三角函數(shù)與解三角形大題歸類（16題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單

專題12三角函數(shù)與解三角形大題歸類

更盤點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一：圖像求解析式及性質(zhì)......................................................................1

題型二：“零點(diǎn)”求參............................................................................3

題型三：“零點(diǎn)”和型性質(zhì)........................................................................4

題型四：解三角形：正弦定理邊化角型求角..........................................................6

題型五：解三角形：角化邊型余弦定理求角..........................................................7

題型六：最值：不對稱型最值......................................................................8

題型七：最值：比值型最值........................................................................9

題型八：最值：三角函數(shù)角度型最值...............................................................10

題型九：三大線：中點(diǎn)與中線.....................................................................10

題型十：三大線：角平分線型.....................................................................12

題型十一：三大線：三角形高型...................................................................13

題型十二：定比分點(diǎn)雙三角形.....................................................................14

題型十三：定比分點(diǎn)最值范圍型...................................................................15

題型十四：四邊形中解三角形.....................................................................16

題型十五：四邊形最值與范圍.....................................................................17

題型十六：解三角形中的壓軸證明題（19題）......................................................18

^突圍?錯(cuò);住蝗分

題型一：圖像求解析式及性質(zhì)

指I點(diǎn)I迷I津

已知/（x）=Asin（?x+^）（A＞0,。＞0）的部分圖象求其解析式時(shí)

A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)。和夕，常用如下兩種方法：

（1）由0=予即可求出0;確定夕時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的"零點(diǎn)"橫坐標(biāo)％,則

令+夕=0（或0%）+夕="），即可求出夕.

⑵代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或"零點(diǎn)"）坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出。和夕，若

對A,。的符號或?qū)οΦ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

1.（2024?北京東城?二模）已知函數(shù)/@）=5皿（0苫+9）10＞0,。＜夕＜曰］的部分圖象如圖所示.

⑴求。的值；

JT

（2）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/（x）存在，并求函數(shù)/'（X）在0,-上的最大值和最小值.

5兀

條件①：函數(shù)/XH----是---奇函數(shù);

12

條件②：將函數(shù)的圖象向右平移自個(gè)單位長度后得到了=血8的圖象;

2兀

條件③：/(0)=/

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

2.(2024?甘肅?一模)如圖，角a(aeR)的始邊為無軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作V軸的

垂線，垂足為到直線OP的距離為|MN|.若將|MN|關(guān)于角a的函數(shù)關(guān)系記為y=/(x).

⑴求y=f(x)的解析式；

(2)將/(%)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移彳個(gè)單位長度,

得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在0卷的單調(diào)遞增區(qū)間.

3.(23-24高三上?安徽?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)(A>O,@>O,l9l<g)的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)y=/(x)的解析式;

JT1

(2)將函數(shù)y=f(無)的圖象向左平移自個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的1倍，縱坐標(biāo)不

7T

變，得到函數(shù)…⑺的圖象，求函數(shù)g⑺在0,-上的值域.

4.(2023?山西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+o)(A>O,o>O,O<°<7r)的部分圖象如圖所示.

⑴求〃尤）的解析式；

（2）將“X）的圖象向右平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在［普上的值域.

O1212

題型二：“零點(diǎn)”求參

指I點(diǎn)I迷I津

零點(diǎn)處，令sin（3x+6）=0,3x+6=k兀（k￡Z）,或者cos（3x+6）=0,ax+6=與++k?？汕蟮脤?/p>

稱中心的橫坐標(biāo)；

正弦“第一零點(diǎn)”:x=2kji.

正弦“第二零點(diǎn)”:x-7l+2k7l

n_.

X---------F2k7C

余弦“第一零點(diǎn)”:2

x=~+2kji

余弦“第二零點(diǎn)2

1.（23-24廣東深圳?階段練習(xí)）函數(shù)（的部分圖象如圖所示.

71

“X）=Asin（°x+0）A>0,0〉0,網(wǎng)<2

⑴求函數(shù)/（力的解析式；

⑵將函數(shù)/（X）的圖象先向右平移1?個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;（縱坐標(biāo)不變），得到函

777T

數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在xe上的最大值和最小值;

12O

TVTT

⑶若關(guān)于X的方程g（x）—帆=0在尤e上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

12o

2.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=2sinxcosx-2百sin2%+75.

7T

⑴若xe0,-時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的《，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移夕個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的

26

圖象.若xe[0j],函數(shù)g(x)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

3.(23-24?安徽蚌埠,期末)已知函數(shù)f(x)=gsin2x+2cos2x+2.

