人教版高中數(shù)學必修二同步學習講義：空間幾何體的三視圖和直視圖（含答案）

1.2.3空間幾何體的直觀圖

【學習目標】1.掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則2會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖.

IT問題導學

知識點斜二測畫法

思考1邊長2cm的正方形A8CD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，A'B'與。D'

有何關系？A'D'與B'C'呢？在原圖與直觀圖中，4B與A'B'相等嗎？與4D'

呢？

答案A'B'//CD',A'D'//B'C,A.'B'=AB,A'D'=|AZ).

思考2正方體ABC。一AliChDi的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個面都畫成正方形了嗎？

答案沒有都畫成正方形.

梳理(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則

(2)立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則

畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面/O'y'垂直的軸O'z'，且平行于

O'z'的線段長度不變，其他同平面圖形的畫法.

2題型探究

類型一平面圖形的直觀圖

例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖.

解(1)在已知的直角梯形08co中，以底邊08所在直線為x軸，垂直于08的腰。。所在

直線為y軸建立平面直角坐標系.畫出相應的『軸和y'軸，使O'y'=45。，如圖(1)(2)

所示.

(2)在一軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取D'=|oD,過點。'作『軸的平行

線/,在/上沿『軸正方向取點C'使得。'C=￡>C連接/C,如圖(2).

(3)所得四邊形O'B'CD'就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3).

例1中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？

解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，中點。為原點，建立直角坐標系，畫

對應的坐標系/O'y',使//O'y'=45°.

(2)以。'為中點在『軸上取A'B'=AB,在y軸上取。E'=^0E,以史為中點畫出

CD'//x'軸，并使C，D'=CD.

(3)連接3'C,D1A,,所得的四邊形A'B'CD'就是水平放置的等腰梯形A3CD的

直觀圖.

反思與感悟(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便.

(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P鍵之一，一般要使平面

多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過

作平行于坐標軸的線段來作出其對應線段.關鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面

直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.

跟蹤訓練1用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形（如圖）的直觀圖.

解（1）如圖①所示，以邊所在的直線為x軸，以邊上的高線所在的直線為y軸建

立平面直角坐標系.

0cxB'/O'C

（2）畫出對應的尤'軸、y'軸，使//O'y'=45°.

在x'軸上截取0,B'=0'C=2cm,在y'軸上截取0,A'=^0A,連接A'B',

A'C,則三角形A'B'C即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.

類型二直觀圖的還原與計算

命題角度1由直觀圖還原平面圖形

例2如圖所示，AA'B'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖

形.

Ir

O'/D'A'""x'

解①畫出直角坐標系xOy,在無軸的正方向上取。4=0,A',即CA=C'A'；

②過"作"D'//y'軸，交一軸于點，在。4上取00=0D',過Z）作。B〃y

軸，且使。8=2。'B'；

③連接A3,BC,得△ABC.

則△ABC即為B'C對應的平面圖形，如圖所示.

DAx

反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關鍵：（1）平行一軸的線段長度不變，平行/軸的

線段擴大為原來的2倍；（2）對于相鄰兩邊不與『、y'軸平行的頂點可通過作一軸，y'軸

平行線變換確定其在xOy中的位置.

跟蹤訓練2如圖所示，矩形O'A'B'C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中

O'A'=6cm,CD'=2cm,則原圖形是.

答案菱形

解析如圖所示，在原圖形。48c中，應有D'=2X2吸=4姬（cm）,CD=C'D'

=2(cm),OC^yjOD^Cb2=^/(4-\/2)2+22=6(cm),：.OA=OC,故四邊形O4BC是菱形.

命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計算

例3如圖所示，梯形AiSGd是一平面圖形ABC。的直觀圖.若4?！?。'<,Ai3i〃GA，

2_

ALBI=§G￡）I=2,0=1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積.

解如圖，建立直角坐標系尤Oy,在x軸上截取

O'￡>i=l,OC=O'Ci=2.

在過點。的y軸的平行線上截取DA=2DiAi=2.

