人教版高中數(shù)學必修二同步學習講義：空間幾何體復習 章末復習課（含答案）

空間幾何體

【學習目標】1.整合知識結構，梳理知識網(wǎng)絡，進一步鞏固、深化所學知識2能熟練畫出幾何

體的直觀圖或三視圖，能熟練地計算空間幾何體的表面積和體積，體會通過展開圖、截面化

空間為平面的方法.

n知識梳理

i.空間幾何體的結構特征及其側面積和體積

名稱定義圖形側面積體積

有兩個面互相平行,其余

E'S惻=Ch,C為

各面都是四邊形,并且每dns

棱柱側面」底面的周長,/?V=Sh

相鄰兩個四邊形的公共邊例梭&

金為高

都互相平行

<-1

〉正棱錐側—2

有一個面是多邊形,其余N頂點

V=\sh,h

多側梭77側面

棱錐各面都是有一個公共頂點P—\\cCh',C為底

面面的周長"'為高

的三角形

AB

體為斜高

S!E?&fM=2(C

v=*s上

用一個平行于棱錐底面的

+C川，

4:邪這上底面

棱臺平面去截棱錐，底面與截畫面聞牙側棱+S下+

c,C為底面

七/F底面

面之間的部分7s上S下）h,

頂點的周長,〃為

h為高

斜高

1軸

旋以矩形的一邊所在直線為「底面S側=2兀汕,r

I

V=Sh=

轉圓柱旋轉軸，其余三邊旋轉形一側面為底面半徑,/z

71rlh

體成的面所圍成的旋轉體一母線為高

底面

以直角三角形的一條直角歹軸

S例=兀，/，v為V=1s/z=

邊所在直線為旋轉軸，其側

圓錐母線底面半徑，h

余兩邊旋轉形成的面所圍7

為高

成的旋轉體底面

v=g(s上

、巳軸

底面S側—7l(Fl+

用平行于圓錐底面的平面+S下+

廠)2/，廠1，廠2為

側面

圓臺去截圓錐，底面和截面之J

母線J底面半徑，/

間的部分=%(齊+

底面1為母線

ri+riri)h

球心與

以半圓的直徑所在直線為

S球面=4兀7?2,R

4Q

球旋轉軸，半圓面旋轉一周

為球的半徑

形成的旋轉體

r直徑

2.空間幾何體的三視圖與直觀圖

(1)三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；

它包括正視圖、側視圖、俯視圖三種.畫圖時要遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.注

意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線用

虛線畫出.熟記常見幾何體的三視圖.畫組合體的三視圖時可先拆，后畫，再檢驗.

(2)斜二測畫法：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法.它的主要步驟：

①畫軸；②畫平行于彳、y、z軸的線段分別為平行于/、V、z'軸的線段；③截線段：平

行于X、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉化.

(3)轉化思想在本章應用較多，主要體現(xiàn)在以下幾個方面

①曲面化平面，如幾何體的側面展開，把曲線(折線)化為線段.

②等積變換，如三棱錐轉移頂點等.

③復雜化簡單，把不規(guī)則幾何體通過分割，補體化為規(guī)則的幾何體等.

2題型探究

類型一空間幾何體的結構特征

例1根據(jù)下列對幾何體結構特征的描述，說出幾何體的名稱.

(1)由六個面圍成，其中一個面是凸五邊形，其余各面是有公共頂點的三角形；

(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180。形成的封閉曲面所圍成的圖形;

(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體.

解(1)如圖①，因為該幾何體的五個面是有公共頂點的三角形，所以是棱錐，又其底面是凸

五邊形，所以是五棱錐.

(2)如圖②，等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形，每個直角梯形旋轉180。

形成半個圓臺，故該幾何體為圓臺.

(3)如圖③，過直角梯形A8CD的頂點A作AOLCO于點O,將直角梯形分為一個直角三角

形和一個矩形AOCB,繞旋轉一周形成一個組合體，該組合體由一個圓錐和一個圓

柱組成.

反思與感悟與空間幾何體結構特征有關問題的解題技巧

(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據(jù)條件構建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

(2)通過舉反例對結構特征進行辨析，要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

跟蹤訓練1給出下列四種說法：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②底面為正多邊形，且相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①連接上、下底面的圓周上兩點連線要與軸平行才是母線；③直角三角形繞著直角邊

所在直線旋轉一周才能形成圓錐；④棱臺的上、下底面，相似.故只有②正確.

類型二三視圖與斜二測畫法

例2(1)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為.

IT

側視圖

答案2\(2

解析該三棱錐的直觀圖如圖所示,

并且平面ABC,

PB=2,AB=2,AC=BC=?

臥=72?+22=2巾,

PC=、22+(的2=詬

故最長.

(2)如圖，四邊形ABCD是一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，AB//CD,AD±CD,且

BC與y軸平行，若AB=6,CD=4,8c=2也，則原平面圖形的實際面積是.