⑴求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵將y=/(乃的圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=

6

jrjr

g(x)的圖象，當(dāng)xe時(shí)，方程g(x)=/n有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.(2023?安徽亳州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=Asin(s+e“A>O,0>O,|d<S的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)“X)的解析式;

(2)將函數(shù)“X)的圖象向左平移;個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，若方程g(x)+Msiiu+cosx)+2=0在

6

TT

元e0,-上有解，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

題型三：“零點(diǎn)”和型性質(zhì)

;指I點(diǎn)I迷I津:

;零點(diǎn)求和型，多利用三角函數(shù)對稱軸對稱性求解

；對稱性：換元思想，將丁=心皿5：+9)中的“①x+夕”看成y=sinx中的“%”，采用整體代入求解.

??

o對稱軸：最值處，令sin(s;+9)=1,則=Z),可求得對稱軸方程；

??

1.(21-22廣東佛山?階段練習(xí))己知數(shù)/(x)=An(ox+,1+2sin2售+總->。)的相鄰兩對稱軸間

的距離為g.

2

⑴求/(X)的解析式；

JT1

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移;個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的二(縱坐標(biāo)不變)，得到函

62

TTTF

數(shù)y=g(x)的圖象，當(dāng)xw時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域；

126

4TC47r

⑶對于第⑵問中的函數(shù)g(x),記方程g(x)=s在xe上的根從小到大依次為西，尤2,%，若根=

3L63_

玉+2々+2%3++2%〃_i+%,試求n與1n的值.

2.(22-23江西萍鄉(xiāng)?期中)函數(shù)〃x)=Asin(s+0)(A>O,0>O,|d<|J的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)將函數(shù)/(》)的圖象先向右平移:個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變)，得到函

TT

數(shù)g(x)的圖象，若關(guān)于X的方程g(x)-加=0在xe0.-上有兩個(gè)不等實(shí)根再，尤2,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍，

并求g(±+%)的值.

3.(2023?陜西安康?一模)已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)+8[A>O,0>O,lel<])的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/（X）的解析式;

（2）將函數(shù)y=〃尤）圖象上所有的點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長度,再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

13兀

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象當(dāng)尤e0,—時(shí)，方程g（x）-4=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

O_

^,x2,x3（jq<x2<x3）,求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及士+2%+尤3的值.

4.（23-24高三上?吉林白城?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃%）=>/^11（8+夕）+1-28$2]美辿，0>0,|同<5）為

奇函數(shù)，且/（X）圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為

⑴求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

7T1

（2）將函數(shù)/（X）的圖象向右平移：個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的二（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

62

y=g（x）的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程2g,⑴+68⑺-3=0的所有根的和.

題型四：解三角形：正弦定理邊化角型求角

指I點(diǎn)I迷I津

對于sin（a+尸）與cos（。+尸）簡稱為“正余余正，余余正正”

恒等變形和化簡求角中，有如下經(jīng)驗(yàn)：

1、SinC=Sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；見A與B的正余或者余正，不夠，找sinC

拆

2、邊的齊次式，正弦定理轉(zhuǎn)為角的正弦；

3、cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinC]

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在VABC中，內(nèi)角A,民C所對的邊分別為c,且

3

a(sinA-cosCsinB)-c(cosAsinB-sinC)=—asinC

（1）求cosb；

⑵設(shè)。為邊AC的中點(diǎn)，AC=2,求線段5。長度的最大值.

sinC_sinA-sinB

2.（2024?四川南充?模擬預(yù)測）在VABC中,

sinA+sinBsinB+sinC

⑴求A；

（2）若5C=3,求VABC周長的最大值.

3.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且C-sinC：inB

cosB-cosA

⑴求角A的大??；

（2）若VABC為銳角三角形，點(diǎn)尸為VABC的垂心，AF=6,求CF+M的取值范圍.

cosA-2cosc_2c-a

4.（23-24?天津?階段練習(xí)）在VABC中，內(nèi)角A,民C所對的邊分別為a1,c,已知

cosBb

⑴求篝的值；⑵若儂八；,6=2.

（i）求VABC的面積；（ii）求sin28+1）的值.

題型五：解三角形：角化邊型余弦定理求角

:指I點(diǎn)I迷I津

余錢定理:

1.若式子含有凡仇。的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，''角化邊”

2.面積和。，仇。2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理

?______________________________________________________________________________________

1.（2025?廣東?一模）在△ABC中，角A8C的對邊分別為a,b,c,已知

cos2B—cos2A=2sin2C—2sinBsinC

⑴求A;

（2）若b=2,c=3,P,Q分別為邊a,6上的中點(diǎn)，G為VABC的重心，求NPGQ的余弦值.

