人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重點壓軸題專練：投球問題一一二次函數(shù)的應(yīng)用

專題22.6投球問題一一二次函數(shù)的應(yīng)用

?典例分析

【典例1】擲實心球是某市中考體育考試的選考項目，小強為了解自己實心球的訓(xùn)練情況，他嘗試利用數(shù)學(xué)

模型來研究實心球的運動情況，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在一次投擲中，實心球從y軸上的點

4(0,2)處出手，運動路徑可看作拋物線的一部分，實心球在最高點B的坐標(biāo)為(4,3.6),落在x軸上的點C處.

(1)求拋物線的解析式；

(2)某市男子實心球的得分標(biāo)準(zhǔn)如表:

得分10095908580767066605040302010

擲遠(米)12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2

請你求出小強在這次訓(xùn)練中的成績，并根據(jù)得分標(biāo)準(zhǔn)給小強打分；

(3)若拋物線經(jīng)過”(爪,月)，N(m+2,y2)兩點，拋物線在M，N之間的部分為圖象H(包括M,N兩點)，

圖象H上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為義，求小的值.

【思路點撥】

(1)易得拋物線的頂點坐標(biāo)為8(4,3.6),用頂點式表示出拋物線的解析式，進而把4(0,2)的坐標(biāo)代入可得二

次函數(shù)的比例系數(shù)，于是可求出二次函數(shù)的解析式；

(2)取函數(shù)值為0,看球落地時久的值為多少，根據(jù)點C的位置，x取正值即為球拋出去的距離，根據(jù)所給表

格可判斷應(yīng)得分數(shù)；

2

(3)根據(jù)題意得出月=—O,lm?+O.8TM+2,y2=—0.1m+0.4m+3.2,進而根據(jù)m的范圍，分四種情況

討論，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【解題過程】

(1)解：由題意可得，拋物線的頂點B的坐標(biāo)為(4,3.6),

設(shè)該拋物線的解析式為y=a(x-4)2+3.6(aW0),

,?,拋物線經(jīng)過點A(0,2),

???a(0-4)2+3.6=2,

???a=—0.1,

?,?該拋物線的解析式為：y=-0.1(%-4)2+3.6=-0.1%2+0.8%+2；

(2)解：當(dāng)y=0時，—0.1(%-4尸+3.6=0,

解得：%】=10,x2=-2,

???點C在無軸的正半軸，

%2=—2舍去，

X]=10,即小強在這次訓(xùn)練中的成績?yōu)?0米，

???9.6<10<11.2,

???小強的得分是90分；

(3)解：??,拋物線經(jīng)過兩點N(m+2,y2)f

2

???yr=-0.1m+0.8m+2,

2

y2——0.1m+0.4m+3.2,

由題意可知，圖象”上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為￡

??.有以下四種情況：

即：(―dim?+o.4m+3.2)—(—0.1m2+0.8m+2)=|,

解得：m=2.5,

這與04THV2相矛盾，故舍去;

解得：m=4+四或m=4—V2,

??,zn=4+&與24zn<3相矛盾，故舍去,

.?.771=4—V2;

解得：m=2+&或m=2—V2,

,?,租=2一2與34mV4相矛盾，故舍去，

m=2+V2；

④如圖，當(dāng)加之4時，y的值隨工的值的增大而減小,

依題意，yi-y2=->

即：(―O.lni?+o.8m+2)—(—0.1m2+0.4m+3.2)=

解得：m=3.5,

這與m24相矛盾，故舍去；

綜上所述：m=4-&或m=2+四.

?學(xué)霸必刷

1.（24-25九年級上?全國?單元測試）如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用拋物

線y=4%-1%2刻畫，斜坡可以用直線y=刻畫.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.小球洛地點與點0的水平距禺為7m

B.當(dāng)小球拋出高度達到7.5m時，小球與點。的水平距離為3m

C.小球與點。的水平距離超過4m時呈下降趨勢

D.小球與斜坡的距離的最大值為mm

2.（2024?遼寧鞍山.二模）如圖，小明站在原點處，從離地面高度為1m的點A處拋出彈力球，彈力球在2

處著地后彈起，落至點C處，彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一

次著地前拋物線的解析式為y=a（x-27+2,彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大

高度的一半，如果在地上擺放一個底面半徑為0.5m,高為0.5m的圓柱形筐，筐的最左端距離原點為n米，若

要彈力球從B點彈起后落入筐內(nèi)，則n的值可以是（）

A.7B.9C.10D.8

3.（23-24九年級上?河北邢臺?期中）如圖，嘉嘉用計算機編程模擬拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離,

當(dāng)彈跳球以某種特定的角度從點P（O,1）處拋出后，彈跳球的運動軌跡是拋物線3其最高點的坐標(biāo)為（4,5）.彈

跳球落到斜面上的點力處反彈后，彈跳球的運動軌跡是拋物線//,且開口大小和方向均與L相同，但最大高

度只是拋物線L最大高度的|.