答案20yj2

解析將直觀圖中四邊形ABCD還原為原圖形四邊形A'B'CD',由斜二測畫法知

B'CICD',B'C=4^2,CD'=4,A'B'=6,...平面圖形的實際面積為^X4/

X(4+6)=20V2.

反思與感悟(1)空間幾何體的三視圖遵循“長對正，高平齊，寬相等”的原則，同時還要注

意被擋住的輪廓線用虛線表示.

⑵斜二測畫法：主要用于水平放置的平面圖畫法或立體圖形的畫法.它的主要步驟：①畫軸；

②畫平行于無，y,z軸的線段分別為平行于/,<,z'軸的線段；③截線段，平行于x,z

軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

跟蹤訓練2若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()

答案D

解析A項的正視圖如圖(1),B項的正視圖如圖(2),故均不符合題意；C項的俯視圖如圖(3),

也不符合題意，故選D.

類型三空間幾何體的體積和表面積

例3(1)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

D.1+去兀

答案C

解析由三視圖知，半球的半徑R=彎，四棱錐為底面邊長為1,高為1的正四棱錐，，丫

=；X1X1X兀，故選C.

（2）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）

俯視圖

A.8+2^2B.11+2啦

C.14+2吸D.15

答案B

解析由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示.

直角梯形斜腰長為、12+12=爽,

所以底面周長為4+也，

側面積為2X（4+陋）=8+2出，

兩底面的面積和為2><3乂1義（1+2）=3,

所以該幾何體的表面積為8+2^2+3=11+2^2.

反思與感悟（1）以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各

元素之間的位置關系及數(shù)量.

（2）多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積問題要注意銜接部分的處理.

（3）旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.

跟蹤訓練3在四棱錐E—ABC。中，底面ABC。為梯形，AB//CD,2AB^3CD,M為AE的

中點，設E—A8C。的體積為憶那么三棱錐M—的體積為多少？

解設點8到平面EMC的距離為歷，點。到平面EMC的距離為h2,連接MD因為〃是AE

的中點，

所以VM—ABC￡>—2^

所以VE—MBC=2^~^E—MDC，

而VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC,

訴VE—MBCVB—EMChi

VE—MDCVD—EMChi

因為3,。到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，

hi3

而A5〃CD,且2A3=3C￡）,所以7-=不

3

所以VE—MBC=VM-EBC=ygV.

類型四與幾何體有關的最值問題

例4長方體ABC。一A/iGDi中，寬、長、高分別為3、4、5,現(xiàn)有一個小蟲從A出發(fā)沿

長方體表面爬行到G來獲取食物，則其路程的最小值為.

答案^74

解析把長方體含AG的面作展開圖，有三種情形如圖所示，利用勾股定理可得AG的長分

別為胸、市5、病.

由此可見圖②是最短路線，其路程的最小值為招.

反思與感悟求幾何體表面上兩點間的最短路徑的一般思路是化“曲”為“直”，其步驟為：

（1）將幾何體沿著某條棱剪開后展開，畫出其表（側）面展開圖；（2）將所求曲線（或折線）問題轉

化為平面上的線段問題；（3）結合已知條件求得.

跟蹤訓練4如圖所示，已知正三棱柱ABGAiBCi的底面邊長為1,高為8,一質(zhì)點從A出

發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達4點的最短路徑的長為.

Bi

答案10

解析如圖所示，將兩個三棱柱的側面沿側棱A41展開并拼接，則最短路徑為/=［齊*=

10.

ABCABCA

A】B\C]A\BiG4

3當堂訓練

1.湖面上浮著一個球，湖水結冰后將球取出，冰上留下一個冰面直徑為24cm,深為8cm

的空穴，則這個球的半徑為()

A.8cmB.10cmC.12cmD.13cm

答案D

解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設球心為O,冰面圓的圓心為。，球半徑

為R,

由圖知(9IB=1AB=12,

OO1=OC—O1C=R—8,

在RtZXOO/中，由勾股定理R2=(R—8>+122,

解得R=13(cm).

2.將長方體截去一個四棱錐后，得到的幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖為

答案C

解析俯視圖從圖形的上邊向下邊看，看到一個正方形的底面，在底面上有一條對角線，對

角線是由左上角到右下角的線，故選C.

3.若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側面積之比為()

A.1：2B.1：^3C,V3：2D.1：小

答案D

解析若圓錐的高等于底面直徑，則〃=2廠，則母線/=4西3=木廠，而圓錐的底面面積為

nr2,圓錐的側面積為兀〃=小兀，，故圓錐的底面積與側面積之比為1：小.

4.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是cm2,體積是

________cm3.

正視圖側視圖

俯視圖

答案8040

解析由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的邊長為2

cm,下面長方體的底面邊長為4cm,高為2cm,其直觀圖如圖所示，其表面積5=6X22+2X42

+4X2X4-2X22=80(cm2).體積V=2X2X2+4X4X2=40(cm3).

