重合，點(diǎn)尸是EZ)與的交點(diǎn).

(1)求證：AE=CD；

(2)若EIZ)BC=45。，求回BEE的度數(shù).

3.如圖，己知“WC和尸中，ZB=ZE,AB=AE,BC=EF,NEAB=25°,ZF=57°,線段BC分

別交AF,EF于點(diǎn)、M,N.

(1)請說明N￡AB=NE4c的理由；

(2)AABC可以經(jīng)過圖形的變換得到△AEP,請你描述這個(gè)變換;

(3)求NAMB的度數(shù).

4.在R/0ABC中，0ACB=90°,C4=C2,點(diǎn)￡＞是直線AB上的一點(diǎn)，連接CZ),將線段C。繞點(diǎn)C逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,連接班.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時(shí)，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為;線段3。、AB、加的數(shù)量關(guān)

系為;

(2)猜想論證

當(dāng)點(diǎn)。在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2,是點(diǎn)。在射線AB上，如圖3,是點(diǎn)。在射線上，請你寫出這兩

種情況下，線段8。、AB,匹的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；

(3)拓展延伸

若AB=5,BD=7,請你直接寫出HADE的面積.

圖2圖3

5.將兩個(gè)全等的直角三角形AABC和ADBE按圖①方式擺放，其中0AC8=aDEB=9O。，0A=SD=3O。，點(diǎn)

E落在A8上，OE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.

(1)求證：AF+EF=DE；

(2)若將圖①中的AOBE繞點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角/，且60°<乃<180°,其它條件不變，如圖②.你認(rèn)為

(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、E尸與QE之間的關(guān)系，并

說明理由；

(3)若將圖①中的繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a,且(r<a<60。，其它條件不變，請?jiān)趫D③中畫出變

換后的圖形，并直接寫出你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立.

專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略

『匚【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】.................................................1

【解題模型二一線三等角模型】.............................................................2

【解題模型三三垂直模型】.................................................................4

【解題模型四倍長中線模型1...............................................................................................6

【解題模型五倍長中線模型1...............................................................................................9

【典型例題】

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對鄰邊D

相等(如圖)，常連接這兩對鄰邊的交點(diǎn)

構(gòu)造全等三角形解題.

例題：如圖，在四邊形A3C。中，于點(diǎn)8,CD,AD于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別在48,AD上，AE=AF,

CE=CF.

⑴若AE=8,CD=6,求四邊形AECT的面積；

(2)猜想SDAB,0ECF,SDBC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】⑴48

(2)^\DAB+SECF=20DFC,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC證明她CE團(tuán)0AC凡則S』AC￡=S』AC尸，根據(jù)三角形面積公式求得S』ACr與S/ACE,根據(jù)S四也形

AECF=SAACF-\-SAACE求解即可；

(2)由MCE幽4c尸可得MCA=IZ]ECA,^\FAC=^EAC,^AFC=^AEC,根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角

性質(zhì)可得團(tuán)C+回8萬。=回/。4+回剛C+團(tuán)石CA+團(tuán)E4C=?D48+團(tuán)EC?可得團(tuán)D4B+團(tuán)EC/=2團(tuán)。尸。

(1)

解：連接AC如圖，

AE=AF

在媯CE和媯CF^[CE=CF

AC=AC

甌ACE配1ACF(SSS).

lUS^ACE=SAACF,^\FAC=^\EAC.

團(tuán)C龐A3,CD^\ADf

^\CD=CB=6.

^\SAACF=SAACE=^AE-CB=Ix8x6=24.

0S^AECF=SAACF+SAACE=24+24=48.

⑵

0￡>AB+0￡CF=20DFC

證明：0EL4CE00ACF,

0EIFCA=0ECA,mC=0EAC,0AFC=0A￡C.

as。尸C與I3AFC互補(bǔ)，EI8EC與EIAEC互補(bǔ)，

B3\DFC=^BEC.

0EI￡)FC=0FCA+EIMC,0BEC=SECA+0EAC,

00DFC+0BEC=0FCA+0MC+0ECA+0EAC

=^DAB+^ECF.

