江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知直線方程為，則直線與垂直，即直線的傾斜角為，故選：C.2.圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該圓的半徑為，因此，該圓的面積為.故選：B.3.直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.已知直線，對(duì)稱點(diǎn)在該直線上，所以將換為可得，即.故選：A.4.若曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】曲線是雙曲線，則異號(hào).則，解得.故選：D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為,上一點(diǎn)到軸的距離為6，且，則（）A.4 B.8 C.16 D.12【答案】A【解析】由題設(shè)及拋物線的定義，有.故選：A6.比較下列橢圓的形狀，最接近于圓的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：，則，B：，則，C：，則，D：，則，由離心率越小，越趨向于圓，則，即最接近于圓.故選：C7.直線與圓交于，兩點(diǎn)，則面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可化為，所以，圓心，其到的距離，又圓的半徑為，所以，則面積為.故選：B8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，可設(shè)，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，有，，所以，而，則，故，所以，即，由為平行四邊形，則，又，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知三條直線，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.經(jīng)過定點(diǎn) B.，的交點(diǎn)坐標(biāo)為C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：，即，令，解得，即直線過點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：聯(lián)立直線方程，解得，即直線，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，可得，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：時(shí)，直線，滿足，即，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.左焦點(diǎn)到漸近線距離為 B.若，則或1C.若，則，兩點(diǎn)位于的兩支 D.點(diǎn)不可能是線段的中點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由雙曲線，得漸近線為，即.左焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)到漸近線距離，所以選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)雙曲線定義，又，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.但是，所以舍去，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，直線的方程為.聯(lián)立，消去得，展開并整理得，即.Δ=所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)兩根為，，，即兩根異號(hào)，所以直線與雙曲線相交于兩支上，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到.展開.整理得，.設(shè)，，若是中點(diǎn)，則，則，所以，代入與前面矛盾.所以點(diǎn)不可能是線段的中點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論正確的有（）A.曲線有4條對(duì)稱軸 B.曲線圍成的圖形面積為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且曲線過原點(diǎn)，曲線圍成的圖形是四個(gè)全等的弓形組成，令，有，又各圓半徑為，則每個(gè)弓形圓弧是圓弧，所以曲線的圖形如下圖示，由圖知，顯然對(duì)稱軸只有軸，A錯(cuò)；曲線圍成的圖形是四個(gè)全等的弓形組成，面積為，B對(duì)；由上分析，易知的最大值為，C對(duì)；由表示曲線上點(diǎn)與點(diǎn)所成直線斜率，結(jié)合圖知，當(dāng)過的直線與圓右上方相切時(shí)斜率最小，令直線為且，聯(lián)立圓得，所以，則，整理得，所以，可得（正值舍），D對(duì).故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線與間的距離為________.【答案】【解析】由題設(shè)，即為，所以兩直線距離.故答案為：13.兩圓和的公切線有______條．【答案】3【解析】由題可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則圓心距，所以兩圓外切，則公切線有3條.故答案為：3.14.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上的一點(diǎn)滿足，且的面積為，則的值為__________，的取值范圍為________.【答案】4；.【解析】由，（），所以，又，則，所以，結(jié)合，所以，由題設(shè)，則，故，由上分析知，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，綜上，.故答案為：4，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知△的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.（1）求證：△為直角三角形；（2）求邊上的中線長及中線所在的直線方程.解：（1）由已知條件得，,,則,所以△為直角三角形；（2）設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則邊上的中線,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，即的坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以邊上的中線所在直線方程為，即.16.已知圓，點(diǎn)，.（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最值.解：（1）當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切直線斜率不存在時(shí)，該直線方程為，當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，則該直線方程為，因?yàn)樵撝本€與圓相切，則圓心到直線的距離，即，解得，即；（2）設(shè)點(diǎn)，為參數(shù)，且，則，因?yàn)?，所以，所以的最大值為，最小值?17.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的右焦點(diǎn)作斜率為的弦，求的周長.解：（1）由題設(shè)且，可得，故；（2）由（1）知，則直線，聯(lián)立雙曲線，得，整理，可得或，不妨令，則，而，故，，所以.18.已知四邊形的頂點(diǎn)、、在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)是的右頂點(diǎn)，且四邊形為菱形時(shí)，求菱形的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由.解：（1）對(duì)于橢圓，，，則，當(dāng)點(diǎn)是的右頂點(diǎn)，則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以與相互垂直且平分．所以可設(shè)，代入橢圓方程得，即.所以菱形面積是.（2）四邊形不可能為菱形．理由如下：假設(shè)四邊形為菱形．因?yàn)辄c(diǎn)不是的頂點(diǎn)，且直線不過原點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為零，所以可設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則與不垂直，故四邊形不可能是菱形.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的另一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，連接，