上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024?2025學(xué)年市二中學(xué)高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

1.若/={x|x—321},8={x|l<x<5},則Nn5=.

2.不等式3—上x上40的解集是____.

x+4

3.已知2"=5"=,，則!+工=____.

10ab

4.不等式“f<3x”是“|x—2|<1"的條件.

5.已知集合2=2{,3,5,8},集合8={2,3,5,8,13,21},若集合〃滿足ZuMqB,則這樣的集合〃

共有個.

2_2J._1_

6.己知X，+/3=5（X〉0）,那么必+：3等于.

7.已知log95=〃2,log37=n,則用優(yōu)，〃表示log359=.

8.若關(guān)于x的不等式—一（2。+1）》+2。<0恰有兩個整數(shù)解，則。的取值范圍是.

9.命題“任意xeR,（a-2）f+2（a-2）x-4<0為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

10.碳14是透過宇宙射線撞擊空氣中的氨14原子所產(chǎn)生.碳14原子經(jīng)過，衰變轉(zhuǎn)變?yōu)榘痹?由于其

半衰期達(dá)5730年，經(jīng)常用于考古年代鑒定，半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變

時所需要的時間，對北京人遺址中某塊化石鑒定時，碳14含量約為原來的1%,則這塊化石距今約為

萬年.（四舍五入到0.1萬年）

11.已知Z={4],%，%'%'/}，B-{a^,al，af,a1,af},ax<a2<a3<a4<a5,qeZ,

i=1,2,3,4,5,若2口8={%,。4}且為+%=10，a2>2,ZU8中各元素的和為256,則集合/=

Iq

12.已知實(shí)數(shù)a,b滿足—1<。<1<6,且a+b=2,則——+*-的最小值為____.

（2+1b—1

二、單選題（本大題共4題，滿分20分）

13.已知集合尸={xeN|y=—pyeN卜g={x|-1<x<4},則尸口。=（）

A.{1,2,4}B.10,1,3}C.|0<x<3}D.(x|-1<x<4}

14.關(guān)于x的不等式/<辦一6的解集是{4},那么log“b=()

34

A.1B.-C.12D.-

43

15.若,一《〈根，》一。|<〃，則下列不等式中一定成立的是（）

A.|x-j|<2mB.|x-j|<2nC.\x-y\<n-mD.\x-y\<n+m

16.定義集合運(yùn)算Z—8={x|xeZ且xeB}；將ZA5=（Z-8）U（8-N）稱為集合/與集合8的對稱

差，命題甲：^n（5AC）=（JA5）A（^nC）：命題乙：ZU（8AC）=（ZU8）A（ZUC）則下列說法正

確的是（）

A.甲乙都是真命題B.只有甲是真命題

C.只有乙是真命題D,甲乙都不是真命題

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）

17.已知集合2={x|/+ax+b=0},5=|x2+cx+15=O1,若ZU8={3,5},2口8={3},則

實(shí)數(shù)a、b、c的值為.

18.設(shè)關(guān)于X的方程lg2x—lg/+32=0的兩個實(shí)根分別是a,/3.

（1）求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

（2）求log。，+log夕a的取值范圍.

19.近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)

濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲

盒x年（尤為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計為2必+10%萬元

（1）該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？

（2）該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？

20.某天數(shù)學(xué)課上，你突然驚醒，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容：

例：求爪-3x,xe（0,+oo）的最小值

解：利用a+A+c23Wabc，得到》3+1+123%，于是，

X3-3X=X3+1+1-3X-2>3X-3X-2=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，取到最小值—2.

（1）老師請你模仿例題，研究/-4工，xe（0,+oo）上的最小值；（提示：a+b+c+d>4A/abed,當(dāng)

且僅當(dāng)a=b=c=d時，等號成立）；

（2）研究3》3一3》，xe（0,+co）上的最小值；

（3）當(dāng)a>0時，求/一ax,xe（0,+co）的最小值.

21.已知有限集Z=2,?eN）,如果/中的元素％（i=1,2,）滿足

%^——+%=%x%x…x%,就稱A為“完美集”.