^S\DAB+^ECF^2SDFC

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在四邊形48OC中，AC=AB,DC=DB,13cA8=60。，0CZ)B=120°,E是AC上一點(diǎn)，E是A8延長線上一點(diǎn),

且CE=BF.

(2)在圖中，若G在上且SE￡>G=60。，試猜想CE,EG,8G之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

⑶若題中條件"EICAB=60。，EICD8=120。改為EICAB=a,0CDB=180°-a,G在AB上，EIEDG滿足什么條件時(shí)，

(2)中結(jié)論仍然成立？

【答案】⑴見解析；

(2)CE+BG=EG,理由見解析；

(3)當(dāng)aEr>G=90"ga時(shí)，(2)中結(jié)論仍然成立.

【解析】

【分析】

(1)首先判斷出=然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出ACDEMAB/加，即可判斷出

DE=DF.

(2)猜想CE、EG、3G之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出

AABDsAACD,即可判斷出=NCD4=60。；然后根據(jù)NEDG=60。，可得NCDE=Z4DG,

ZADE=4BDG,再根據(jù)NCDE=ZBDF，判斷出NEDG=ZFDG,據(jù)此推得ADEG三ADFG，所以EG=FG,

最后根據(jù)CE=M,判斷出CE+BG=EG即可.

(3)根據(jù)(2)的證明過程，要使CE+3G=EG仍然成立，則/即G==NCDA=gNC￡>3,即

ZEDG=-(180°-a)=90°--tz,據(jù)此解答即可.

22

⑴

證明：■.■ZCAB+ZC+ZCDB+ZABD=36G°,NC4B=60。，ZC￡)B=120°,

:.ZC+ZABD=360°-60°-120°=180°,

又/DBF+ZABD=180°,

:./C=ZDBF,

在AC。石和ABDF中，

CD=BD

<ZC=ZDBF

CE=BF

:.bCDEN^BDF(SAS),

:.DE=DF.

⑵

解：如圖，連接AD,

C

猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.

證明：在AABQ和AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

:.AABD^AACD(SSS),

ABDA=ZCDA=-ZCDB」x120。=60。，

22

又???NEDG=60。，

:.NCDE=ZADG,ZADE=ZBDG,

由(1),可得ACDE二ABDF,

;.NCDE=ZBDF,

ZBDG+ZBDF=60°f

即ZTOG=60。，

:./EDG=/FDG,

在AD￡G和ADPG中,

DE=DF

<ZEDG=ZFDG

DG=DG

ADEG=^DFG(SAS),

EG=FG,

5L-：CE=BF,FG=BF+BG,

:.CE+BG=EG-,

(3)

解：要使CE+3G=EG仍然成立，

則ZEDG=ABDA=ZCDA=-ZCDB,

2

即/￡?6=；(180。-&)=90。-；1,

.?.當(dāng)/￡。3=90。一」1時(shí)，CE+BG=EG仍然成立.

2

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意

推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【解題模型二一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，NB=/C=

N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有

關(guān)性質(zhì)易得/2=N3,N4=/5,

再加上任一組對應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

例題：(2023春七年級課時(shí)練習(xí))【探究】如圖①，點(diǎn)8、C在NM4N的邊AM、AN上，點(diǎn)、E、F在NMAN

內(nèi)部的射線AD上，N1、/2分別是AABE、VC4F的外角.^AB=AC,Z1=Z2=ZBAC,求證：

NABE^/CAF.

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>3C,點(diǎn)。在邊8c上，CD=2BD,點(diǎn)、E、F

在線段AD上，N1=N2=NB4C,若"RC的面積為9,則AABE與ACD尸的面積之和為.

B

圖①圖②

【答案】探究:見解析；應(yīng)用:

【分析】探究:根據(jù)=ABAC=ACAF+ABAE,得出NABE=NC4F,根據(jù)N1=N2,

得出NA￡B=NCE4,再根據(jù)AAS證明即可;

應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：^AABE=S①AF，進(jìn)而得出3支"+1以尸=3?8，根據(jù)CD=2BD,AABC

2

的面積為9,得出山“”,=6’即可得出答案.

