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文檔簡介
高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市寶應縣2024屆高三上學期期末模擬數(shù)學試題一?選擇題1.已知集合,,則等于()A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知,則則故選:A.2.設等比數(shù)列的前n項和為,若,則()A.66 B.67 C.65 D.63【答案】C【解析】因為,則,設等比數(shù)列的公比為,則,可得,所以.故選:C.3.已知在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=,點D在線段BC上,且,則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設等腰△ABC在邊上的高為,因為,所以,所以,所以,所以.故選:B.4.一個盒子中裝有5個黑球和4個白球,現(xiàn)從中先后無放回的取2個球,記“第一次取得黑球”為事件,“第二次取得白球”為事件,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】,,.故選:A.5.若,,則().A. B.C. D.【答案】D【解析】,即,,故,,故,故,故,,,故.故選:D6.折扇是我國古老文化的延續(xù),在我國已有四千年左右的歷史,“扇”與“善”諧音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化,也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1).圖2是一個圓臺的側面展開圖(扇形的一部分),若兩個圓弧DE,AC所在圓的半徑分別是3和6,且,則該圓臺的體積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓臺上下底面的半徑分別為,由題意可知,解得,,解得:,作出圓臺的軸截面,如圖所示:圖中,,過點向作垂線,垂足為,則,所以圓臺的高,則上底面面積,,由圓臺的體積計算公式可得:,故選:.7.已知雙曲線的焦點關于漸近線的對稱點在雙曲線上,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】關于漸近線的對稱點在雙曲線上,如圖所示,則.所以是的中位線,所以,.所以到漸近線的距離為,即,在中,,,所以,進而,所以,則漸近線方程為,故選:C.8.函數(shù)的定義域為,若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)同時滿足:在上是單調遞增函數(shù),且在上的值域為(),則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”.如下四個函數(shù),存在“2倍值區(qū)間”的是()A., B.C. D.【答案】B【解析】對于A:,函數(shù)在上單調遞增,若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”,則,令,,則,所以在上單調遞減,故在上不可能存在兩個零點,所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”,故A錯誤;對于B:為增函數(shù),若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”,則,令,則,所以當時,當時,所以在上單調遞減,在上單調遞增,又,即有兩個根,所以存2倍值區(qū)間,故B正確;對于C:上單調遞增,若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”,則,所以,解得.所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”,故C錯誤;對于D:為增函數(shù),若存在“2倍值區(qū)間”,則,結合及的圖象知,方程無解,故不存在“2倍值區(qū)間”,D錯誤;故選:B.二?多選題9.已知為復數(shù),設,,在復平面上對應的點分別為A,B,C,其中O為坐標原點,則()A. B.C. D.【答案】AB【解析】設,,,,,,對于A,,故選項A正確;對于B,,,故選項B正確;對于C,,當時,,故選項C錯誤;對于D,,可以為零,也可以不為零,所以不一定平行于,故選項D錯誤.故選:AB.10.下列命題中正確的是()A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B.已知隨機變量X~,若,則C.已知隨機變量~,且函數(shù)為偶函數(shù),則D.在回歸分析中,對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言,當樣本相關系數(shù)越接近1時,樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強.【答案】ACD【解析】對于選項A,中位數(shù)就是第50百分位數(shù),選項A正確;對選項B,,則,因此,故B錯誤;對選項C,,函數(shù)為偶函數(shù),則,區(qū)間與關于對稱,故,選項C正確;對選項D,在回歸分析中,樣本相關系數(shù)越接近1,樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強,選項D正確.故選:ACD.11.已知函數(shù)滿足,其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,且在上單調遞減,則()A.B.函數(shù)的圖象關于對稱C.可以等于5D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對于A,因為,,所以,則,又,故,故A錯誤;對于B,由選項A得,所以,故是的一個對稱中心,故B正確;對于C,的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則,因為在上單調遞減,所以,解得,當時,,因為,所以,故C正確;對于D,因為,所以,則,又,故,當時,,可知,故D正確.故選:BCD.12.已知為坐標原點,點為拋物線:的焦點,點,直線:交拋物線于,兩點(不與點重合),則以下說法正確的是()A.B.存在實數(shù),使得C.若,則D.若直線與的傾斜角互補,則【答案】ACD【解析】由已知,拋物線:,∴,,焦點,不妨設為,,設,到準線的距離分別為,,對于A,∵由標準方程知,拋物線頂點在原點,開口向右,,∴由拋物線的定義,故選項A正確;對于B,消去,化簡得(),則,,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∴不存在實數(shù),使得,選項B錯誤;對于C,,,∵,∴,∴又∵由選項B判斷過程知,,∴解得,,或,,,∴若,則,選項C正確;對于D,由題意,,,,,直線與的傾斜角互補時,斜率均存在,且,∴,代入,,化簡得,由選項B的判斷知,,∴,∴,故選項D正確.故選:ACD.三?填空題13.已知的二項式系數(shù)的和為64,則其展開式的常數(shù)項為______.(用數(shù)字作答)【答案】240【解析】因為展開式的二項式系數(shù)之和為64,所以,解得,則展開式的通項公式為,令,得,所以常數(shù)項為.故答案為:240.14.已知圓,過點的直線交圓于兩點,且,請寫出一條滿足上述條件的直線的方程______.【答案】(答案不唯一,也滿足)【解析】由題意得,半徑,,故在圓外,設O到直線的距離為d,由得,即,解得,當直線l斜率不存在時,即,此時,符合題意;當直線l斜率存在時,設為,即,則,即,解得,故直線為.故答案為:(答案不唯一,也滿足)15.已知,將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列,則__________.【答案】【解析】因為數(shù)列是正奇數(shù)列,對于數(shù)列,當為奇數(shù)時,設,則為偶數(shù);當為偶數(shù)時,設,則為奇數(shù),所以,,則,因此,.故答案為:.16.函數(shù),當時,的零點個數(shù)為_____________;若恰有4個零點,則的取值范圍是______________.【答案】1【解析】第一空:當時,當時,,解得;當時,,無零點,故此時的零點個數(shù)是1;第二空:顯然,至多有2個零點,故在上至少有2個零點,所以;若恰有2個零點,則,此時恰有兩個零點,所以,解得,此時;若恰有3個零點,則,此時,所以恰有1個零點,符合要求;③當時,,所以恰有1個零點,而至少有4個零點,此時至少有5個零點,不符合要求,舍去.綜上,或.故答案為:1;.四、解答題17.在四棱錐中,底面.(1)證明:;(2)求PD與平面所成的角的正弦值.(1)證明:在四邊形中,作于,于,因為,所以四邊形為等腰梯形,所以,故,,所以,所以,因為平面,平面,所以,又,所以平面,又因為平面,所以;(2)解:如圖,以點原點建立空間直角坐標系,,則,則,設平面的法向量,
則有,可取,則,所以與平面所成角的正弦值為.18.已知的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)求A;(2)若的面積為,,點為邊的中點,求的長.解:(1)因為,所以由正弦定理可得,即,由余弦定理可得,又,所以.(2)因為,所以,即,又,則,所以,所以,,所以,所以,故,,故在中,由余弦定理可得,則.19.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若對于任意的,且,恒有,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)的定義域為,當時,在恒成立,當時,令,得,單調遞增;令,得,單調遞減,綜上所述:當時,的單調遞減區(qū)間為;當時,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.(2)不妨設,則不等式等價于,即,令,則函數(shù)在上單調遞減,則在上恒成立,所以在上恒成立,所以,因為在上單調遞減,在遞增,所以,所以實數(shù)取值范圍為.20.已知數(shù)列的前項和為,且(1)求,并證明數(shù)列是等差數(shù)列:(2)若,求正整數(shù)的所有取值.解:(1)由,得,當時,,所以,當時,,兩式相減得,即,所以,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列;(2)由(1)得,所以,,,兩式相減得,所以,則,由,得,即,令,因為函數(shù)在上都是增函數(shù),所以函數(shù)在上是增函數(shù),由,,則當時,,所以若,正整數(shù)的所有取值為.21.已知橢圓的左右焦點分別為,點是橢圓上三個不同的動點(點不在軸上),滿足,且與的周長的比值為.(1)求橢圓的離心率;(2)判斷是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.解:(1)依題意點、、三點共線,點、、三點共線,則的周長為,則的周長為,所以,即,橢圓的離心率為.(2)解法一:設且,則有,即,由題由,可得,則,由題設直線,聯(lián)立,化簡整理可得顯然成立,故,,同理可得,(定值).解法二:設且,則由,即有①,由題,由,可得,則,,點在橢圓上,則,則將上式代入整理得②,②-①整理化簡得,同理可得,(定值).22.某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動,并對每一關根據(jù)難度進行賦分,競猜活動共五關,規(guī)定:上一關不通過則不進入下一關,本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會,兩次均未通過,則闖關失敗,且各關能否通過相互獨立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.(1)若甲第一關通過的概率為,第二關通過的概率為,求甲可以進入第三關的概率;(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設該闖關活動平均分數(shù)為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問甲能否獲得獎勵,請說明理由;②丙得知他的分數(shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關活動平均分數(shù)為201分,351分以上共有57人”,請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所
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