（1）拋物線L的解析式為;

（2）若點4與點P的高度相同，且點4在拋物線17的對稱軸的右側(cè)，則拋物線〃的對稱軸為直線

4.（23-24九年級上.浙江湖州.期末）如圖，乒乓球桌桌面是長AB=2.7m,寬4。=1.5m的矩形，E,F分

別是力B和CD的中點，在E,9處設(shè)置高HE=0.15m的攔網(wǎng).一次運動員在4D端發(fā)球，在P點擊打乒乓球后

經(jīng)過桌面。點反彈后的運行路徑近似二次項系數(shù)a=的拋物線的一部分.已知本次發(fā)球反彈點。在到桌

面底邊4。的距離為0.1m,到桌面?zhèn)冗?8的距離為0.1m處.若乒乓球沿著正前方飛行（垂直于BC）,此時

球在越過攔網(wǎng)時正好比攔網(wǎng)上端GH高0.1m,則乒乓球落在對面的落點Q到攔網(wǎng)EF的距離為m；若乒

乓球運行軌跡不變，飛行方向從。點反彈后飛向?qū)Ψ阶烂?，落點Q在距離8c為0.2m的Q點處，此時QC的長度

為m.

5.(2024?貴州貴陽?一模)小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋物線,

以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標(biāo)系，籃球在O點正上方1.8m的點P處出手，籃球的高度y(m)

與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=—+%+以

8

(1)求C的值；

(2)求籃球在運動過程中離地面的最大高度；

(3)小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，己知小亮跳起后，手離地面的最大高度為=

2.8m,則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離.

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）海豚是生活在海洋里的一種動物，它行動敏捷，彈跳能力強.海豚表演是

武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一.在進行跳水訓(xùn)練時，海豚身體（看成一點）在空中的運行路

線可以近似看成拋物線的一部分.如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點。為原點，以。與海豚落水點所在的

直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳

點。的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=a/+2%,海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運

動路徑）飼養(yǎng)員放在空中的離O點水平距離為3m,離水面高度為4.5m的小球.

圖1圖2

（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?

（2）求當(dāng)海豚離水面的高度是半m時，距起跳點。的水平距離是多少m?

（3）在海豚起跳點與落水點之間漂浮著一個截面長CD=6m,高DE=4m的泡沫箱，若海豚能夠順利跳過

泡沫箱（不碰到），求點0橫坐標(biāo)〃的取值范圍.

7.（23-24九年級上.湖北武漢.階段練習(xí)）為適應(yīng)2024年武漢市體育中考改革，學(xué)校購入一臺羽毛球發(fā)球

機，羽毛球飛行路線可以看作是拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)球機放置在球場中央離

球網(wǎng)水平距離3m的點。處，球從點。正上方1.15m的4處發(fā)出，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿

足關(guān)系式y(tǒng)=a（x-4）2+h.小明同學(xué)站在球網(wǎng)另一側(cè)，距離球網(wǎng)水平距離3m（如圖所示）,在頭頂0.6m至

0.8m處稱為有效擊球高度.（球網(wǎng)高度不影響有效擊球）

（1）若h=2.75,

①求y與久的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量》的取值范圍）；

②如果小明的身高為1.65m,試判斷他能否在原地有效擊球？

（2）如果小明的身高為1.75m,并且能在原地有效擊球，直接寫出a的取值范圍.

8.（23-24九年級上?河北秦皇島?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，從原點0向右上方沿拋物線L發(fā)出一個小球

P,當(dāng)小球尸達到最大高度3時，小球P移動的水平距離為2.

x

（1）求拋物線工的函數(shù)解析式；

（2）求小球P在無軸上的落點坐標(biāo)；

（3）在無軸上的線段4B處，豎直向上擺放著若干個無蓋兒的長方體小球回收箱，已知。4=3,且每個回收

箱的寬、高分別是0.5、0.3,當(dāng)小球P恰好能落入回收箱內(nèi)（不含邊緣）時，求豎直擺放的回收箱的個數(shù).

9.（2024.河南漠河.二模）2023年10月7日晚，杭州第19屆亞運會女子排球比賽落幕.中國女排在決賽

中以3:0擊敗日本隊，成功衛(wèi)冕，斬獲隊史亞運第9冠.愛思考的小芳在觀看比賽時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：

排球被墊起后，沿弧線運動，運動軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進行了實踐探

究.

經(jīng)實地測量可知，排球場地長為18m,球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

4為擊球點.記排球運動過程中距地面的豎直高度為y（單位：m）,距擊球點的水平距離為x（單位：m）.

斗

球網(wǎng)

4，

9m'9iii>1x

左邊界右邊界

小華第一次發(fā)球時，測得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表:

水平距離x/m04681112

豎直高度y/m2.002.712.802.712.242.00

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離》近似滿足的函數(shù)關(guān)系式.

（2）通過計算，判斷小華這次發(fā)球能否過網(wǎng)，并說明理由.

