人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊知識點

高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何

一、知識要點

1、空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不變性

2、空間向量的運(yùn)算

定義:與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)。

0B—0A+AB=a+bBA=OA—OB=a—b;OP=Ad(AeR)

運(yùn)算律：(1)加法交換律：a+b=b+a(2)加法結(jié)合律：m+B)+e=M+(B+C)

(3)數(shù)乘分配律：>l(a+b)-Aa+Ab

運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3、共線向量

(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫

做共線向量或平行向量，。平行于記作。//B。

(2)共線向量定理：空間任意兩個向量五、b(彼壬0),五〃征存在實數(shù)九使五

=Xbo

(3)三點共線：A、B、C三點共線<=>M=X就

-<=>OC=xOA.+yOB(其中x+y=l)

一±A

(4)與。共線的單位向量為-|；|

4、共面向量

(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果兩個向量a力不共線，”與向量a力共面的條件是存

在實數(shù)x,y使。=xa+yb。

(3)四點共面：若A、B、C、P四點共面<=>Q=xI^+y/

<=>

OP=xOA+yOB+zOC(其中%+y+z=1)

5、空間向量基本定理：如果三個向量〃力"不共面，那么對空間任一向量P，

存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組X,y,Z,使〃=元4+仍+2(?。

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊1

若三向量a,b,c不共面，我們把｛a涉,c｝叫做空間的一個基底，a,6,c叫做基向

量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點尸，都存在唯一的三

個有序?qū)崝?shù)x，y，z,(9P-xOA+yOB+zOC0

6、空間向量的直角坐標(biāo)系：

(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

在空間直角坐標(biāo)系。-芝yz中，對空間任一點A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(X,y,z),

使后=三+工+五，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中的

坐標(biāo)，記作A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。

注：①點A(x,y,z)關(guān)于x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點為

(x,y,-z).即點關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。②在

y軸上的點設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點設(shè)為(0,y,z)

(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基

底，用｛，,，上｝表示?？臻g中任一■向量a=xi+y/+z^=(x,y,z)

(3)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

①若a=(q,a2,4)，6=(4也,4)，

貝！Ja+b=(q+4，?2+%%+Z?3),a-b=(q-bx,a2-b2,a3-Z?3)>Aa=(Afi,,Aa2,/la3)(2eR),

a-b=alb1+a2b2+a3b3>

a//b<^-ax=Ab1,a2=建,/=Ab3(AeR)，aJ-bo她+44=。

②若A(X],%,Z]),B(x2,y2,z2),

則AB=(x2-%；,y2-y1,z2-z1)

一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減

去起點的坐標(biāo)。

③定比分點公式：若B(x2,y2,z2),AP=APB,則點P坐標(biāo)為

(*+Ax?,”十,Z|十應(yīng))。推導(dǎo)：設(shè)P(x,y,z)則(x-xly-yl,z-zl)=/l(x2-x,y2-y,z^-z),

1+A1+21+A

顯然，當(dāng)P為AB中點時，尸產(chǎn)+%%+%4+z

2'2'2

?/\ABC^,A(x1,y1,z1?,B(x2,y2,z2),C(^,y3,z3),三角形重心P坐標(biāo)為

x+x+xM+%+%4+Z2+Z3、

<A323'2'2)

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊2

⑤AABC的五心：

內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點。&〃垂+昱)(單位向量)

.同

外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點?！?品=Sc

垂心P：高的交點：PAPB^PAPC=PBPC(移項，內(nèi)積為0,則垂直)

重心P：中線的交點，三等分點(中位線比)AP^^AB+AQ

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模長公式：若.=(6,％,%),石=0[也也),

則Ia|=da?a=_+a：+a?~,|b|=db,b=4b；+偽~+b；

(5)夾角公式：cos(a?=^—=i姐+她+地。

飛a：+a)+a；,b；+b；+b；

AA3C中①Q(mào)?正>0<=>A為銳角②Q?正<0<=>A為鈍角，鈍角A

(6)兩點間的距離公式：若A(XI，M，ZJ,B(x2,y2,z2),

則|AB-石)2+(%-Ml+仁2-z1)2,或

dA.B=J(%2-Xi。+(%-%3+a2—Z])一

7、空間向量的數(shù)量積。

(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量4力，在空間任取一點。，作

OA=a,OB=b,則NAOB叫做向量a與萬的夾角，記作<&力>；且規(guī)定

_.*,77".,.