5.如圖所示，在所有棱長均為1的正三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側

面爬行一周到達點，求爬行的最短路程.

解將三棱柱沿A4'展開，如圖所示，

A'B'C(4)

ABCD(A)

則的長為最短路程，

即A?！疜AD2+DD'2=/.

「T規(guī)律與方法.------------------------------1

1.研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的

三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作截面把空間幾何問題轉化成平面幾何問

題來解決.

2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求

球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉化為平面問題解決.

課時作業(yè)

一、選擇題

1.給出下列命題中正確的是（）

A.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱

B.底面是矩形的平行六面體是長方體

C.棱柱的底面一定是平行四邊形

D.棱錐的底面一定是三角形

答案A

解析平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成兩個棱柱，故A正確；三棱柱的底面是三角形,

故C錯誤；底面是矩形的平行六面體的側面不一定是矩形，故它也不一定是長方體，故B錯

誤；四棱錐的底面是四邊形，故D錯誤.故選A.

2.一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：①長方形；②正方形;

③圓.其中正確的是（）

答案B

解析根據(jù)畫三視圖的規(guī)則“長對正，高平齊，寬相等”可知，幾何體的俯視圖不可能是圓

和正方形.

3.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)

學典籍，其中記載有求“禾蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該

術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高計算其體積V的近似公式V-七Z7瓦它實際上是

將圓錐體積公式中的圓周率7T近似取為3.那么，近似公式V*/k相當于將圓錐體積公式

中的圓周率兀近似取為（）

A157「「

-25-23-22

A苗B.^C.萬D-

答案D

1旦.人且

解析設圓錐的底面半徑為r,則圓錐的底面周長52s.V=^Jir91h=

12T712K

722

=麗乙2〃，提兀=萬，故選D.

4.某幾何體的正視圖如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是（）

答案D

解析根據(jù)幾何體的正視圖，得當幾何體是球體與圓柱體的組合體，且球半徑與底面圓半徑

相等時，俯視圖是A；當幾何體上部為平放的圓柱體，下部為正方體的組合體，圓柱的高與

底面圓直徑都等于正方體的棱長時，俯視圖是B；當幾何體的上部為球體，下部為正方體的

組合體，且球為正方體的內(nèi)切球時，其俯視圖是C；D為俯視圖時，與正視圖矛盾，所以不

成立.故選D.

5.已知一個半徑為#的球的內(nèi)接正四棱柱的高為4,則該正四棱柱的表面積為（）

A.24B.32C.40D.46

答案C

解析設正四棱柱的底面邊長為“，則2/+16=24,

；.a=2,...該正四棱柱的表面積為2X22+4X2X4=40,故選C.

6.某個幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體

積為（）

俯視圖

A.80+5兀B.80+10兀

C.92+14兀D.120+10兀

答案B

解析由三視圖知，幾何體是半圓柱與長方體的組合體，下面長方體的長、寬、高分別是4、

5、4,體積為4X5X4=80,上面半圓柱的半徑為2,高為5,體積為3,兀?4?5=10兀，...幾何

體的體積V=V半酶+丫長方體=80+10兀，故選B.

7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

A.48B.57C.63D.68

答案C

解析由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個長方體和三棱柱的組合體，其表面積相當于

3a1________Q

長方體的表面積和二棱柱的側面積和，故S=2X(4X3+4X23X2)-1_(3+4+^32+42)X-=

63,故選C.

二、填空題

8.如圖，正方形ABC。的邊長為1,CE所對的圓心角NCDE=90。，將圖形ABCE繞AE所

在直線旋轉一周，形成的幾何體的表面積為.

答案5兀

解析由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下面是圓柱，

?.,正方形ABC。的邊長為1,ZCDE=9Q°,

；?球的半徑是1,圓柱的底面半徑是1,母線長是1,

.,.形成的幾何體的表面積S=7tXl2+27tX1Xl+|x47tX12=5TT,故答案為5兀.

9.一個水平放置的圓柱形儲油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的點則油

桶直立時，油的高度與桶的高度的比值是.

解析設圓柱桶的底面半徑為R,

高為〃，油桶直立時油面的高度為X,

由題意知，油部分所在圓弧對應的扇形的圓心角為全

則&R2一聶2)〃=兀我2尤，所以稱=*!.

10.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為____，其表面積為.

64l

答案8兀+丁12TI+16+16\2

解析由三視圖可知，此幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個橫放的半圓柱，下面是

一個四棱錐，可得該幾何體的體積為Wx7tX22X4+/X42X4=8兀+草其表面積為兀X2X4

+nX22+1x42X2+1x4X4V2X2=1271+16+16^2.

11.如圖，在上、下底面對應邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱CG

的平面46所，這個平面分三棱臺成兩部分，這兩部分的體積之比為.

A,C,

答案3：4(或4：3)

解析設三棱臺的上底面面積為So,則下底面面積為4&),高為〃，則

17

L棱臺ABCfBiG=G(SO