（3）小華第二次發(fā)球時，假設(shè)她只改變擊球點高度，排球運動軌跡的拋物線形狀不變，在點。處上方擊球,

既要過球網(wǎng)，又不出邊界（排球壓線屬于沒出界）時，問小華的擊球點高度九（單位：m）的取值范圍是多

少？

10.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）乒乓球是我國國球，球臺長為2.8m,中間處球網(wǎng)的高度為1.5dm.現(xiàn)有一

臺乒乓球發(fā)球器，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條直線，從第一次接觸臺面到第

二次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線，乒乓球第一次接觸臺面在球網(wǎng)左側(cè)，越過球網(wǎng)（擦網(wǎng)不影響

球運動軌跡）后，第二次接觸臺面在球網(wǎng)右側(cè)為成功發(fā)球.乒乓球大小忽略不計.如圖，當(dāng)發(fā)球器放在球

臺左端時，通過測量得到球距離臺面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）

的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示:

x(dm)02468101214

y(dm)3.362.521.680.8401.402.403

（1）直接寫出球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面時y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（寫出自變量的取值范圍）

（2）求乒乓球第二次接觸臺面時與發(fā)球器出口的水平距離；

（3）發(fā)球器有一個滑軌，可以讓發(fā)球口向右平移，若要成功發(fā)球，發(fā)球口最多向右平移多少dm?

11.（23-24九年級上?河北唐山?階段練習(xí)）在嘉嘉的一次投籃中，球出手時離地面高2米,與籃圈中心的

水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米.籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心

（2）若出手的角度、力度和高度都不變的情況下，求嘉嘉朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃才能將

籃球投入籃圈中？

（3）若出手的角度、力度和高度都發(fā)生改變的情況下，但是拋物線的頂點等其他條件不變，求嘉嘉出手的

高度需要增加多少米才能將籃球投入籃圈中？

（4）若出手的角度、力度都改變，出手高度不變，籃圈的坐標(biāo)為（6,3.44）,球場上方有一組高6米的電線,

要想在籃球不觸碰電線的情況下，將籃球投入籃圈中，直接寫出二次函數(shù)解析式中。的取值范圍.

12.(2024.貴州貴陽.一模)如圖是身高為1.75m的小明在距籃筐4m處跳起投籃的路線示意圖，籃球運行軌

跡可近似看作拋物線的一部分，球在小明頭頂上方0.25m的A處出手，在距離籃筐水平距離為1.5m處達到

最大高度3.5m,最終投入籃筐所在的B內(nèi).以小明起跳點。為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求籃球運行軌跡所在拋物線的表達式；

(2)當(dāng)小明按照如圖方式投籃出手時，小剛在小明與籃筐之間跳起防守，已知小剛最高能摸至U2.7m,則小

剛與小明的距離在什么范圍內(nèi)才能在空中截住籃球？

(3)當(dāng)小明不起跳直接投籃時，籃球運動的拋物線形狀與跳起投籃時相同.若他想投中籃筐，則應(yīng)該向前

走多遠？(投籃時，球從下方穿過籃筐無效)

13.（2024?浙江?模擬預(yù)測）籃球是一項廣受喜愛的運動.學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，小江同學(xué)打籃球時發(fā)現(xiàn)，籃

球投出時在空中的運動可近似看作一條拋物線，于是建立模型，展開如下研究：

如圖，籃框距離地面3m,某同學(xué)身高2m,站在距離籃球架L=4m處，從靠近頭部的。點將球正對籃框投

出，球經(jīng)過最高點時恰好進入籃框，球全程在同一水平面內(nèi)運動，軌跡可看作一條拋物線C.不計籃框和球

的大小、籃板厚度等.

（1）求拋物線C的表達式；

（2）研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球擊在籃框上方0.2m及以內(nèi)范圍的籃板上時，球會打板進框.若該同學(xué)正對籃框，改用

跳投的方式，出手點。位置升高了0.5m,要能保證進球，求乙的取值范圍.（計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

14.(2024?貴州黔西?一模)如圖，一小球M從斜坡04上的。點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分,

斜坡可以用一次函數(shù)y=表示，若小球到達的最高點的坐標(biāo)為(4,8),解答下列問題：

(1)求拋物線的表達式；

(2)求小球M在飛行的過程中離斜坡04的最大高度(垂直于地面)；

(3)將小球的運動路線所在拋物線平移得到拋物線y=a(x-%+k(a豐0),當(dāng)平移后的拋物線與直線。4

僅有一個交點，且交點在線段04上時，%的取值范圍是

15.（2024.河南周口?模擬預(yù)測）如圖，排球運動場的長為18m,球網(wǎng)在場地中央，高度為2.24m,排球在

空中的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分.小樂在場地左側(cè)邊界處（距球網(wǎng)7m）練習(xí)發(fā)球，某次發(fā)球，

擊球點的高度為2m,當(dāng)排球飛行的水平距離為5m時達到最大高度2.5m.小樂同學(xué)建立了如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系（1個單位長度表示1m）.

r球網(wǎng)

不

2.5m2.24m

!—1---------------------------------------?

Ox

（1）求此拋物線的解析式（不寫自變量的取值范圍）.

（2）通過計算判斷此球是否能夠過網(wǎng).若能過網(wǎng)，請進一步判斷是否會出界.

