全等三角形模型之奔馳模型-2025年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型（含答案）

全等三角形模型之奔馳模型-2025年中考數(shù)學(xué)常見幾何

模型

全等三角解模型之解馳模整

在探討奔馳模型時，我們著重于利用幾何變換的技巧，尤其是線段的巧妙轉(zhuǎn)移，以滿足特定的聚合條

件，從而推導(dǎo)出我們所需的結(jié)論。幾何變換的工具箱里，軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)和位似等都是我們得心應(yīng)手

的工具，而在奔馳模型的探索中，旋轉(zhuǎn)技巧尤為關(guān)鍵。具體而言，旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用又可細分為旋轉(zhuǎn)全等和旋轉(zhuǎn)

相似兩大類。今天，我們將聚焦于奔馳模型中的旋轉(zhuǎn)全等類型進行深入剖析。

在掌握幾何模型的過程中，一個常見的誤區(qū)是過分依賴模型的結(jié)論，而忽視了其背后的證明邏輯與

方法論。這種做法無異于舍本逐末，因為數(shù)學(xué)考察的是靈活應(yīng)變的能力，而非死記硬背。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

時，我們應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上記憶，確保能夠靈活運用所學(xué)知識。很多時候，解決問題的靈感正是來源于對

已有知識和方法的深刻理解與適當(dāng)拓展。

針對幾何模型的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達到以下幾個基本要求：首先，要能夠識別并理解幾何模型，從題目中

準(zhǔn)確提煉出模型的特征；其次，不僅要記住模型的結(jié)論，更要深刻理解并掌握其證明思路和方法；最后，要

明了模型中的常見易錯點，因為很多題目的考察點都圍繞這些易錯點展開。

然而，僅僅滿足這些基礎(chǔ)要求還不足以在幾何學(xué)習(xí)中脫穎而出。為了取得更優(yōu)異的成績，學(xué)生需要

在日常學(xué)習(xí)中通過大量的練習(xí)，深化對幾何模型的認識，認真理解每一種題型的本質(zhì)，真正做到活學(xué)活

用。只有這樣，才能在面對復(fù)雜多變的幾何題目時，游刃有余，找到解決問題的最佳路徑。

-oo

例題講模型.....................................................................................1

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）.........................................................1

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）....................................................6

模型3.奔馳模型3（點在三角形外一雞爪模型）..................................................9

習(xí)題練模型....................................................................................14

-O【例題講模型。O

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）

9模型解讀

此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查,還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因為旋轉(zhuǎn)的特

征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等,每一個頂點出發(fā)都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。等邊

三角形三個頂點都可以作為旋轉(zhuǎn)中心（如上圖的旋轉(zhuǎn)）。

條件:如圖，已知正三角形內(nèi)有一點P,滿足+P02=p02（?？紨?shù)據(jù)：BP=3,AP=4,CP=5）,

結(jié)論：/APB=150°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

AA

常用結(jié)論等邊三角形的面積公式:S&ABC=乎?人口2（選填題非常適用）

S模型證明

證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP'，連接PC。

?.?三角形ABC和三角形4Pp都為等邊三角形；=AP=AP=PP,ZBAC=APAP'=APP'A

=60°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.ABAP=AP'AC,：.△ABP=叢ACP'（SAS）,BP=CP',

/APB=/APC；

...+pB2=pC2,p,pi+p，C2=pC2,2Ppe=90°,

/.ZAP'C=ZPP'C+APP'A=150°；/.ZAPS=150°=

s模型運用

注意:多線段共端點?？夹D(zhuǎn)。

1.（23—24八年級下.廣東深圳.期中）如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且=2,1.5,

PC=2.5,則乙4尸口的度數(shù)為°.

2.（2022.湖南.中考真題）如圖，點O是等邊三角形4BC內(nèi)一點，OA=2,OB=1,OC=心，則AA98

與ABOC的面積之和為（）

A

A.4B.容C.D.V3

424

3.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）如圖，△ABC,△CDE都是等邊三角形，將△CDE繞點。旋轉(zhuǎn)，使得點

在同一直線上，連接8E.若8E=2,AE=7,則CD的長是.