2.（23-24?陜西咸陽?階段練習(xí)）在VA2C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(cosB+cosA)(cosB-cosA)=sinC卜inC—應(yīng)sin3).

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若a=30，b+c=6,求VABC的面積；

（3）若,=方，a=45,。為2C的中點(diǎn)，求的長.

3.（2024?江西?模擬預(yù)測）VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b是a,c的等比中項(xiàng).

⑴求B的最大值:

acosB+bcosA

（2）若C為鈍角，求的取值范圍.

bcosC+ccosB

4.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）在VABC中，已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

asin2^+fesin2-=3ab

222(a+b+c)

⑴求角。的大?。?/p>

（2）若VA5c為銳角三角形，求*的取值范圍.

C

題型六：最值：不對稱型最值

指I點(diǎn)I迷I津

非對稱型結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)特征：pa+tb+me

“非齊次或者不對稱結(jié)構(gòu)”，用正弦定理消角化一，角度范圍是否受限，是關(guān)鍵計(jì)算點(diǎn)

1.（13-14高三下?山東東營?階段練習(xí)）在VABC中，角A氏。所對的邊分別為〃，瓦。，且滿足

cos2A-cos23=2cos1I6AJ|cosI1—6FAJ|.

⑴求角B的值；

（2）若b=A/3且》Va,求。-3的取值范圍.

2.（2024?廣東湛江?一模）已知在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

acos（3-C）+acosA-2gcsinBcosA=0.

⑴求A；

⑵若VABC外接圓的直徑為2#,求2c-b的取值范圍.

3.（22-23河南省直轄縣級單位）已知VABC為銳角三角形，角A,3,C的對邊分別為a,6,c,且

[b1+c2—a2tanA=-J^bc.

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若a=?,求26-c的取值范圍.

4.(2021,江蘇南通?一■模)在①2sinA—sinB=2sinCcos3,②(a+c)(sinA—sinC)=sinB(a—b),③

ZMC=gc（asin4+/^112-0$1110這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.

問題：在0ABe中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且____.

⑴求角C；

（2）若c=2,求20--的取值范圍.

題型七：最值：比值型最值

:指I點(diǎn)I迷I津

最值范圍：分式比值型

「化邊為角型

1.通過正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式

3.對單變量（單角）求最值。

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知VA3C的內(nèi)角4,氏（3所對的邊分別為4,6,0,弧!1?1=\/^（￡?-〃853）.

⑴求角A的大??；

⑵求鬲%的最小值.

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）在丫鉆。中，內(nèi)角48,。所對的邊分別為歷6,°,設(shè)丫w€7的面積為5,3a2=A&2+c2.

（1）當(dāng)2=0時(shí)，若B=g,求角A；

O

q

（2）當(dāng)4=2時(shí)，求".2的最大值?

b+2c

Qin4c—h

3.（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知VABC中，內(nèi)角A氏。所對的邊分別為。，瓦。，且滿足.”.「=丁

smB+smCb

7T

（1）若C=§,求5；

（

（2）求1審+r的取值范圍.

b

二■中任選一個(gè)，補(bǔ)

4.（22-23安徽六安）從條件①匕-0出入二川^^!!。-。；②sin（A+5）cosCg]1

o）4

充在下面問題中，并加以解答.在VABC中：內(nèi)角A,民C的對邊分別為瓦c,

⑴求角C的大小；

⑵設(shè)。為邊鉆的中點(diǎn),,求片的最大值-

題型八：最值：三角函數(shù)角度型最值

;指I點(diǎn)I迷I津

銳鈍角限制型

注意銳角三角形，或者鈍角三角形對角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對每個(gè)角都要用不等式范圍

;求解

1.(2023.安瓦二癡茬VABC請,sin2A+3sin2C=3sin2B.

2

⑴若sin8cosC=§,判斷VA5c的形狀；

(2)求tan(8-C)的最大值.

2.(2023?陜西榆林?三模)己知a,6,c分別為VA2C的內(nèi)角AB,C所對的邊，AC=4,且acsinB=8sinA.

⑴求A；

(2)求sinAsinBsinC的取值范圍.

3.(2023?浙江嘉興?二模)在VABC中，角A,氏C所對的邊分別是瓦c.已知/+c=2ocosB.

⑴若8=%,求A；

⑵求1-----------------------L的取值范圍.

ac

4.(2023?云南紅河?二模)記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知2sinB=sinA+sinC.

TT

(1)證明：

⑵求sinB-cos2B的最大值.