（3）小樂繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，要使球既能過網(wǎng)又不出界，請直接寫出發(fā)球點距離球網(wǎng)的

距離d的取值范圍.（結(jié)果保留根號）

16.（2024.河南濮陽?二模）濮陽雜技是一項非常古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).起源于春秋，興盛于明清，發(fā)展于

現(xiàn)代，以功力深厚、技藝精湛著稱于世.如圖（1）,“空中飛人”是雜技表演的壓軸節(jié)目，表演驚險刺激，

極具觀賞性，深受觀眾好評.

如圖（2）,演員從浪橋的旋轉(zhuǎn)木梯點尸處拋出（將身體看成一點，身體擺動忽略不計）飛到吊下的平臺4B

上，其飛行路線可看作是拋物線的一部分.下面有一張平行于地面的保護網(wǎng)MN,以保護表演的演員安全.建

立如圖的平面直角坐標(biāo)系，已知：點A的坐標(biāo)為（0,8）,OC=11,5m,CE=2m,EF=|&m,乙FEC=135°,

AB=lm.

圖⑴圖⑵

（1）當(dāng)拋物線過點B,且與y軸交于點H（0,6）時，求出拋物線的表達式;

（2）在（1）的條件下，若點N的坐標(biāo)為（8,習(xí)，為使演員在演出時不受傷害，求保護網(wǎng)（線段MN）的

長度至少為多少米;

（3）設(shè)該拋物線的關(guān)系式為y=a/—8a無+c,拋射點尸不變，為保證演員表演時落在平臺48上，請直

接寫出a的取值范圍.

17.(2024.河北邯鄲?模擬預(yù)測)將小球(看作一點)以速度%(m/s)豎直上拋，上升速度隨時間推移逐漸

減少直至0,此時小球達到最大高度，小球相對于拋出點的高度y(m)與時間t(s)的函數(shù)解析式為y=at2+

Vit(a豐0),若上升的初始速度%=8m/s,且當(dāng)t=1時，小球達到最大高度.

(1)求小球上升的高度y與時間t的函數(shù)關(guān)系式(不必寫范圍)，并寫出小球上升的最大高度；

(2)向上拋出小球時再讓小球在水平方向上勻速運動，且速度為發(fā)現(xiàn)小球運動的路線為一拋物

線，其相對于拋出點的高度y(m)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式與(1)中的解析式相同.在如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系中，y軸表示小球相對于拋出點的高度，x軸表示小球距拋出點的水平距離.

①若=4m/s,當(dāng)±=凱寸，小球的坐標(biāo)為，小球上升的最高點坐標(biāo)為；

②在①的條件下求小球上升的高度y與小球距拋出點的水平距離比之間的函數(shù)關(guān)系式；

③在小球的正前方的墻上有一高1m的小窗戶PQ,其上沿P的坐標(biāo)為(4,3),若小球恰好能從窗戶中穿過(不

包括恰好擊中點P,Q,墻厚度不計)，請直接寫出小球的水平速度外的取值范圍.

18.（2024?山西?模擬預(yù)測）學(xué)科實踐

問題情境：

某學(xué)校舉辦了校園科技節(jié)活動，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神，科學(xué)小組的同學(xué)自制了一個小型投石機，并在

校園科技節(jié)主題活動當(dāng)天進行投石試驗展示.

試驗步驟：

第一步：如圖，在操場上放置一塊截面為A。。。的木板，該木板的水平寬度（。。=5米，豎直高度CD=0.5

米，將投石機固定在點。處，緊貼木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墻；

第二步：利用投石機將石塊（石塊大小忽略不計）從點A處拋出，石塊飛行到達最高點后開始下降，最終落

地，其中點A到地面的高度04=0.3米，測得BC=0.7米.

試驗數(shù)據(jù)：

科學(xué)小組的同學(xué)借助儀器得到石塊飛行過程中的一組數(shù)據(jù)：石塊飛到最高點尸時離地面的高度PE為1.5米,

飛行的水平距離。E為4米.

問題解決：

已知石塊的飛行軌跡是拋物線的一部分，以。為原點，OG所在直線為無軸，。4所在直線為y軸，建立平面

直角坐標(biāo)系.

（1）求石塊飛行軌跡對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）在試驗時，石塊越過了城墻后落地，求城墻的厚度BF的取值范圍；

拓展應(yīng)用：

（3）如圖，在進行第二次試驗前，小組同學(xué)準(zhǔn)備在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木桿

用于瞄準(zhǔn)，為確保木桿不會被石塊擊中，則這支木桿的最大長度是多少？

專題22.6投球問題——二次函數(shù)的應(yīng)用

?典例分析

【典例1】擲實心球是某市中考體育考試的選考項目，小強為了解自己實心球的訓(xùn)練情況，他嘗試利用數(shù)學(xué)

模型來研究實心球的運動情況，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在一次投擲中，實心球從y軸上的點

4(0,2)處出手，運動路徑可看作拋物線的一部分，實心球在最高點B的坐標(biāo)為(4,3.6),落在x軸上的點C處.

(1)求拋物線的解析式；

(2)某市男子實心球的得分標(biāo)準(zhǔn)如表:

得分10095908580767066605040302010

擲遠(米)12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2

請你求出小強在這次訓(xùn)練中的成績，并根據(jù)得分標(biāo)準(zhǔn)給小強打分;

(3)若拋物線經(jīng)過〃(爪,乃)，可(爪+2,%)兩點，拋物線在M,N之間的部分為圖象H(包括N兩點)，

圖象H上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為點求小的值.

