江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期1月期末考試數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期1月期末考試數(shù)學試題一、單項選擇選題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.1.設集合,集合,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】已知集合,集合,則.故選:B.2.已知角的終邊經(jīng)過點,則的值等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義可得.故選:A.3.已知,則=()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,則,所以.故選:B.4.設實數(shù)滿足,則函數(shù)的最小值為()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】,函數(shù),當且僅當,即時取等號.因此函數(shù)的最小值為3.故選:A.5.已知,則的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】令,則,,則.故選:C.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù),那么的取值范圍是()A B.C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)是上的增函數(shù),所以,解得.故選:D.7.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中,常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖像的特征,函數(shù)的圖像大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù),由,即且且,故函數(shù)的定義域為,由,所以函數(shù)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對稱,可排除D;當時,,,所以,可排除C;由,,,即,可排除B.故選:A.8.高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學奠基者之一,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設,用表示不超過的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù).例如:.已知函數(shù),則函數(shù)的值域是()A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,定義域為,因為在定義域上單調(diào)遞增,則在定義域上單調(diào)遞減,所以在定義域上單調(diào)遞減,時,,,時,;則時,時,,時,.故選:A.二、多項選擇題;本大題共4小題,每小題5分,共20分.9.已知、、、均為非零實數(shù),則下列一定正確的有()A. B.C.若,則 D.若,,則【答案】ABD【解析】、、、均為非零實數(shù),則,故,即,故A正確;由題意可知,故,當且僅當,即時取等號,故B正確;若,比如a=1,b=-1,則不成立,故C錯誤;若,,則若,,故,故D正確.故選:ABD.10.關(guān)于函數(shù),下列說法中錯誤的是()A.最小正周期是 B.圖象關(guān)于點對稱C.圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】CD【解析】因為最小正周期為,故A顯然正確;因為的對稱中心為Z,所以的對稱中心為Z,故B正確;因為無對稱軸,所以也沒有對稱軸,C錯誤;因為的增區(qū)間為Z,所以的增區(qū)間為,即Z,故D不正確.故選:CD.11.如圖,摩天輪的半徑為,其中心點距離地面的高度為,摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動,且轉(zhuǎn)一圈,若摩天輪上點的起始位置在最高點處,則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中()A.轉(zhuǎn)動后點距離地面B.若摩天輪轉(zhuǎn)速減半,則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼腃.第和第點距離地面的高度相同D.摩天輪轉(zhuǎn)動一圈,點距離地面的高度不低于的時間為【答案】AC【解析】摩天輪轉(zhuǎn)一圈,在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為,建立平面直角坐標系,如圖,設是以軸正半軸為始邊,表示點的起始位置為終邊的角,以軸正半軸為始邊,為終邊的角為,即點的縱坐標為,又由題知,點起始位置在最高點處,,點距地面高度關(guān)于旋轉(zhuǎn)時間的函數(shù)關(guān)系式為:,即,當時,,故A正確;若摩天輪轉(zhuǎn)速減半,,則其周期變?yōu)樵瓉淼?倍,故B錯誤;第點距安地面的高度為,第點距離地面的高度為,第和第時點距離地面的高度相同,故C正確;摩天輪轉(zhuǎn)動一圈,點距離地面的高度不低于,即,即,,得,或,解得或,共,故D錯誤.故選:AC.12.設,,已知,,則下列說法正確的是()A.有最小值 B.沒有最大值C.有最大值為 D.有最小值為【答案】ABD【解析】,,,當且僅當即時等號成立,故A正確,B正確;又,時,,即,所以,當且僅當時,等號成立,故C錯誤,D正確.故選:ABD.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知扇形面積為,半徑是1,則扇形圓心角的弧度數(shù)是________.【答案】【解析】設扇形圓心角的弧度數(shù)是,由扇形的面積公式可得:,解得:.14.已知,則__________.【答案】3【解析】由題意,即,則.15.已知正實數(shù),滿足,則的最小值為______.【答案】【解析】因為,所以,所以,因為為正實數(shù),所以,所以,當且僅當時等號成立,即時等號成立,所以,當且僅當時等號成立,所以的最小值為.16.設函數(shù),則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【解析】當時,,則在時無解;當時,,在單調(diào)遞增,時,則的解集為;當時,,則在時恒成立;綜上,的解集為.四、解答題:本大題共6小題,共70分.17.已知全集,集合,.(1)若,求;(2)若,且“”是“”的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)集合,所以或,當時,集合,所以或.(2)“”是“”的必要不充分條件等價于是真子集,因為,所以且等號不同時成立,解得,所以實數(shù)a的取值范圍為.18.已知二次函數(shù),當時,;當,.(1)求,的值;(2)解關(guān)于的不等式:且.解:(1)由題意可知:的兩根為,故,即得,所以.(2)由(1)可知:,即,解方程,即,解得:,當時,即,所以解集為.19.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.(1)求的值;(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,然后將所得的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象.當時,求函數(shù)的值域.解:(1)因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以,又,所以.(2)由(1)知,將的圖象向右平移個單位得,再將圖象上各點的橫坐標縮小到原來的倍(縱坐標不變)得,因為,所以,所以,所以函數(shù)的值域為.20.已知函數(shù).(1)解關(guān)于x的方程;(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解:(1)根據(jù)題意得,,即,解得或舍去,所以.(2)不等式對任意恒成立,即恒成立,當時,有,所以,則,所以實數(shù)的取值范圍為.21.如圖所示,有一條“L”形河道,其中上方河道寬,右側(cè)河道寬,河道均足夠長.現(xiàn)過點修建一條長為的棧道,開辟出直角三角形區(qū)域(圖中)養(yǎng)殖觀賞魚,且.點在線段上,且.線段將養(yǎng)殖區(qū)域分為兩部分,其中上方養(yǎng)殖金魚,下方養(yǎng)殖錦鯉.(1)當養(yǎng)殖觀賞魚的面積最小時,求的長度;(2)若游客可以在河岸與棧道上投喂金魚,在棧道上投喂錦鯉,且希望投喂錦鯉的道路長度與投喂金魚的道路長度之比不小于,求的取值范圍.解:(1)過作垂直于,垂足分別為,則,,養(yǎng)殖觀賞魚的面積,由可得,則,當且僅當即時取等號,則最小時,,此時l的長度為.(2)由,可得,則,由題意,則,而,則,由可得,則,則.22.設為實數(shù),已知函數(shù),.(1)若函數(shù)和的定義域為,記的最小值為,的最小值為.當時,求的取值范圍;(2)設為正實數(shù),當恒成立時,關(guān)于的方程

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