【詳解】探究

證明：^ZA^ABAE+ZABE,Z.BAC=Z.CAF+Z.BAE,

又EINBAC=N1,

SZABE=ZCAF,

0Z1=Z2,

SZAEB=ZCFA,

在AABE和vc4r中,

NAEB=NCFA

ZABE=ZCAF

AB=AC

0AAB￡^AC4F（AAS）；

應(yīng)用

解：^NABE^/CAF,

團(tuán)^^ABE=S4F，

團(tuán)S&CDF+^CAF="AC￡>’

138=23。，AABC的面積為9,

_2

團(tuán)S&ACD=耳SMe=6,

回AABE與ACDF的面積之和為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在0ABC中，點(diǎn)。是邊8c上一點(diǎn)，CZ)=A8,點(diǎn)E在邊AC上，S.AD=DE,BBAD=SCDE.

⑴如圖1,求證：BD=CE；

⑵如圖2,若。E平分0AOC,在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與她。石相等的角(MOE除

外).

【答案】(1)見解析

(2)0￡￡>C,SBAD,SB,EC

【解析】

【分析】

(1)由"SAS"可證△A8QEHOCE,可得BD=CE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得SB=^C,由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解.

(1)

證明：在0A8。和OOCE中，

AB=CD

<NBAD=ZCDE,

AD=DE

aaABoasocE(SAS),

^\BD—CE.

⑵

解：0EABD00DCE,

00B=0C,

配出平分EL4OC,

00A￡)E=0CD￡=0BAD,

SS\ADC=SB+SBAD=SADE+SCDE,

00B=0AOE=0BAD=0EDC=0C,

El與HADE相等的角有I3EQC,EIBA。，0B,0C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明

確角度的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.已知CD是經(jīng)過/BC4頂點(diǎn)C的一條直線，C4=CB.E、/分別是直線CD上兩點(diǎn),且ZBEC=ZCFA=Za.

⑴若直線。經(jīng)過NBC4的內(nèi)部，且E、尸在射線8上，請解決下面問題：

①如圖1,若/BCA=90°,Za=90°,求證：BE=CF；

②如圖2,若/a+N3C4=180。，探索三條線段EF,BE,AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過N3C4的外部，Za=ZBCA,題(1)②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給

予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明.

【答案】⑴①見解析；②EF=BE-AF,見解析

⑵不成立，EF=BE+AF,見解析

【分析】(1)①利用垂直及互余的關(guān)系得到/ACF=/CBE,證明A3CEgVC4F即可；②利用三等角模

型及互補(bǔ)證明NACF=NCBE,得到ABCE0VC4F即可；

(2)利用互補(bǔ)的性質(zhì)得到NEBC=NACF,證明ABCEgVC4r即可.

【詳解】(1)①證明：0EE±CD,AF±CD,ZACB=90°,

0ZBEC=ZAFC=90°,

0ZBCE+ZACF=90°,ZCBE+ZBCE=90°,

：.ZACF=NCBE,

在ABCE和VC4r中,

NEBC=NFCA

<ZBEC=ZCFA,

BC=CA

：.^BCEsNCAF(AAS),

:.BE=CF；

②解：EF=BE-AF.

證明：,：ZBEC=ZCFA=Za,Na+ZAC6=180。，

ZCBE=180O-ZBCE-Za,ZACF=ZACB-ZBCE=1800-Za-ZBCEf

：.ZACF=/CBE,

在△5CE和VC4r中，

ZEBC=ZFCA

<NBEC=/CFA,

BC=CA

：.ABCESNCAF(AAS),

ABE=CF,CE=AF,

：.EF=CF-CE=BE-AF；

(2)解：EF=BE+AF.

理由：?：/BEC=/CFA=/a,Na=NBCA,

又丁ZEBC=ZBCE=ZBEC=180°,N5CE+ZAC尸+ZAC6=180。，

:.ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACF,

:.ZEBC=ZACF,

在△BCE和VC4r中，

ZEBC=ZFCA

<NBEC=NCFA,

BC=CA

：.△BCE^VC4F(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

?：EF=CE+CF,

：.EF=BE+AF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)

鍵.

