滬科版八年級數學上冊期末復習考題猜想 專題04 全等三角形綜合問題（易錯必刷22題6種題型）

專題04全等三角形綜合問題（易錯必刷22題6種題型專項訓練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題） 1【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題） 7【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題） 18【題型四】三角形全等之倍長中線模型（共4題） 24【題型五】三角形全等之截長補短模型（共3題） 35【題型六】三角形全等之新定義型綜合問題（共4題） 45【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題）1．（23-24八年級上·天津濱海新·期末）在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE，AD，的關系；(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由．2．（19-20七年級下·廣東深圳·期末）直角三角形中，，直線過點．(1)當時，如圖，分別過點作于點，于點．求證：．(2)當，時，如圖，點與點關于直線對稱，連接，CF，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿邊向終點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向終點運動，點到達相應的終點時停止運動，過點作于點，過點作于點，設運動時間為秒．，當在路徑上時，．（用含的代數式表示）直接寫出當與全等時的值．3．（23-24七年級下·云南昆明·期末）綜合與實踐：(1)【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖1，，，，，垂足分別為點，．請證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點是上一動點，連接，作且，連接交于點．若，，請證明：點為的中點．(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎上繼續(xù)提出問題：如圖3，，，點是射線上一動點，連接，作且，連接交射線于點．若，請直接寫出的值．【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題）4．（23-24七年級下·山東濟南·期末）【模型呈現】（1）如圖1，，，于點，于點．求證：．【模型應用】（2）如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積．【深入探究】（3）如圖3，，，，連接、，且于點，與直線交于點．①求證；②若，，求的面積．5．（23-24八年級上·山東日照·期末）問題情境：如圖①，在中，于點D．可知：（不需要證明）；(1)特例探究：如圖②，，射線在這個角的內部，點B、C在的邊上，且于點F，于點D．證明：；(2)歸納證明：如圖③，點B，C在的邊上，點E，F在內部的射線上，分別是的外角．已知，．求證：；(3)拓展應用：如圖④，在中，．點D在邊上，，點E、F在線段上，．若的面積為，則與的面積之和為．（直接寫出結果）6．（23-24七年級下·全國·期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經過點A，于D，于E，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長線交于點F，若，的面積是12，求與的面積之和．7．（23-24七年級下·山西運城·期末）綜合與實踐問題情境：數學課上，同學們以等腰三角形為背景展開探究．在中，，直線過點，點是直線上兩點．獨立思考：（1）如圖1，當直線在的外部，滿足時，試探究線段與之間的數量關系，并說明理由；拓展探究：（2）如圖2，當直線經過的內部，交于點，且，滿足時，（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請寫出線段，與之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，當直線經過的內部，交于點，且，滿足時，（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出線段與之間的數量關系．8．（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖：(1)如圖，，射線在這個角的內部，點、分別在的邊、上，且，于點，于點．求證：；(2)如圖，點、分別在的邊、上，點、都在內部的射線AD上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；(3)如圖3，在中，，．點在邊上，，點、在線段AD上，．若的面積為21，求與的面積之和．【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題）9．（23-24七年級下·吉林長春·期末）如圖1，已知和都是等腰三角形，點和點分別在和上，，易知和的數量關系是．(1)觀察猜想若，將繞點旋轉到如圖2所示的位置，連結和，猜想和的數量關系是，請說明理由；若延長和交于點，則______；(2)類比探究若，將繞點旋轉到如圖3所示的位置，連結和交于點和的數量關系為______，則______；(3)拓展應用如圖3，在“類比探究”的條件下，已知，若連結和，則四邊形的面積是______．10．（23-24七年級下·山東濟南·期末）在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發(fā)現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化時，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進行了如下操作：(1)觀察猜想如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角和等腰直角，，連接，，則與的數量關系為，位置關系為；(2)類比探究如圖，在中，分別以，為邊作等腰直角和等腰直角，，點，，在同一直線上，為中邊上的高，猜想，，之間的數量關系并說明理由；(3)解決問題運用（）（）中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點，的距離，已經測得，，，米，米，的長為米．11．（23-24七年級下·山西運城·期末）綜合與實踐問題情境：在和中，，，在內部，連接，延長交于點F，交于點G，設．特例思考：（1）如圖1，當時，試說明與之間的數量關系與位置關系；一般猜想：（2）如圖2，當時，請直接用含的代數式表示的度數；深度探究：（3）如圖3，在圖2的基礎上，在線段DB上截取，連接，求的度數．（用含的代數式表示）【題型四】三角形全等之倍長中線模型（共4題）12．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級（1）班數學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現】（1）如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，求證：．【理解與運用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．13．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數量關系，并加以證明．14．（23-24七年級下·陜西西安·期末）數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，是的中點，求邊上的中線的取值范圍．

