江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆高三8月模擬演練數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆高三8月模擬演練數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知M,N為集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，則（）A.M B.N C.I D.【答案】A【解析】，，，故選：.2.已知點(diǎn)P在拋物線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，且，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值.所以的最小值為.故選：D.3.某地區(qū)想實(shí)行階梯電價(jià)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)居民用電量信息如下：分位數(shù)50%分位數(shù)70%分位數(shù)80%分位數(shù)90%分位數(shù)用電量160176215230如果要求約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，可確定第二階梯電價(jià)的用電量范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，∴由表中數(shù)據(jù)可得，第二階梯電價(jià)的用電量范圍為.故選：C.4.已知向量，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由兩邊平方得：，設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，即，，所以.故選：B.5.把8個(gè)相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為（）A.70 B.99 C.110 D.165【答案】D【解析】當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球只分給其中1人時(shí)，有4種分法；當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球分給其中的2人時(shí)，先從4人里面選出2人，再將8個(gè)相同的藍(lán)球排成一排，形成的7個(gè)空里面選出1個(gè)空插入1個(gè)“隔板”即可，此時(shí)有種分法；當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球分給其中的3人時(shí)，先從4人里面選出3人，再將8個(gè)相同的藍(lán)球排成一排，形成的7個(gè)空里面選出2個(gè)空插入2個(gè)“隔板”即可，此時(shí)有種分法；當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球分給其中的4人時(shí)，每人至少一個(gè)，此時(shí)將8個(gè)相同的藍(lán)球排成一排，形成的7個(gè)空里面選出3個(gè)空插入3個(gè)“隔板”即可，此時(shí)有種分法；因此把8個(gè)相同的藍(lán)球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人時(shí)，不同的分發(fā)種數(shù)有：故選：D.6.設(shè)函數(shù)若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樽鞒龊瘮?shù)與直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，O0,0，，由，則令，可得或，當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有最大值f-1=2或，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)無最大值，故實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：A.7.當(dāng)時(shí)，曲線與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】與在上的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè).故選：D.8.已知函數(shù)，其中n是自然數(shù)，則的最小值為（）A.50 B.100 C.110 D.190【答案】B【解析】要使取得最小值,則正整數(shù)必然在區(qū)間上，則因?yàn)?所以當(dāng)或時(shí),有最小值100.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于方程的結(jié)論中，正確的有（）A.方程的兩根互為共軛復(fù)數(shù)B.若，則方程兩根互為共軛復(fù)數(shù)C.若x為方程的一個(gè)虛根，則也為方程的根D.若，則方程的兩根一定都為正數(shù)【答案】BC【解析】對(duì)于A：，不確定其正負(fù)，故方程可能有實(shí)數(shù)根也可能有復(fù)數(shù)根，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，解得，兩根為共軛復(fù)數(shù)，B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，方程的根為，即一個(gè)根為虛數(shù)時(shí)，它的共軛復(fù)數(shù)也是方程的根，C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，不確定其正負(fù)，方程可能無實(shí)數(shù)根，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.設(shè)A、B、C、D是空間中四個(gè)不同的點(diǎn)，下列命題中正確的是（）A.若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC也是異面直線C.若，則AD=BCD.若，則AD⊥BC【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若與共面，則與共面，正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若與是異面直線，則四點(diǎn)不共面，則與是異面直線，正確；如圖，空間四邊形中，AB＝AC，DB＝DC，則AD與BC不一定相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)顯然成立，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，取BC的中點(diǎn)M，連接AM、DM，則，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則下列說法中正確的是（）A.將數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列，，，…，是等差數(shù)列C.將數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列不是等比數(shù)列D.