0<<a,b><TI,顯然有<a,。>=<>；若<a,b〉=—,則稱a與6互相垂直，記

2

作：a_1_6。

(2)向量的模：設(shè)0A=a,則有向線段0A的長度叫做向量a的長度或模，記作：

|a|o

(3)向量的數(shù)量積:已知向量a,b,則)1?⑸?cos<Z,方>叫做第6的數(shù)量積,

記作即a,》=⑷,⑸-cos<a力〉

(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

①=|a|cos<a,e>②a_LZ?=a-Z?=0③

(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

@(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab)o?a-b=b-a(交換律)。③a《b+c)=a+a-c(分

配律)。

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊3

④不滿足乘法結(jié)合律：（a.b）cwa（b-c）

二、空間向量與立體幾何

1、線線平行。兩線的方向向量平行

線面平行O線的方向向量與面的法向量垂直

面面平行O兩面的法向量平行

2、線線垂直（共面與異面）o兩線的方向向量垂直

線面垂直O(jiān)線與面的法向量平行

面面垂直O(jiān)兩面的法向量垂直

3、線線夾角。（共面與異面）［0°,90°］o兩線的方向向量［r的夾角或夾角的

補(bǔ)角，cos。=cos<n1,n2>

線面夾角。［0。,90。］：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量而與面的法向

量［的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面

的夾角.sin。=cos<AP,n>

面面夾角（二面角）^［0°,180°］：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于

兩法向量耳，晟的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.

cos6=±cos<珥,〃2>

4、點面距離/z：求點。（為,為）到平面a的距離：在平面a上去一點。（龍,丁）,

得向量PQ.;計算平面a的法向量九;.〃=|

1-1

線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離

面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊4

第二章直線和圓的方程

一、直線方程

1、直線的傾斜角：一條直線向上的方向與r軸正方向所成的最小正角叫做這條直

線的傾斜角，其中直線與％軸平行或重合時，其傾斜角為0,故直線傾斜角的范

圍是Y180°（04eY萬）.

注：①當(dāng)￡=90?；騒2=X］時，直線/垂直于X軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與X軸垂直的直線不存在斜率外，其余每

一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.

2、直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.

特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點30）,（0,力，即直線在X軸，y軸上的截距分別為

wO）時，直線方程是:—+—=1.

ab

注：若y=-2是一直線的方程，則這條直線的方程是y=-2,但若

y=-gx-2（xN0）則不是這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程丫=履+人當(dāng)太6均為確定的數(shù)值時，它

表示一條確定的直線，如果匕b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)6為定植，發(fā)變

化時，它們表示過定點（0,6）的直線束.②當(dāng)Z為定值，〃變化時，它們表示一

組平行直線.

3、（1）兩條直線平行：

如42兩條直線平行的條件是：①乙和％是兩條不重合的直線.②在0和

%的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前

提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.

（一般的結(jié)論是：對于兩條直線0右，它們在y軸上的縱截距是々,為，則0〃

120kl=k2，且打幼2或的斜率均不存在，即AIB2=8IA2是平行的必要不充分條

件，且。力。2）

推論：如果兩條直線/卜Z的傾斜角為。1，。2則.〃11=^2-

（2）兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線0和％的斜率分別為和和的，則有

的62=-1這里的前提是O,%的斜率都存在?②/1口20曷=。，且晨的斜率不存

在或購=0,且0的斜率不存在.（即AIB2+A2%=。是垂直的充要條件）

4、直線的交角：

（1）直線到人的角（方向角）；直線乙到%的角，是指直線"繞交點依逆時針

方向旋轉(zhuǎn)到與I,重合時所轉(zhuǎn)動的角0,它的范圍是（0,萬），當(dāng)夕二90。時tanJ=&”.

