材料力學(xué)（第2版）課件：壓桿穩(wěn)定

壓桿穩(wěn)定Columns壓桿穩(wěn)定

Columns9.1壓桿穩(wěn)定的概念9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)9.1壓桿穩(wěn)定的概念-引例受拉受壓等截面拉壓桿強(qiáng)度條件:加拿大魁北克大橋1900-1907第一次設(shè)計(jì)制造1907.8.29下弦桿失穩(wěn)垮塌源于簡單計(jì)算錯(cuò)誤1916.9.11支點(diǎn)懸孔脫落再次釀成事故9.1壓桿穩(wěn)定的概念-引例1922年，加拿大七大工程學(xué)院出資將倒塌過程中的所有殘骸一并買下，決定把這些鋼條打造成一枚枚戒指，發(fā)給之后的工程學(xué)院畢業(yè)生-“工程師之戒”。9.1壓桿穩(wěn)定的概念-引例問題探究一根寬20mm，厚1mm，長500mm的鋼板條，設(shè)其材料的許用應(yīng)力[s]=120MPa，能夠承受多大的軸向壓力？一根鋼皮尺可以承載兩只成年熊貓的體重的壓力？9.1壓桿穩(wěn)定的概念-引例在工程中有些構(gòu)件雖然具有足夠的強(qiáng)度，卻不一定能安全可靠地工作。穩(wěn)定性問題

構(gòu)件或零部件在某些受力形式(例如軸向壓力)下其平衡形式不會(huì)發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力稱為穩(wěn)定性。9.1壓桿穩(wěn)定的概念-穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡

隨遇平衡

不穩(wěn)定平衡（臨界狀態(tài)）9.1壓桿穩(wěn)定的概念-理想壓桿及其臨界載荷理想壓桿:材料絕對(duì)理想；軸線絕對(duì)直；壓力絕對(duì)沿軸線作用9.1壓桿穩(wěn)定的概念-理想壓桿及其臨界載荷

壓桿喪失直線形式平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱為屈曲。

當(dāng)壓桿的材料、尺寸和約束情況已經(jīng)確定時(shí)，臨界壓力是一個(gè)確定的值。因此可以根據(jù)桿件的實(shí)際工作壓力是否大于臨界壓力來判斷壓桿是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定。解決壓桿穩(wěn)定的關(guān)鍵問題是確定臨界壓力。9.1壓桿穩(wěn)定的概念-壓桿失穩(wěn)的特點(diǎn)

壓桿失穩(wěn)后，壓力的微小增加將引起彎曲變形的顯著增大，從而使桿件喪失承載能力。因失穩(wěn)造成的失效，可能導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)或機(jī)器的破壞。細(xì)長壓桿失穩(wěn)時(shí)，應(yīng)力并不一定很高，有時(shí)甚至低于比例極限。可見這種形式的失效，并非強(qiáng)度不足，而是穩(wěn)定性不夠。9.1壓桿穩(wěn)定的概念-壓桿失穩(wěn)的特點(diǎn)思考

2020年12月1日，中國航天科技集團(tuán)研制的嫦娥五號(hào)探測器在月球正面預(yù)選著陸區(qū)著陸。

探測器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中需要考慮哪些強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題？9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷設(shè)細(xì)長理想壓桿兩端為球鉸支座，如圖所示。設(shè)距原點(diǎn)為x的任意截面n-n

的撓度為w

，則彎矩?fù)锨€的近似微分方程式中I為壓桿橫截面的最小慣性矩令二階常系數(shù)齊次微分方程9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷微分方程二階常系數(shù)齊次微分方程的通解式中A，B為積分常數(shù)，由邊界條件確定

9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷邊界條件

若A=0(TrivialSolution)，直線狀態(tài)下的平衡9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷n=0(TrivialSolution)

無載荷n=1A代表中點(diǎn)的撓度，可以是任意值-隨遇平衡-臨界載荷9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷n=1n=2n=39.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷n=1

兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力

Fcr

的計(jì)算公式，也稱為歐拉公式歐拉在1744年出版的變分法專著中，曾得到細(xì)長壓桿失穩(wěn)后彈性曲線的精確描述及壓曲載荷的計(jì)算公式9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷例題1：

兩端球鉸鉸支壓桿，長l=1.2m，材料為Q235鋼，彈性模量E=206GPa。已知橫截面的面積A=900mm2，形狀為正方形，求桿的臨界力。(壓桿滿足歐拉公式計(jì)算條件*）解設(shè)該桿橫截面邊長為a,則慣性矩該桿的臨界壓力9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷例題擴(kuò)展思考

兩端球鉸鉸支壓桿，長l=1.2m，材料為Q235鋼，彈性模量E=206GPa。已知橫截面的面積A=900mm2，截面形狀為長方形，長45mm，寬20mm，該如何計(jì)算其臨界力？此時(shí)的慣性矩

I應(yīng)該如何選擇？9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-其他支座下細(xì)長壓桿的臨界載荷

不同的桿端約束，壓桿受到的約束程度不同，桿的抗彎能力也就不同，所以臨界力的表達(dá)式也不同兩端固定的壓桿的臨界壓力為:一端鉸支另一端固定的壓桿的臨界壓力為:兩端鉸支的壓桿的臨界壓力為:一端固定，一端自由的壓桿的臨界壓力:9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-其他支座下細(xì)長壓桿的臨界載荷典型理想約束條件下細(xì)長等截面中心受壓直桿臨界力的歐拉公式CD撓曲線拐點(diǎn)9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-其他支座下細(xì)長壓桿的臨界載荷

實(shí)際問題中壓桿的約束還可能有其他情況，可用不同的長度因數(shù)

m

來反映，這些長度因數(shù)的值可從相關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)或規(guī)范中查到。

應(yīng)當(dāng)注意，細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式中，I是橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩。

若桿端在各個(gè)方向的約束情況都相同(如球形鉸等)，則

I

應(yīng)取最小的形心主慣性矩。

若桿端在不同方向的約束情況不同(如柱形鉸)，則

I

應(yīng)按計(jì)算的撓曲方向選取橫截面對(duì)其相應(yīng)中性軸的慣性矩。9.2細(xì)長壓桿的臨界載荷-其他支座下細(xì)長壓桿的臨界載荷本章思考與作業(yè)-1

推導(dǎo)下端固定，上端自由，并在自由端受軸向壓力作用的等直細(xì)長壓桿臨界力Fcr的歐拉公式。提示：由力

F所引起桿的任意橫截面x上的彎矩?fù)锨€微分方程：9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-存在的疑問

問題1：是不是所有受壓桿件都會(huì)存在穩(wěn)定性問題？問題2：上述歐拉公式是不是對(duì)所有兩端鉸支的受壓桿件都成立？問題3：歐拉公式推導(dǎo)過程中的撓曲線近似微分方程的前提是什么？9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-柔度臨界應(yīng)力

由慣性半徑公式：引入

l

是一個(gè)量綱為1的量，稱為柔度或長細(xì)比l

集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對(duì)臨界應(yīng)力scr的影響

臨界應(yīng)力公式改寫為:9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-對(duì)柔度的再理解課堂思考題如圖所示3根壓桿的材料及截面都相同，那一種情況的壓桿最容易發(fā)生失穩(wěn)？說明理由。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍歐拉公式是由彎曲小變形的微分方程導(dǎo)出線彈性，即材料符合胡克定律，則歐拉公式才正確取歐拉公式的適用范圍通常稱滿足的壓桿為大柔度壓桿或細(xì)長壓桿線彈性小變形9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍

lp的值與材料的性質(zhì)有關(guān)，材料不同，lp

的值也就不同。Q235E=206GPasp≈

200MPa

則用Q235鋼制成的壓桿只有當(dāng)lp≥100時(shí)，才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界力或臨界應(yīng)力。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍

壓桿的柔度小于lp時(shí)，臨界應(yīng)力scr

大于材料的比例極限sp

，這時(shí)歐拉公式已不能使用，屬于超比例極限的壓桿穩(wěn)定問題。工程中對(duì)這類壓桿的計(jì)算，一般使用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。兩種常用的經(jīng)驗(yàn)公式：直線公式和拋物線公式。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍1直線公式

a，b

與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)材料a/MPab/MPaQ235鋼(

s=235,b

372)3041.12優(yōu)質(zhì)碳鋼(

s=306,b

471)4612.57

其他材料的參數(shù)參見教材9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍問題：臨界應(yīng)力scr

的范圍？

對(duì)塑性材料，按直線公式算出的應(yīng)力最高只能等于ss，否則材料已經(jīng)屈服，成了強(qiáng)度問題，即要求

令ls為使用直線公式的最小柔度9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍

柔度滿足ls≤l≤lp

的壓桿，稱為中柔度桿或中長壓桿。也就是說，中長壓桿不能用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力，但可以用直線公式計(jì)算。對(duì)于脆性材料只需把以上各式中的ss改為sb，ls改為lb。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍2拋物線公式*

我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中采用如下拋物線經(jīng)驗(yàn)公式Q235鋼16Mn鋼

計(jì)算臨界應(yīng)力的拋物線經(jīng)驗(yàn)公式統(tǒng)一寫為：

a1

和b1為與材料有關(guān)的常數(shù)拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-歐拉公式的適用范圍3短粗壓桿

柔度很小的短柱，受壓時(shí)不可能像大柔度桿那樣出現(xiàn)彎曲變形，其失效原因是應(yīng)力達(dá)到屈服極限(塑性材料)或強(qiáng)度極限(脆性材料)。很明顯，這是強(qiáng)度問題。所以，對(duì)塑性材料，l≤ls時(shí)，臨界應(yīng)力scr=ss。對(duì)脆性材料l

≤lb時(shí)，臨界應(yīng)力scr=sb

。

對(duì)于l

<ls或

l<lb的壓桿，稱為小柔度桿或粗短壓桿。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-臨界應(yīng)力總圖小柔度桿中柔度桿大柔度桿細(xì)長桿—發(fā)生彈性屈曲(

p)中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲(

s

p)粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(

s)1、計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，先計(jì)算柔度，判斷所用公式。2、對(duì)局部面積有削弱的壓桿，計(jì)算臨界力、臨界應(yīng)力時(shí)，其截面面積和慣性距按未削弱的尺寸計(jì)算。但進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)需按削弱后的尺寸計(jì)算。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-例題例題2：Q235鋼制成的矩形截面桿如圖所示，在A，B兩處為銷釘連接。已知材料彈性模量E=206GPa，l=2300mm，b=40mm，h=60mm。求此桿的臨界載荷。9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-例題E=206GPa，l=2300mm，b=40mm，h=60mm正視圖平面內(nèi)俯視圖平面內(nèi)9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-例題E=206GPa，l=2300mm，b=40mm，h=60mm由于：所以壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲壓桿屬于細(xì)長桿，則臨界載荷用歐拉公式計(jì)算9.3歐拉公式的適用范圍與經(jīng)驗(yàn)公式-思考與作業(yè)本章思考與作業(yè)-2找一根30cm或50cm的鋼尺，測量其截面尺寸，并根據(jù)穩(wěn)定性計(jì)算方法，計(jì)算其臨界載荷，有條件的情況下，可以實(shí)測驗(yàn)證。根據(jù)所學(xué)的穩(wěn)定性計(jì)算方法，請(qǐng)完成以下工作：9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-穩(wěn)定安全因數(shù)法對(duì)各種柔度的壓桿，求出相應(yīng)的臨界應(yīng)力，乘以橫截面面積A后便得臨界壓力Fcr。與實(shí)際工作壓力F之比稱為壓桿的工作安全因數(shù)n，它應(yīng)大于或等于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st