(1)判斷：集合卜i-G,-i+G｝是否是“完美集”并說明理由：

(2)%、出是兩個不同的正數(shù)，且｛《，?｝是"完美集"，求證：/、。2至少有一個大于2；

(3)若為為正整數(shù)，求：“完美集”4

2024?2025學(xué)年市二中學(xué)高一(上)期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、填空題

1.【答案】(1,4)

【解析】由題意知，)=(—8,4),所以7n8=(1,4).

2.【答案】(—g,-4)U[3,+s)

(3-x)(x+4)<0

【解析】上3—」xV0O'八)，解得x<—4或x?3,所以不等式的解集為

x+4x+4wO

(-00,-4)U[3,+00).

3.【答案】-1

1

【解析】若2"=5"=

可得。=-log210,b=-log510,

10

11(11、

—I—=------+----=-(lg5+lg2)=-lgl0=-l.

ab(logs10log210j

4.【答案】必要不充分

【解析】{x|x?W3x}={x|0VxV3},{x|<1}={x11<x<3},由于{x|l<x<3}是

｛x|0Wx<3｝的真子集，所以“1<3寸’是“年一2|<1"的必要不充分條件.

5.【答案】3

【解析】因為集合ZuMqB,所以集合M中包含2,3,5,8且至少包含13,21中的一個元素，所以

M=｛2,3,5,8,13｝或｛2,3,5,8,21｝或｛2,3,5,8,13,21｝,所以滿足條件的M個數(shù)為3.

6.【答案】V7

(1」Y2_21_111

3?

【解析】由x=x+x^+2=5+2=7,因x>0,故即得，+x^

I)

7.【答案】------

2m+n

【解析】由log95=Mlog37=w,可得刃=—logs5,n=log37,又由

logs922

log359=

log335log35+log372m+n

8.【答案】ci|-1Va<-〃V2

【解析】令Jr?—（2Q+1）X+2Q=0,解得x=l或x=2〃.

當(dāng)2Q>1,即時，不等式，/一（2〃+1）X+2Q<0解得1<x<2。，

3

則不等式中的兩個整數(shù)解為2和3,有3<2〃04,解得一<。42；

2

當(dāng)2。=1,即時，不等式（2a+l）x+2a<0無解，所以不符合題意;

當(dāng)2。<1,即時，不等式x?—（2a+l）x+2a<0解得2a<x<1,

則不等式中的兩個整數(shù)解為0和-1,有—242a<—1,解得-l?a<-

2

綜上，°的取值范圍是]例―l<a<—g或|<a<2]

9.【答案】（-2,2]

【解析】因為“任意xeR,（?-2）X2+2（6Z-2）X-4<0"為真命題,

所以不等式（。-2）/+2（"2戶-4<0在區(qū)上恒成立,

當(dāng)Q=2時，一4<0,顯然成立,

（7—2<0

當(dāng)QW2時，有《、2,，解得一2<a<2,

A=4（a-2）+16（a-2）<0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-2,2].

10.【答案】3.8

【解析】設(shè)第〃個半衰期結(jié)束時，碳14含為4,

由題意可得，第一個半衰期結(jié)束時，碳14含量為

第二個半衰期結(jié)束時，碳14含量為為=；；

以此類推，｛4｝為以首項q=g,公比為q=g的等比數(shù)歹U,

所以第〃個半衰期結(jié)束時，碳14含量為a“=[工]，

令a=(工]=1%,解得〃=log|IO』=1^_=-2-664

UJ號11-0.301

62

所以這塊化石距今約為5730x6.64=38047.2年，即約為3.8萬年：

11.【答案】｛1,3,5,9,11｝

【解析】由4r，且＜生＜。3＜。4＜。5，

得到只可能。1=。；，即q=1或0,

當(dāng)％=0時，％=1°，而/門8=｛。1，。4｝，則=故舍去，

則=1,又4+%=I。，

，%=9,且。4=9=a；(2＜z＜3),?，?2=3或%=3,

①若%=3時，。2=2,不合題意；

②若出=3時,止匕時/=｛I,?,%,%%｝，B81,a；｝,

因1+3+9+13+[5+81+。；+a；=256,從而a：+/+Q；+4—162=0,

又a2＜。3＜。4，則3＜%＜9,當(dāng)％=4,6,7,8時,應(yīng)無整數(shù)解，

當(dāng)%=5時，％=11，

所以4={1,3,5,9,11},

綜上，4={1,3,5,9,11}

12.【答案】V3-1

【解析】因為—所以。+1>0,6-1>0,

因為a+b=2,所以(a+l)+(b—1)=2,

,,c13。13(2-Z?)13,

由a+b=2，所以-----1------=-------1-----------=-------1--------3

。+1b—1。+1b—1Q+1b—1

13

所以------1------[(a+l)+(6-l)]-3

Q+1b-12a+1b—1

--------------7--------

1b-l3(a+l)

1+3+3+迎川-3>14+2-3=2+73-3=73-1,

2Ia+1b—\)a+1b—1

7

當(dāng)且僅當(dāng)B=3（"+D,即。=—2+G，b=4—G時，等號成立.