【思路點撥】

(1)易得拋物線的頂點坐標(biāo)為8(4,3.6),用頂點式表示出拋物線的解析式，進而把4(0,2)的坐標(biāo)代入可得二

次函數(shù)的比例系數(shù)，于是可求出二次函數(shù)的解析式；

(2)取函數(shù)值為0,看球落地時光的值為多少，根據(jù)點C的位置，x取正值即為球拋出去的距離，根據(jù)所給表

格可判斷應(yīng)得分數(shù)；

2

(3)根據(jù)題意得出力=—0.1n?2+o.8?n+2,y2——0.1m+0.4m+3.2,進而根據(jù)zn的范圍，分四種情況

討論，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【解題過程】

(1)解：由題意可得，拋物線的頂點B的坐標(biāo)為(4,3.6),

設(shè)該拋物線的解析式為y=a(x-4)2+3.6(a豐0),

???拋物線經(jīng)過點力(0,2),

???a(0-4)2+3.6=2,

a--0.1,

?,?該拋物線的解析式為：y=—0.1(%-4)2+3.6=-O.lx2+0.8%+2；

(2)解：當(dāng)y=0時，—0.1(%—4)2+3.6=0,

解得：%】=10,x2=-2,

???點C在%軸的正半軸,

%2=一2舍去，

??.X]=10,即小強在這次訓(xùn)練中的成績?yōu)?0米，

???9.6<10<11.2,

???小強的得分是90分；

(3)解：??,拋物線經(jīng)過兩點N(m+2,y2)f

2

???yr——0.1m+0.8m+2,

2

y2——0.1m+0.4m+3.2,

由題意可知，圖象H上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為g

??.有以下四種情況：

即：(-0.1m2+0.4m+3.2)-(-0.1m2+0.8m+2)=",

解得：m=2.5,

這與THV2相矛盾，故舍去;

解得：m=4+四或m=4—V2,

??,zn=4+&與24zn<3相矛盾，故舍去,

.?.771=4—V2;

解得：m=2+&或m=2—V2,

,?,租=2一2與34mV4相矛盾，故舍去，

m=2+V2；

④如圖，當(dāng)加之4時，y的值隨工的值的增大而減小,

依題意，yi-y2=『

即：（一O.lzn?+o.8m+2）—（—0.1m2+0.4m+3.2）=

解得：m=3.5,

這與根之4相矛盾，故舍去；

綜上所述：m=4-四或zn=2+V2.

?學(xué)霸必刷

1.（24-25九年級上?全國?單元測試）如圖，將一個小球從斜坡的點。處拋出，小球的拋出路線可以用拋物

線y=4x-]/刻畫，斜坡可以用直線y=之久刻畫.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.小球洛地點與點0的水平距禺為7m

B.當(dāng)小球拋出高度達到7.5m時，小球與點。的水平距離為3m

C.小球與點0的水平距離超過4m時呈下降趨勢

D.小球與斜坡的距離的最大值為

【思路點撥】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，令4%—=:久，解得%1=0,%2=7,即可判斷A；把y=7.5代入y=4%—

得4%一]久2=7.5,求解即可判斷B；將拋物線解析式化為頂點式即可判斷C；設(shè)拋物線上一點/的坐標(biāo)為

（見4。一評），作ZB_L%軸交直線y=1%于則表示出結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D,

熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：令4%一工%2=工％,解得久1=0,%2=7,

.??小球落地點與點O的水平距離為7m,故A正確，不符合題意;

把y=7.5代入y=4x--x2W4x--%2=7.5,

解得：=3,&=5,

???當(dāng)小球拋出高度達到7.5m時，小球與點。的水平距離為3m或5m,故B錯誤，符合題意;

Vy=4x—|x2=—1(x—4)2+8,

???拋物線的對稱軸為直線％=4,

0,

2

當(dāng)％>4時，y隨工的增大而減小，

二小球與點。的水平距離超過4m時呈下降趨勢，故C正確，不符合題意；

設(shè)拋物線上一點4的坐標(biāo)為(a,4a-fa?),

作ABlx軸交直線y=3x于B,則

8y/m

7

6

5

4

3

2

1

o

12345678^/m；

...111,71249

??AnB=4a—7CL—CL=—7CLH—CL=—7

22222+丁

1

—2<0,

...當(dāng)a=：時，4B有最大值，最大值為日,

小球與斜坡的距離的最大值為?m,故D正確，不符合題意;

8

故選：B.

2.(2024?遼寧鞍山.二模)如圖，小明站在原點處，從離地面高度為1m的點A處拋出彈力球，彈力球在2

處著地后彈起，落至點C處，彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一

次著地前拋物線的解析式為y=a(x-2)2+2,彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大

高度的一半，如果在地上擺放一個底面半徑為0.5m,高為0.5m的圓柱形筐，筐的最左端距離原點為n米，若

要彈力球從B點彈起后落入筐內(nèi)，則幾的值可以是()

【思路點撥】

本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，建立直角坐標(biāo)系是解題

的關(guān)鍵，根據(jù)點力的坐標(biāo)求出第一次著地前的拋物線解析式，可得到點8的坐標(biāo)，再根據(jù)2處著地后彈起的

最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物

線，可得到第二次著地前拋物線的解析式，再根據(jù)圓柱形的高為0.5m,可求出當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最左

端、最右端時，n的值，進而得到n的取值范圍，從而得到答案.