，即

穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st一般要高于強(qiáng)度安全因數(shù)。這是因?yàn)榭紤]到桿件的初彎曲、壓力偏心、材料不均勻和支座缺陷等因素，它們都嚴(yán)重地影響壓桿的穩(wěn)定，降低壓桿的臨界壓力。壓桿柔度l

越大，其影響也越大。穩(wěn)定安全因數(shù)一般可在設(shè)計(jì)手冊(cè)或規(guī)范中查到。9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-穩(wěn)定安全因數(shù)法例題3：

兩端球鉸鉸支等截面圓柱壓桿，長度l=703mm，直徑d=45mm，材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼，ss=306MPa，sp=280MPa，E=210GPa。最大軸向壓力Fmax=41.6kN，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st=10。試校核其穩(wěn)定性。9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-穩(wěn)定安全因數(shù)法兩端球鉸鉸支等截面圓柱壓桿，長度l=703mm，直徑d=45mm，材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼，ss

=306MPa，sp

=280MPa，E=210GPa。最大軸向壓力Fmax=41.6kN，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st=10。試校核其穩(wěn)定性。分析：先算出柔度，然后根據(jù)柔度選擇公式校核求lp(2)求l兩端鉸支圓截面9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-穩(wěn)定安全因數(shù)法兩端球鉸鉸支等截面圓柱壓桿，長度l=703mm，直徑d=45mm，材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼，ss

=306MPa，sp

=280MPa，E=210GPa。最大軸向壓力Fmax=41.6kN，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st=10。試校核其穩(wěn)定性。(3)求ls查表得直線公式a=461MPab=2.57MPa中柔度桿(4)求臨界壓力(5)工作安全因數(shù)9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-壓桿的合理設(shè)計(jì)1.選擇合理的截面形狀

在保持橫截面面積不變的情況下，盡可能地把材料放在遠(yuǎn)離截面形心處，可以取得較大的I和i值，從而提高臨界力。

當(dāng)然，也不能為了取得較大的I和i，就無限制地增大環(huán)形截面的直徑并使其壁厚減小，這將使其因壁厚太薄而引起局部失穩(wěn)，發(fā)生局部折皺的危險(xiǎn)，反而降低了穩(wěn)定性。9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-壓桿的合理設(shè)計(jì)2.改變壓桿的約束條件

改變壓桿的支承條件能直接影響臨界力的大小。例如將長為l的兩端鉸支的細(xì)長壓桿，在其中點(diǎn)增加1個(gè)鉸支座，或把壓桿的兩端改為固定端，則相當(dāng)長度就由原來的ml變?yōu)閙l/2，臨界力是原來的4倍?？梢娫黾訅簵U的約束，使其不容易發(fā)生彎曲變形，從而提高壓桿的穩(wěn)定性。9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-壓桿的合理設(shè)計(jì)3.合理選擇材料

細(xì)長壓桿的臨界力由歐拉公式計(jì)算，故臨界力的大小與材料的彈性模量有關(guān)。由于各種鋼材的E值大致相等，所以選用優(yōu)質(zhì)鋼材或普通鋼材，對(duì)細(xì)長壓桿臨界力來說并無很大差別。對(duì)于中長壓桿，無論是經(jīng)驗(yàn)公式還是理論分析，都說明臨界力與材料的強(qiáng)度有關(guān)。優(yōu)質(zhì)鋼材的選用在一定程度上可以提高臨界力的數(shù)值。至于粗短壓桿，本來就是強(qiáng)度問題，優(yōu)質(zhì)鋼材的強(qiáng)度高，其優(yōu)越性自然是明顯的。9.4壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)-壓桿的合理設(shè)計(jì)本章思考與作業(yè)-3

如圖所示結(jié)構(gòu)，材料為Q235鋼。已知F=25kN，a

=30°，a=1250mm，l=550mm，d=20mm，E

=206GPa，[s

]=160MPa，[n]st=2。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。提示：(1)梁需要滿足強(qiáng)度要求，且為拉壓與彎曲的組合變形，要分析危險(xiǎn)