湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則集合中所含整數(shù)的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意可得，可得，故集合中所含整數(shù)有，共4個.故選：C2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，故，其虛部為.故選：A.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，且函數(shù)為增函數(shù)，可得，令函數(shù)，易得單調(diào)遞增，故當(dāng)時，一定有，故充分性成立；但由只能推出，即必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，故.故選：A.5.經(jīng)研究表明：光源發(fā)射出來的粒子在沒有被捕獲之前屬于光子，光子在離開光源后會與各種粒子撞擊，其動量可能會改變，導(dǎo)致其速度降低，最終可能改變身份成為其他范圍的粒子（如紅外線粒子），不再能被人類的感光設(shè)備捕獲.已知在某次光學(xué)實驗中，實驗組相關(guān)人員用人類感光設(shè)備捕獲了從同一光源發(fā)射出來的兩個光子，，通過數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析得知，此時刻在平面直角坐標(biāo)系中它們的位移所對應(yīng)的向量分別為，設(shè)光子相對光子的位移為，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，可得，所以在上的投影向量為.故選：C.6.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，若也為等差數(shù)列，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】易知，若也為等差數(shù)列，則為完全平方，則，解得.故選：C.7.已知函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則曲線在點，處的切線斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為關(guān)于點中心對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，且為奇函數(shù)，所以，解得，故，且，故切線斜率為.故選：D.8.中，角，，所對的邊分別為，，，且，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由題意可得，由余弦定理可得，而，故，由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，則，其中，故，令，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于選項A：因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項A正確；對于選項B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項B錯誤；對于選項C：由選項A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項C正確；對于選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，這與x，y均為正數(shù)矛盾，故，故選項D錯誤.故選：AC.10.三棱臺中，，設(shè)AB的中點為的中點為與BF交于點與交于點，則（）A.直線GH與直線異面B.C.線段AE上存在點，使得平面D.線段BE上存在點，使得平面【答案】AD【解析】如圖所示，對于A，因為平面平面，故與平面的交點為，且是唯一的.又因為B，G，H三點不共線，所以GH不經(jīng)過點，又平面，所以直線GH與直線沒有交點，即直線GH與直線異面，故A正確；對于B，因為AB的中點為的中點為，所以點是的重心，，若，則，事實上：，所以一定經(jīng)過的中點，故是的中點，不成立，故B錯誤；對于CD選項，如圖，取線段BF的中點，連接并延長，交BE于點，下證平面：由為的中點可知，又平面平面，所以平面，故D正確，C錯誤；故選：AD.11.設(shè)函數(shù)，記的最小值為，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由題意可得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．對于A：，即，故A錯誤；對于B：設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù)時，則單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，故，故B正確；對于C：易知，又因為在上單調(diào)遞增，故，故，故C正確；對于D：，只需證明即可，而，由易得，故，同理可得，故，故D正確，故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知命題：“”為真命題，則的取值范圍是______．【答案】（]【解析】因為命題“”為真命題，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，則，解得，故的取值范圍是.13.已知為邊長為4的正六邊形ABCDEF內(nèi)部及其邊界上的一點，則的取值范圍是______.【答案】[-8，24]【解析】由題意可得的模為4，根據(jù)正六邊形的特征及投影的定義可以得到在方向上的投影長度的取值范圍是，由數(shù)量積定義可知等于的模與在方向上的投影長度的乘積，所以的取值范圍是，故答案為：.14.三棱錐中，，平面平面，且.記的體積為，內(nèi)切球半徑為，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)三棱錐的高為，依題意，可取中點，連接，，則,由于，則,則，由于平面平面，且交線為,平面，故平面，故,則的面積為,的面積，由可得和的面積為，于是三棱錐的表面積為，由等體積可知，所以，故=.設(shè)函數(shù)，且，則，當(dāng)單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，所以，所以時，取得最小值，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.解：（1）由題意可得，令，則，因為的單調(diào)遞減區(qū)間是，且由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）當(dāng)，則，因為在區(qū)間上的最小值為，即在上的最小值為，又因為，所以即，故的取值范圍為.16.記首項為1的數(shù)列的前項和為，且.（1）探究數(shù)列是否為單調(diào)數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意得，當(dāng)時，，兩式作差得，所以，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，無單調(diào)性，故數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.（2）由（1）可得，所以，故．所以，①，②①-②得所以17.如圖，四棱柱中，四邊形ABCD是菱形，四面體的體積與四面體的體積之差為的面積為.（1）求點到平面的距離；（2）若，求銳二面角的余弦值．解：（1）如圖，連接AC交BD于點，設(shè)四棱柱的體積為（其中為菱形ABCD的面積，為四棱柱的高），所以四面體的體積為，同理四面體的體積為，又因為四邊形ABCD是菱形，所以，所以點到平面的距離為點到平面距離的一半，所以四面體的體積是四面體的體積的兩倍，即，設(shè)點到平面的距離為，則，解得；（2）如圖，連接，由得，又四邊形ABCD是菱形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，以點為原點，OA為軸，OB為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，且的面積為，所以棱柱的高，而三棱錐的體積為，故，故，所以，易得平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，又，所以，即，取，故，故銳二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)在上有兩個極值點，且.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：.解：（1）易得定義域為，①當(dāng)時，單調(diào)遞增，不可能有兩零點，不合題意.②當(dāng)時，令函數(shù)，易得，故時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，有，不可能有兩零點；當(dāng)時，有，由零點存在性定理可得在區(qū)間必有一個零點．，令函數(shù)，則，即單調(diào)遞增，故，即，故在上有零點，綜上；（2）依題意有，即，故得，因此，令.則，同理，故，欲證，即證，令函數(shù)，函數(shù)，只需證明即可，又，故是增函數(shù)，故，又，令函數(shù)，則，故單調(diào)遞增，故，因此，故單調(diào)遞增，故，故得證.19.對于項數(shù)列，若滿足，則稱它為一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列．（1）對于一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列.證明：存在，滿足；（2）若“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列還滿足，則稱為“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列．①請分別寫出一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列和滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列（不必論證，符合要求即可）；②若存在“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，求的最小值（最終結(jié)果用常數(shù)或含的式子表示）．解：（1）因為為滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，假設(shè)，則，不滿足題意，同理若，則，也不滿足題意，所以中必有一些數(shù)小于，也必有一些數(shù)大于，不妨設(shè)（其中），故存在，滿足．（2）①一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列為：；一個滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列為：；②設(shè)，且．不妨設(shè)，其中，并記，不妨設(shè)（否則用代替即可），于是得，因為，即，所以，一方