4.（2024.安徽.一模）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且E4=3,PB=4,PC=5,以為邊在

△ABC外作相。?？者B接尸Q,則以下結(jié)論中不正確的是（）

A.ZFBQ=60°B.ZPQC=90°C.ZAPC=120°D.ZAPB=150°

5.（24—25九年級上?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，。力=3,OB=4,OC=5,將線

段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，下列結(jié)論，①/\BO'A可以由△BOC繞點B

逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點。與O的距離為5；③AAOB=150°；④四邊形面積=6+4代；

⑤5澳℃+$澳03=6+壓0,其中正確的結(jié)論是（）

A

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）

S模型解讀

條件:如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P,滿足P&2+^PAf=PC2,

結(jié)論：ZCFB=135°o（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

4A

S模型證明

證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP,連接PC。

?.?三角形ABC和三角形4Pp都為等腰直角三角形；

AB=AC,AP=AP',ABAC=APAP'^90°,P'P=72PA,AAP'P=45°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.APAB=AP'AC,：./\ABP=/XACP'(SAS),：.BP=CP',

NAPB=NAP，C；

PB2+(V2B4)2=PC2,AP'C2+P'P2=PC2,：.2Ppe=90°,

/AP'C=4Ppe+APP'A=135°；/./APB=135°。

s模型運用

6.(23-24九年級上?湖北孝感?階段練習(xí))如圖，等腰直角AACB,AC=B。，點P在△AC?內(nèi),PC=

2,24=3,/RLD=/ACP則P8的長為()

7.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）如圖，在正方形4BCD外取一點E,連接DE,AE,CE,過點。作Z2E的

垂線交AE于點P,若。E=PC=2西則下列結(jié)論:①△AP?？铡鰿E。；②AELCE；③

點。到直線。E的距離為2代；④S正方形的您=26其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，①ZVIBC中，/AC?=90°,AC=4V3,BC=6.點P為

△ABC內(nèi)一點，且滿足M2+。。2=4。2.當(dāng)?shù)拈L度最小時，則△ACP的面積是

9.（2024.河北.?？家荒＃┤鐖D1,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,B4=J^,=PC=1,求NBPC

的度數(shù).

圖1圖2圖3

【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于

是將△BPC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到了△BPA（如圖2）,然后連結(jié)PP，.

【解決問題】請你通過計算求出圖2中/8PC的度數(shù)；

【比類問題】如圖3,若在正六邊形ABCE底尸內(nèi)有一點P,且a4=2，i3,P8=4,PC=2.

（l）NBPC的度數(shù)為；（2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為.

模型3.奔馳模型3(點在三角形外一璃爪模型)

S模型解讀

模型1)條件:如圖L點P在等邊三角形ABC外，若CP2+AR2=8產(chǎn),結(jié)論：/CR4=30。。

模型2)條件:如圖2,點P在等腰直角三角形ABC外，若CP+(V2AF)2=BP2，結(jié)論：ZAFC=45°?

(注意:上述兩個模型結(jié)論和條件互換也成立)

圖1圖2

雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化,結(jié)合勾股定理，非常有意

思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。

S模型證明

模型1)證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP,連接。。。

?.?三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；

：.AB^AC,AP=AD=DP,ZBAC^APAD=AAPD=60°；

/.ABAC+ZPAC=ZPAD+APAC,：.NBAP=ACAD,：./\BAP=△CAD(SAS),：.BP=CD；

■：CP2+AP2=BP2,

:.PC-+DP2=CD2,

：.4DPC=90°,/.AGFA=ADPC-AAPD=30°0

模型2)證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP',且/.PAD=90°，連接PC。

?.?三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；

AB^AC,AP^AD,/BAC=/B4D=90°,DP=V2PA,/APD=45°；

ABAC+APAC=APAD+ZPAC,：.APAB=ADAC,

/\ABP=AACD(SAS)，:.BP=CD；

■：CP?+(V2AP)2=BP2,CP2+DP2=CD2,2DPC=90°,

AAPC=ZDPC-ZAPD=45°o

S模型運用

10.（2024九年級上.重慶?專題練習(xí)）如圖，P是等邊三角形ABC外一點，9=3,PB=4,PC=5,求

/.BPA的度數(shù).

