江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知集合，集合，則.故選：B.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義可得.故選：A.3.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，所以.故選：B.4.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．因此函數(shù)的最小值為3．故選：A．5.已知，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則，，則.故選：C.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故選：D.7.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖像的特征，函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)，由，即且且，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，可排除D；當(dāng)時(shí)，，，所以，可排除C；由，，，即，可排除B.故選：A.8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋x域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，時(shí)，，，時(shí)，；則時(shí)，時(shí)，，時(shí)，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.9.已知、、、均為非零實(shí)數(shù)，則下列一定正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】、、、均為非零實(shí)數(shù),則，故，即，故A正確；由題意可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故B正確；若，比如a=1，b=-1，則不成立，故C錯(cuò)誤；若，，則若，，故，故D正確.故選：ABD.10.關(guān)于函數(shù)，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.最小正周期是 B.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】CD【解析】因?yàn)樽钚≌芷跒?，故A顯然正確；因?yàn)榈膶ΨQ中心為Z，所以的對稱中心為Z，故B正確；因?yàn)闊o對稱軸，所以也沒有對稱軸，C錯(cuò)誤；因?yàn)榈脑鰠^(qū)間為Z，所以的增區(qū)間為，即Z，故D不正確．故選：CD．11.如圖，摩天輪的半徑為，其中心點(diǎn)距離地面的高度為，摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中（）A.轉(zhuǎn)動后點(diǎn)距離地面B.若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉淼腃.第和第點(diǎn)距離地面的高度相同D.摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點(diǎn)距離地面的高度不低于的時(shí)間為【答案】AC【解析】摩天輪轉(zhuǎn)一圈，在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)是以軸正半軸為始邊，表示點(diǎn)的起始位置為終邊的角，以軸正半軸為始邊，為終邊的角為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又由題知，點(diǎn)起始位置在最高點(diǎn)處，，點(diǎn)距地面高度關(guān)于旋轉(zhuǎn)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：，即，當(dāng)時(shí)，，故A正確；若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，，則其周期變?yōu)樵瓉淼?倍，故B錯(cuò)誤；第點(diǎn)距安地面的高度為，第點(diǎn)距離地面的高度為，第和第時(shí)點(diǎn)距離地面的高度相同，故C正確；摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點(diǎn)距離地面的高度不低于，即，即，，得，或，解得或，共，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.設(shè)，，已知，，則下列說法正確的是（）A.有最小值 B.沒有最大值C.有最大值為 D.有最小值為【答案】ABD【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故A正確，B正確；又，時(shí)，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知扇形面積為，半徑是1，則扇形圓心角的弧度數(shù)是________.【答案】【解析】設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)是，由扇形的面積公式可得：，解得：.14.已知，則__________.【答案】3【解析】由題意，即，則.15.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.16.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，時(shí)，則的解集為；當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)恒成立；綜上，的解集為.四、解答題：本大題共6小題，共70分.17.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）集合，所以或，當(dāng)時(shí)，集合，所以或.（2）“”是“”的必要不充分條件等價(jià)于是真子集，因?yàn)椋郧业忍柌煌瑫r(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.（1）求，的值；（2）解關(guān)于的不等式：且.解：（1）由題意可知：的兩根為，故，即得，所以.（2）由（1）可知：，即，解方程，即，解得：，當(dāng)時(shí)，即，所以解集為.19.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，然后將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，又，所以.（2）由（1）知，將的圖象向右平移個(gè)單位得，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?20.已知函數(shù)．（1）解關(guān)于x的方程；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意得，，即，解得或舍去，所以.（2）不等式對任意恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，有，所以，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．21.如圖所示，有一條“L”形河道，其中上方河道寬，右側(cè)河道寬，河道均足夠長.現(xiàn)過點(diǎn)修建一條長為的棧道，開辟出直角三角形區(qū)域（圖中）養(yǎng)殖觀賞魚，且.點(diǎn)在線段上，且.線段將養(yǎng)殖區(qū)域分為兩部分，其中上方養(yǎng)殖金魚，下方養(yǎng)殖錦鯉.（1）當(dāng)養(yǎng)殖觀賞魚的面積最小時(shí)，求的長度；（2）若游客可以在河岸與棧道上投喂金魚，在棧道上投喂錦鯉，且希望投喂錦鯉的道路長度與投喂金魚的道路長度之比不小于，求的取值范圍.解：（1）過作垂直于，垂足分別為，則，，養(yǎng)殖觀賞魚的面積，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，則最小時(shí)，，此時(shí)l的長度為.（2）由，可得，則，由題意，則，而，則，由可得，則，則.22.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)和的定義域?yàn)椋浀淖钚≈禐?，的最小值?當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2）設(shè)為正實(shí)數(shù)，當(dāng)恒成立時(shí)，關(guān)于的方程