【方法探索】（1）小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長到點，使，連接．根據可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線的取值范圍是___________．【問題解決】（2）由第（1）問方法的啟發(fā)，請解決下面問題：如圖2，在中，是邊上的一點，是的中線，，試說明：；【問題拓展】（3）如圖3，是的中線，過點分別向外作，使得，判斷線段與的關系，并說明理由．15．（22-23七年級下·四川達州·期末）（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊的中點，于點，交于點，交于點，連接，此時：與的大小關系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作，邊，分別交，于，兩點，連接，此時：、與的數量關系【題型五】三角形全等之截長補短模型（共3題）16．（23-24八年級上·福建南平期末）【問題背景】如圖1，在四邊形中，，點E、F分別是邊上的點，且，試探究圖中線段之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長到點G，使，連結，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是_____．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，點E、F分別是邊上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由．17．（22-23八年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖①，在四邊形中，，點E，F分別是邊，上的點，且，求線段之間的數量關系．小明提供了這樣的思路：延長到點G，使，連接．

(1)根據小明的思路，請直接寫出線段之間的數量關系：___________；(2)如圖②，在四邊形中，，點E，F分別是邊上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立說明理由．(3)如圖③，在四邊形中，，點E，F分別是邊延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．18．（23-24七年級下·四川達州·期末）在數學活動課上，李老師給出以下題目條件：在四邊形中，，點E、F分別是直線上的一點，并且．請同學們在原條件不變的情況下添加條件，開展探究活動．【初步探索】（1）“興趣”小組做了如下探究：如圖1，若，延長到點G，使．連接，再證明，由此可得出，，之間的數量關系為________；【靈活運用】（2）“實踐”小組提出問題：如圖2，若，（1）中結論是否仍然成立？請說明理由；【延伸拓展】（3）“奮進”小組在“實踐”小組的基礎上，提出問題：如圖3，若，點E、F分別在線段的延長線上，連接，且仍然滿足．請寫出與的數量關系，并說明理由．【題型六】三角形全等之新定義型綜合問題（共4題）19.（23-24七年級下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數量關系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點E，點C關于直線對稱點為點F，連接，，且，求證：．20.（23-24七年級下·江蘇南京·期末）定義：只有一組對角相等的四邊形叫做等角四邊形．如：在四邊形中，若，且，則稱四邊形為等角四邊形，記作等角四邊形．【初步認識】（1）如圖，四邊形是等角四邊形，，，則_____；【繼續(xù)探索】（2）如圖，四邊形是等角四邊形，平分，平分，求證：；（1）如圖，已知，點分別在邊上．在的內部求作一點，使四邊形是等角四邊形，且．（要求：用無刻度直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．）21.（23-24七年級下·遼寧本溪·期末）新定義：如果兩個三角形不全等但面積相等，那么這兩個三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，P為邊上一點，若與是積等三角形，求的長；【理解運用】（2）如圖2，與為積等三角形，若，且線段AD的長度為正整數，求AD的長．【綜合應用】（3）如圖3，在中，過點C作，點是射線上一點，以為邊作，連接．請判斷與是否為積等三角形，并說明理由．22.（23-24八年級下·重慶江津·期末）定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側作正方形，和，則稱這三個正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為的外展雙葉正方形．

(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；①如圖（2），當時，求證：；②如圖（3），當時，與是否仍然相等，請說明理由．(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請利用圖（1）探究：當的度數發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．