11.（2023?廣西賀州?二模）如圖，點P為等邊三角形ABC外一點，連接24,。。，若弘=7,PB=9,

ZAPS=30°，則PC的長是.

12.（23—24八年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5,CD=3,4ABe=NACB=

A.V34B.-S/41C.V43D.V59

13.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上,老師出了這樣一個問題：“如圖1,在

四邊形4BCD中，=/ABC=60°,ZADC=30°,AD=4,8。=5,求CD的長.”經(jīng)過小組

合作交流,找到了解決方法:構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.將△BCD繞點口逆時針旋轉(zhuǎn)60°到ABAE,連接DE.

則是等邊三角形，所以DE=AD=5,導(dǎo)角可得乙DAE=90°,所以CD==爐工萬7=

3.

（1）請補全圖形；

【探究應(yīng)用1（2）如圖2,在△4BC中，AB=AC,ZBAC=120°.D為ZVIBC外一點,且AADB=

50°,栗=乎，求乙4。。的度數(shù)；

【拓展延伸】（3）如圖3,在△4BC中，4B=AC,ABAC=120°,AD，于。，河為4D上一點，連

接BM,N為W上一點,若AN=V2,BN=V3,/.BAN-ACBN=30°,連接CN,請直接寫出線段

av的長

圖i圖2

習(xí)題練模型

14.（2024九年級?重慶?期中）如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點P,使得/4?。:/498:/8。。=7:8:9,那么

以AP,BPGP的長度為邊長的三角形的三個內(nèi)角的大小之比為.

A

P

BC

15.（23-24九年級下?吉林?階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條

件相對集中，以達到解決問題的目的.

【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P,E4=2,尸口=g,PC=l,求NBPC的度數(shù).

解:如圖①,將線段BP繞點口逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP',連接AP',PP'.

?：BP=BP',AP'BP=60°，:./\PBP'是等邊三角形，：.ABP'P=60°,PP'=PB=V3,

???△ABC是等邊三角形，ZABC=60°,BC=BA,

：.AABC-NABP=4PBp-AABP,即4PBe=ZP'BA.請你補充完整解答過程.

【應(yīng)用問題】如圖②,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,若P4=@,=4,PC=3,則ABPC=_°,

【拓展問題】如圖③，在正方形ABCD中,對角線AC,RD相交于點O,在直線上方（包括直線

4。）有一點。，上4=4,。。=2,連接PO,則線段PO的最大值為.

16.（23-24九年級上.山西呂梁?期末）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形

內(nèi)有一點。,且融=3,。8=4,「。=5,求的度數(shù).

張明同學(xué)是這樣思考的:如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△△「右,連接PP,得到兩個特殊的三角

形，從而將問題解決.

圖2

（1）請你計算圖1中的度數(shù)；（2）參考張明同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,在正方

形ABCD內(nèi)有一點P,且E4=2打，1,尸。=，行,求NAPB的度數(shù).

17.（23-24九年級上?重慶沙坪壩?期末）（1）已知如圖1,在△ABC中，=/4BC=90°,點。在

△ABC內(nèi)部，點E在△ABC外部，滿足BD_LBE,且BD=BE.求證：/\ABD左/XCBE.

（2）已知如圖2,在等邊△ABC內(nèi)有一點P,滿足上4=5,尸口=4,9。=3,求/8?。的度數(shù).

E

圖1圖2

18.（2023?四川綿陽?一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點P為平面內(nèi)一點,

（1）若點P在正方形內(nèi)，如圖1,弘==2,求AAPB的度數(shù)；

（2）若點P在正方形外，如果E4==b,如圖2,且AAPB=45°,求的長.（用a,b表示）

19.（23-24九年級上.浙江紹興.階段練習(xí)）閱讀材料題:浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個題目：已

知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點，連接R1、P8、PC,若00=2,24=4,NAPC=135°,求P8

的長.

