吉林省長(zhǎng)春市2025屆高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷(一)（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省長(zhǎng)春市2025屆高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷(一)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由題意知，該組數(shù)據(jù)共有8個(gè)，則所以第25百分位數(shù)為.故選：B2.已知向量，若，則（）A.2 B.3 C.6 D.15【答案】B【解析】由，可得，解得.故選：B.3.已知，則的值為（）A.-2 B.2 C. D.3【答案】A【解析】因兩式聯(lián)立可得：，所以，故選：A4.某學(xué)?？萍紕?chuàng)新小組準(zhǔn)備模擬東風(fēng)31彈道導(dǎo)彈的發(fā)射過(guò)程，假設(shè)該小組采用的飛行器的飛行高度（單位：米）與飛行時(shí)間（單位：秒）之間的關(guān)系可以近似用函數(shù)來(lái)表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過(guò)2秒時(shí)的高度為10米，經(jīng)過(guò)6秒時(shí)的高度為30米，欲達(dá)到50米的高度，需要（）秒.A.15 B.16 C.18 D.20【答案】C【解析】由題意可得：，解得：，設(shè)達(dá)到50米的高度需要秒.，解得：，所以達(dá)到50米的高度需要秒.故選：C5.正四面體中，，則異面直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從正方體中可截取一個(gè)正四面體，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，根據(jù)正方體的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：，所以，則，因?yàn)椋?，則，，根據(jù)，則，所以異面直線PQ與BD所成角的正弦值為.故選：D.6.直線與直線所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線斜率，直線斜率，設(shè)兩直線的夾角為，則，且，所以.故選：B7.為了解小學(xué)生每天的戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間，某校對(duì)小學(xué)生進(jìn)行平均每天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)）的調(diào)查，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣.如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了三年級(jí)及以下學(xué)生40人，其平均數(shù)和方差分別為2.5和1.65，抽取了四年級(jí)及以上學(xué)生60人，其平均數(shù)和方差分別為1.5和3.5，則估計(jì)該校學(xué)生平均每天戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間的總體方差為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】抽取了三年級(jí)及以下學(xué)生40人，其平均數(shù)和方差分別為，，抽取了四年級(jí)及以上學(xué)生60人，其平均數(shù)和方差分別為，，設(shè)抽取的總體樣本的平均數(shù)為和方差為，則，.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，可得在上單調(diào)遞減，不等式，即，即，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得：，所以不等式的解集為：，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)的最小正周期為，則（）A.是的一條對(duì)稱軸B.與函數(shù)相等C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,由周期公式，可得，則.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以是的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?與不相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，故選項(xiàng)D正確；故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)該等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列C.單調(diào)遞增的充要條件為D.當(dāng)時(shí)，滿足的的最小值為9【答案】ABC【解析】因?yàn)椋芍?，?duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若單調(diào)遞增，等價(jià)于，又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，即對(duì)任意恒成立，等價(jià)于，即單調(diào)遞增，等價(jià)于，所以單調(diào)遞增的充要條件為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)BD：若，則，且，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故B正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且；當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以滿足的的最小值為10，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)距離之積等于定值的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，已知點(diǎn)Px0,y0是雙紐線上一點(diǎn)，下列關(guān)于雙紐線的說(shuō)法正確的是（A.的最大值為 B.雙紐線是中心對(duì)稱圖形C. D.到距離之和的最小值為2c【答案】BCD【解析】B選項(xiàng)，由題意得雙紐線的軌跡方程為，將換成，把換成得，即，故雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確；C選項(xiàng)，，其中，又Px0,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，C正確；D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；A選項(xiàng)，當(dāng)重合時(shí)，，當(dāng)不重合時(shí)，，兩邊平方得，在中，由余弦定理得①，即②，式子①②聯(lián)立得，，當(dāng)落在軸上（除原點(diǎn)）時(shí)，等號(hào)成立，故，的最大值為，A錯(cuò)誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】9【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，化簡(jiǎn)得，因，解得.故答案為：9.13.已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，B關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.若過(guò)三點(diǎn)的圓的半徑為，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題設(shè)，則的中點(diǎn)為，而，所以中垂線的斜率為，故的中垂線方程為①，由B關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，故中垂線為②，聯(lián)立①②，可得，故過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，由題意有，可得.14.若，則______.【答案】【解析】由于，則所以，，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線平行于軸.（1）求與的關(guān)系；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.解：（1）由，可得，，依題意，，即得，此時(shí)切線方程為，該直線與x軸平行，所以，所以；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立，即上恒成立，也即在上恒成立，故得且，即的取值范圍是.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是的面積記為，已知.（1）求；（2）若BC邊上的中線長(zhǎng)為1，AD為角的平分線，求CD的長(zhǎng).解：（1）由題設(shè)，而，所以，，所以.（2）如下示意圖，是的中線，則，所以，由，則，又，則，即，則，所以.17.如圖，在平行六面體中，，.（1）求證：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，且，，，因?yàn)?，，則，，可得，，即，且，平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，，所以，則；又，所以，則；又，平面，所以平面；故，分別是平面和平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，所以；所以平面與平面夾角的余弦值為.18.某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)研究初步得出檢測(cè)某種疾病的患病與否和某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有關(guān)，利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性（患?。?，小于或等于的人判定為陰性（未患?。?此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率.（1）隨機(jī)抽取男女各500人進(jìn)行檢驗(yàn)，采用臨界值進(jìn)行判定時(shí)，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫(xiě)出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為誤判與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布表：指標(biāo)[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130]患病者頻率0.010.060.170.180.20.20.18指標(biāo)[70，75]未患病者頻率0.190.20.20.180.170.050.01假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時(shí)控制在以內(nèi)（小于等于），求臨界值的范圍；（3）在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時(shí)的臨界值及對(duì)應(yīng)的誤診率和漏診率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）依題意，列出列聯(lián)表為：誤判人數(shù)未誤判人數(shù)總計(jì)男性人數(shù)2498500女性人數(shù)8492500總計(jì)109901000由上表，，故可以認(rèn)為，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分的證據(jù)證明零假設(shè)不成立，即認(rèn)為誤判與性別無(wú)關(guān)；（2）因漏診率小于等于，由頻率分布表可知，臨界值應(yīng)在內(nèi)，依題意，有；又因誤診率小于等于，由頻率分布表可知，臨界值應(yīng)在內(nèi)，依題意，有.綜上，臨界值的范圍為；（3）由（2）已得，故，此時(shí)誤診率為：，即；漏診率為：，即.19.已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作一條直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線方程；（2）試問(wèn)在上是否存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線交于P，