3.在直線加上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)2A,E,在直線機(jī)上方有AB=AC,且滿足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

⑴如圖1,當(dāng)。=90。時(shí)，猜想線段。E,BO,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)0＜。＜180。時(shí)，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在AABC中，Zfi4c是鈍角，AB^AC,^BAD＜ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,直線加

與CB的延長線交于點(diǎn)P,若BC=3FB,AABC的面積是12,求△陽。與AACE的面積之和.

【答案】⑴。E=BO+CE

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由見解析

⑶與ZXACE的面積之和為4

【解析】

【分析】

(1)由NBZM=N8AC=NAEC=90°得到N3AO+/Z)a4=90°,進(jìn)而得到/DR4=

ZEAC,然后結(jié)合AB=AC得證△￡＞血1絲△01C,最后得到。E=BZ)+CE；

(2)由/BOA=NBAC=NAEC=a得到/BA_D+NEAC=/84O+/OBA=180°-a,進(jìn)而得到/O8A=

ZEAC,然后結(jié)合A3=AC得證△OBAg^EAC,最后得到。E=BZ)+CE；

(3)由NBAQ＞/CAE,ZBDA^ZAEC^ZBAC,得出NCAE=NA8。，由AAS證得△AOB之△CAE,得

出SZ\ABO=S4CE4,再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出SAABF即可得出結(jié)果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

/BDA=ZBAC^ZAEC=90°,

AZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA^9Q°,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB^AC,

：./\DBA^/\EAC(AAS),

：.AD=CEfBD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

?.,ZBDA=ZBAC=ZAEC=af

：.ZBAD+ZEAC=NBAD+/DBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

\9AB=AC,

：.ADBA^AEAC(A4S),

J.BD^AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：?：/BADV/CAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZCAE=ZABD,

在△ABO和△CAE中，

"NABD=/CAE

<NBDA=NCEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

:?S&ABD=SACAE,

設(shè)AABC的底邊3。上的高為h,則△ABb的底邊5/上的高為h,

：.SAABC=^BC^h=12,SAABF=；BF?h,

?；BC=3BF,

：.S^ABF=4,

9：SAABF=SABDF+SAABD=SAFBD+SAACE=4,

???AFBD與AACE的面積之和為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì).

【解題模型三三垂直模型】

方法模型總結(jié)：在三垂直模型中，利用余角的性質(zhì)尋求

兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對邊相等，

易證兩直角三角形全等，常見的模型如下：

例題：問題1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1,0ACB=90°,AC=BC,BESiMN,AD^\MN,

垂足分別為E、D.圖中哪條線段與A。相等？并說明理由.

問題2：試問在這種情況下線段。及AD,8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由.

問題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線的位置時(shí)，試問?！?、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請

寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】問題1,AD=EC,證明見解析；問題2：DE+BE=AD-,問題3：DE=AD+BE,證明見解析.

【分析】(1)由己知推出0AOC=EIBEC=9O°,因?yàn)镋lACO+EIBCEMO。，0DAC+ACD=9O°,推出回。4。=回8?！?根

據(jù)AAS即可得到0AOO20CEB,即可得出AD=EC；

(2)由(1)得到AD=CE,CD=BE,即可求出答案；

(3)與(1)證法類似可證出0ACD=EIEBC,能推出0AOO2HCEB,得到A￡)=CE,CD=BE,即可得到。E、

AD,之間的等量關(guān)系.

【詳解】解：(1)AD=EC；

證明：0AJ90W,BESMN,

SSADC=S\BEC=90°,

回她。8=90°,

團(tuán)團(tuán)ACD+團(tuán)3CE=90°,回。AC+團(tuán)ACD=90°,

^\DAC=^1BCE,

回她0C=回BEC,AC=BC,

甌ADCW1CE5,

^\AD=EC；

(2)DE+BE=AD；

由(1)已證她DCffiCEB,

^AD=ECfCD=EB,CE=AD

團(tuán)CE=CD+DE=BE+DE=AD

即DE+BE=AD；

(3)DE=AD+BE.