小明看到題目后，思考了許久，仍沒有思路，就去問數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是:將△MC繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)90°得到再利用勾股定理即可求解本題.請根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中

線段的長為.

【方法遷移】：已知:如圖二，ZVIBC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點，若？。=1,弘=2,9口=《，

求NAP8的大小.

【能力拓展】：已知:如圖三，等腰三角形ABC中乙4cB=120°,。、E是底邊AB上兩點且乙DCE=

60°,若AD=2,_BE=3,求小的長.

20.（2024?河南?校考一模）（1）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖，點P是等

邊三角形4BC內(nèi)一點,PA=1,PB=V3,PC=2,求ABPC的度數(shù).為利用已知條件,不妨把^BPC

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ZVLPC,連接PP,則PP'的長為；在^PAP'中，易證APAP'=90°,

且ZPP'A的度數(shù)為，綜上可得/BPC的度數(shù)為；（2）類比遷移:如圖，點P是等

腰HS4BC內(nèi)的一點，乙4cB=90。,24=2,可=2,「。=1.求/4PC的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如

圖，在四邊形4BCD中，8C=3,CD=5,48=AC=/4D,/R4C=2/4DC,請直接寫出8。的長.

21.（23-24九年級上?山東德州?期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分繞著公共

端點旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來,從而達到解決問題的目的.

⑴如圖1,等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P,連接AP,BP,CP,NAPB=135°,為探究AP,BP,

CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP,繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至U△ACP',連接PP'，則

PP'=AP,/\CPP'是三角形，AP,BP,CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,連接4P、BP、CP,ZAPB=150°,請借助第一問的方法探

究AP.BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖3,在四邊形4BCD中，4D〃BC,點P在四邊形的內(nèi)部，且=ACPD=9Q°,ZAPS

=135°,4D=4,BC=5,請直接寫出AB的長.

22.（2023?山東濟南?模擬預(yù)測）（問題提出）如圖1,在等邊△ABC內(nèi)部有一點P,24=3,P6=4,PC=

5,求的度數(shù).

（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題.

【嘗試解決】將A4PC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△4PB,連接PP'，則A4PP為等邊三角形.

PP'=PA=3,又；PB=4,PC=5,PP燧+PRZuPC2,.,.△BP'P為三角形，/APB的度

數(shù)為.

【類比探究】如圖2,在△4BC中，/BAC=90°,AB=AC,其內(nèi)部有一點。,若可=2,。8=1,0。

=3,求乙4pB的度數(shù).

【聯(lián)想拓展】如圖3,在△4BC中，NR4C=90°,NBC4=30°,其內(nèi)部有一點P,若％=3,2,

PC=4四,求/4PB的度數(shù).

23.（23—24九年級上?云南曲靖?階段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點15,且融=2,可="，9。=

1,若把BP繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BP',連接PP',AP'.

（1）求ZBPC的度數(shù)；（2）求尸P的長.（3）求點P劃過的路徑長；

（4）當(dāng)BC=暫時,如果ABPA是由ABPC旋轉(zhuǎn)所得,求PC掃過的區(qū)域的面積.

24.（23-24九年級上?湖北武漢?期中）如圖，在等腰RiAABC中,AACB=90°,點P是AABC內(nèi)一點，連

接PA,PB,PC,^.PA=V2PC,設(shè)ZAPB=a,ACPB=p.

⑴如圖1,若ZACP=45°,將APBC繞點、C順時針旋轉(zhuǎn)90°至ADAC,連結(jié)。P,易證ADAP為等邊

三角形，則a=,B=；（2）如圖2,若PB=/E4,則a=,￡=；

（3）如圖3,試猜想a和￡之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

25.（23-24九年級上?廣東深圳?期中）【問題背景】:如圖1,在等邊△4BC中，點。是等邊△48。內(nèi)一點,

連結(jié)AD,RD,將/\ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE,連結(jié)。E,觀察發(fā)現(xiàn):AD與DE的數(shù)量

關(guān)系為,4ADE=度；

【嘗試應(yīng)用】:如圖2,在等腰Rt/\ABC中，AB=AC,ABAC=90°,點。是Rt/\ABC內(nèi)一點,連結(jié)

AD,BD,CD,4。=22，_8。=5,8=3,求"5面積.

