安徽省六安市2023-2024學年滬科版數學九年級上期末綜合卷

安徽省六安市2023-2024學年滬科版數學九年級上期末綜合卷一．選擇題（共40分）1．下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．若cosα＝，則銳角α滿足（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°3．若某圓弧所在圓的半徑為2，弧所對的圓心角為120°，則這條弧長為（）A． B．π C． D．2π4．在同一直角坐標系中，函數y＝﹣k（x﹣1）與的圖象可能是（）A． B． C． D．5．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）過點（3，0），則一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝36．某拋物線型拱橋的示意圖如圖所示，水面AB＝48m，拱橋最高處點C到水面AB的距離為12m，在該拋物線上的點E，F處要安裝兩盞警示燈（點E，F關于y軸對稱），警示燈F距水面AB的高度是9m，則這兩盞燈的水平距離EF是（）A．24m B．20m C．18m D．16m7．如圖，在?ABCD中，F是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．108．如圖，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，已知△ABC的邊BC長15厘米，高AH為10厘米，則正方形DEFG的邊長是（）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，則tan∠ABC的值為（）A． B． C． D．10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點G，M．P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個結論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③二．填空題（共20分）11．若銳角x滿足cos（x﹣10°）＝，則x為．12．如圖，?OABC的頂點A、B、C都在⊙O上，點D為⊙O上一點，且點D不在上，則∠ADB的大小為°．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點C，且BC＝2AC，反比例函數的圖象經過點A，若S△OBC＝6，則該反比例函數的表達式是．14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過E作EF⊥DE，交AB邊于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG．（1）當CE＝4時，則EF的長為．（2）點H在DC上，且HD＝1，連接HG，則HG長的最小值是．三．解答題（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）15．計算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|16．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC面積是；（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的得到△A1B1C1，請在y軸右側畫出△A1B1C1；（3）請用無刻度直尺在邊AC上畫一點P，使得∠PBC＝∠BAC，并保留作圖痕跡．17．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架．其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現代的語言表述如下，請解答：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．18．如圖，已知一次函數y1＝kx+b與反比例函數的圖象在第一、三象限分別交于A（6，1），B（a，﹣3）兩點，連接OA，OB．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出y1＞y2時，x的取值范圍．19．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上，PQ交AD于H點．（1）當點P恰好為AB中點時，PQ＝mm．（2）若矩形PNMQ的周長為220mm，求出PN的長度．20．如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，CD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點D，點P在AB延長線上，連接BC、CP，且∠BOD＝2∠BCP．（1）求證：直線CP是⊙O的切線；（2）若EC＝2OE，，求點B到PC的距離．21．如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測得樓AB樓頂A處的俯角為60°．已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測得樓CD的D處的仰角為30°（點A、B、C、D、P在同一平面內）．（1）填空：∠APD＝°，∠ADC＝°；（2）求樓CD的高度（結果保留根號）；（3）求此時無人機距離地面BC的高度．22．已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．（1）若OC＝OB，求a的值．（2）點P（m，y1），Q（m+1，y2），T（2，y3）是二次函數y＝a（x+1）（x﹣3）圖象上三個不同的點．①當y1＝y(tǒng)2時，求m的值；②當y1＜y3＜y2時，求m的取值范圍．23．閱讀下面材料：小波遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，BE是AC邊上的中線，點D在BC邊上，AD與BE相交于點P．（1）小波發(fā)現，，過點C作CF∥AD，交BE的延長線于點F，通過構造△CEF（如圖2），經過推理和計算得到的值為．（2）參考小波思考問題的方法，解決問題：①如圖3，在△ABC中，點D在BC的延長線上，，點E在AC上，且，求的值；②如圖4，在△ABC中，點D在BC的延長線上，，點E在AC上，且，求出的值．