證明：回3況3C,AD0CE,

團(tuán)明OC=90°,回BEC=90°,

團(tuán)團(tuán)E3C+團(tuán)EC3=90°,

甌ACB=90°,

團(tuán)團(tuán)EC3+她CQ=90°,

^\ACD=BCBEf

團(tuán)財(cái)。。=團(tuán)NEC,AC=BC,

^ADC^CEB,

^\AD=CE,CD=BE,

^\CD+CE=DCf

^\DE=AD+BE.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的

條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng).

【變式訓(xùn)練】

1.在0ABe中，0BAC=9O°,AC=AB,直線A/N經(jīng)過點(diǎn)A,且CL回WN于。，B斑M(jìn)N于E.

圖1圖2

⑴當(dāng)直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，ZEAB+ZDAC=度；

(2)求證：DE=CD+BE；

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問。瓜CZ)、8E具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系,

并加以證明.

【答案】⑴90。

⑵見解析

(3)CD=BE+DE,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由回區(qū)4。=90?？芍苯拥玫絅E4B+/ZMC=90。；

(2)由C￡0MN,BE3\MN,得0Aoe=EIBEA=I3BAC=9O。，根據(jù)等角的余角相等得至幗。CA=EIEAB,根據(jù)A4S

可證△OCAEHEAB,所以AO=CE,DC=BE,即可得至！J=EA+A。=OC+BE.

(3)同(2)易證△OCAEBEAB,得到AD=CE,DC=BE,由圖可知=所以CD=BE+DE.

(1)

00BAC=9O°

ES￡AB+0Z)AC=18O°-0BAC=180°-90°=90°

故答案為：90°.

⑵

證明：EICO3MN于。，8E0MN于E

0EL4DC=0B￡A=0BAC=9OO

0!2D4C+[3OCA=90°且SDAC+SEAB=90°

ffl^DCA^EAB

團(tuán)在AOCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90°

(ZDCA=NEAB

AC=AB

回△DCAEBEAB(AAS)

^\AD=BE^.EA=DC

由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)

E1C￡?MN于。，B￡HMN于E

團(tuán)SADC=SBEA=BBAC=9Q°

0^DAC+SDCA=90°S.SDAC+SEAB=90o

回^\DCA=SEAB

回在△QCA和AEAB中

ZADC=NBEA=90°

<ZDCA=ZEAB

AC=AB

S^DCASSEAB(AAS)

^\AD=BES.AE=CD

由圖可知：AE=AD+DE

ECD-BE+DE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).

2.如圖，已知：在“WC中，ZACB=90°,AC=BC,直線3W經(jīng)過點(diǎn)C,AD1MN,BELMN.

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí)，求證：AADC=AC￡B；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE,

(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí)，試問DE、AD.班具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出

這個(gè)等量關(guān)系：.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)DE=BE-AD

【分析】(1)由已知推出0AOC=E18EC=9O°,因?yàn)?ACZ)+I32CE=9O°,0DAC+a4CD=9O",推出回D4c=E1BCE,

根據(jù)44s即可得到答案；

(2)結(jié)論：DE=AD-BE.與(1)證法類似可證出EACDWEBC,能推出EIAOCEBCEB,得至[]AO=CE,CD=BE,

即可得到答案.

(3)結(jié)論：DE=BE-AD.證明方法類似.

【詳解】解：(1)證明：如圖1,

0AD0Z)￡,BE3\DE,

0EL4DC=0BEC=9OO,

aaACB=90°,

EEIACZ)+0BCE=9OO,0Z)AC+a4CD=9O°,

S3\DAC=SBCE,

在財(cái)。C和EICEB中，

ZCDA=ZBEC

<ZDAC=ZECB,

AC=BC

aaADcmacEB(AAS)；

(2)如圖2,0B￡0￡C,ADU\CE,

00ADC=0BEC=9O",

ffl￡BC+EI￡CB=90o,

甌ACB=90°,

00ECB+0ACE=9O°,

HMC。二團(tuán)EBC,

在朋0C和團(tuán)CEB中，

ZACD=ZCBE

<ZADC=/BEC,

AC=BC

WBADC^ICEB(AA5),

^\AD=CEfCD=BE,

^\DE=EC-CD=AD-BE.