在過點A的x軸的平行線上截取AB=AiBi=2.

連接BC,即得到了原圖形.

由作法可知，原四邊形是直角梯形，上、下底長度分別為AB=2,CD=3,直角腰的

長度4。=2,

所以面積為S=”-X2=5.

反思與感悟（1）由原圖形求直觀圖的面積，關鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實際圖形中的

高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45。角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相

應的高.

（2）若一個平面多邊形的面積為S,它的直觀圖面積為S',則S'=坐5.

跟蹤訓練3如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形

A'B'O',若B'=1,那么原三角形A3。的面積是（）

B坐

C.^2D.2^2

答案C

解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1,因此面積為3,又直觀圖與原平面圖形面積比

為也：4,所以原圖形的面積為也，故選C.

類型三空間幾何體的直觀圖

例4用斜二測畫法畫出正六棱柱（底面為正六邊形，側面為矩形的棱柱）的直觀圖.（尺寸自

定）

解如圖所示.

①畫軸,畫出x軸，y軸，z軸，使/xOy=45。，ZxOz—90°.

②畫底面.畫出正六邊形的直觀圖A2CDEE

③畫側棱.過A,B,C,D,E,F各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長

度相等的線段A4',BB',CC',DD',EE',FF'.

④連線成圖.順次連接A',正，C',O',E',『，并加以整理，就得到底面為正六

邊形，側面為矩形的正六棱柱.

反思與感悟簡單幾何體直觀圖的畫法

（1）畫軸：通常以高所在直線為z軸建系.

(2)畫底面：根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法確定底面.

(3)確定頂點：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關頂點.

(4)連線成圖.

跟蹤訓練4用斜二測畫法畫出六棱錐尸一尸的直觀圖，其中底面為正六邊

形，點尸在底面上的投影是正六邊形的中心。(尺寸自定)

解畫法：

(1)畫出六棱錐尸一ABCOEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取所在的直線為無軸，

對稱軸所在的直線為y軸，兩軸相交于點。，如圖(1),畫出相應的『軸、y'軸、z'

軸，三軸相交于。'，使O'y'=45°,O'z'=90°,如圖(2)；②在圖⑵中，以

O'為中點，在/軸上取A'D'=AD,在<軸上取N'=1w,以點N'為中點，

畫出BC平行于『軸，并且等于BC,再以為中點，畫出E'F'平行于『軸，并

且等于EF；③連接A'B',CD',D'E',F'A'得到正六邊形ABCOEF水平放置的

直觀圖A'B'CD'E'F'.

(2)畫出正六棱錐P—A8CDEF的頂點，在z'軸正半軸上截取點P',點P'異于點。'.

(3)成圖.連接PA',P'B',P'C,P'D',P'E',P'F',并擦去一軸、y'

軸和z'軸，便可得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P'一A，B'CD'E'F

3

1.利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()

4?L5LIL5//

3333

ABCD

答案c

解析正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2：1.

2.如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()

/o'

ABCD

答案c

解析在X軸上或與X軸平行的線段在新坐標系中的長度不變，在y軸上或平行于y軸的線

段在新坐標系中的長度變?yōu)樵瓉淼?并注意到/。=90。，O'y'=45°,因此由直

觀圖還原成原圖形為選項C.

3.若一個三角形采用斜二測畫法，得到的直觀圖的面積是原三角形面積的（）

A坐倍B.2倍C.坐倍DS倍

答案A

4.如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△?!'B'C',已知A'C=6,B'C

=4,則AB邊的實際長度是.

答案10

解析在原圖中，AC=6,BC=4X2=8,90°,

.*.AB=^/62+82=10.

5.畫出一個正三棱臺的直觀圖.（尺寸：上、下底面邊長分別為1cm,2cm,高為2cm）

解（1）作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖△ABC,其中。為△ABC的重心,BC=2cm,

線段4。與x軸的夾角為45。，49=2。。

（2）過。作z軸，使/xOz=90。，在z軸上截取。O'=2cm,作上底面等邊三角形的直觀圖

△A'B'C,其中夕C=1cm,連接44',BB',CC',得正三棱臺的直觀圖.