【拓展創(chuàng)新】:如圖3,在等腰AABC中，AB=AC,ABAC=120°,點。為平面內(nèi)一點，且NADB=

60。，架=3,則條的值為

JDUCU

圖1圖2圖3

?M

26.（23—24九年級.遼寧鞍山.期中）問題情境,利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫好

=08,乙48C=90°,要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段,探究圖形中的結(jié)論.

問題發(fā)現(xiàn),某小組將線段AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段旋轉(zhuǎn)角設(shè)為a,連接CD、,如圖1

所示.如圖2,小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點。落在邊47上時，/氏4。=2/050=①；

如圖3,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a每改變一個度數(shù)時，CD的長也隨之改變.……

問題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1,請你解答.

BBB

（DA（一/

D

圖1圖2圖3

如圖1,在①△ABC中，4B=CB,AABC=90°,將線段AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,設(shè)轉(zhuǎn)

角設(shè)為a,連接CD、ED.⑴如圖2,當(dāng)點。落在邊AC上時,求證：2NCBD=NBAD=a；⑵如圖

3,當(dāng)a=30°時,若AB=、后+2，求CD的長.（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā)，將等

腰三角形的頂角改為100°，嘗試畫圖，并提出問題請你解答.如圖4,ZVLBC中，4B=CB,4ABe=

100°,將線段AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段4D,旋轉(zhuǎn)角a=2!0°,連接CD、BD,求NACD的度數(shù).

B

C、A

圖4

27.（2024?吉林長春?一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集

中，以達到解決問題的目的.

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P,上4=2,尸6求NBPC的度

數(shù).愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP,連接AP\PP',則

△BPC篤ABPA,然后利用"PP和△4PP形狀的特殊性求出ZBP'A的度數(shù)，就可以解決這道問

題.

下面是小明的部分解答過程：

解:將線段8P繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段.,連接AP\PP',

BP=BP',AP'BP=60°,/./XPBP'是等邊三角形，二ZBP'P=60°,PP'=PB=V3.

???△ABC是等邊三角形，/ABC=60°,BC=BA,

：.AABC-AABP=AP'BP-AABP,即APBC=ZP'BA.

請你補全余下的解答過程.（2）【類比遷移】如圖②，在正方形4BCD內(nèi)有一點「,且融=歷，。6

=20，PC=1,則ABPC=度.⑶【拓展延伸】如圖③，在正方形ABCD中,對角線

47、8。交于點。,在直線人。上方有一點。，上4=4,。0=2,連接「0,則線段。0的最大值為__

圖③

?M

28.（23-24九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）【幾何感知】如圖（1）,在4ABC中，點。為BC邊上一點,連接

AD,點P為線段AD上一點,連接PB、PC得到有公共邊的兩個△4BP和△4PC,求證：S^p-.S^p

=BD;DC.

【類比遷移】如圖⑵，在放A4BC中，點。、E、尸分別為線段BC、AC.AB上的點，線段A。、BE、

CF交于點P,若BD-.DC=1：2,=1：1,則4F：砂1=.

【拓展遷移】如圖（3）,在Rt/\ABC中，AABC=90°,AB=3,BC=4,點P為AABC內(nèi)部一點,且

S“BP：SAACP：SABCP=5:15:12,則線段AP=.

29.（23—24九年級上?山東德州?期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)遇到了如下問

題：如圖1,在等邊△48。中，點P在內(nèi)部，且_B4=3,PC=4,NAPC=150°,求的長.經(jīng)過同學(xué)

們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得

到AABD,連接,尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系.即能求PB=請參考他們的想

法，完成下面問題：

【學(xué)以致用】如圖2,在等腰直角ZVIB。中，乙4cB=90°,P為△4BC內(nèi)一點，E4=5,PC=22，

NBPC=135°，求尸B的長；

【能力拓展】如圖3,等腰三角形中，乙4cB=120°,。、E是底邊AB上的兩點且NDCE=60°,

若AD=2,跳;=3,求DE的長.