(3)DE=BE-AD；

如圖3,mCB=90°,

^\ACD^BCE=90°

^ADC=^\CEB=90°9

團(tuán)回ACD+團(tuán)D4C=90°,

回回。AC二回EC3,

在朋C。和團(tuán)C8E中，

ZADC=ZCEB

<ZDAC=ZECB,

AC=BC

^\ACD^\CBE(A4S),

^\AD=CEfCD二BE,

國DE=CD-CE=BE-AD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能根據(jù)己知證明0AC。釀CBE是

解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng).

【解題模型四倍長中線模型】

例題：(2023秋?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，是AABC的中線，AB=10,BC=6,求中線的

取值范圍.

A

【分析】延長3。到E,使DE=8D,證明兩邊之和大于BE=23D,兩邊之差小于3E=2BD,證明三角形

全等，得到線段相等，等量代換得2<即<8.

【詳解】解：如圖，延長BD至E,使DE=BD,連接CE,

團(tuán)AD=DC,

在△ABD和△CED中,

BD=DE

<ZADB=ZCDE

AD^CD

回△ABD也△CED(SAS),

EEC=AB=10,

在ABCE中，CE-BC<BE<CE+BC,BP10-6<SE<10+6,

04<5E<16,

04<2BD<16,

02<BD<8.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全

等三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在A4?C中，AD是3C邊上的中線.延長AD到點(diǎn)E,使連接BE.

⑴求證：AACD^AEBD；

⑵AC與BE的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：；

⑶若4c=90。，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】⑴見解析

(2)AC=BE,AC//BE

(3)2AD=BC,證明見解析

【分析】⑴根據(jù)三角形全等的判定定理SAS,即可證得；

⑵由△ACD會(huì)△￡?￡),可得AC=BE,ZC=ZEBC,據(jù)此即可解答；

⑶根據(jù)三角形全等的判定定理SAS,可證得AB4C式AABE,據(jù)此即可解答.

【詳解】(1)證明：是BC邊上的中線，

BD=CD,

在△ACD與△EBD中

AD=ED

<ZADC=ZEDB,

BD=CD

.-.△AC￡^AEBD(SAS)；

(2)解：?；AAC*AEBD,

:.AC=BE,AC=ZEBC,

AC//BE,

故答案為：AC=BE,AC//BE；

(3)解：2AD=BC

證明：?:“AC哈AEBD,

:.AC=BE,NC=ZEBC,

AC//BE,

?.?/SAC=90°

:.ZBAC=ZABE=90°

在△BAC和△ABE中,

AB=BA

<ABAC=NABE=90°

AC=BE

.-.△BAC^AABE(SAS),

:.BC=AE=2AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定

與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

2.(1)方法呈現(xiàn)：如圖1,在中，若鉆=10,AC=6,。為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的

取值范圍.

E

解決此問題可以用如下方法：

延長AD至點(diǎn)E,使。E=A￡),再連接BE,可證△ACD之△EBD,從而把A3,AC2AD集中在AABE中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_(直接寫出范圍即可).這種解決問題的方法我們稱

為“倍長中線法

(2)知識運(yùn)用：如圖2,在“1BC中，。為的中點(diǎn)，AB^2,AC=6,且線段AD的長度為整數(shù).求AD

的長度.

【答案】(1)2<AD<8；(2)AD=3

【分析】(1)利用三角形的三邊關(guān)系，得至IJAB-AC<24)<AB+AC,進(jìn)而得出結(jié)論即可；

(2)倍長中線法，證明AECD之44Br>(SAS),三角形的三邊關(guān)系求出AD的取值范圍，即可得解.

【詳解】解：(1)由題意，AD=DE,BD=CD,ZADC=ZEDB,

團(tuán)△ACD四△EBD,

回BE=AC=6,

SAB-AC<2AD^AE<AB+AC,

即：4<2AD<16,

02<AD<8.

