江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣2024屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣2024屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，則則故選：A.2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.66 B.67 C.65 D.63【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，所以.故選：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因?yàn)椋?，所?所以，所以.故選:B.4.一個(gè)盒子中裝有5個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中先后無(wú)放回的取2個(gè)球，記“第一次取得黑球”為事件，“第二次取得白球”為事件，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，．故選：A.5.若，，則（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】，即，，故，，故，故，故，，，故．故選：D6.折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，，過(guò)點(diǎn)向作垂線(xiàn)，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：，故選：.7.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，如圖所示，則．所以是的中位線(xiàn)，所以，．所以到漸近線(xiàn)的距離為，即，在中，，，所以，進(jìn)而，所以，則漸近線(xiàn)方程為，故選：C.8.函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖陂]區(qū)間，使得函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足：在上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在上的值域?yàn)椋ǎ瑒t稱(chēng)區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．如下四個(gè)函數(shù)，存在“2倍值區(qū)間”的是（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A:，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，故在上不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:為增函數(shù)，若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，即有兩個(gè)根，所以存2倍值區(qū)間，故B正確；對(duì)于C:上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在“2倍值區(qū)間”，則，所以，解得.所以函數(shù)不存在“2倍值區(qū)間”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：為增函數(shù)，若存在“2倍值區(qū)間”，則，結(jié)合及的圖象知，方程無(wú)解，故不存在“2倍值區(qū)間”，D錯(cuò)誤；故選：B.二?多選題9.已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】設(shè)，，，，，，對(duì)于A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB.10.下列命題中正確的是（）A.中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B.已知隨機(jī)變量X~，若，則C.已知隨機(jī)變量~，且函數(shù)為偶函數(shù)，則D.在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)．【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，則，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，在回歸分析中，樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)滿(mǎn)足，其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.可以等于5D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，則，又，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A得，所以，故是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；對(duì)于C，的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，又，故，當(dāng)時(shí)，，可知，故D正確.故選：BCD.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線(xiàn)：交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A.B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則D.若直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)，則【答案】ACD【解析】由已知，拋物線(xiàn)：，∴，，焦點(diǎn)，不妨設(shè)為，，設(shè)，到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，對(duì)于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，，∴由拋物線(xiàn)的定義，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，消去，化簡(jiǎn)得（），則，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，∵，∴，∴又∵由選項(xiàng)B判斷過(guò)程知，，∴解得，，或，，，∴若，則，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由題意，，，，，直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，斜率均存在，且，∴，代入，，化簡(jiǎn)得，由選項(xiàng)B的判斷知，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三?填空題13.已知的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，解得，則展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：240.14.已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫(xiě)出一條滿(mǎn)足上述條件的直線(xiàn)的方程______.【答案】（答案不唯一，也滿(mǎn)足）【解析】由題意得，半徑，，故在圓外，設(shè)O到直線(xiàn)的距離為d，由得，即，解得，當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)為，即，則，即，解得，故直線(xiàn)為.故答案為：（答案不唯一，也滿(mǎn)足）15.已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，，則，因此，.故答案為：.16.函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)____________；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______________.【答案】1【解析】第一空：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，故此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；第二空：顯然，至多有2個(gè)零點(diǎn)，故在上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以；若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)；若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，符合要求；③當(dāng)時(shí)，，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，而至少有4個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)至少有5個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，舍去.綜上，或.故答案為：1；.四、解答題17.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以點(diǎn)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若的面積為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，所以．?）因?yàn)?，所以，即，又，則，所以，所以，，所以，所以，故，，故在中，由余弦定理可得，則．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，且，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在恒成立，當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增；令，得，單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）不妨設(shè)，則不等式等價(jià)于，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在遞增，所以，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：（2）若，求正整數(shù)的所有取值.解：（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，由，，則當(dāng)時(shí)，，所以若，正整數(shù)的所有取值為.21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在軸上），滿(mǎn)足，且與的周長(zhǎng)的比值為．（1）求橢圓的離心率；（2）判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）依題意點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為，所以，即，橢圓的離心率為．（2）解法一：設(shè)且，則有，即，由題由，可得，則，由題設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理可得顯然成立，故，，同理可得，（定值）.解法二：設(shè)且，則由，即有①，由題，由，可得，則，，點(diǎn)在橢圓上，則，則將上式代入整理得②，②-①整理化簡(jiǎn)得，同理可得，（定值）.22.某商場(chǎng)在五一假期間開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).（1）若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為，第二關(guān)通過(guò)的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；（2）已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿(mǎn)分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所