1+左1左2

（2）兩條相交直線/1與％的夾角：兩條相交直線.與，2的夾角，是指由與，2相

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊5

交所成的四個角中最小的正角e,又稱為乙和％所成的角，它的取值范圍是[。，三

當(dāng)心90。，則有tang

1+—

5、過兩直線[丁丁+丫+丁、的交點的直線系方程

[l2:A2x+B2y+C2=0

Alx+Bly+Cl+A(A2x+B2y+C2)=0(.A^J^^,4x+WV+C2=。不包括在內(nèi))

6、點到直線的距離：

(1)點到直線的距離公式：設(shè)點尸(而,凡)，直線/:Ac+3+C=0,尸到/的距離為d,

則有〃」"+甌+土

7A2+B2

注：

①兩點Pl(xi,yi)、P2(X2,y2)的距離公式：1881=5。2-為)2+(力—月產(chǎn)?

特例：點P(x,y)到原點。的距離：IOP|=y/x2+y2

②定比分點坐標(biāo)分式。若點P(x,y)分有向線段而所成的比為酬JP.R,其中

Pi(xi,yi),P2(X2,y2).貝1x=/,、=%+?2

1+A1+A

特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

③直線的傾斜角(0°<?<180°)^斜率:k=tana

④過兩點6(孫力),2(盯,為)的直線的斜率公式：左=①二”.&WM)

x2_%]

當(dāng)為i=X2，%/y2(即直線和X軸垂直)時，直線的傾斜角a=90。，沒有

斜率

(2)兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線

I?！猚I

ll:Ax+By+Cl=0,l2:Ax+Bv+C2=0(Cl^C2),它們之間的距離為1,則有~.

7A2+B2

注：直線系方程

①與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(meR,C^m).

②與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(meR)

③過定點(xi,yi)的直線系方程是：A(x-xi)+B(y-yi)=0(A,B不全為0)

④過直線人、/2交點的直線系方程：(Aix+Biy+Ci)+MA4+B2y+C2)=0QeR)注:

該直線系不含12.

7、關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

(1)關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

(2)關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，

且兩直線到對稱直線距離相等.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊6

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角

的角平分線.

(3)點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方

程①)，過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求

對稱點.

注：①曲線、直線關(guān)于一直線(y=+x+b)對稱的解法：y換x,x換y例：

曲線段j)=0關(guān)于直線y=x-2對稱曲線方程是舟+2X-2)=0.

②曲線C:外,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是五a-x,2b->)=0.

二、圓的方程

1、(1)曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的與一個二元方程

/(x,y)=。的實數(shù)建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).

(2)曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y~)其坐標(biāo)與方程/(x,y)=0的

一種關(guān)系，曲線上任一點(x,y)是方程/(x,y)=0的解；反過來，滿足方程/(x,y)=0

的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.

注:如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點Po(xo,y)線C上的充要條件是f(xo,yo)=O

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(x-a)2+(y-b)~=r~.

特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為廠的圓的方程是：，+/=戶.

注：特殊圓的方程：①與I軸相切的圓方程(X-a)2+(y±b)2斗2

[r=網(wǎng)，圓心(a,力或(a,-b)]

②與y軸相切的圓方程(x+a)2+(y-b)2=a2

[r=|?|,圓心(a,6)或(-a,b)]

③與i軸y軸都相切的圓方程(x+a)2+(y+a)2=a2

[廠=同,圓心(士。,±。)]

3、圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

當(dāng)。2+石27尸>0時，方程表示一個圓，其中圓心《一2,一,半徑「=4》+.一4尸.

<22J2

當(dāng)爐+產(chǎn)7尸句時，方程表示一個點「名,_9).

當(dāng)￡>2+E2-4FYO時，方程無圖形(稱虛圓).

注：①圓的參數(shù)方程：+(o為參數(shù)).

[y=rsm"

22

②方程AX+BXy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊7

A=C片0且D-+E--4AF>0.

③圓的直徑或方程：已知401，月)8(叼,》2)n(x-Xi)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=。

(用向量可征).

4、點和圓的位置關(guān)系：給定點M(xo，y°)及圓。y-。)2+。-》2=戶.

