三角函數(shù)的概念與運(yùn)算（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第16講三角函數(shù)的概念與運(yùn)算

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第16題,14用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角

分形余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，單獨(dú)出題比較少，一般與三角函數(shù)、正余弦

定理結(jié)合出題

【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的定義，能夠求解特殊角的三角函數(shù)值

2.能掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助單位圓求解三角函數(shù)值

4.掌握三角函數(shù)的知一求二，齊次化等解題方法

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合三角函數(shù)與正余弦定理一起出題。

I飛?考點(diǎn)梳理

1?角的概念

2.日度制的相關(guān)概念考點(diǎn)一、任意角與弧度制

r知識(shí)點(diǎn)一.三角函數(shù)的定義＜3.三角函數(shù)的概念/考點(diǎn)二、扇形的弧長(zhǎng)與面積

4.常用結(jié)論考點(diǎn)三、三角函數(shù)的定義

5.三角函數(shù)定義的推廣

考點(diǎn)四、sina,cosa,tana的知一求二

三角函數(shù)的概念與運(yùn)算＜1.平方關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)二.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系＜2.商數(shù)關(guān)系考點(diǎn)五、sina,cosa,tana的齊次化

3.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形｛考點(diǎn)六、sina±cosa,sincrcosa的知一求二

1透.導(dǎo)公式

考點(diǎn)七、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

知識(shí)點(diǎn)三.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

考點(diǎn)八、誘導(dǎo)公式中的湊角求值

3同.角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.三角函數(shù)的定義

1.角的概念

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

分類：按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分成三類：正魚(yú)、負(fù)角和零角.

(2)象限角

在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾

象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(3)終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={6l6=a+上360°,AGZ},即任一與角a終

邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

2.弧度制的相關(guān)概念

(1)1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角.

⑵弧度制：

①定義：以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制.

②記法：弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度

如圖，在單位圓。中，前的長(zhǎng)等于1,NAOB就是1弧度的角.

⑶角度制和弧度制的互化：180。=1rad,1。=得rad,lrad=(*j)

(4)扇形的弧長(zhǎng)公式：1=區(qū)力扇形的面積公式：其中r是半徑，a(0<a<2兀)為弧所對(duì)圓心角.

3.三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，aGR,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(尤，y),那

么

定義

上叫做a的正弦，記作工叫做a的余弦，記作初做a的正切，

sinacosa

記作tana

4.常用結(jié)論

(1)一個(gè)口訣

三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(2)三角函數(shù)在每個(gè)象限的正負(fù)如下表：

第一象第二象第三象第四象

三角函數(shù)

限符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sina++一一

cosa+一一+

tana+—+—

(3)象限角

第一象限角)同淅《<妹+豺ez

T第三象限角)同"正水次"7^岑'A￡Z)

第四象限｛?|2Anr+^<a<^+2^kEZ

(4)軸線角

軸

線

角

的

集

合

終邊落在坐標(biāo)軸上的角K=//EZ)

5.三角函數(shù)定義的推廠

設(shè)點(diǎn)尸(%,y)是角。終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r=\OP\,則sina=：,cosa=*tana=".

知識(shí)點(diǎn)二.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.平方關(guān)系：sin2a+cos21=l.

2.商數(shù)關(guān)系：：=tan成+kmA￡Z).

CO!ScZ]乙y

3.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形

(1)sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l-cosa)；cos2a=1-sin2a=(1+sina)(l—sina).

(2)sina=tanacosa(a￥fac+1,4GZ).

(3)(sina±cosa)2—l±2sinacosa.

知識(shí)點(diǎn)三.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式

組數(shù)—■二三四五六

a-\~2kji71

角兀匹_L

+a~a7i—a2~a]+a

(0)

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosc—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指方的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.

3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形

(l)sin2ot=1—cos2ot=(l+cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina)；

(sin。士cosQ)2=l±2sinacosa.

(2)sina—tanotcos埠+%兀，%￡Z).