【解題過程】

解：由題可知：彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=a(x-2尸+2,且過點力(0,1),代入解析式中得:

1=a(0-2/+2,

?*.CL=，

4

解析式為：y=—((%—2)2+2,

當(dāng)尤=2時，y的最大值為2,

令y=0,則一：(X-2)2+2=0,

解得：%!=2+2&或%2=2-2&(舍去)，

.*.B(2+2V2,0),

-：B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，

,其最大高度為：2x：=l(m),

?.?彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，

設(shè)處著地后彈起的拋物線解析式為：y^-^x-hY+1,

將點B(2+2/,0)代入該解析式得：0=-：(2+2/-/1)2+1,

解得：h=2V2+4或九=2企(舍去)，

.??該拋物線的解析式為：y=-J(x-2V2-4)2+l,

二對稱軸為：%=2V2+4,

:點B的坐標(biāo)為(2+2或，0),則點C的坐標(biāo)為(2a+6,0),

:圓柱形的高為0.5m,

當(dāng)y=0.5時，則一式％-2夜-4)2+1=08,

解得：久=4+3&或x=4+V^(舍去)，

/.當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最左端時，n=4+3V2,

:筐的底面半徑為0.5m,直徑為1m,,

當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最右端時，幾=4+3應(yīng)—1=3+3V2,

3+3A/2<n<4+3V2,

選項B,n=8滿足，

故選：D.

3.(23-24九年級上?河北邢臺?期中)如圖，嘉嘉用計算機編程模擬拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離,

當(dāng)彈跳球以某種特定的角度從點P(0,l)處拋出后，彈跳球的運動軌跡是拋物線3其最高點的坐標(biāo)為(4,5).彈

跳球落到斜面上的點4處反彈后，彈跳球的運動軌跡是拋物線U,且開口大小和方向均與L相同，但最大高

度只是拋物線L最大高度的|.

(2)若點4與點P的高度相同，且點4在拋物線17的對稱軸的右側(cè)，則拋物線//的對稱軸為直線.

【思路點撥】

(1)設(shè)拋物線L的解析式為y=a(x—九1)2+燈(a40),由題意得，該拋物線的頂點坐標(biāo)是(4,5),拋物線

經(jīng)過點P(0,l),待定系數(shù)法求解析式即可求解.

(2)設(shè)拋物線U的解析式為y=爪(％-八2)2+6，由對稱性可得點4(8,1),由拋物線U,且開口大小和方向

均與L相同，但最大高度只是拋物線Z最大高度的|，可得m=-[,fc2=|x5=2,則y=-；0-％2)2+2,

將點力(8,1)代入y=h2y+2,即可求解.

【解題過程】

解：設(shè)拋物線L的解析式為y=a(x—/ij2+七(a40).

由題意得，該拋物線的頂點坐標(biāo)是(4,5),

y=a(x-4)2+5(a*0).

??,該拋物線經(jīng)過點P(0,l),

.--1=a(0-4)2+5

解之，得a=-

4

11

y=——(X—4)2+5=--%2+2%+1

4k74

故答案為：y=-J/+2%+l；

4

2

(2)設(shè)拋物線Z/的解析式為y=m(x-ft2)+k2

若點4與點P的高度相同，

則點力與點P關(guān)于直線x=4對稱，

二點力(8,1),

??.拋物線L的解析式為y=-4/+5,

???最高點的高度為5,

???拋物線L',且開口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的|,

則m七=2x5=2,

45

=~2(x-電)2+2,

將點4(8,1)代入可得1=—(8—九2)2+2,

解得：電=10或6,

V/i2<8,

h2=6

即拋物線V的對稱軸為直線久=6,

故答案為：x=6.

4.(23-24九年級上.浙江湖州.期末)如圖，乒乓球桌桌面是長ZB=2.7m,寬AD=1.5m的矩形，E,F分

別是48和CD的中點，在E,F處設(shè)置高HE=0.15m的攔網(wǎng).一次運動員在40端發(fā)球，在P點擊打乒乓球后

經(jīng)過桌面。點反彈后的運行路徑近似二次項系數(shù)a=-?的拋物線的一部分.已知本次發(fā)球反彈點。在到桌

面底邊4。的距離為0.1m,到桌面?zhèn)冗?8的距離為0.1m處.若乒乓球沿著正前方飛行(垂直于BC),此時

球在越過攔網(wǎng)時正好比攔網(wǎng)上端GH高0.1m,則乒乓球落在對面的落點Q到攔網(wǎng)EF的距離為m；若乒

乓球運行軌跡不變，飛行方向從。點反彈后飛向?qū)Ψ阶烂?，落點Q在距離BC為0.2m的Q點處，此時QC的長度

為m.