題型九：三大線：中點(diǎn)與中線

指I點(diǎn)I迷I津

中線的處理方法

-1-21/-2?一2

AD=-{AB+AC)AM=-\AB+2ABAC+AC

1.向量法：2=4'

2.補(bǔ)全為平行四邊形。再轉(zhuǎn)而在新三角形中用正余弦定理

1.(2023?全國,模擬預(yù)測)已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=2,且滿足.

請從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在題目上，并完成下面問題：

①外接圓半徑尺=拽；

3

②2ccosA=acosB+Z?cosA；

③cos2A+cos(B+C)=—1.

⑴求銳角A；

⑵求VABC的3。邊上的中線的最大值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.(2023?湖北?模擬預(yù)測)在VA5C中，AB=9,點(diǎn)。在邊5c上，4)=7.

2

(1)若cos5=§,求50的值，

2

(2)若cosNB4C=-且點(diǎn)。是邊5C的中點(diǎn)，求AC的值.

3.(22-23高三上?湖北十堰?階段練習(xí))在VABC中，內(nèi)角ABC的對邊分別是a,5且

asinA—csinC=(Z?-v3c)sinB.

（1）求A；

⑵若。是邊BC的中點(diǎn)，且AD=4,求VA2C面積的最大值.

4.（2022?全國?模擬預(yù)測）在①34=2sin20,②迪4=2吧0,③心噠=￡包上且c#工這三個(gè)

a2cos3cosAcosBcosA2

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.

⑴求證：團(tuán)ABC是等腰三角形；

（2）若D為邊2C的中點(diǎn)，且AD=1,求AABC周長的最大值.

題型十：三大線：角平分線型

指I點(diǎn)I迷I津

三角形角平分線的處理方法：

ABAC

角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分）：BDCD

1.（2022?四川綿陽?二模）在VABC中，角A,3,C所對的邊分別為a,b,c,且6sin^—=asinB.

⑴求角A的大??；

⑵若角A的平分線交BC于。且AD=2,求。的最小值.

2.（22-23高三上?山西呂梁?期末）在銳角VABC中，內(nèi)角A,5,C的對邊分別為a,b,c,且滿足:

cosC_cosA+cosB

acosB+bcosAa+b

⑴求角C的大??；

（2）若c=3,角A與角8的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)。，求△ABD面積的取值范圍.

3.（2023?云南曲靖?一模）在S48c中，角A,B,C的對邊長依次是a,b,c,b=2也,

sin2A+sin2C+sinAsinC=sin?B■

⑴求角2的大??；

（2）當(dāng)0ABe面積最大時(shí)，求aBAC的平分線的長.

4.（2023?山東?模擬預(yù)測）已知VABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為。，b,c,.=sin3+?cosB,且

bsinA+v3cosA

⑴求NC的大??；

⑵若NC的平分線交A3于點(diǎn)。，且CD=2也，求。+2）的取值范圍.

題型十一：三大線：三角形高型

指I點(diǎn)I迷I津

三角形高的處理方法：

1.等面積法：兩種求面積公式

S=-bcsinA=-BCxAD=-c2

222

2.三角函數(shù)法：

在ABC。中，BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

u___________________________________________________________________________________________.

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)在銳角三角形ABC中，sinA—sinZACB=仙n父二,,AB=i.

sm(ZB+ZACB)

⑴求4.

⑵求AB邊上的高的取值范圍.

2.（2023?山西大同?模擬預(yù)測）記銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sin2C-cos2C=cosC-cos（A-B）.

⑴證明:a2+b2=3c2;

（2）若A。是8c邊上的高，且BD=/LOC,求幾的取值范圍.

3.（2020?遼寧,一模）VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知acosB+bcosA=——ac,

7

sin2A=sinA.

⑴求A及。；

（2）若）-c=2,求BC邊上的高.

4.（2023?安徽模擬預(yù)測）在VABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且滿足的及=岑+孚.

acabbe

⑴求B；

⑵若6=新，8。是AC邊上的高，求8。的最大值.

題型十二：定比分點(diǎn)雙三角形

指I點(diǎn)I迷I津

三大線型引申：定比分點(diǎn)型

如圖，若BD=tBC型，稱D為定比分點(diǎn)，可以從以下思維入手：

1.雙三角形余弦定理：

(1)AABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADCOS0

(2)AACD中,AC2=CD2+AD2-2CDADcos(H-0)

：2

AD=a-t\AB+t.ACn|AD|=(1-1>?網(wǎng)2+t2,|AC|+2t(1_t)網(wǎng)|AC|COSZA

1.(22-23高三下?河北衡水?階段練習(xí))記VABC的內(nèi)角A,5,C的對邊分別為a,b,c,已知A=^,D是邊BC

6

,,,1nsinABADsinACAD3

上的一點(diǎn)，且——-----+---------=—.

bc2a

⑴證明：AD=1a；

⑵若CD=2BD,求cosZ/WC.