數(shù)列，，，，…，是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】對(duì)于A:設(shè)an的公差為，將數(shù)列an的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)依次為，則故構(gòu)成的數(shù)列依然是等差數(shù)列，正確；對(duì)于B：因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以數(shù)列，，，…，，所以構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，正確；對(duì)于C：設(shè)bn的公比為，等比數(shù)列去掉前m項(xiàng)后，其余各項(xiàng)依次為，所以依然構(gòu)成等比數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)bn公比為,所以，故數(shù)列，，，，…，是等比數(shù)列，正確.故選:ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，如果，則的面積為______．【答案】16【解析】由題意得,所以,不妨設(shè),根據(jù)雙曲線定義可得①，又,所以②，聯(lián)立①②解得,所以的面積.13.已知函數(shù)和，如果直線l同時(shí)是和的切線，稱l是和的公切線，若和有且僅有一條公切線，則______．【答案】【解析】由得：；由得：；設(shè)與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，所以的方程為或，即的方程為或，所以，則，所以，解得：.14.將正整數(shù)數(shù)列1，2，3，4，5，…的各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：將每行的第一個(gè)數(shù)與每行的最后一個(gè)數(shù)依次相加，前行的和為______．【答案】【解析】設(shè)每行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，每行的最后一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則由數(shù)表可知，，，……，所以數(shù)列的遞推公式為，，所以，，當(dāng)時(shí)，成立，同理，，，……，所以數(shù)列的遞推公式為，，所以，，當(dāng)時(shí)，成立，所以每行的第一個(gè)數(shù)與每行的最后一個(gè)數(shù)依次相加的和，注意第一行的首尾為同一個(gè)數(shù)1，所以前行的和.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角中，，.（1）求證：；（2）設(shè)，求AB邊上的高.（1）證明：由，得，即，兩式相除得，所以.（2）解：在銳角中，，，則，，即有，將代入上式并整理得，而，解得，，設(shè)邊上的高為，則，由，得，所以邊上的高等于16.已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）如果過點(diǎn)M的直線與橢圓相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且，求直線的方程．解：（1）因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為，所以.,所以.因?yàn)?所以,且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,由得：,由c>0,解得c=2.所以,所以橢圓方程為,離心率等于.（2）由(1)可知M(3,0),則該點(diǎn)在橢圓外,所以過該點(diǎn)的直線PQ的斜率必然存在.可設(shè)直線PQ的方程為,聯(lián)立，得.設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系可知:，.由OP⊥OQ得,即，解得:,符合,所以直線PQ的方程為.17.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．(1)求甲以4比1獲勝的概率；(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率；(3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列．解：（1）由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是，記“甲以4比1獲勝”為事件，則；（2）記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件，因?yàn)?，乙?比2獲勝的概率為，乙以4比3獲勝的概率為，所以．（3）設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能值為4，5，6，7，，比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：456718.設(shè)函數(shù)．（1）若，，證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（2）若，且函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（3）證明：“”是有三個(gè)不同的零點(diǎn)的必要不充分條件．（1）解：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)fx=x而，所以，所以fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線為中心對(duì)圖形．（2）解：當(dāng)，函數(shù)，令，可得，令，只需與有3個(gè)交點(diǎn)，，令，解得或，列表如下：x00h單調(diào)遞增0單調(diào)遞減單調(diào)遞增即有在處取得極大值，且為0；在處取得極小值，且為，由函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得，解得，所以c的取值范圍是；（3）證明：若有三個(gè)不同零點(diǎn)，令，可得的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，即為導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，即，為．若．即有的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，滿足，即與x軸交于，，則的零點(diǎn)為兩個(gè)，綜上，是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件．19.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時(shí)，為美觀起見，通常會(huì)用彩繩對(duì)月餅盒做一個(gè)捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖（A）、（B）所示，并配上花結(jié).圖（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.（1）若，記點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.（?。┣缶€段的長(zhǎng)；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（2）據(jù)烘焙店的店員說，圖（A）這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖（B）的十字捆扎更節(jié)省彩繩.你同意這種說法嗎？請(qǐng)給出你的理由.（注意，此時(shí)、、、、、、、這8條線段可能長(zhǎng)短不一）解：（1）（?。┤鐖D，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為則有，取得點(diǎn)H到平面的距離，線段的長(zhǎng)為（ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)，則且，由（ⅰ）知，