①如圖，以點。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得/(1.25,0.25),利用待定系數(shù)法求出拋物線解析

式，再求出點Q橫坐標(biāo)即可求解；

②由題意可得Q(2.4,0),由y。=yQ=0得到點。和點Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即Q點距力B也是0.1m,BJ=

0.1m,進而得到C/=BC—B/=1.4m,由勾股定理即可求出QC的長；

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出二

次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：①如圖，以點。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

Xj=1.35—0.1=1.25,yi=0.15+0.1=0.25,

設(shè)拋物線的解析式為y=+法+的把(0,0),(1.25,0.25)代入得,

(0=0+0+c

10.25=--x1.252+1.25b+c'

I27

解得F=s,

lc=0

.??拋物線的解析式為y=-/一+疊x,

把y<?=o代入得，一熬久=°，

解得%1=0(不合，舍去)，％2=￡，

?13

?，XQ—三，

.??落點Q到攔網(wǎng)EF的距離為￡一1.25=1.35m,

故答案為：1.35；

②由題意可得，xQ=2.7-0.1-0.2=2.4,

???Q(2.4,0),

"-"yo=y(?=o>

，點。和點Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

；.Q點距2B也是0.1m,

:?QJ=0.2m,BJ=0.1m,

???CJ=BC-BJ=1.5-0.1=1.4m,

CQ=jQ/2+c/2=Vo.22+1.42=V2m,

故答案為：V2.

5.(2024?貴州貴陽?一模)小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運動路線為如圖所示的拋物線,

以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標(biāo)系，籃球在O點正上方1.8m的點P處出手，籃球的高度y(m)

與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=-+%+如

8

(1)求C的值；

(2)求籃球在運動過程中離地面的最大高度；

(3)小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，己知小亮跳起后，手離地面的最大高度為=

2.8m,則球在下落過程中，若小亮要想順利接住球，求他至少距離小明多遠的距離.

【思路點撥】

本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用.

(1)將點尸的坐標(biāo)代入y=—J/+x+c,即可求出c的值；

8

(2)先得出該拋物線的解析式，再將其化為頂點式，即可解答；

(3)求出y=2.8時x的值，結(jié)合“在下落過程中接住球”，即可解答.

【解題過程】

(1)解：由題意得點尸的坐標(biāo)為(0,1.8),

將P(0,1,8)代入y=--%2+x+c得c=1.8.

8

(2)解：由(1)知c=1.8,

y=-^x2+x+1.8=—^(x—4)2+3.8,

.?.當(dāng)x=4時，y有最大值3.8,

...籃球在運動過程中離地面的最大高度為3.8m.

(3)解：當(dāng)y=2.8時，2.8=—工/+%+1.8,

8

解得：勺=4+2V2,X2=4-2V2,

V4-2V2<4<4+2V2,且在下落過程中接球，

x=4+2V2,

在球下落過程中小亮離小明的距離至少（4+2/）米才能順利接住球.

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）海豚是生活在海洋里的一種動物，它行動敏捷，彈跳能力強.海豚表演是

武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一.在進行跳水訓(xùn)練時，海豚身體（看成一點）在空中的運行路

線可以近似看成拋物線的一部分.如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點。為原點，以O(shè)與海豚落水點所在的

直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳

點。的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=a/+2x,海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運

動路徑）飼養(yǎng)員放在空中的離O點水平距離為3m,離水面高度為4.5m的小球.

圖1圖2

（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?

（2）求當(dāng)海豚離水面的高度是日m時，距起跳點。的水平距離是多少m?

（3）在海豚起跳點與落水點之間漂浮著一個截面長CD=6m,高OE=4m的泡沫箱，若海豚能夠順利跳過

泡沫箱（不碰到），求點。橫坐標(biāo)”的取值范圍.

【思路點撥】

本題考查二次函數(shù)的實際問題，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式然后配方得到最大值即可；

（2）令?=募，解一元二次方程方程即可；

（3）令y=4,解出久的值，然后借助圖象解題即可.

【解題過程】

（1）由拋物線丫=+2%,過點（3,4.5）,

得4.5=9。+2X3

???y=--%2+2x

6

1

=--(%2—12%+36)+6

6

1°

=—7(x—6)2+6

6

???海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是6m.

(2)依題意得：y=-工(％-6)2+6=至

63

解得%1=8,亞=4

答：海豚距起跳點0的水平距離是8m或4m.

(3)若海豚恰好接觸到紙箱邊緣，則點尸或點E在拋物線上，

令y=4,貝！J—三工2+2%=4,

6

解得X1=6-2V3,X2=6+2V3,

當(dāng)點F在拋物線上時，D點的橫坐標(biāo)w為12-2班.

當(dāng)點￡在拋物線上時，。點的橫坐標(biāo)"為6+2次.

n的取值范圍是12-2V3<n<6+2遍.