L規(guī)律與方法--------------------------------1

1.畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關鍵是確定直觀圖的頂點.確定點的位置，可采用直角

坐標系.建立恰當?shù)淖鴺讼凳茄杆僮鞒鲋庇^圖的關鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量

多地落在坐標軸上或與坐標軸平行的直線上.

2.用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握?。骸耙恍薄?、“二測”兩點：

（1）一斜：平面圖形中互相垂直的。尤、Oy軸，在直觀圖中畫成O'x'、O'y'軸，使

//O'y'=45。或135°.

（2）二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱

折半”.

課時作業(yè)

一、選擇題

1.在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若NA的兩邊分別平行于無軸、y軸，則在直觀

圖中NA'等于（）

A.45°B.135°

C.90°D.45°或135°

答案D

解析因為/A的兩邊分別平行于x軸、y軸，故/A=90。，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)

則知Nx'O'y'=45?；?35。，即/A'=45。或135。，故選D.

2.下面每個選項的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是（）

XU4k

AO\Bxo\ABXAB\OxO\AB~x

AB

k1kL

%

O\ABxCy/C__xBx

CD

答案c

解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結論.

3.如圖所示，△&'B'C是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖,其中O'C=O'A'=

20'B',則以下說法正確的是（）

c/o'

A.△ABC是鈍角三角形

B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是等邊三角形

答案c

4.關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（）

A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形

B.正方形的直觀圖為平行四邊形

C.梯形的直觀圖不是梯形

D,正三角形的直觀圖一定為等腰三角形

答案B

解析由直觀圖的性質(zhì)知B正確.

5.下列直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的是（）

答案A

解析由題意應看到正方體的上面、前面和右面，由幾何體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的

使用，可知A正確.

6.已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4,則此正方形的面積為

（）

A.16B.64

C.16或64D.無法確定

答案C

解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面積為16或64.

7.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形

狀是（）

答案A

解析直觀圖中正方形的對角線長為啦，故在平面圖形中平行四邊形的高為2吸，只有A項

滿足條件，故A正確.

8.已知兩個底面半徑相等的圓錐，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一個圓錐頂點

到底面的距離為2cm,另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm,則其直觀圖中這兩個頂點之間

的距離為()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

答案D

解析圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點間距離為2+3=5(cm),在直觀圖中與z

軸平行的線段長度不變，仍為5cm.故選D.

二、填空題

9.在斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點"(4,4)在直觀圖中的對應點是M',則點

M'的坐標為.

答案(4,2)

解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半"可得點的坐標為(4,2).

10.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O'A'B'C為菱形且邊長為2cm,則在坐標系xOy

中原四邊形。為(填形狀)，面積為cm2.

答案矩形8

解析由題意結合斜二測畫法，可得四邊形0A8C為矩形，其中OA=2cm,OC=4cm,

四邊形0A8C的面積為S=2X4=8(cm2).

11.如圖所示，四邊形0A8C是上底為2,下底為6,底角為45。的等腰梯形，用斜二測畫法

畫出這個梯形的直觀圖?！瓵'B'C,則在直觀圖中，梯形的高為.

答案1

解析作C。、于點。、區(qū)

OA-BC

則OD=EA=―=2(cm),

OD=CD=2cm,

???在直觀圖中梯形的高為Tx2=l(cm).

三、解答題

12.如圖所示，畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖.

解(1)過點C作CE_Lx軸，垂足為E,如圖(1)所示.畫出對應的尤'軸,/軸，使/尤'O'y'

=45°,如圖(2)所示.

(2)如圖(2)所示，在一軸正半軸上取點"，E',使得。B'=0B,O'E'=0E；在/

正半軸上取一點。'，使得D'=10D；過E'作E'C//y'軸，使C=|EC.

(3)連接"C,CD',并擦去/軸與/軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形

O'B'CD'就是所求作的直觀圖.

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