.2_____sin2a_______tan2a

Sinasin2(z+cos2(ztan2oc+1*

2cos2a________]

COSasin2(x+cos2atan2a+r

考點(diǎn)一、任意角與弧度制

典例引領(lǐng)

1.（2015?山東?高考真題）終邊在y軸的正半軸上的角的集合是（）

A.{%k=：+2々兀,keZ}B.|x=|+fc7tj

C.{x卜=-]+2/CT,keZ}D.{比卜=—B+/ot,kez）

2.（23-24高三下?江西■階段練習(xí)）已知集合A=卜|2碗+^<x<2kn+y,fcez},集合B=^x\kn+^<x<

+ez},貝！MCB=（）

A.（2/CTT+-,2,kn+J,keZB.（kn+—,kit+J，fcGZ

C.（2k兀+—,2/c兀+]）,keZD.（kit+—,kn+g），fc6Z

1.（23-24高三上.上海靜安.期末）設(shè)a是第一象限的角，貝吟所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D(zhuǎn).第二象限或第四象限

2.（23-24高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）若a是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+aC.360°-crD.3600+a

3.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）從2023年12月14日13：00到當(dāng)天13：25,某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度

為（）

A.刊B.空C.—空D.—至

6363

4.（22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考）①若角a與角0的終邊相同，貝b與￡的數(shù)量關(guān)系為；②若角a與角

S的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，貝必與/?的數(shù)量關(guān)系為；③若角a與角。的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，貝Ua與￡的數(shù)

量關(guān)系為;④若角a與角￡的終邊在一條直線上，貝b與/7的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果a是第

一象限的角，那么g是第象限的角.

考點(diǎn)二、扇形的弧長(zhǎng)與面積

.典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積=|（弦X矢

+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心

到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為8e6（0,現(xiàn)，且cos"2半徑等于10m的弧田，按照上述給出的面積公

式計(jì)算弧田面積是（）

2.（2024高三下?四川成都?專題練習(xí)）如圖，圓O內(nèi)接一個(gè)圓心角為60。的扇形4BC,在圓O內(nèi)任取一點(diǎn),

則該點(diǎn)落在扇形ABC內(nèi)的概率為（）

1.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）如圖，曲線段A8是一段半徑為R的圓弧，若圓弧的長(zhǎng)度為罟，則A,B兩點(diǎn)

間的距離為（）

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在RtAPB。中，APBO=90°,以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP

于點(diǎn)A.若圓弧AB等分APOB的面積，且乙4O8=a,則q.

tana

;

BO

3.（22-23高三上?安徽六安?階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為20CM,則當(dāng)扇形的圓心角a=—扇形面積最大.

4.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》

包含一張弦表（即不同圓心角的弦長(zhǎng)表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，

用圓的半徑長(zhǎng)的去作為單位來(lái)度量弦長(zhǎng).將圓心角a所對(duì)的弦長(zhǎng)記為crda.如圖，在圓。中，60。的圓心角所對(duì)

的弦長(zhǎng)恰好等于圓。的半徑，因此60。的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，即crd60。=60.若。為圓心角，

cose=<e<180°）,則crd。=—.

考點(diǎn)三、三角函數(shù)的定義

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上.江蘇南京.階段練習(xí)）已知角a終邊上有一點(diǎn)P（sin￡,cos勺，則?！猘是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點(diǎn)為原點(diǎn)0,以x軸的非負(fù)半軸為始邊,

終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（租<0）,則下列各式的值恒大于0的有（）個(gè).

①②cosa—sina；③sinacosa；④sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

即時(shí)便測(cè)

1.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）己知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P（^sin|,cos0,貝?。輈os（a+9=（）

A.0B.-C.—D.—

222

2.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）“角a,￡的終邊在同一條直線上”是“sin（a-/?）=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024.寧夏石嘴山.三模）在平面直角坐標(biāo)系中，角8的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終

邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,2）,貝!17cos2。—2sin28=（J

11

A.--B.-C.-2D.2

55

4.（2020高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若角。的終邊上有一點(diǎn)P（a,a）（a。0）,貝kin。的值是.

考點(diǎn)四、sinscosatana的知一求二

典例引領(lǐng)

1.（2024.山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）己知sin（岑+a）=曰且;<a<IT,貝!Jtana=（）

A.-V3B.--C.—D.3

33

2.（23-24高三下?遼寧?階段練習(xí)）已知cos。=—2，3E（0,7i）,貝Ucos（］—2。）=

即迪測(cè)

1.（2024?山東?二模）已知sina=：,且a￡償,兀），那么理翌=.

5\2Jcos^cc

2.（2024?西藏林芝?模擬預(yù)測(cè)）已知銳角a滿足sin2a=tana,則cosa=.