7.(23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí))為適應(yīng)2024年武漢市體育中考改革，學(xué)校購入一臺羽毛球發(fā)球

機，羽毛球飛行路線可以看作是拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)球機放置在球場中央離

球網(wǎng)水平距離3m的點。處，球從點。正上方1.15m的4處發(fā)出，其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿

足關(guān)系式y(tǒng)=a(久-4)2+%.小明同學(xué)站在球網(wǎng)另一側(cè)，距離球網(wǎng)水平距離3m(如圖所示)，在頭頂0.6m至

0.8m處稱為有效擊球高度.(球網(wǎng)高度不影響有效擊球)

(1)若h=2.75,

①求y與久的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；

②如果小明的身高為1.65m,試判斷他能否在原地有效擊球？

(2)如果小明的身高為1.75m,并且能在原地有效擊球，直接寫出a的取值范圍.

【思路點撥】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；

(1)①利用待定系數(shù)法求解即可；②令x=6,求出有效擊球點的高度即可求解；

(2)由題意得：有效擊球點的縱坐標(biāo)的取值范圍為：2.35WyW2.55,將點(6,2.35)、(6,2.55)分別代入解

析式求出a的值，即可得出取值范圍；

熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題是關(guān)鍵.

【解題過程】

(1)解：①當(dāng)％=2.75時，y=a(x—4)2+2.75,

???它過(0,1.15),

1.15=a(0—4產(chǎn)+2.75,

i

a=—R，

y=一久—4產(chǎn)+2.75；

②他能在原地有效擊球；理由如下：

由⑴可知，y=—2(x—鏟+2.75,

令x=6得y=—2(6—4/+2.75,

解得：y=2.35

2,35—1.65=0.7m,

???0.6m<0.7m<0.8m

???能在原地有效擊球;

(2)由題意得：有效擊球點的縱坐標(biāo)的取值范圍為：2.35WyW2.55,

當(dāng)拋物線y=a(x-4)2+八過點(0,1.15)和點(6,2.35)時

1.15=a(0一4>+八1

解得:CL——，

2.35=a(6—鏟+八10

當(dāng)拋物線y=a(x-4)2+八過點(0,1.15)和點(6,2.55)時

1.15=a(0-4>+八7

2.55=a(6—4尸+八野傳，CL——60’

--7<,a<,---1

6010

a的取值范圍：—<a<—

6010

8.(23-24九年級上?河北秦皇島?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，從原點0向右上方沿拋物線L發(fā)出一個小球

P,當(dāng)小球尸達到最大高度3時，小球P移動的水平距離為2.

尸；I

/?:;

/II

L/：!

/II

/II

/H

/I>I

/I?I

___/_________________一'0.3

Ox

,0.51

(1)求拋物線2的函數(shù)解析式；

(2)求小球尸在無軸上的落點坐標(biāo)；

(3)在無軸上的線段4B處，豎直向上擺放著若干個無蓋兒的長方體小球回收箱，已知。4=3,且每個回收

箱的寬、高分別是0.5、0.3,當(dāng)小球尸恰好能落入回收箱內(nèi)(不含邊緣)時，求豎直擺放的回收箱的個數(shù).

【思路點撥】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.

(1)由題意知，拋物線乙的頂點坐標(biāo)為(2,3),再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)對于y=—[(>-2￥+3,令y=0,求解一元二次方程，據(jù)此計算即可求解；

(3)由題意先求出，當(dāng)x=3和x=3.5時，求得對應(yīng)y的值，再設(shè)豎直擺放的回收箱有6個，根據(jù)題意得出

關(guān)于小的不等式組，求出山的整數(shù)解即可.

【解題過程】

(1)解：：從原點。向右上方沿拋物線L發(fā)出一個小球P,當(dāng)小球尸達到最大高度3時，小球P移動的水

平距離為2,

；.頂點坐標(biāo)為(2,3),

.?.設(shè)拋物線L對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=a(x-2尸+3(a<0),

把(0,0)代入得0=a?(0-2)2+3,

解得a=

4

拋物線L對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=--2)2+3；

(2)解：對于y=—3(x—2/+3,

令y=0,貝U0=一：0—2)2+3,

解得X1=0,x2=4,

小球P在x軸上的落點坐標(biāo)為(4,0)；

(3)解：VOA=3,AB=0.5,

：.OB=3.5,對于y=-：(X-2)2+3,

當(dāng)尤=3時，y=一|(3—2)2+3=*

當(dāng)x=3.5時，y=—久3,5—2y+3=孩；

設(shè)豎直擺放的回收箱有小個，

C<也3血<?

解得II<m<y,

???山是正整數(shù)，

可以是3或4或5或6或7,

答：豎直擺放的回收箱的個數(shù)為3個或4個或5個或6個或7個.

9.(2024?河南漠河?二模)2023年10月7日晚，杭州第19屆亞運會女子排球比賽落幕.中國女排在決賽

中以3:0擊敗日本隊，成功衛(wèi)冕，斬獲隊史亞運第9冠.愛思考的小芳在觀看比賽時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：

排球被墊起后，沿弧線運動，運動軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進行了實踐探

究.

經(jīng)實地測量可知，排球場地長為18m,球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

4為擊球點.記排球運動過程中距地面的豎直高度為y(單位：m),距擊球點的水平距離為x(單位：m).

斗

球網(wǎng)

4,

9m'9m>1x

左邊界右邊界

小華第一次發(fā)球時，測得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表: