江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角，，因?yàn)橹本€，所以直線的斜率為1，所以，所以傾斜角為.故選：.2.等比數(shù)列中，，，則的值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，因?yàn)椋?，所?故選：B3.直線與圓位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無(wú)法判斷【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為3，圓心到直線的距離為，所以直線l與圓C相交.故選:4.在數(shù)列中，，，則等于（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】由題意知，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，故．故選：B5.若直線和直線平行，則m的值為（）A.1 B.-2 C.1或-2 D.【答案】A【解析】由于和直線平行，所以，解得，故選：A6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)為定值時(shí)，也是定值，則k的值為（）A.11 B.13 C.15 D.不能確定【答案】B【解析】因?yàn)?，?dāng)為定值時(shí)，即為定值，即為定值，，所以，解得故選：B.7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),是圓上的動(dòng)點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.8【答案】D【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)?，可得，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（）A.300 B. C.210 D.【答案】A【解析】若為奇數(shù)，則是偶數(shù)，是奇數(shù)，則

，

①，

②①②得：，所以an奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為

，公差為3的等差數(shù)列；所以.故選:A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和最大B.若等比數(shù)列是遞減數(shù)列，則公比q滿足C.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則D.已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，由可得，，故數(shù)列前5項(xiàng)的和最大，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列也是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，若，則，故C正確；選項(xiàng)D，若為等差數(shù)列，則，，則為常數(shù))，數(shù)列也是等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD10.下列結(jié)論中正確的是（）A.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在，軸上截距相等，則直線的方程為B.已知圓，圓，則圓和圓有條公切線C.若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，使得為直角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，滿足條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則圓心距，又，由，可知，兩圓相離，圓與圓共有條公切線，故B正確；對(duì)于C，連接，，，如圖，則易知四邊形為正方形，，點(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑為的圓，又點(diǎn)在直線上，故直線與該圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離，，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，取AB中點(diǎn)，連接CD，如圖所示：則，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為，半徑r=1，，，即，，的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.11.如圖，在長(zhǎng)度為的線段上取兩個(gè)點(diǎn)、，使得，以為邊在線段的上方做一個(gè)正方形，然后擦掉，就得到圖形；對(duì)圖形中的最上方的線段作同樣的操作，得到圖形；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖，圖，圖，圖，各圖中的線段長(zhǎng)度和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C.存在正數(shù)，使得恒成立 D.恒成立【答案】BD【解析】設(shè)圖中新構(gòu)造出的每條線段的長(zhǎng)度為，則，其中，故．而，∴，故，而也符合該式，故，此時(shí)，，故不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤．而，故D正確．而，故，故B正確．對(duì)任意給定的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，必有，故C錯(cuò)誤．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________.【答案】1【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得故答案為：13.已知直線與直線平行，且兩條直線之間距離為，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】或【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，所以解得或.所以所求直線的方程為或.故答案為：或.14.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是______．【答案】440【解析】由題意可知：第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)，，第項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：，，，，，每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，，，總共的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)數(shù)的和為由題意可知：為2的整數(shù)冪，只需將消去即可，則①，解得：，總共有，不滿足，②，解得：，總共有，不滿足，③，解得：，總共有，不滿足，④，解得：，總共有，滿足，該款軟件的激活碼440．故答案為：440.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，求：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程．解：（1）設(shè)，由題意可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程為.16.已知數(shù)列an和數(shù)列bn，為數(shù)列an的前項(xiàng)和，，，.（1）求數(shù)列an和數(shù)列b（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）已知①，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，②，①-②得：，即，又，，則，所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則因?yàn)椋?，又由，得，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，即（2）由（1）得，則17.已知圓C過(guò)兩點(diǎn)，，圓心在直線上.（1）求圓C方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程.解：（1）依題意，設(shè)圓心，半徑為r，則，即，解得，所以，，得圓（2）設(shè)圓C到直線的距離為d，由，得，若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意，若直線的斜率存在，設(shè)，即，由圓心C到直線的距離為1，即，得，所以直線方程為，綜上，所求直線的方程為或（3）依題意設(shè)，由兩圓外切，可知，所以，解得或，所以或，所以圓D的方程為或18.設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有（為常數(shù))，則稱數(shù)列an為“和等比數(shù)列”，其中為和公比.已知bn是首項(xiàng)為，公差不為的等差數(shù)列，且bn是“和等比數(shù)列”，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列bn（2）若不等式對(duì)任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，前項(xiàng)和為，則，所以.因?yàn)閎n是“和等比數(shù)列”所以，即，對(duì)任意的都成立，所以，解得，所以bn的和公比為（2）可知，則，所以，所以，所以，即，所以.設(shè)，.不等式對(duì)任意的恒成立，即不等式對(duì)任意的恒成立.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則.綜上，的取值范圍是19.已知圓和點(diǎn)（1）過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線，求切線的方程；（2）已知，設(shè)P為滿足方程的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引切線，切點(diǎn)為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)N，使得為定值?若存在，則求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，則說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)M作直線l交圓O于兩個(gè)不同的點(diǎn)C，線段CD不經(jīng)過(guò)圓心，分別在點(diǎn)C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E在一條定直線上，并求出該直線的方程.解：（1）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，顯然x=