①〃在圓C內(nèi)oIxo-aV+Uo-b/Y/②M在圓C上o(而-.)2+(囚-6)2=產(chǎn)

③“在圓C外O(刈-。)2+(yo-ZO2A戶

5、直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C:(x-fl)2+(y-fe)2=r2(r>0)；直線/:Ax+By+C=Q(A2+B2^0)；

圓心c(%?到直線/的距離d=叫y+Q

7A2+B2

①d=r時，/與C相切；

附：若兩圓相切，則尸土+5+當(dāng)>此=°=相減為公切線方程.

x+y+Z)2龍+石2,+/2=0

②dYT時，/與C相交；

12

Cx-.x+y+Dix+Exy+Fr0(Di-D2)x+(Ei-E2)y+(Fi-F2)=0

附：公共弦方程：設(shè)C2：X\y\D2X+E2y+F2=0有兩個交點，則其公共弦方程為

③di時，/與C相離.

附：若兩圓相離，則卜2+/+%+￡嚴(yán)正0n相減為圓心劣02的連線的中與線方程.

22

yx+y+D2x+E2y+F2=0

由代數(shù)特征判斷：方程組卜一"+(尸砂=戶用代入法，得關(guān)于X(或y)的一元

[Ax+Bx+C=0

二次方程，其判別式為A,則：A=0o/與C相切；A”0o/與C相交；AYOO/

與C相離.

注：若兩圓為同心圓則無2+廠+5尤+￡\卜+/1=0,++尸2=。相減，不表

示直線.

6、圓的切線方程：圓/+/丁2的斜率為左的切線方程是了=丘±加淳/過圓

22X++

x+y+Dx+Ey+F=0~■點P(.X0,y0)的切線方程為：xox+yoy+D^°+^°+F=0.

①一般方程若點(xo,yo)在圓上，則(x-a)(xo-a)+(y-b)(yo-b)=R2.特別地，過圓

222

x+y=r上一點P(x0,y0)的切線方程為XoX+yoy=戶.

yi-y0=k(x1-x0)

②若點(xo,yo)不在圓上，圓心為(a,b)則，吟,-入-左((2/)|,聯(lián)立求出左n切線方

^+1

程.

7、求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：

ABCD四類共圓.已知09的方程無2+/+m+4+尸=?！儆忠訟BCD為圓為方

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊8

2

程為(X-XA)(X-?)+(J-JA)(X-Z?)=k…②

MJ'"：?！?所以Re的方程即③代②，①②相切即為所求.

三、曲線和方程

1、曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程五x,y)=O的實數(shù)解建立了

如下的關(guān)系：

①曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程五x,y)=O的解(純粹性)；

②方程式關(guān),y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上(完備性)。則稱方程五x,y)=O為曲

線C的方程，曲線C叫做方程五x,y)=O的曲線。

2、求曲線方程的方法：.

①直接法：建系設(shè)點，列式表標(biāo)，簡化檢驗;②參數(shù)法;③定義法，④待定系數(shù)法.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊9

第三章圓錐曲線方程

一、橢圓方程

1、橢圓方程的第一定義：平面內(nèi)與兩個定點Fi,F2的距離的和等于定長(定長

通常等于2a,且2a>FiF2)的點的軌跡叫橢圓。

|尸尸1|+〔尸尸2〔=2。>|尸1尸21方程為橢圓,

|PFj|+忸川=2aY―碼無軌跡,

|PF1|+|PF2|=2a=忸i%|以后歹2為端點的線段

(1)①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：中心在原點，焦點在X軸上：=+二=1("20)?

a2b2

中心在原點，焦點在y軸上：Z+==13>bA0)?

a2b2

注：以上方程中的大小a>3>0,其中及=Y—02；

2222

在與+2=1和為+==1兩個方程中都有的條件，要分清焦點

a-b~ab

的位置，只要看V和丁的分母的大小。

②一般方程：Ax2+By2=l(A>O,B^O).

③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：4+==1的參數(shù)方程為卜=：儂:(一象限°應(yīng)是屬于

a2b2[y=bsmO

OY*工).