專題04全等三角形綜合問題（易錯必刷22題6種題型專項訓練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題） 1【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題） 7【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題） 18【題型四】三角形全等之倍長中線模型（共4題） 24【題型五】三角形全等之截長補短模型（共3題） 35【題型六】三角形全等之新定義型綜合問題（共4題） 45【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題）1．（23-24八年級上·天津濱海新·期末）在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE，AD，的關系；(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)不成立，，理由見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質和線段和差關系，（1）根據題意利用證明，則有，，結合即可證明結論；（2）根據題意利用證明，則有，，結合即可證明結論．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，，∴，在與中，∵，∴；∴，，∵，∴；（2）解：∵于D，于E．∴，∴，．∴．在和中，∵，∴．∴，．∴．2．（19-20七年級下·廣東深圳·期末）直角三角形中，，直線過點．(1)當時，如圖，分別過點作于點，于點．求證：．(2)當，時，如圖，點與點關于直線對稱，連接，CF，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿邊向終點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向終點運動，點到達相應的終點時停止運動，過點作于點，過點作于點，設運動時間為秒．，當在路徑上時，．（用含的代數式表示）直接寫出當與全等時的值．【答案】(1)證明見解析(2)，；秒或秒或秒．【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(補)角相等的應用、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】（）根據垂直的定義得，再由同角的余角相等得，最后利用定理證明；（）由折疊的性質和線段和差可得出答案；分當點沿路徑運動時，當點沿路徑運動時，當點沿路徑運動時，當點沿路徑運動時四種情況分析即可；本題考查了全等三角形的判定和性質，一元一次方程的應用，線段和差，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定與性質，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．【詳解】（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）由題意得，，，則，由折疊的性質可知，，∴，故答案為：，；由折疊的性質可知，，∵，，∴，∴當時，與全等，當點沿路徑運動時，，解得：（不合題意），當點沿路徑運動時，，則，解得：，當點沿路徑運動時，由題意得，，解得：，當點沿路徑運動時，由題意得，，解得：，綜上所述，當秒或秒或秒，與全等．3．（23-24七年級下·云南昆明·期末）綜合與實踐：(1)【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖1，，，，，垂足分別為點，．請證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點是上一動點，連接，作且，連接交于點．若，，請證明：點為的中點．(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎上繼續(xù)提出問題：如圖3，，，點是射線上一動點，連接，作且，連接交射線于點．若，請直接寫出的值．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)9【知識點】線段中點的有關計算、直角三角形的兩個銳角互余、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的綜合問題，有關中點的相關計算，熟練掌握全等三角形的判定及性質，添加適當的輔助線是解題的關鍵．（1）利用證得，即可求證結論；（2）過作于，由（1）得，進而可得，再利用可證，則可證，根據數量關系可得，，進而可求證結論；（3）過點作于，由（2）得，，，再根據數量關系即可求解；【詳解】（1）證明：，，，，，在和中，，，；（2）證明：過作于，如圖：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中點；（3）解：，理由如下：過點作于，如圖：由（2）得：，，，，，，，，，．即．【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題）4．（23-24七年級下·山東濟南·期末）【模型呈現】（1）如圖1，，，于點，于點．求證：．【模型應用】（2）如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積．【深入探究】（3）如圖3，，，，連接、，且于點，與直線交于點．①求證；②若，，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）；（3）①見解析；【知識點】全等三角形綜合問題【分析】（1）證明，即可得證；（2）同（1）法得到，，分割法求出圖形面積即可；（3）①過點作于，過點作交的延長線于，易證，，得到，，再證明，即可得出結論；②根據全等三角形的性質，求出的長，進而利用面積公式進行求解即可．【詳解】解：（1）證明：，，，，，，，在和中，，．（2）由模型呈現可知，，，，，，，則．（3）①過點作于，過點作交的延長線于．圖3由【模型呈現】可知，，，，，，，在和中，，．②由①可知，，，，，，，由①得，，，，．5．（23-24八年級上·山東日照·期末）問題情境：如圖①，在中，于點D．可知：（不需要證明）；(1)特例探究：如圖②，，射線在這個角的內部，點B、C在的邊上，且于點F，于點D．證明：；(2)歸納證明：如圖③，點B，C在的邊上，點E，F在內部的射線上，分別是的外角．已知，．求證：；(3)拓展應用：如圖④，在中，．點D在邊上，，點E、F在線段上，．若的面積為，則與的面積之和為．（直接寫出結果）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、三角形的外角的定義及性質、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（1）先運用直角三角形的兩個銳角互余以及角的等量代換得，證明，即可作答．（2）先運用三角形的外角性質以及角的和差關系得出，證明，即可作答．（3）這運用等高算面積，則底的比就是它們的面積的比列式計算，再結合全等三角形的性質，即可作答．