圖1圖2圖3

30.（2024.陜西西安.模擬預(yù)測）問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC=4,NR4C=45°,則48的

最大值是.（2）如圖②，已知在五力△4BC中，/ABC=90°,=為△4BC內(nèi)一點，且

AD=2V7,BD=2.,CD=6,請求出/4DB的度數(shù).

問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC,且48=

AC.NR4C=120°,點A、8、C分別是三個任務(wù)點，點P是△ABC內(nèi)一個打卡點.按照設(shè)計要求，

CP=30米,打卡點P對任務(wù)點A、B的張角為120°,即ZAPB=120°.為保證游戲效果，需要4、P的

距離與8、P的距離和盡可能大,試求出AP+BP的最大值.

圖①

???

31.（2024山東校考二模）【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ZVLBC的三個頂點均在格點上.

圖①圖②圖③

（1）請按要求畫圖:將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應(yīng)點為B,點C的對應(yīng)點為C,

連接8日（2）在⑴所畫圖形中，/48歸=.

【問題解決】如圖②,在等邊三角形ABC中，AC=,點P在AABC內(nèi)，且AAPC=90°,ZBPC=

120°,求AAPC的面積.

小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：

想法一:將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP8,連接PP,尋找線段玄、PC之間數(shù)量

關(guān)系；

想法二:將△APR繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到,連接PP,，尋找線段PA,PC之間的數(shù)

量關(guān)系；

請參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程.（求解一種方法即可）

【靈活運用】如圖③，在四邊形ABCD中，垂足為E,ABAE=ZADC,BE=CE=2,CD

=5,AD=kAB（k為常數(shù)），直接寫出BD的長（用含k的式子表示）.

?M

32.（23-24遼寧九年級上期中）【問題初探】（1）如圖1,P為等邊三角形內(nèi)一點,滿足PB=1,PA=V2,

PC=V3,試求ABPA的大小.李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點6逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點P的對應(yīng)點為

P,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,再連接PP'.將求Z.BPA分成求Z.BPP'和/APP的和即可.請你按照李明同

學(xué)給出的旋轉(zhuǎn)的思路,求ZBB4的大??；

【問題解決】（2）如圖2,在正方形中，E,斤分別為BC,CD邊上的點，滿足斤=45°,若

4B=3,_BE+。尸=述■，求△AEF1的面積；

【問題拓展】（3）如圖3,在四邊形4BCD,AB=BC=2,ZABC=ZADC=45°,求8。的

長.

BECD

圖2

33.（23-24九年級上?重慶江北?期末）【問題背景】如圖1,P是等邊三角形ABC外一點，/APB=30°,

則B42+FB2=PG.小明為了證明這個結(jié)論,將△上48繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60°,請根據(jù)此思路完成其

證明；

【遷移應(yīng)用】如圖2,在等腰直角三角形ABC中，R4=,AABC=90°，點P在AABC外部，且

乙即。=45°,若4人。。的面積為5.5,求？。；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,在四邊形中，/?！?點E在四邊形ABCD內(nèi)部，且DE=EC,/DEC

=90°,乙4EB=135°,4D=《，BC=啰,直接寫出48的長.

全等三角解模型之解馳模整

在探討奔馳模型時，我們著重于利用幾何變換的技巧，尤其是線段的巧妙轉(zhuǎn)移，以滿足特定的聚合條

件，從而推導(dǎo)出我們所需的結(jié)論。幾何變換的工具箱里，軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)和位似等都是我們得心應(yīng)手

的工具，而在奔馳模型的探索中，旋轉(zhuǎn)技巧尤為關(guān)鍵。具體而言，旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用又可細分為旋轉(zhuǎn)全等和旋轉(zhuǎn)

相似兩大類。今天，我們將聚焦于奔馳模型中的旋轉(zhuǎn)全等類型進行深入剖析。

在掌握幾何模型的過程中，一個常見的誤區(qū)是過分依賴模型的結(jié)論，而忽視了其背后的證明邏輯與

方法論。這種做法無異于舍本逐末，因為數(shù)學(xué)考察的是靈活應(yīng)變的能力，而非死記硬背。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