安徽省六安市2023-2024學年滬科版數學九年級上期末綜合卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故A符合題意；B、C圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B、C不符合題意；D、圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．2．若cosα＝，則銳角α滿足（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，故選：B．3．若某圓弧所在圓的半徑為2，弧所對的圓心角為120°，則這條弧長為（）A． B．π C． D．2π【解答】解：這條弧的長＝＝π．故選：C．4．在同一直角坐標系中，函數y＝﹣k（x﹣1）與的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由函數y＝﹣k（x﹣1）知直線必過點（1，0），故B、C不合題意；A、由函數y＝﹣k（x﹣1）的圖象可知k＞0，由函數的圖象可知k＞0，故A符合題意；D、由函數y＝﹣k（x﹣1）的圖象可知k＞0，由函數的圖象可知k＜0，故D不合題意；故選：A．5．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）過點（3，0），則一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，∴二次函數的圖象的對稱軸方程為直線x＝1，∵二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（3，0），∴二次函數圖象與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0解為x1＝﹣1，x2＝3．故選：A．6．某拋物線型拱橋的示意圖如圖所示，水面AB＝48m，拱橋最高處點C到水面AB的距離為12m，在該拋物線上的點E，F處要安裝兩盞警示燈（點E，F關于y軸對稱），警示燈F距水面AB的高度是9m，則這兩盞燈的水平距離EF是（）A．24m B．20m C．18m D．16m【解答】解：設該拋物線的解析式為y＝ax2+12，由題意可得，點A的坐標為（﹣24，0），∴0＝a×（﹣24）2+12，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+12，當y＝9時，9＝﹣x2+12，解得x1＝12，x2＝﹣12，∴點E（﹣12，9），點F（12，9），∴這兩盞燈的水平距離EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），故選：A．7．如圖，在?ABCD中，F是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故選：C．8．如圖，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，已知△ABC的邊BC長15厘米，高AH為10厘米，則正方形DEFG的邊長是（）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米【解答】解：設正方形的邊長為x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，即＝，由BC＝15厘米，AH＝10厘米，DE＝DG＝xlm，得＝，解得x＝6．故正方形DEFG的邊長是6厘米．故選：C．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，則tan∠ABC的值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過A作AG∥BC，交BE的延長線于G，∴∠G＝∠DBF，在△AGF和△DBF中，∵，∴△AGF≌△DBF（AAS），∴，∵∠G＝∠CBE，∠AEG＝∠CEB，∴△AEG∽△CEB，∴，解得，∴，∴，故選：C．10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點G，M．P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個結論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG為公共邊，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正確；②如圖，連接BD與AC交于點O，交AG于點H，連接HM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，當點P與點H重合時，PM+PN的值最小，此時PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的長，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值為，故②錯誤；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE?AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE?AE，故③正確；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④錯誤；綜上，正確的是：①③，故選：D．二．填空題（共4小題）11．若銳角x滿足cos（x﹣10°）＝，則x為40°．【解答】解：∵cos（x﹣10°）＝，∴x﹣10°＝30°，解得：x＝40°，故答案為：40°．12．如圖，?OABC的頂點A、B、C都在⊙O上，點D為⊙O上一點，且點D不在上，則∠ADB的大小為30°．【解答】解：連接OB，∵四邊形OABC為平行四邊形，OA＝OC，∴四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴三角形OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴，故答案為：30．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點C，且BC＝2AC，反比例函數的圖象經過點A，若S△OBC＝6，則該反比例函數的表達式是y＝﹣．【解答】解：如圖，作A過x軸的垂線與x軸交于D，則AD∥OB，∴△ADC∽△BOC，∴S△ADC：S△BOC＝（）2＝，＝＝，∵S△OBC＝6，∴S△ADC＝，∴S△AOC＝2S△ADC＝3，∴S△AOD＝+3＝，∴|k|＝，∵k＜0，∴k＝﹣9，∴反比例函數表達式為y＝﹣．故答案為：y＝﹣．14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過E作EF⊥DE，交AB邊于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG．（1）當CE＝4時，則EF的長為．（2）點H在DC上，且HD＝1，連接HG，則HG長的最小值是4.4．【解答】解：（1）過E作EM⊥DC于M，延長ME交AB于N，則△CEM∽△CAD，∴＝＝，∴ME＝，CM＝，∴DM＝，EN＝，在Rt△DME中，DE＝，∵∠DME+∠EDM＝90°，∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，又∠DEM＝∠FNE，∴△DME∽△ENF，∴＝，∴EF＝，故答案為：；（2）連結AG并延長交CD的延長線與L，∵△DME∽△ENF，∴，∵△ANE∽△ABC，∴，∴，∴，∵∠CDE＝∠ADG，∴△CDE∽△ADG，∴∠DCA＝∠DAL，∴tan∠DCA＝tan∠DAL＝，∴當HG⊥AL時，HG最小，S△ALH＝AD?HL＝GH?AL，∵AD＝6，DL＝，LH＝，AL＝，∴HG＝＝，故答案為：4.4．三．解答題（共9小題）15．計算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|【解答】解：原式＝﹣4+（﹣1）+4+1﹣2+＝﹣4+3﹣+3+＝2．