考點(diǎn)五、sina,cosatana的齊次化

典例引領(lǐng)

1.（2024?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知tana=2,則誓竺￡竺=（）

2sina-cosa

A.-B.—C.-D.2

333

2.（2024?四川自貢?三模）已知角a滿足2a=3,貝kin2a=（）

sin2a

A._煙B.型C.-三D.三

101055

即時(shí)便測(cè)

1.（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）若tana=|,則sin2a-2cos2a—2=（）

2.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知tan6=2VL則cos22=()

A.--B.-C.--D.-

9999

3.(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè))已知喏當(dāng)=2,則:吸—=______-

sin0+cos02sme+cos3。

考點(diǎn)六、sina+cos*sina?cosa的知~求二

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下.安徽蕪湖?階段練習(xí))已知8s2a=3,貝㈣n2a=()

sma+cosa3

A.漁B.iC.三D/

3343

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知sina+cosa=工，ae(0,TI),則tana----=()

5tana

即時(shí)檢測(cè)

1.（23-24高三上?天津河西?階段練習(xí)）已知仇e（0,71）,sina+coscr=—y,則cos2a=（）

A.+-B.-C.--D.+亞

-333-9

2.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）已知sinacosa=：,且:<a<a則下列結(jié)果正確的是（）.

A.sin2a=工B.sina+cosa=—

82

C.sina—cosa=-----D.tana=4—V15

2

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知sin6,cos。是關(guān)于X的方程25/-35%+a=0的兩個(gè)實(shí)根，則二---

sinyCOS（TT+8）

的值為.

4.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）已知。是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足cos。-sin?=-二，則紀(jì)"展普理=

5sin0

（）

2929

A.--B.--C.-D.—

510510

考點(diǎn)七、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.（2024?北京通州?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,

終邊與單位圓交于點(diǎn)P/，—I）,則cos（兀—2a）=（）

9779

A.--B.--C.—D.—

25252525

2.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）“sin（a-2024兀）＞0”是“a為第一象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

即時(shí)性測(cè)I

1.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）3—）=—.

2.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知tana=[,則tan（2024兀+2a）=.

,,.,_…、一，,、?,sin*2a3*5—3cos（a+?）cosa/、

3.（2024?廣東戊名?一模）已知cos（a+兀）=-2sina,則--------------=（）

cos2a+l

247

A.-1B.--C.-D.-

558

4.（2024?河南?二模）已知sin%+cos%=1,則cos（2%—]）=（）

A.--B.-C.-D.--

5599

考點(diǎn)八、誘導(dǎo)公式中的湊角求值

典例引領(lǐng)

1.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知a為銳角，且cos（a+§=?,貝|tan（；—a）=（

A.———B.—V2C.V2D.——

22

2.（21-22高三上?廣東深圳期中）己知sin（a+1）=點(diǎn)貝Ucos（a—（）

4343

A.--B.--C.-D.-

5555

1.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測(cè)）已知sin（a+：）=|,貝|cos（2a—,）=（）

2211

A.-B.--C.-D.--

3399

2.（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）已知sin（0+^）=|,貝bin儂一§=（）

5511

A.--B.-C.--D.-

9999

3.（2024.浙江.模擬預(yù)測(cè)）已知a￡（0，m，singer—=p貝！Jcos（a+g）=（）

4.（23-24高三上?福建莆田?期中）已知cos（g—a）=日，則cos（g+a）=

1%.好題沖關(guān)?

A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2024?山西晉城?二模）已知圓錐的側(cè)面積為12兀，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為g的扇形，則此圓錐的體積

為（）

A.6/兀B.C.6W兀D.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知a>0,若cos。=瞥，則cos（。+習(xí)的值為（）

A.-B.1C.--D.—

222

3.（2024?新疆?三模）已知2sin2a=cos2a+1,貝！Jcosa=（）

A.iB.漁C.立D.2

5535

4.（23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知sing+a）=2sin（j-仇），則cos2a的值為（）

2334

A.--B.-C.-D.-

3545

5.（2024.吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè)）若cos（a-3=$則sin2a=（）

5577

A.--B.-C.--D.-

8888

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知a是第二象限角，且其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,4）,則tan]=.

7.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：cos72°cos（-36°）=.

B能力提升

1.（2024?全國(guó)?二模）已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為

(-1,-2),則sin3a=()

遍2V5

A.出B.-公C2D.

552525

2.（2024?河北?三模）已知點(diǎn)P（sin等,cos等）在角2的終邊上，則,in。=()

1+COS0

V6

A.漁B.立c遍D.

3232

3.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）己知cos佇-8）=；，則詈^=()

）4tan（e+R

15-15-1515

AA.—B.—C.—D.

2478

4.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）sinx"+2cos2x的最小值為（）

_越_3

A-