時，我們應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上記憶，確保能夠靈活運用所學(xué)知識。很多時候，解決問題的靈感正是來源于對

已有知識和方法的深刻理解與適當(dāng)拓展。

針對幾何模型的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達到以下幾個基本要求：首先，要能夠識別并理解幾何模型，從題目中

準(zhǔn)確提煉出模型的特征；其次，不僅要記住模型的結(jié)論，更要深刻理解并掌握其證明思路和方法；最后，要

明了模型中的常見易錯點，因為很多題目的考察點都圍繞這些易錯點展開。

然而，僅僅滿足這些基礎(chǔ)要求還不足以在幾何學(xué)習(xí)中脫穎而出。為了取得更優(yōu)異的成績，學(xué)生需要

在日常學(xué)習(xí)中通過大量的練習(xí)，深化對幾何模型的認識，認真理解每一種題型的本質(zhì)，真正做到活學(xué)活

用。只有這樣，才能在面對復(fù)雜多變的幾何題目時，游刃有余，找到解決問題的最佳路徑。

C

例題蝌型.....................................................................................1

模型1.奔馳模型i（點在等邊三角形內(nèi)）.........................................................1

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內(nèi)）....................................................6

模型3.奔馳模型3（點在三角形外一雞爪模型）..................................................9

習(xí)題練模型....................................................................................14

-o【例題講模型】O

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內(nèi)）

S模型解讀

此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查,還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因為旋轉(zhuǎn)的特

征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等,每一個頂點出發(fā)都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。等邊

三角形三個頂點都可以作為旋轉(zhuǎn)中心（如上圖的旋轉(zhuǎn)）。

條件:如圖，已知正三角形內(nèi)有一點P,滿足+P02=p02（常考數(shù)據(jù)：BP=3,AP=4,CP=5）,

結(jié)論：/APB=150。。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

AA

常用結(jié)論等邊三角形的面積公式:S&ABC=乎?人口2（選填題非常適用）

S模型證明

證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP'，連接PC。

?.?三角形ABC和三角形4Pp都為等邊三角形；=AP=AP=PP,ZBAC=APAP'=APP'A

=60°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.ABAP=AP'AC,：.△ABP=叢ACP'（SAS）,BP=CP',

/APB=/APC；

...+pB2=pC2,p,pi+p，C2=pC2,2Ppe=90°,

/.ZAP'C=ZPP'C+APP'A=150°；/.ZAPS=150°=

s模型運用

注意:多線段共端點常考旋轉(zhuǎn)。

1.（23—24八年級下.廣東深圳.期中）如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且=2,1.5,

PC=2.5,則乙4尸口的度數(shù)為°.

【答案】150

【詳解】解:如圖，將/XBPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到的&BEA.

/./\PBC空^EBA,PB=EB,/EBP=/ABC=60°,

/\PBE為等邊三角形，PE=PB=1.5,4EPB=60°,

■：AE^PC^2.5,PA^2,：.PE5+AP2-AE2,，ZL4PE為直角三角形，

ZAPE=9Q°,：./APB=90°+60°=150°;故答案為：150.

2.（2022.湖南.中考真題）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，OA=2,OB=1,。。="，則A4OB

與ABOC的面積之和為（）

A.4B.乎C.D.V3

424

【答案】。

【詳解】解:將4AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得ABCD，連接。。，

：.OB=OD,/B00=60°,CE>=04=2,.?.△BOD是等邊三角形，.?.OD=OB=1,

222

?/OD+OC=I?+（V3）=4,3=22=4,OD+=CL）2...9o°,

XAOB與1SBOC的面積之和為S八rcc+S^ABCD=SAHCD+$△℃?=義1?+x1xV3=.故

選：C.

