湖北省新洲區(qū)部分學校2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省新洲區(qū)部分學校2024屆高三上學期期末數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，故，故選：D2.若，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】由，得，則，所以．故選：C．3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】平面向量，，則，由，則，解得.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以．故選：B5.北京時間2023年2月10日0時16分，經過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出艙活動取得圓滿成功．載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產生巨大的噪聲，已知聲音的聲強級（單位：dB）與聲強x（單位：）滿足關系式：．若某人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為（）A.138dB B.132dB C.128dB D.122dB【答案】C【解析】設此人交談時的聲強為，火箭發(fā)射時的聲強為，則由題意得，解得，故，所以dB，故選：C.6.已知一次函數(shù)在坐標軸上的截距相等且不為零，其圖象經過點，令，，記數(shù)列的前n項和為，當時，n的值等于（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】B【解析】由一次函數(shù)在坐標軸上的截距相等且不為零，可設，又因為其圖象經過點，則，解得，所以，即.可得，則，則，，解得.故選：B.7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定義域為，關于原點對稱，令，則，因此為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，AB錯誤；當時，，則，，則，于是，C錯誤，D滿足.故選：D8.設函數(shù)在R上的導函數(shù)為，在上，且，有，則（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由，可得．設，則，所以是R上的奇函數(shù)，又在上，即，所以在上單調遞減，又是R上的奇函數(shù)，所以在上單調遞減，所以，即，因此，故，故A正確；所以，即，因此，故B不正確；所以，即，則，所以與的大小不能確定，故C不正確；所以，即，則，所以與的大小不確定，故D不正確.故選：A.二、選擇題:9.若、、，則下列命題正確的是（）A.若且，則B.若，則C.若且，則D.【答案】BD【解析】對于A選項，若且，取，，則，A錯；對于B選項，若，則，B對；對于C選項，若且，則，則，故，C錯；對于D選項，，當且僅當時，等號成立，故，D對.故選：BD.10.如圖，已知二面角的棱上有A，B兩點，，，，，且，則（）A.當時，直線與平面所成角的正弦值為B.當二面角的大小為時，直線與所成角為C.若，則三棱錐的外接球體積的為D.若，則二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】對A選項：當時，因為，，所以，所以直線與平面所成角為，又因為，所以，因為，，所以，所以，故A正確；對B選項：如圖，過A作，且，連接，，

則四邊形為正方形，所以，所以即為直線與所成角，因為，四邊形為正方形，有，所以，又因為，所以即為二面角的平面角，即，由、、且、平面，所以平面，又四邊形為正方形，所以，所以平面，又平面，所以由且四邊形為正方形，，所以，所以，即，即直線與所成角為，故B正確；對于D，如圖，作，且，則二面角的平面角為，不妨取，由，在中，易得，在中，由余弦定理得，，過C點作交線段的延長線于點O，則平面，過O點作，交線段的延長線于點H，連接，則為二面角的平面角，易得，，，所以，故D正確.對C選項：同選項D可知，如圖，分別取線段，的中點G，M，連接，過G點作平面的垂線，

則球心O必在該垂線上，設球的半徑為R，則，又的外接圓半徑，則，所以四面體的外接球的體積為，故C錯誤．故選：ABD.11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.若對任意，，總有，則是奇函數(shù)B.若對任意，，總有，則是偶函數(shù)C若對任意，，總有，則D.若對任意，，總有，則【答案】ACD【解析】因為對任意，，總有，所以令，得，令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因為對任意，，總有，所以令，得，所以，令，得，即，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B不正確；對于C選項，令，，得，由A選項得，又，所以解得，故C正確；對于D選項，令，，則，解得，令，，則，解得，由B選項得是奇函數(shù)，所以，故D正確．故選：ACD．12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，圓上任意一點處的切線交雙曲線于兩點M、N（）A.或2B.若與雙曲線左、右兩支相交，則的斜率的取值范圍是C.滿足的直線有且僅有一條D.為定值，且定值為2【答案】BD【解析】若焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，解得，當焦點在軸上，則漸近線方程為，所以,無解，故A錯誤，故雙曲線方程為，設切線方程為，則，聯(lián)立，要使與雙曲線左、右兩支相交，則需要，化簡可得，故，解得，故B正確，當直線有斜率時，設,則，且，則解得，當直線無斜率時，，代入雙曲線中可得，此時，故滿足的直線有2條，故C錯誤，代入以及可得所以，故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題13.