2

(2)橢圓的性質(zhì)

①頂點:(±a,0)(0,士?或(0,土a)(±6,0).

②軸：對稱軸：X軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b.

③焦點:(―c,0)(c,0)或(0,—c)(0,c).

22

④焦距：|F1F2|=2c,c=7a-^.

22

⑤準(zhǔn)線：x=±J或y=±j.

CC

⑥離心率：e=￡(0YeYl).

a

[,.*a>c>0,.,.0<e<l,且e越接近1,c就越接近a,從而Z?就越小，對應(yīng)的

橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0,從而b越接近于a,這時橢圓

越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，c=0,兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為

一+/=/。】

⑦焦(點)半徑：

22

設(shè)Pa。,九)為橢圓■+==1(°>6>0)上的一點，尸卜尸2為左、右焦點，則

ab

|PFj=a+exG,\PF2\=a-exG^

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊10

22

設(shè)尸(xo，yo)為橢圓a+-=l(a?b>0)上的一點，為上、下焦點，則

\PF^=a+ey0\PF^\=a-eyQ^>

由橢圓第二定義可知：

〃2〃2

e

\pF^=e(xQ-1---)=a+ex0(%oY0),\pF^\~(----%)-ex^-a^x^0)

歸結(jié)起來為“左加右減

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(〃cose,Z?sin6)f方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通徑.坐標(biāo)：4=絲(_孰弦)和(c,3

aaa

22

⑨焦點三角形的面積:若P是橢圓：彳+一=1上的點.尸為焦點，若//p/=e,

則APB%的面積為廬tang(用余弦定理與歸%|+|尸&|=2a可得)。若是雙曲線，

則面積為b，cot2

2。

22

(3)共離心率的橢圓系的方程：橢圓彳+==1(°”"0)的離心率是

/b2

_______22

e=—(c=yla2-b2),方程三+4=r(f是大于0的參數(shù)，ax。”。)的離心率也是e=￡

aaba

我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

2、橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線L(F不在L上)

的距離的比為常數(shù)e(0<e<l)的點的軌跡叫做橢圓。其中定點F為橢圓的焦

點，定直線L為橢圓焦點F相應(yīng)的準(zhǔn)線。

二、雙曲線方程

1、雙曲線的第一定義:平面內(nèi)到到兩個定點F1,F2的差的絕對值等于定長(定長

通常等于2a,且2a<FiF2)的點的軌跡叫做雙曲線。(||PK|-1%||=2a)。

忸力|-|PF2b2aY忖島|方程為雙曲線

仍尸卜附2卜2八忸1%］無軌跡

伊尸1-附2|=2。=巴&|以八，%的一個端點的一條射線

2222

(1)①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：—7-^5-=l(a,b>-0),^--^—=l(a,b>-0).

a2b2a2b2

一般方程：Ax2+Cy2=KAC^0).

(2)①焦點在x軸上：

2

頂點：3,0),(-a,0)焦點：(c,0),(-c,0)準(zhǔn)線方程尤=±J漸近線方程：土土；=0或

cab

焦點在y軸上:

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊11

2

頂點：(0,-tz),(0,a).焦點：(0,c),(0,-c).準(zhǔn)線方程：y=±—.漸近線方程：—±y=0

cab

22fx=asec0或「=btane

或5一%?參數(shù)方程:

[y=btan0\y=asec0

②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2。，焦距2c.

④準(zhǔn)線距即i

③離心率e，.(兩準(zhǔn)線的距離)；通徑

aC

2b2

a

⑤參數(shù)關(guān)系。2=/+>,⑥焦(點)半徑公式：對于雙曲線方程

22

/_匕=1

/b2

(%,%分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)

長加短減”原則：(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不

帶符號）

|MFj=ex0+a

構(gòu)成滿足阿卜阿21=2”

