江蘇省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試全真模擬數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試全真模擬數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榻墙K邊過(guò)點(diǎn)，所以，，，所以.故選：D.2．已知，，則“”是“”成立的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“”，則“”必成立；但是“”，未必有“”，例如，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.3．設(shè)，則的值為（）A.9 B.11 C.28 D.14【答案】B【解析】.故選：B.4．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】由，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.5．函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，故它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以排除C和D；又函數(shù)在時(shí)，函數(shù)，可以排除B.故選：A．6．已知函數(shù)為冪函數(shù)，若函數(shù)，則的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，得，所以，，因?yàn)椋?，，，且在上為增函?shù)，所以在上有唯一零點(diǎn).故選：C.7．中國(guó)的扇文化有著極其深厚的人文底蘊(yùn)，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛(ài)（如圖1）.制作折扇的扇面時(shí)，先從一個(gè)圓面中剪下扇形，再?gòu)纳刃沃屑羧ド刃危ㄈ鐖D2）.記圓面面積為，扇形的面積為，把滿足且的扇面稱為“完美扇面”，現(xiàn)有用半徑為的圓面制作而成的“完美扇面”，則弧的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，，即，即，所以，則，設(shè)圓心角，圓的半徑為，則，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，所以弧的長(zhǎng)為.故選：D.8．定義：正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】由已知可得，即，因?yàn)?，所以，則

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對(duì)A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，集合中也只有一個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，故，不妨設(shè)，則由韋達(dá)定理可得，，所以不等式，故C正確；對(duì)D：由“，”可得“”，但“”，比如時(shí)，“，”就不成立，故D成立.故選：CD.10．若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值是C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故等號(hào)不取，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故等號(hào)不取，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，故正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，故正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的有（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】由可得的最小正周期為，故A正確；因?yàn)椋?，故B不正確；由，得，，得，，由，，得，，所以，此時(shí)，即在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；由，得，得，即函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，故D不正確.故選：AC.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)圖象連續(xù)不間斷，假如存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，恒成立，稱函數(shù)滿足性質(zhì).則下列說(shuō)法正確的是（）A.若滿足性質(zhì)，且，則B.若，則存在唯一的正數(shù)，使得函數(shù)滿足性質(zhì)C.若，則存在唯一的正數(shù)，使得函數(shù)滿足性質(zhì)D.若函數(shù)滿足性質(zhì)，則函數(shù)必存在零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，，，則，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，即，即，根據(jù)圖像知方程有唯一正數(shù)解，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，即，取得到，取得到，方程組無(wú)解，故等式不恒成立，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：若，則1即為的零點(diǎn)；若，則，，可得，，，故當(dāng)趨近正無(wú)窮時(shí)，趨近正無(wú)窮，所以存在零點(diǎn)；若，則由，可得，由，可得，，，當(dāng)趨近正無(wú)窮時(shí)，趨近負(fù)無(wú)窮，所以存在零點(diǎn)，綜上所述：存在零點(diǎn)，正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．給定3個(gè)條件：①定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋虎谧钚≌芷跒?；③是奇函數(shù)．寫出一個(gè)同時(shí)滿足這3個(gè)條件的函數(shù)的解析式：__________．【答案】（答案不唯一，滿足題意即可）【解析】對(duì)于函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即的值域?yàn)?，符合①；函?shù)的最小正周期，符合②；，即是奇函數(shù)，符合③；綜上所述：符合題意.故答案為：（答案不唯一，滿足題意即可）.14.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則_________.【答案】【解析】根據(jù)題意，由為奇函數(shù)，得關(guān)于對(duì)稱，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案為：.15.已知，且，則的最小值為__________.【答案】6【解析】因?yàn)?，，所以，，令，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，此時(shí)，.故答案為：6.16．已知函數(shù)，若至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)，即時(shí)，必存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，解集為，不合題意；令，則；令，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）求的值.解：（1）由題意可知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，又，故，則，∴.（2）∵，∴，，∴.18．設(shè)全集，集合，其中．（1）若“”是“”成立的必要不充分條件，求的取值范圍；（2）若命題“，使得”是真命題，求的取值范圍．解：（1），得，解得：，即，因?yàn)椤啊笔恰啊背闪⒌谋匾怀浞謼l件，所以，則，解得：.（2）由條件可知，，或，所以或，解得：，所以的取值范圍是.19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間．解：（1）由圖可得函數(shù)的最小正周期為，所以，，，則，∵即，則，，則，所以.（2）由題意可得，令，，得，，記，則，因此，函數(shù)在上的減區(qū)間是.20．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬(wàn)元）.（1）要使不超過(guò)7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；（2）設(shè)備占地面積為多少時(shí)，的值最??？解：（1）由題意得，要滿足題意，則，即，解得：，即設(shè)備占地面積的取值范圍為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.21．我們知道，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的充要條件是為奇函數(shù).該命題可以推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是為奇函數(shù).已知函數(shù).（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約為2.718）（1）求函數(shù)的函數(shù)值為0的的值；（2）探求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（3）寫出的單調(diào)區(qū)間（無(wú)需過(guò)程），求不等式的解集.解：（1）令，得，所以.（2）設(shè)的對(duì)稱中心為，則是奇函數(shù)，即，，即，①由上式恒成立可知是常數(shù)，所以，則，代入①中，得，所以，的對(duì)稱中心為.（3），該函數(shù)的定義域?yàn)椋幢壤瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以的增區(qū)間為，，由（2）可知，即，，因?yàn)椋?，在遞增，即，解得，原不等式的解集.22．已知函數(shù)是奇函數(shù).（e是自然對(duì)數(shù)的底）（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，若以a，b，c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成三角形時(shí)，均有以，，為長(zhǎng)度的線段也能構(gòu)成三角形，求實(shí)