<7+1b—1

二、單選題

13.【答案】B

4

【解析】若^=——，yeN則X+1是4的正因數(shù)，而4的正因數(shù)有1,2,4,

x+1'

所以尸={xeN|y=ApyeN}={01,3},

因為0={x|—l〈x<4},所以尸0。={0,1,3},故選:B.

14.【答案】D

【解析】X2<"一6即V-ax+bWO,因為解集為{4},

a=4x2fa=8.4

則根據(jù)韋達(dá)定理知{，即6_]6,則

、I

故選：D.

15.【答案】D

【解析】運(yùn)用絕對值三角不等式,一^=,一口+口-升三,一一M，由于卜一《〈根，小一。|<〃，

運(yùn)用不等式性質(zhì)得到|x-a|+|a-M〈機(jī)+〃

故,一^〈掰+場，故選：D.

16.【答案】B

【解析】對于甲，zn（8Ac）=zn8（8Uc—8nc）=zn（8Uc）-/n（8nc）

=（zn8）u（znc）-（幺n8）n（znc）=（幺n8）A（znc）,故命題甲正確；

對于乙，如圖所示：

所以，AU（BAC）^（AUB）^（AUC）,故命題乙不正確

ZU（BAC）（ZUB）A（NUC）

三、解答題

17.【答案】a=—6,b=9,c=-S

【解析】因為zn8={3},所以3e8,所以9+3c+15=0,得c=—8,

所以3={x|x2_8x+i5=0}={3,5},

所以Z={3},即/+仆+6=0有且只有一個實(shí)根x=3,

所以3+3=—a,3x3=6,解得a=—6,b=9,

綜上可得，a=—6,b=9,c=—8.

18.【答案】(1)]―叫；；(2)(-OO,-2)U[2,+°0)

【解析】(1)因為lg2》—lg/+32=0,即lg2》—21gx+3夕=0,

設(shè)f=lgx,則關(guān)于/的方程：27+3夕=0的兩根為1g。和lg/7,

91

所以△=(—2)—12夕20,解得夕三3.

lga+lg￡=2

(2)由韋達(dá)定理，得《

lgalg￡=32

所以log.+log.a=^+蛇=11尸+坨2、=(炮口+炮為2-21galg.=，=W

a1g。lg〃Igolg/Ig^lg/?3P3/

,44

因為3夕41且3夕wO,所以一24或一<0,

3P3P

44

所以——222或——2<-2,

3p3p

所以logap+log^a的取值范圍為(—8,—2)u[2,+00)

19.【答案】(1)第3年：(2)第7年平均利潤最大，為12萬元

【解析】(1)設(shè)利潤為力貝iJy=50x—(98+2/+10%)=—21+40%一98(xeN*),

由-2/+40》-98〉0整理得，X2-20X+49<0,

解得10—聞<x<10+同，由于xeN*,

所以xe{xeN*|3VxV17},所以第3年首次盈利.

(2)首先xe{xeN*13VxV17},

由(1)得平均利潤上=—2(x+竺]+40W—2x2]x+竺+40=12萬元，

49

當(dāng)且僅當(dāng)％=—，x=7萬元時等號成立,

x

綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元

“▼出/1、今2a43a

20.【答案】(I)—3：(2)—6；(3)-------

9

【解析】(1)因為x>0,

禾(j用a+b+c+d24Vabed，得至!Jx4+l+l+l>4x,

于是，X4-4X=X4+1+1+1-4X-3>4X-4X-3=-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，取得最小值—3.

(2)因為x>0,

利用a+6+c234abc，得到一丁+3+323x,

9

la1.

于是，一x—3x——x+3+3—6—3x23x—6—3x——6,

9