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)記VABC的內(nèi)角/A,ZABC,1C的對邊分別為。，b,c.已知

______on

sinA+sinC=Vsin2ZABC+sinAsinC>O為AC上一點(diǎn)，besinAABD+absinZ.CBD=ac.

⑴求整的值.

AC

(2)若2CD=AD,求NA與NC的大小.

3.(2024?重慶?三模)已知a、枚c分別為VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，S為VABC的面積，且滿足

4y/3S=b2-(a-c)2.

⑴求B；

(2)^BD=-BA+—BC,|BD|=,c—a=2,求NASD的余弦值.

4.(2023?廣東汕頭?一模)如圖，在VABC中，D是3c邊上的一點(diǎn)，a=ZBAD,/3=ZDAC.

(2)若D為靠近B的三等分點(diǎn)，AB=2不，AC=2,0=90°,/A4c為鈍角，^SACD

題型十三：定比分點(diǎn)最值范圍型

指I點(diǎn)I迷I津

面積最值，一般符合“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，可以直接用余弦定理加均值不等式。

“齊次對稱結(jié)構(gòu)”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，計(jì)算量稍大

用正線定理，要注意角度的范圍。

1.(2023?全國,模擬預(yù)測)在①Gc=AcosB+Z?sinA,@(Zj+a)(sinB-sinA)=c(sinB-sinC),③

"-加=改8$3-1歷這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

2

在銳角VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且______.

⑴求A；

⑵若a=6,2BD=DC，求線段AD長的最大值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

(c-a)sinC=csin(B-A).

⑴求B；

(2)若。是線段AC上靠近A的三等分點(diǎn)，b=3,求的最大值.

3.(2023?青海西寧?二模)在VABC中，內(nèi)角A,民C的對邊分別為。，b,c,且?sinC=ccosB+c.

⑴求角8的大小；

(2)若6=3,。是邊AC上的一點(diǎn)，S.CD=2AD,求線段BD的最大值.

4.（2024?河北衡水?一模）在VABC中，內(nèi)角A,民C所對的邊分別是a,6,c,三角形面積為S,若。為AC邊

上一點(diǎn)，滿足=且/=一空5+。反。$。.

3

⑴求角8；

⑵求去2+二的1取值范圍.

f\LJCD

題型十四：四邊形中解三角形

指I點(diǎn)I迷I津1

四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對角互補(bǔ)

這個(gè)隱形條件

I

————————————————————————————————————————————————―—————————————————————————JI

3兀

1.（23-24高三下?北京海淀?開學(xué)考試）如圖，在平面四邊形ABCD中，NABC=—,S=2,ABAC=ADAC,

CD=2AB=A.

⑴求線段AC的長度;

（2）求sin/AZ）C的直

2.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）如圖，平面四邊形ABC。的對角線分別為AC,BD,其中A8=0，

BCYCD,ZBCD=-ZABC.

3

⑴若3c=2,ACD的面積為"回，求ABCD的面積；

2

(2)^ZADC=i/.BCD,AD=2AB,求cos/4co的值.

TTTT

3.(23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí))在平面四邊形ABC。中，ZABC=-,ZADC=-,BC=2.

32

⑴若AB-CB=3，求AC；

(2)若AD=20,ZACB=ZACD+］，求tanZACD.

4.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱■階段練習(xí)）2023年8月27日，哈爾濱馬拉松在哈爾濱音樂公園音樂長廊鳴

槍開跑，比賽某補(bǔ)給站平面設(shè)計(jì)圖如圖所示，根據(jù)需要，在設(shè)計(jì)時(shí)要求=45=4,BC=6,

那----------------

⑴若A=等，C=4，求cos/BDC的值；

（2）若CD=2,四邊形ABC。面積為4,求cos（A+C）的值.

題型十五：四邊形最值與范圍

1.（2023,廣東惠州?一模）平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì).如圖所示，四邊

形ABCD的頂點(diǎn)在同一平面上，己知AB=BC=CD=2,AD=273.

⑴當(dāng)8。長度變化時(shí)，J§cosA-cosC是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由.

（2）記△ABD與的面積分別為S］和S2，請求出S：+S；的最大值.

2.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形A3C。中，AB=1,AO=退，CD=2,BC=亞.

（1）若8C_LCD,求sin/AZ）C；

（2）記△ABD與△BCD的面積分別記為5和S?,求+的最大值.

3.（23-24高三上?上海楊浦?期中）"我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群