16．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC面積是4；（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的得到△A1B1C1，請在y軸右側畫出△A1B1C1；（3）請用無刻度直尺在邊AC上畫一點P，使得∠PBC＝∠BAC，并保留作圖痕跡．【解答】解：（1）△ABC的面積＝×4×2＝4．故答案為：4；（2）如圖，△A1B1C1為所作；（3）如圖，點P即為所求．理由：由作圖可知∠APB＝∠RAC＝45°，∴∠CPB＝135°，∵∠ABC＝135°，∴∠ACB+∠CAB＝45°，∠ACB+∠CBP＝45°，∴∠PBC＝∠CAB．17．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學重要的著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架．其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現代的語言表述如下，請解答：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．【解答】解：連接OC，∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，∴E為CD的中點，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，設OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，答：直徑AB的長為26寸．18．如圖，已知一次函數y1＝kx+b與反比例函數的圖象在第一、三象限分別交于A（6，1），B（a，﹣3）兩點，連接OA，OB．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出y1＞y2時，x的取值范圍．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，解得：m＝6，故反比例函數的解析式為y2＝；把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函數解析式為y1＝x﹣2；（2）如圖，設一次函數y1＝x﹣2與x軸交于點C，令y＝0，得x＝4．∴點C的坐標是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．故答案為：8；（3）由圖象可知，當﹣2≤x＜0或x≥6時，y1≥y2，所以y1＞y2時x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞6．19．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上，PQ交AD于H點．（1）當點P恰好為AB中點時，PQ＝60mm．（2）若矩形PNMQ的周長為220mm，求出PN的長度．【解答】解：（1）∵P為AB中點，PQ∥BC，∴PQ為△ABC的中位線，∴mm．故答案為：60；（2）∵四邊形PNMQ為矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴PN＝DH∴AH＝AD﹣DH＝80﹣PN．∴四邊形PNMQ為矩形，∴PQ＝MN，DH＝PN，∵矩形PNMQ的周長為220mm，∴PQ＝110﹣PN，∵PQ∥BC，∴△APQ～△ABC，∴，∴，∴PN＝20mm．20．如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，CD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點D，點P在AB延長線上，連接BC、CP，且∠BOD＝2∠BCP．（1）求證：直線CP是⊙O的切線；（2）若EC＝2OE，，求點B到PC的距離．【解答】（1）證明：連接OC、AC，，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝∠DEO＝90°，∵OC＝OD，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（HL），∴∠COE＝∠DOE，∵∠BOD＝2∠BCP，∴∠COE＝2∠BCP，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠CAE＝∠BCP，∵OA＝OE，∴∠CAE＝∠BCP＝∠ACO，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠BCP+∠OCB＝90°，∴OC⊥CP，∴直線CP是⊙O的切線；（2）解：在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，∵OC＝，EC＝2OE，∴5＝OE2+（2OE）2，解得：OE＝1，EC＝2OE＝2，∵∠OEC＝∠OCP＝90°，∠EOC＝∠COP，∴△OEC∽△OCP，∴＝＝，∴PC＝2，OP＝5，BP＝OP﹣OB＝5﹣，過B作BF⊥CP，交CP于F，，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，∠FPB＝∠EPC，∴△FPB∽△EPC，∴＝，∴BF＝﹣1，∴點B到PC的距離為﹣1．21．如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測得樓AB樓頂A處的俯角為60°．已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測得樓CD的D處的仰角為30°（點A、B、C、D、P在同一平面內）．（1）填空：∠APD＝75°，∠ADC＝60°；（2）求樓CD的高度（結果保留根號）；（3）求此時無人機距離地面BC的高度．【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．過點A作AE⊥CD于點E．則∠DAE＝30°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．故答案為：75；60；（2）由題意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，tan30°＝，解得DE＝，∴CD＝DE+EC＝（+10）米．∴樓CD的高度為（+10）米．（3）過點P作PG⊥BC于點G，交AE于點F，則∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE，∵∠DAE＝∠30°，∴∠PAD＝30°，∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°，∴∠ADP＝∠APD，則AP＝AD，∴△APF≌△DAE（AAS），∴PF＝AE＝100米，∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．∴此時無人機距離地面BC的高度為110米．22．已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A