\MF2\=ex0-a

|A/jp111——ex。—a

|AfF2|=—exQ+a

\MFi\=ey。—a

/21=ey0+a

\M'Fy\=—eyo+a

\M'F2\=—eyo—a

(3)等軸雙曲線：雙曲線--尸=±-稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x,

離心率e=7L

定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=8；

等軸雙曲線的性質(zhì)：①漸近線方程為：y=±x；②漸近線互相垂直。

注意到等軸雙曲線的特征a=匕，則等軸雙曲線可以設(shè)為：

x2-y2=2(20),當(dāng)2>0時交點在x軸，當(dāng)2<0時焦點在y軸上。

(4)共輾雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已

2222

知雙曲線的共輾雙曲線.彳-與二-互為共輾雙曲線，它們具有共

abab

22

同的漸近線：.-2=。.

a2b2

2222

(5)共漸近線的雙曲線系方程：三一一的漸近線方程為彳一二=0如

a2b2a2b2

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊12

22

果雙曲線的漸近線為二±2=0時，它的雙曲線方程可設(shè)為三-==〃4=0）.

aba2b2

例如：若雙曲線一條漸近線為y=gx且過p（3,-f,求雙曲線的方程？

222

解：令雙曲線的方程為：2（2^0）,代入⑶」1）得二-匕=1.

4282

2、雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線L（F不在L

上）的距離的比為常數(shù)e（e>l）的點的軌跡叫做雙曲線。其中定點F為雙曲線

的焦點，定直線L為雙曲線焦點F相應(yīng)的準(zhǔn)線。

三、拋物線方程

（1）拋物線的概念：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡

叫做拋物線（定點F不在定直線/上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線/叫做

拋物線的準(zhǔn)線。

方程儼=2內(nèi)。〉0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F（R,0）,它的

2

準(zhǔn)線方程是x=-K；

2

（2）拋物線的性質(zhì)

設(shè)。>0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

y

圖形X.

TK-、7T\

隹占

八、、八、、

嗎，。）尸(-go)尸（0,爭F(0苦)

準(zhǔn)線方程

x=一pYp

X=-22y=l

范圍x>0,y^Rx<0,y^Rxey>0xe7?,y<0

對稱軸x軸y軸

頂點(0,0)

離心率e=l

焦半徑-M附q+M

通徑2p2p2p2p

焦點弦Xl+X2+pXl+X2+pyi+y2+pyi+y2+p

注：①通徑（過焦點且垂直于坐標(biāo)軸的線段）為2p,這是過焦點的所有弦中最

短的.

數(shù)學(xué)一選擇性必修第一冊13

⑨產(chǎn)2Px（或尤2=2/）的參數(shù)方程為卜=2"（或廠=20（/為參數(shù)）.

闿[y=2pt[y=2p產(chǎn)

四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義

1、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線/的距離之比為常數(shù)e的點的

軌跡.

當(dāng)0YCY1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=l時，軌跡為拋物線；當(dāng)”1時，軌跡為雙曲線；

當(dāng)e=0時，軌跡為圓（e=—,當(dāng)c=O,a=b時）.【弦長公式

|=Jl+k~—Xj|=J（1+1一）[（無]+巧）2—4X]X21]

2、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

橢圓雙曲線拋物線

1、到兩定點F1,F2的距離之和1、到兩定點F1,F2的距離之差的

為定值2a（2a>|FiF2|）的點的軌絕對值為定值2a（0<2a<|FiF2|）的

與定點和直線的距離

定義跡點的軌跡

相等的點的軌跡.

2、與定點和直線的距離之比為2、與定點和直線的距離之比為

定值e的點的軌跡.（0<e<l）定值e的點的軌跡.（e>l）

軌跡條點集：({MI1MFi+1MF21點集：{M|1MFi|-IMF21.點集｛M11MF1=

件=2a,1F1F21<2a}.=±2a,1F2F21>2a}.點M到直線1的距離｝.

y，

B,M

圖形1.

B,7r

標(biāo)準(zhǔn)2222

「+4=1(。>〃>0)-7Y-1(a>0,b>0)y2=2px

方方程a2b2ab

。

參數(shù)\x-acos(x=asecOX翁（t為參數(shù)）

程\y=bsinO[y=btanS

方程（參數(shù)防離心角）(參數(shù)以離心角)

范圍-a<x<a,-b<y<b