數(shù)列的綜合應(yīng)用（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)16數(shù)列的綜合應(yīng)用【十二大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】..........................................................3

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】...............................................................4

【題型3數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題】.................................................................5

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】....................................................7

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】.............................................................8

【題型6子數(shù)列問題】.........................................................................9

【題型7數(shù)列與函數(shù)的交匯問題】..............................................................11

【題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題】..............................................................12

【題型9數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)的交匯問題】..........................................................13

【題型10數(shù)列與平面幾何的交匯問題】........................................................14

【題型11數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】...............................................................16

【題型12數(shù)列的新定義、新情景問題】........................................................17

?命題規(guī)律

1、數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情

況來看，數(shù)列的綜合應(yīng)用問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，以解

答題的形式考查，一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和

公式等.去年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1等差、等比數(shù)列的交匯問題的解題策略】

1.等差、等比數(shù)列的交匯問題的求解思路：

(D等差與等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式求解，求解時(shí)注意對(duì)

性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

(2)數(shù)列的綜合運(yùn)算問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：

尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題】

1.數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題的解題步驟：

(1)讀懂題意：會(huì)脫去數(shù)學(xué)文化的背景，讀懂題意；

(2)構(gòu)造模型：根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；

(3)求解模型：利用數(shù)列知識(shí)求解數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和等，解決問題.

【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的新定義、新情景問題】

1.數(shù)列的新定義、新情景問題的求解策略

⑴新定義問題：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的

要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決.

(2)新情景問題：通過給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問

題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，

達(dá)到靈活解題的目的.

【知識(shí)點(diǎn)4數(shù)列的綜合應(yīng)用】

1.數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略

(1)解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合

法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立、有解問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來

解決.

(2)數(shù)列與不等式交匯問題的答題模板

第一步：根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

第二步：根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等)求和;

第三步：利用第二步中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；

第四步：反思解題過程，檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)，規(guī)范解題步驟.

2.數(shù)列與函數(shù)交匯問題的解題策略

數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及解題策略

(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式、求和方

法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊

性.

3.子數(shù)列問題的解題策略

子數(shù)列是數(shù)列問題中的一種常見題型，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問題一般適用于某個(gè)數(shù)列是由幾個(gè)有規(guī)

律的數(shù)列組合而成的，具體求解時(shí)，要搞清楚子數(shù)列的項(xiàng)在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即

項(xiàng)不變化，項(xiàng)數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學(xué)生的思維.

4.數(shù)列中結(jié)構(gòu)不良題的解法

(1))先定后動(dòng)，先對(duì)題目中確定的條件進(jìn)行分析推斷，再觀察分析“動(dòng)”條件，結(jié)合題干要求選出最適

合自己解答的條件求解.

(2)最優(yōu)法，當(dāng)題干中確定的條件只有一個(gè)時(shí)，要根據(jù)自己的知識(shí)優(yōu)勢(shì)和擅長(zhǎng)之處選擇更適合自己的條

件進(jìn)行解答.

5.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題的解題策略

(1)數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用中的常見模型

①數(shù)列一一分期付款模型；

②數(shù)列一一產(chǎn)值增長(zhǎng)模型；

③數(shù)列一一其他模型;

(2)解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題的解題思路

①根據(jù)題意，分析題干條件，正確確定數(shù)列模型；

②利用數(shù)列知識(shí)求出數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式等，準(zhǔn)確求解模型;

③通過數(shù)列模型解決問題，注意不要忽視問題的實(shí)際意義.

?舉一反三

【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】

[例1](2024?四川綿陽?三模)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛an｝滿足：的,。2，。3+1成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若數(shù)列｛"｝滿足：arbn+。2%-1+…+anb1=3-l,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和

【變式1-1](2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn，a1+a2+3a4=25,且(13+2,CI4,

。5-2成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列S?｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6n=冊(cè),V3a相+1,求數(shù)列｛6n｝的前n項(xiàng)和7\.

【變式1-2](2024?上海奉賢?二模)已知數(shù)列｛冊(cè)｝和也｝,其中6n=2%neN*,數(shù)列｛冊(cè)+勾｝的前n項(xiàng)和

為

⑴若%=2n,求Sn；

(2)若伯n｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，Sn=3n,求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛%｝的通項(xiàng)公式.

【變式1-3](2024?天津?二模)設(shè)｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和%,｛勾｝是等比數(shù)列，且的=^=3,a4=b2,

S3=15.

(1)求｛冊(cè)｝與｛%｝的通項(xiàng)公式；

a，”7i為奇數(shù)

⑵設(shè)O=卜3-4n皿)垢小便將，求數(shù)列匕]的前2幾項(xiàng)和72n；

-——3,71為偶數(shù)

'?an—l，an+l

(3)若對(duì)于任意的nGN*不等式n(an+1)-A(an-l)(n+2)-12<0恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】

【例2】(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))“孫子定理”又稱“中國(guó)剩余定理”，最早可見于我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)

著作《孫子算經(jīng)》，該定理是中國(guó)古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧，在加

密、秘密共享等方面有著重要的應(yīng)用.已知數(shù)列｛%J單調(diào)遞增，且由被2除余數(shù)為1的所有正整數(shù)構(gòu)成，現(xiàn)將

。6，。9，的1，%3的末位數(shù)按從小到大排序作為加密編號(hào)，則該加密編號(hào)為()

A.1157B.1177C.1155D.1122

【變式2-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之

(得弦).”意即“勾”a、“股”6與“弦”c之間的關(guān)系為a?+'=c2(其中.當(dāng)a,瓦c€N*時(shí)，有如下

勾股弦數(shù)組序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),…，則在這個(gè)序列中，第10個(gè)勾股弦數(shù)組中的“弦”

等于()

A.145B.181C.221D.265

【變式2-2](2024?四川?模擬預(yù)測(cè))分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代

創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照?qǐng)D

①的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是()

圖①圖②

A.12B.13C.40D.121

【變式2-3］（2024?陜西漢中?二模）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽

的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中。&=力=443=…=人7&=1，

如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第九個(gè)三角形的面積為（）

【題型3數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題】

【例3】（23-24高二下?河南駐馬店?期中）某醫(yī)院購買一臺(tái)大型醫(yī)療機(jī)器價(jià)格為a萬元，實(shí)行分期付款，每

期付款b萬元，每期為一個(gè)月，共付12次，如果月利率為5%。每月復(fù)利一次，則a,b滿足（）

/A12

A.12b=aB.12b=a（l+5%o）

12

C.12b=a（l+5%o）D.a<12b<a（l+5%o）

【變式3-l】（2024?山西運(yùn)城?一模）某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產(chǎn)1萬個(gè)，產(chǎn)品合格率為87%.

為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年1月份的產(chǎn)量在去年12月的基礎(chǔ)上提高4%,產(chǎn)品合格率

比去年12月增加0.4%,計(jì)劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)，那么該工廠的月不

合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的（）

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

【變式3-2］（2023?湖南郴州?三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，

對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在幾期末的

金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)

和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為力，每期利率為r,期數(shù)為n,到期末的本利和為S,貝”=4（1+「產(chǎn)

其中，S稱為n期末的終值，4稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即九期后的S元現(xiàn)在的價(jià)值為力=』.

（l+r）n

現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個(gè)方案

方案一：一次性付全款25萬元；

方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；

(1)已知一年期存款的年利率為2.5%,試討論兩種方案哪一種更好？

(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第(1))問中

的存款年利率2.5%,預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.(精確到百元)

參考數(shù)據(jù)：(1+2.5%)10x1.28

【變式3-3](2023?廣東佛山?一模)佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以

最簡(jiǎn)單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心

的標(biāo)志性建筑、造型獨(dú)特、類似一個(gè)個(gè)方體錯(cuò)位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個(gè)高度相同的方

體組成塔基，支托上部5個(gè)方體，交錯(cuò)疊合成一個(gè)外形時(shí)尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個(gè)方體高度均為33.6米，中

間第5個(gè)方體也為33.6米高，再往上2個(gè)方體均為24米高，最上面的兩個(gè)方體均為19.2米高.

(1)請(qǐng)根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識(shí)，寫出一個(gè)等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，該數(shù)列以33.6為

首項(xiàng)，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項(xiàng)；

(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前加(meN*)項(xiàng)

的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2的、

3a2、4a3、>(m+l)am(Qn+1)%皿表示高度為a6的方體連續(xù)堆疊m+1層的總高度)，請(qǐng)問新堆疊

坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】

【例4】(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛an｝滿足的+與+券+…+年=2以律€”).

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛*｝滿足%=￡%

①求數(shù)列｛勾｝的前"項(xiàng)和B；

②若不等式(-<Tn+自對(duì)任意neN*恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【變式4-1](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為右,數(shù)列｛^｝是公差為，的等差數(shù)列，且

a1=2.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在neN*,使得工+工+…成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

a2a3an^n+l

【變式4-2](23-24高二下?湖北?期中)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S”=2%-2.數(shù)列｛時(shí)｝的前幾

項(xiàng)和為且滿足瓦=i,氏+自+……+武工=1-￡5CN*).

(1)求數(shù)列｛an｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若c九=anbn,設(shè)數(shù)列｛cn｝的前幾項(xiàng)和為//九，且對(duì)任意的九eN*,"n-[n-(-l)m]an+1<0恒成立，求機(jī)

的取值范圍.

【變式4-3](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知的=去an+i=2—(an——1)…(%―l)(neN*)

(1)證明：當(dāng)ri之2時(shí)，an+i=a^-3an+4；

(2)令b九=2—an,

(i)證明：當(dāng)nN2時(shí)，；=>“

bn乙￡=11一瓦

(ii)是否存在正實(shí)數(shù)小，使得上-恒成立，若存在，求機(jī)的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】

【例5】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛瑪｝的前“項(xiàng)和Sn=20n

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：咄+2+2+…+/<9.

a2a4a6a2n4

【變式5-1](2024?河北秦皇島?二模)已知等比數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為S“，且數(shù)列｛Sn+2｝是公比為2的等

比數(shù)列.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若勿=，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為〃，求證：Tn<

n[ji+l)an+iL

【變式5-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛〃｝滿足+3"2a2+…+3a”_i+0n=4%n￡N*.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn—an—1,證明：=+三+…+二＜5.

02bny

【變式5?3】(2024?山東?二模)記S九為數(shù)列｛a九｝的前屋項(xiàng)和，散=；，S九+士=t^coszur.

4L

(1)求(Z3和｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)歹U｛高｝的前幾項(xiàng)和為幾，證明：

【題型6子數(shù)列問題】

【例6】(2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)白，%，…，菰€N*,且ii<%<…<加時(shí)，我們把旬，ai2,%

叫做數(shù)列｛an｝的子數(shù)列.已知｛冊(cè)｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且其公比為式q4l).

(1)直接給出九與k的大小關(guān)系.

⑵是否存在這樣的兄％也滿足：成等比數(shù)列，且子數(shù)列時(shí),啊,陽也成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫出一

組的值；否則，請(qǐng)說明理由.

(3)若5=囚1+(2均+…+<24(加工小，1neN*),證明：當(dāng)?shù)?Lq22時(shí)，有2A:—1WS<a^+i.

【變式6-1](2024?北京西城?二模)己知數(shù)列力:的,。2,…,時(shí),從力中選取第％項(xiàng)、第七項(xiàng)....第限項(xiàng)“<i2<

…〈。構(gòu)成數(shù)列B：%,B稱為力的k項(xiàng)子列.記數(shù)列B的所有項(xiàng)的和為7(B).當(dāng)kN2時(shí)，若B滿足:

對(duì)任意se｛l,2,…,k-l｝,“+1—，s=l，則稱B具有性質(zhì)P.規(guī)定：4的任意一項(xiàng)都是力的1項(xiàng)子列，且具有

性質(zhì)P.

(1)當(dāng)n=4時(shí)，比較力的具有性質(zhì)P的子列個(gè)數(shù)與不具有性質(zhì)P的子列個(gè)數(shù)的大小，并說明理由；

(2)已知數(shù)列A1,2,3,…(n>2).

(i)給定正整數(shù)kW%對(duì)力的k項(xiàng)子列B,求所有7(B)的算術(shù)平均值；

(ii)若2有根個(gè)不同的具有性質(zhì)P的子列名，為,…,8卅滿足：V1<i<;<m,當(dāng)與鳥都有公共項(xiàng)，且公共

項(xiàng)構(gòu)成A的具有性質(zhì)P的子列，求小的最大值.

【變式6-2](23-24高二下?安徽?階段練習(xí))從N*中選取做kN3)個(gè)不同的數(shù)，按照任意順序排列，組成數(shù)

列｛%｝，稱數(shù)列｛%｝為N*的子數(shù)列，當(dāng)lWYjWk時(shí)，把％-七的所有不同值按照從小到大順序排成一列

構(gòu)成數(shù)列｛，J，稱數(shù)列｛%｝為N*的子二代數(shù)列.

(1)若N*的子數(shù)列｛冊(cè)｝(1<n<k,k>5)是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，求N*的子二代數(shù)列｛%｝的前8項(xiàng)

和；

(2)若N*的子數(shù)列｛冊(cè)｝是遞增數(shù)列，且子二代數(shù)列｛勾｝共有k-1項(xiàng)，求證：｛冊(cè)｝是等差數(shù)列；

(3)若k=100,求N*的子二代數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)的最大值.

【變式6-3](23-24高三上?北京?開學(xué)考試)給定正整數(shù)比m,其中如果有限數(shù)列｛an｝同時(shí)滿

足下列兩個(gè)條件，則稱｛冊(cè)｝為(k,m)-數(shù)列.記數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小值為G(匕m).

條件①：｛%J的每一項(xiàng)都屬于集合口23,…,fc);

條件②：從集合口,2,3,…，行中任取加個(gè)不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是｛%｝的子數(shù)列.

注：從5｝中選取第耳項(xiàng)、第6項(xiàng)、…、第q項(xiàng)(其中“<%<…<is)形成的新數(shù)列氣稱為｛an｝

的一個(gè)子數(shù)列.

(1)分別判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否為(3,3)-數(shù)列，并說明理由：

數(shù)歹|力1：1,2,3,1,2,3,1,2,3；

數(shù)歹|42：1，2,3,2,1,3,1；

(2)求證:G(fc,2)=2/c-l；

(3)求G(4,4)的值.

【題型7數(shù)列與函數(shù)的交匯問題】

【例7】(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)八久)滿足f(x+y)=-2/(x)-2f(y)+6,

/(1)=4,則/(1)+/(2)+-+/(99)=()

A.299+198B.2"+196C.2100+198D.2100+196

【變式7-1](2024?遼寧?二模)設(shè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為九,點(diǎn)(六)5GN*)在函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+

CQ4,B,CeR)的圖象上,則()

A.C°=1B.若4=0,貝歸&CN*,使與最大

C.若力>0,則mrioCN*,使％最大D.若力<0,則三沏€N*,使%最大

【變式7-21(2024,上海?模擬預(yù)測(cè))已知f(x)=)2+1x,數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)8s“)(neN*)

均在函數(shù)y=/O)的圖象上.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若。(久)=六豆，令6?=g(盤)(neN*),求數(shù)列也｝的前2024項(xiàng)和T202*

【變式7-3](2024?廣東?一模)已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為Sn，〃為正整數(shù)，且35—幾)=4(%—2).

(1)求證數(shù)列｛%-1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式;

(2)若點(diǎn)P(an-1,第)在函數(shù)y=log/的圖象上，且數(shù)列｛%｝滿足％=(-I)"】黑;，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)

和

【題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題】

【例8】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)整數(shù)p>1,%>-1且汽。0,函數(shù)/(%)=(1+%)P-p%-1.

(1)證明：/(%)>0；

(2)設(shè)％>0,證明：ln(l+%)V%；

111

(3)設(shè)neN*,證明：1+2,+3,+…+n%<2n-ln(7i+1).

【變式8-1](2024?廣東東莞?三模)已知常數(shù)meR,設(shè)〃>)=lnK+g

(1)若m=1,求函數(shù)y=/(久)在(1,1)處的切線方程；

(2)是否存在0</<%2<久3,且打,比2/3依次成等比數(shù)列，使得/(打)、“比2)、。巧)依次成等差數(shù)列?請(qǐng)

說明理由.

(3)求證：當(dāng)mW0時(shí)，對(duì)任意句,％26(0,+oo),X1<x2,都有八血)73)>飛二詈).

【變式8-2](2024?山西?一模)已知Q>0,且aWl,函數(shù)/(%)=談+ln(l+汽)—1.

(1)記。九=f(n)-ln(n4-1)+n,S九為數(shù)列｛a九｝的前幾項(xiàng)和.證明：當(dāng)a=g時(shí)，S64<2024；

(2)若a=：,證明：%/(%)>0；

(3)若/(%)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8?3】(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=ln(%+l),g(%)=U,其中QNL

(1)若a=l,證明：。時(shí)，f(x)<x；

2gQ+l)

(2)若函數(shù)F(%)=f(x)—g(%)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值;

3

(3)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=京而，求證：an>an+l>出.

【題型9數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)的交匯問題】

【例9】(2024?黑龍江?二模)某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為《，從第二題開始，若

甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為:；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為《.記甲同學(xué)回答第n題時(shí)答

4o

錯(cuò)的概率為Pn，當(dāng)九22時(shí)，PnWM恒成立，則”的最小值為()

A.—B.—C.—D.—

1321326666

【變式9-1](2024?山東荷澤?一模)若數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為即=(-1)"-%，記在數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾+2(ne

N*)項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為Pn,則()

2

A.PiB.P9<PwC.Pw<PuD.Pn<P12

【變式9-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體

骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3,則甲將球

保留繼續(xù)投擲骰子；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4,則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳

給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始

時(shí)，球在甲手中.

(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；

(2)投擲n(neN*)次骰子后，記球在乙手中的概率為外，求數(shù)列｛p,J的通項(xiàng)公式;

⑶設(shè)％=行念京'求證：的+。2+…+須三一(

【變式9-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))甲、乙兩名小朋友，每人手中各有3張龍年紀(jì)念卡片，其中甲手中的

3張卡片為1張金色和2張銀色，乙手中的3張卡片都是金色的，現(xiàn)在兩人各從自己的卡片中隨機(jī)取1張，

去與對(duì)方交換，重復(fù)71次這樣的操作，記甲手中銀色紀(jì)念卡片/張，恰有2張銀色紀(jì)念卡片的概率為外，恰

有1張銀色紀(jì)念卡片的概率為qn.

⑴求P2，q2的值.

(2)問操作幾次甲手中銀色紀(jì)念卡片就可能首次出現(xiàn)0張，求首次出現(xiàn)這種情況的概率p.

(3)記冊(cè)=2pn+qn.

(i)證明數(shù)列｛冊(cè)-1｝為等比數(shù)列，并求出｛%｝的通項(xiàng)公式.

(ii)求馬的分布列及數(shù)學(xué)期望.(用九表示)

【題型10數(shù)列與平面幾何的交匯問題】

【例10](23-24高三下,全國(guó)?階段練習(xí))已知等比數(shù)列｛a”｝的公比為q,前幾項(xiàng)和為Sn,an>0,2a2+a3=a4,

S5=4。4—1.

(1)求與.

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)Qk(平瓦)(上=123…)，直線4Qm的斜率為#,且比=1,求數(shù)列也｝

的通項(xiàng)公式.

【變式10-1】(2024?四川達(dá)州?二模)已知拋物線r：y2=2px(p>0),直線/:y=k(x-p)與「交于4,B兩點(diǎn),

線段N5中點(diǎn)MQwymLkym=2.

(1)求拋物線「的方程；

(2)直線/與x軸交于點(diǎn)C,。為原點(diǎn)，設(shè)aBOC,△COM,△M。力的面積分別為SABOC，SMOM，SAMO4,若

S^BOc,S/iCOM,SAMOA成等差數(shù)列，求k

【變式10-2](2024?安徽合肥?二模)已知｛冊(cè)｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且由+口2=3,43-。2=2,

等差數(shù)列出J的前幾項(xiàng)和為%,且?=5,S4=16.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝，｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Pi3i，0),P2(a2,0),...Pn(an,0),Pn+i(an+1,0),

<21(。1也),。2(。2也)，…，QnQybn),若記△的面積為％，求數(shù)列&｝的前71項(xiàng)和7\.

22

【變式10-3】(2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C展+力=l(a>b>0),點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1,F2

是左、右焦點(diǎn)，G是△PF1力的重心，且G到點(diǎn)M(-：,0)與點(diǎn)N?,。)的距離之和為/

(1)求橢圓C的方程；

⑵若直線/過點(diǎn)P(4,0),與橢圓交于4,2兩點(diǎn).若|4P|,MB|,|BP|成等比數(shù)列，求COSNAFZB的值.

【題型11數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】

【例11】(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知｛an｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為％,a4=-3,再從條件①:

54=-24；條件②：的=2。3.這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(1)數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)Sn的最小值，并求當(dāng)％取得最小值時(shí)〃的值.

【變式11-1](2024?青海西寧?二模)已知數(shù)列｛an｝,.請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在上面的問題中并解答.(注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分.)①數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=

n(n+l)

2aM—2(new*)；②數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)之積為4=2^(ne/V*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)令6n=an+log2an,求數(shù)列｛6”｝的前幾項(xiàng)和7\.

【變式11-2](2024?四川德陽三模)已知｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列,且也｝的前n項(xiàng)和為Sn，2的=%=

2,a5=5(a4-a3),在①阮=—久)，②6相+1=Sn+2這兩個(gè)條件中任選其中一個(gè)，完成下面問題的

解答.

(1)求數(shù)列｛an｝和｛九｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)歹(]｛/｝的前n項(xiàng)和為如，求Tn.

【變式11-3](23-24高二下?北京懷柔?期末)已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前兀項(xiàng)和為區(qū),且6X4=10,S3=18.

(1)求等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝其前n項(xiàng)和為〃，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己

知，設(shè)cn=%+“，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式和數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和Mn.

n

條件①：Tn=3-1-,

條件②：鼠=2,鐺=3；

bn

條件③：Vn>2且71eZ都有屎=hn,!-bn+i成立，=2,b3=S3.

【題型12數(shù)列的新定義、新情景問題】

【例12】(2024?河北張家口?二模)如果項(xiàng)數(shù)相同的數(shù)列｛an｝,｛，J滿足｛冊(cè)｝U｛%｝=｛1,2,3,2n｝,且i為奇

數(shù)時(shí),為<如i為偶數(shù)時(shí),七>如其中ie｛1,2,3,…,n｝,那么就稱｛an｝,｛勾｝為“互補(bǔ)交叉數(shù)歹廣，記

為｛aJ｛匕｝的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對(duì)”，S.為｛%｝的前n項(xiàng)和.

⑴若｛%｝U也｝=｛1,2,3,456｝,且的=5,寫出所有滿足條件的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對(duì)"；

(2)當(dāng)｛%｝,也｝為“互補(bǔ)交叉數(shù)歹廣時(shí)，

(i)證明：Sn取最大值時(shí)，存在%=2n；

(ii)當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，求治的最大值.

【變式12-1](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知正整數(shù)ZH,設(shè)。2，…，a2m^b],力2，…，b27n是4m個(gè)非負(fù)

實(shí)數(shù)，S=￡2四=￡普九>0.若對(duì)于任意i=1,2,…，2zn,?。+i=Qi，%n+2=。2，b2m+i=blf都有

為《+2>bt+bi+1,則稱這4nl個(gè)數(shù)構(gòu)成(S,m)—攣生數(shù)組.

(1)寫出8個(gè)不全相等的數(shù)，使得這8個(gè)數(shù)構(gòu)成(8,2)—攣生數(shù)組；

(2)求最小的S,使得的，a2,a6,bj_,b2,。構(gòu)成(S,3)一學(xué)生數(shù)組；

(3)若m24,且cii，a2,a2m,瓦，b2,b2m構(gòu)成一攣生數(shù)組，求a4=1,2,…，2m)的最大值.

XX

參考公式：(i)(%1+X2+%3)2>3(久1久2+23+町％1)，當(dāng)且僅當(dāng)=%2=%3時(shí)取等；5)當(dāng)正偶數(shù)九>4

XXxx

時(shí)，設(shè)n=2k(kGN*),有％1久2+231-XnXx<(比1+X3HFX2fc-l)(2+4b久2k)；當(dāng)正奇數(shù)幾>4

XXxx

時(shí)，設(shè)幾=2k+l(fceN*),有久i比2+23Hxnx1<(向+x3H1-x2fc+i)(2+4Hx2k)-

【變式12-2](2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛an｝,｛6n｝,如果存在正整數(shù)劭>3,當(dāng)任意正整數(shù)n<n0

時(shí)均有bi<<b2<a2<...<an-i<bn<an,則稱｛冊(cè)｝為｛6n｝的“劭項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”?若沏可取任意的

正整數(shù)，則稱｛斯｝為｛%｝的“無限遞增相伴數(shù)列”.

(1)已知"=2%請(qǐng)寫出一個(gè)數(shù)列｛或｝的“無限遞增相伴數(shù)列｛an產(chǎn)，并說明理由？

(2)若｛冊(cè)｝,｛%｝滿足冊(cè)+bn=6n-2,其中｛%｝是首項(xiàng)%=1的等差數(shù)列，當(dāng)｛冊(cè)｝為｛“｝的''無限遞增相伴數(shù)

列”時(shí)，求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式：

(3)已知等差數(shù)列｛"｝和正整數(shù)等比數(shù)列｛an｝滿足：an=k2024f(卜+i)n-i(n=1,2，…,2024),其中人是正整

數(shù)，求證：存在正整數(shù)總使得｛an｝為｛%｝的“2024項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”.

【變式12-3】(2024?新疆?二模)我們把滿足下列條件的數(shù)列｛an｝稱為m-L數(shù)列：

①數(shù)列｛冊(cè)｝的每一項(xiàng)都是正偶數(shù)；

②存在正奇數(shù)m,使得數(shù)列｛%｝的每一項(xiàng)除以m所得的商都不是正偶數(shù).

(1)若a,6,c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a,b,c不是3-L數(shù)列；

(2)若數(shù)列也｝滿足對(duì)任意正整數(shù)pq,恒有“+q=Q+泉帖q,且歷=8,判斷數(shù)列圖是否是7一數(shù)歹上

并證明你的結(jié)論;

（3）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛cn｝共有100項(xiàng)，且對(duì)任意lWnW100,恒有q+c2+???+%=

I0+c升…+燃（keN*）,若數(shù)列｛4｝為111—L數(shù)列，求滿足條件的所有兩位數(shù)k值的和.

k4+kcj+kc2-l—l-kcn+k2

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

55=

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）設(shè)％為等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和，若4的，ai>0,則使%>an的〃的最

大值為（）

A.11B.12C.20D.21

4=

2.（2024?山東荷澤?二模）已知｛%｝是等差數(shù)列，的=3,。12,在數(shù)列｛蜃｝中。1=4/4=20,若｛bn-an｝

是等比數(shù)列，貝昉2024的值為（）

A.6072B.22023

C.22023+6072D.22°23-6072

3.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等

差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差

構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為L(zhǎng)4,8,13,則該數(shù)列的第18項(xiàng)為（）

A.188B.208C.229D.251

CI202432

4.（2024?青海西寧一模）等差數(shù)列｛an｝中的a?,是函數(shù)f（%）=x-6x+4x-2024的極值點(diǎn)，則

l°g2a1013=（）

A.—B.IC.-1D.—

22

5.（2024?全國(guó)?二模）數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，Sn是數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，的=3,

<^2=2,<2^—口4，$4=7,則（）

A.a2k<。2左+1，keN*,且k>2

B.當(dāng)nN5,且neN*時(shí)，數(shù)列｛冊(cè)｝是遞減數(shù)列

C.也<10

D.Si。。＜9

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知neN*,%=士，6n=一^，數(shù)列｛冊(cè)｝與數(shù)列｛%｝的公共項(xiàng)按從大到

zn—1（九+1）—1

小的順序排列組成一個(gè)新數(shù)列｛0｝,則數(shù)列｛0｝的前99項(xiàng)和為（）

A.—B.—C.—D.—

197199197199

7.（2024?湖北?二模）已知等差數(shù)列｛。九｝的前〃項(xiàng)和為S九，且S九二層+血，n6N*,若對(duì)于任意的QE[0,1],

不等式&V%2一（1+Q）%一2a2一。+2恒成立，則實(shí)數(shù)％可能為（）

n

A.-2B.0C.1D.2

8.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法

是：從第一個(gè)正三角形（邊長(zhǎng)為1）P開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外

作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，稱為科赫曲線.設(shè)尸"的周長(zhǎng)和面

積分別為金、S，,,下列結(jié)論正確的是（）

▲Pl*尸22324

①尸5的邊數(shù)為3x44;

②殳=3xg'4

③｛言｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列;

@BN>0,Sn<N

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、多選題

9.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè)）某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款,

月利率0.3%,分12個(gè)月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，將本金

平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款

期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額

的本息和，利息以復(fù)利計(jì)算.下列說法正確的是（）

A.等額本金方案，所有的利息和為2340元

B.等額本金方案，最后一個(gè)月還款金額為10030元

C.等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現(xiàn)遞增等比數(shù)列

D.等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以等額本金方案優(yōu)于等額本息方案

10.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))已知在公差不為0的等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，a4=-5,是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列出小

的前n項(xiàng)和為％,且"=——,則()

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A.an=2n-13B.VnGN*,bn>—1

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C.Sn=一七—嵩D.VnGN,