江蘇省2023-2024學年高一上學期期末考試全真模擬數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省2023-2024學年高一上學期期末考試全真模擬數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知角終邊經過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為角終邊過點，所以，，，所以.故選：D.2．已知，，則“”是“”成立的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“”，則“”必成立；但是“”，未必有“”，例如，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.3．設，則的值為（）A.9 B.11 C.28 D.14【答案】B【解析】.故選：B.4．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】由，當時，，則.故選：C.5．函數的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數定義域為，，故為奇函數，故它的圖像關于原點對稱，可以排除C和D；又函數在時，函數，可以排除B.故選：A．6．已知函數為冪函數，若函數，則的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數為冪函數，所以，得，所以，，因為，，，，且在上為增函數，所以在上有唯一零點.故選：C.7．中國的扇文化有著極其深厚的人文底蘊，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛（如圖1）.制作折扇的扇面時，先從一個圓面中剪下扇形，再從扇形中剪去扇形（如圖2）.記圓面面積為，扇形的面積為，把滿足且的扇面稱為“完美扇面”，現有用半徑為的圓面制作而成的“完美扇面”，則弧的長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，，即，即，所以，則，設圓心角，圓的半徑為，則，，所以，因為，所以，即，解得，所以弧的長為.故選：D.8．定義：正割，余割.已知為正實數，且對任意的實數均成立，則的最小值為（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】由已知可得，即，因為，所以，則

，當且僅當時等號成立，故.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯誤；對B：當時，集合中也只有一個元素，故B錯誤；對C：因為關于的不等式的解集為，故，不妨設，則由韋達定理可得，，所以不等式，故C正確；對D：由“，”可得“”，但“”，比如時，“，”就不成立，故D成立.故選：CD.10．若，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值是C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，當且僅當時，取等號，所以的最大值為，故正確；對于B，因為，所以所以，當且僅當即時取等號，故等號不取，，當且僅當即時取等號，故等號不取，所以，故錯誤；對于C，因為，所以，所以，當且僅當即時，取等號，故正確；對于D，，當且僅當即時，取等號，故正確.故選：ACD.11．已知函數，下列選項正確的有（）A.的最小正周期為B.函數的單調遞增區(qū)間為C.在區(qū)間上只有一個零點D.函數在區(qū)間的值域為【答案】AC【解析】由可得的最小正周期為，故A正確；因為，，故B不正確；由，得，，得，，由，，得，，所以，此時，即在區(qū)間上只有一個零點，故C正確；由，得，得，即函數在區(qū)間的值域為，故D不正確.故選：AC.12．已知函數的定義域為，且函數圖象連續(xù)不間斷，假如存在正實數，使得對于任意的，恒成立，稱函數滿足性質.則下列說法正確的是（）A.若滿足性質，且，則B.若，則存在唯一的正數，使得函數滿足性質C.若，則存在唯一的正數，使得函數滿足性質D.若函數滿足性質，則函數必存在零點【答案】ABD【解析】對選項A：，，，則，正確；對選項B：，即，即，根據圖像知方程有唯一正數解，正確；對選項C：，即，取得到，取得到，方程組無解，故等式不恒成立，錯誤；對選項D：若，則1即為的零點；若，則，，可得，，，故當趨近正無窮時，趨近正無窮，所以存在零點；若，則由，可得，由，可得，，，當趨近正無窮時，趨近負無窮，所以存在零點，綜上所述：存在零點，正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．給定3個條件：①定義域為R，值域為；②最小正周期為2；③是奇函數．寫出一個同時滿足這3個條件的函數的解析式：__________．【答案】（答案不唯一，滿足題意即可）【解析】對于函數的定義域為R，，即的值域為，符合①；函數的最小正周期，符合②；，即是奇函數，符合③；綜上所述：符合題意.故答案為：（答案不唯一，滿足題意即可）.14.設函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，當時，，若，則_________.【答案】【解析】根據題意，由為奇函數，得關于對稱，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案為：.15.已知，且，則的最小值為__________.【答案】6【解析】因為，，所以，，令，則，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，此時，.故答案為：6.16．已知函數，若至少存在兩個不相等的實數，使得，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】至少存在兩個不相等的實數，使得，當，即時，必存在兩個不相等的實數滿足題意；當，即時，，，；當時，解集為，不合題意；令，則；令，則；綜上所述：實數的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點，且.（1）若點A的橫坐標為，求的值；（2）求的值.解：（1）由題意可知點A的橫坐標為，則A點坐標為，∴，，又，故，則，∴.（2）∵，∴，，∴.18．設全集，集合，其中．（1）若“”是“”成立的必要不充分條件，求的取值范圍；（2）若命題“，使得”是真命題，求的取值范圍．解：（1），得，解得：，即，因為“”是“”成立的必要不充分條件，所以，則，解得：.（2）由條件可知，，或，所以或，解得：，所以的取值范圍是.19．已知函數的部分圖象如圖所示．（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，求函數在上的單調減區(qū)間．解：（1）由圖可得函數的最小正周期為，所以，，，則，∵即，則，，則，所以.（2）由題意可得，令，，得，，記，則，因此，函數在上的減區(qū)間是.20．某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費（單位：萬元）與設備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數為0.2.預計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費（單位：萬元）與設備占地面積之間的函數關系為.將該企業(yè)的凈水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為（單位：萬元）.（1）要使不超過7.2萬元，求設備占地面積的取值范圍；（2）設備占地面積為多少時，的值最小？解：（1）由題意得，要滿足題意，則，即，解得：，即設備占地面積的取值范圍為.（2），當且僅當時等號成立，所以設備占地面積為時，的值最小.21．我們知道，函數圖象關于原點中心對稱的充要條件是為奇函數.該命題可以推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱的充要條件是為奇函數.已知函數.（為自然對數的底數，約為2.718）（1）求函數的函數值為0的的值；（2）探求函數圖象的對稱中心；（3）寫出的單調區(qū)間（無需過程），求不等式的解集.解：（1）令，得，所以.（2）設的對稱中心為，則是奇函數，即，，即，①由上式恒成立可知是常數，所以，則，代入①中，得，所以，的對稱中心為.（3），該函數的定義域為，反比例函數的單調遞增區(qū)間為，，所以的增區(qū)間為，，由（2）可知，即，，因為，，在遞增，即，解得，原不等式的解集.22．已知函數是奇函數.（e是自然對數的底）（1）求實數k的值；（2）若時，關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍；（3）設，對任意實數，若以a，b，c為長度的線段可以構成三角形時，均有以，，為長度的線段也能構成三角形，求實