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】若命題“，”是真命題，可得即可；易知在上單調遞增，所以，可得；又因為該命題是假命題，所以可得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.若直線和直線與圓四個交點構成正方形，則_________．【答案】7【解析】圓的圓心為，半徑為，由題意直線和直線平行，且與圓的四個交點構成正方形，則正方形的對角線為圓的直徑2，故正方形的邊長為，則可知圓心到兩直線的距離相等且為，圓心到的距離為：，解得同理可得，又，不妨設所以，故答案為：715.如圖，桌面上的無蓋正方體容器內裝有高度為的水，．現(xiàn)將容器繞著棱所在直線順時針旋轉，當容器中溢出的水剛好裝滿一個半徑為的半球形玻璃瓶時，容器內水面交棱于，且．若不考慮容器厚度及其他因素影響，則______．【答案】【解析】由題意可知當旋轉且水溢出后，剩余的水在正方體容器中形成一個三棱柱，故由長方體、棱柱與球的體積公式可知，解得．故答案為：16.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左支交于A，B兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經過點，則的離心率為______．【答案】【解析】法一、設點在第二象限．如圖，連接，．因為以為圓心，為半徑的圓經過點，所以．不妨設，則．由雙曲線的定義可得，．在中，由勾股定理得，即，整理得．①在中，由勾股定理得，即，整理得．②聯(lián)立①②解得，則雙曲線的離心率．法二、設點在第二象限．如圖，連接，．因為以為圓心，為半徑的圓經過點，所以．不妨設，則．由雙曲線的定義可得，，所以，即，整理得．①在中，；中，由余弦定理可得．因為，所以，整理得．②聯(lián)立①②可得，則雙曲線的離心率．故答案為：四、解答題17.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求m，n的值；（2）求使成立的實數(shù)a的取值范圍．解：（1）解法一：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，得，解得，經檢驗，時，是定義在上的奇函數(shù)．法二：是定義在上的奇函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，則，所以，又因為，得，所以，．（2）由（1）知，．因為是定義在上的奇函數(shù)，所以由，得，設，且，則，∵，∴，，，∴，∴，∴在上是增函數(shù)．所以，即，解得．故實數(shù)a的取值范圍是．18.某在建小區(qū)為了提高綠化率，創(chuàng)造更美好的生活環(huán)境，計劃再建一個四邊形花壇（四邊形）．已知米，．（1）若，米，求邊的長；（2）若，求花壇面積的最大值．解：（1）如圖，連接．因為，，所以是等邊三角形，所以，．又，所以在中，，，由余弦定理得，所以米．（2）如圖，連接，由（1）知是等邊三角形，．在中，設，由正弦定理得，即，所以．所以．因為，，所以當，即時，四邊形面積取得最大值，最大值為平方米，即花壇面積的最大值為平方米．19.如圖①所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角的大小為，得到如圖②所示的四棱錐．（1）求證：平面平面；（2）若Q為上一動點，且，當銳二面角的余弦值為時，求四棱錐的體積．（1）證明：因為垂直平分，則，，即，，且，，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可知：，，則為二面角的平面角，即．又因為，所以為等邊三角形．在中，因為，，，可得，則，所以．連接，因為為的中點，所以為等邊三角形．取的中點，連接，，則，，又因為平面平面，平面平面，平面，則平面，且平面，所以．故以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，可得，設，，則，解得，故，所以，．設平面的法向量為，則，令，則，則．設平面（即平面）的一個法向量為，則，令，則，可得，由題意可得，整理得，解得或（舍），所以．故，所以四棱錐體積為．20.已知函數(shù)，.（1）若的極大值為1，求實數(shù)a的值；（2）若，求證：.（1）解：的定義域為，.當時，，在上單調遞增，函數(shù)無極值；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得極大值，極大值為，解得.經驗證符合題意，故實數(shù)a的值為.（2）證明：當時，，故要證，即證.令，則，.令，，則，所以在上單調遞增，又因為，，所以，使得，即，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.又因為，即，所以，所以，即，故得證.21.已知正項遞增等比數(shù)列滿足是方程的兩根．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列依次為，規(guī)律是在和中間插入k項，所有插入的項構成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前60項的和．（1）解：設的公比為，因為是方程兩根，解方程得或，又因為為遞增等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的通項公式為．（2）解：因為所有插入的項構成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，又因為，，所以數(shù)列的前60項中含有的前10項，含有的前50項，所以數(shù)列的前60項和為．22.已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓上兩點滿足直線與在軸上的截距之比