3.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）如圖，△ABC,△CDE都是等邊三角形，將△CDE繞點。旋轉(zhuǎn)，使得點

A,L）,E在同一直線上，連接BE.若3E=2,AE=7,則CD的長是

【答案】5

【詳解】解：?.?△ABC,Z\CDE都是等邊三角形，.?.BC=AC,CE=OC,ZACB=ZDCE=60°,

■：ZACD+ADCB=NACB=60°,ADCB+NBCE=NDCE=60°，二ZACD=NBCE,

（BC=AC

在ACBE和△CAD中，（2BCE=AACD,：.4CBE空△CAD（SAS），,BE=AD,

[CE=DC

BE=2,AE=7,：.BE=AD=2,/.DE=AE—AD=7—2=5,/.GD=5.故答案為：5.

4.（2024.安徽.一模）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且上4=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在

△ABC外作△BQCWAB24,連接PQ,則以下結(jié)論中不正確的是（）

A.ZFBQ=60°B.APQC=90°C.AAPC=120°D.ZAPS=150°

【答案】。

【詳解】解：；△ABC是等邊三角形，ZABC=60°,

?/△BQC空/\BPA,/.NCBQ=AABP,PB=QB=4：,PA=QC=3,/BPA=ZBQC,

：.NPBQ=4PBe+ACBQ=4PBe+AABP=/ABC=60°，所以4正確，不符合題意；

PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,APQ2+QC2=PC2,

/。。。=90°,所以3正確，不符合題意；

?/PB=QB=4,APBQ=60°,/.ABFQ是等邊三角形，/.ZBPQ=60°,

ZAPB=NBQC=NBQP+ZFQC=60°+90°=150°，所以O(shè)正確，不符合題意；

ZAFC=360°-150°-60°-AQPC=150°-AQPC,VPC=5,QC=PA=3,：.PC^2QC,

???/PQC=90°,/QPCW30°,/APCW120°.所以。不正確，符合題意.故選：C.

5.（24—25九年級上?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA=3,OB=4,OC=5,將線

段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，下列結(jié)論，①/\BO'A可以由△BOC繞點B

逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點。與O的距離為5；③AAOB=150°；④四邊形面積=6+4V3；

⑤SA71oc+SAyloB=6+1■四，其中正確的結(jié)論是（）

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】。

【詳解】解:連接00,如下圖：?.?正△48。AB=BC=AC,乙4BC=60°

?/線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段30，，

=60°,BO=BO'二△OBO,為等邊三角形OO,=OB=4,即②錯誤；

?/NOBO'=AABO+ZABO'=60°,/ABC=AABO+ZOBC=60°ZABO'=NOBC

（AB^BC

/XBO'A和ABOC中（AABO'=Z.OBC：.ABO'A空ABOC

[BO'^BO

：.O'A=OC=5,/\BO'A可以由△BO。繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，即①正確；

???OO'=OB=4,04=3O'A2=OO'2+OA2ZAOO'=90°

?/AOBO'為等邊三角形/.4BOO'=60°/.AAOB=AAOO'+NBOO'=150°,即③正確；

?//力OO'=90°/.SAACO=《AOxOO,=《x3x4=6過點B做BNJ_OO',交OO'于點N

?/AOBO'為等邊三角形/.ABNO=30°ON=yOB=2BN=y/OB2-ON2=273

S^OBO,=]OO'xBN=x4x2V3=4V3四邊形AOBO'面積=S^AOO,+S^OBO,=6+4V3,即④正

確；

正△ABOAAOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM。,如下圖：

AOAM^60°,AO=AM^3,MC=OB=4,S^OB=S^c：./\AOM為等邊三角形二（W=AO=

AM=3

過點A做AG_LOM,交O河于點G,如下圖：:^AOM為等邊三角形.?.AOAG=30°/.OG=^OM=

3

~2

4G=J。#-2=普S^AOM=^AGxOM=/x等x3=千

?/MC=4,OM=3,OC=5/.OC2=MC2+OM2：.NOMC=90°

竽+6

S'AOJWC=了OMXMC——X3x4=6SAAMC+SAAOC=S^AOM+S'AOMC

S^oB+SMOC=^AAMC+^AAOC=+6,即⑤正確；故選：C*.

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角