故答案為：2<AD<8.

(2)如圖，延長AD至點(diǎn)E,使=連接CE.

E

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，

所以BD=CD.

在AECD和中,

DE=AD

<ZEDC=NADB,

CD=BD

所以AECD^AASD(SAS),

所以EC=AB=2.

因?yàn)锳C—EC<AE<AC+EC,且AC=6,AE=2AD,

所以6-2<2AD<6+2,

所以2<AD<4.

因?yàn)榫€段AD的長度為整數(shù)，

所以AD=3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等是三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.熟練掌握倍長中線法，構(gòu)造全等三角

形，是解題的關(guān)鍵.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形.如圖，OA=OB,OC^OD,

SAOB=SCOD=90°,回答下列問題：

B

P

(1)求證：AOAC和AOB。是兄弟三角形.

⑵“取2。的中點(diǎn)P,連接。尸，試說明AC=2OP.”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講

的"中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列問題.

①請?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造"尸砸回/十。，并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

【答案】⑴見解析

⑵①見解析；②見解析

【分析】(1)證出0Aoe+&80。=180。，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；

(2)①延長。尸至E,使PE=OP,證明△BPEHaDP。(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出BE=。。；

②證明AEB。團(tuán)團(tuán)COA(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC,則可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：甌4。8=回。?！?=90°,

^OC+5iBOD=360°-BlAOB-^COD=360o-90o-90o=180",

又她。=。8,OC=OD,

fflOAC和回是兄弟三角形；

(2)①證明：延長OP至E,使PE=OP,

回尸為8。的中點(diǎn),

^\BP=PD,

又團(tuán)團(tuán)BPE二團(tuán)。尸O,PE=OP,

^\BPE^\DPO(SAS),

^\BE=OD；

②證明：配6尸況團(tuán)。尸O,

團(tuán)團(tuán)石二團(tuán)。OP,

團(tuán)3E〃OD,

團(tuán)團(tuán)￡30+團(tuán)300=180°,

又團(tuán)團(tuán)5OD+MOC=180°,

團(tuán)團(tuán)E8O=aAOC,

⑦BE=OD,OD=OCf

國BE=OC,

又團(tuán)OB=OA,

團(tuán)團(tuán)EBO團(tuán)團(tuán)COA(SAS),

^lOE=ACf

又同0E=20P,

^AC=2OP.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

4.閱讀理解

在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

如圖1,AD是44BC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長AD到點(diǎn)M,使DM=AO,

連接易證△ADCZ&WDB,所以3M=AC.接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得？

的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是；

類比應(yīng)用

如圖2,在四邊形ABC。中，AB〃/)C,點(diǎn)E是8c的中點(diǎn).若AE是ZB4￡＞的平分線，試判斷AB,AD,

DC之間的等量關(guān)系，并說明理由；

拓展創(chuàng)新

如圖3,在四邊形ABC。中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是4AF的

平分線，試探究AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論.

圖3

圖1

【答案】閱讀理解：1<AD<6

類比應(yīng)用：DC+AB=AD

拓展創(chuàng)新：AF+CF=AB

【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出BM=AC=5,再根據(jù)可得結(jié)論.

類比應(yīng)用：延長AE,DC交于點(diǎn)F,先證AABE0AFEC得CF=AB,再由AE是的平分線知

ZBAF=ZFAD,從而得"W=NF,據(jù)此知=F，結(jié)合OC+CF=。9可得答案.

拓展創(chuàng)新：延長AE,?？诮挥邳c(diǎn)G,根據(jù)平行和角平分線可證AF=bG,也可證得"BE四△GCE,從而

可得AB=CG,即可得到結(jié)論.

【詳解】閱讀理解：由題可知，乙ADCQAMDB,

^\AC=BM=5.

^\AB-BM<AM<AB+BM,AB=7.

02<AM<12,

02<2AD<12,

01<AD<6.

故答案為：1<AD<6.

類比應(yīng)用：DC+AB=AD