本題考查了全等三角形的性質以及三角形的外角性質，直角三角形的兩個銳角互余，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：如圖：∵，∴∵∴∴，在和中，，∴；（2）證明：如圖：易得，∵∴∴，在和中，，∴；（3）解：如圖：∵的面積為24，，且分別以為底來運算面積∴此時它們的高是相等的，即的面積是：，由（2）可知，，∴與的面積之和等于與的面積之和，即等于的面積是8，答案為：8．6．（23-24七年級下·全國·期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經過點A，于D，于E，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長線交于點F，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）6【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）證明，則，，；（2）同理（1）證明即可；（3）同理（2）可得，，則，設的底邊上的高為，則的底邊上的高為，，，由，可得，根據，求解作答即可．【詳解】（1）證明：直線，直線，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（2）解：結論成立；理由如下：∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：同理（2）可得，，∴，設的底邊上的高為，則的底邊上的高為，∴，，，∴，∴，∴與的面積之和為6．7．（23-24七年級下·山西運城·期末）綜合與實踐問題情境：數學課上，同學們以等腰三角形為背景展開探究．在中，，直線過點，點是直線上兩點．獨立思考：（1）如圖1，當直線在的外部，滿足時，試探究線段與之間的數量關系，并說明理由；拓展探究：（2）如圖2，當直線經過的內部，交于點，且，滿足時，（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請寫出線段，與之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，當直線經過的內部，交于點，且，滿足時，（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出線段與之間的數量關系．【答案】（1），見解析；（2），見解析；（3）（1）中結論不成立．線段與之間的數量關系為【知識點】全等三角形綜合問題、三角形的外角的定義及性質【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，三角形外角的定義，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．（1）根據三角形外角的性質及等量代換得出，再由全等三角形的判定和性質得出，，結合圖形即可求解；（2）同（1）中方法類似，利用全等三角形判定和性質求解即可；（3）同（2）中方法類似，利用全等三角形判定和性質求解即可．【詳解】解：（1），理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）結論不成立，，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）結論不成立，，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．8．（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖：(1)如圖，，射線在這個角的內部，點、分別在的邊、上，且，于點，于點．求證：；(2)如圖，點、分別在的邊、上，點、都在內部的射線AD上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；(3)如圖3，在中，，．點在邊上，，點、在線段AD上，．若的面積為21，求與的面積之和．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)與的面積之和等于【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定義及性質、垂線的定義理解、同(等)角的余(補)角相等的應用【分析】（1）由同角的余角相等證，進而即可證明（）；（2）根據三角形的外角性質證，，進而即可證明（）；（3）過點作于，由，得，進而得，由（）知，，則，從而即可得解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∴，在和中，，∴（）；（2）證明：∵，，∴，同理：，在和中，，∴（）；（3）解：如圖，過點作于，∵，∴，∵，，∴由（）知，，∴，∴，即：與的面積之和等于．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質，三角形的外角性質，同角的余角相等，垂直定義，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題）9．（23-24七年級下·吉林長春·期末）如圖1，已知和都是等腰三角形，點和點分別在和上，，易知和的數量關系是．(1)觀察猜想若，將繞點旋轉到如圖2所示的位置，連結和，猜想和的數量關系是，請說明理由；若延長和交于點，則______；(2)類比探究若，將繞點旋轉到如圖3所示的位置，連結和交于點和的數量關系為______，則______；(3)拓展應用如圖3，在“類比探究”的條件下，已知，若連結和，則四邊形的面積是______．【答案】(1)理由見解析；60(2)；90(3)【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】（1）證明，，，根據三角形內角和，即可求解，（2）證明，，，根據三角形內角和，即可求解，（3）由，，得到，整理代入厚即可求解，本題考查了，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．【詳解】（1）解：長BD和CE交于點P，∵，

即，在和中，，，，∴，∴，，∴故答案為：60；（2）解：∵，

即，在和中，，，，∴，∴，，∴故答案為：；90，（3）解：∵，，∴，故答案為：8．10．（23-24七年級下·山東濟南·期末）在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發(fā)現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化時，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進行了如下操作：(1)觀察猜想如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角和等腰直角，，連接，，則與的數量關系為，位置關系為；(2)類比探究如圖，在中，分別以，為邊作等腰直角和等腰直角，，點，，在同一直線上，為中邊上的高，猜想，，之間的數量關系并說明理由；(3)解決問題運用（）（）中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點，的距離，已經測得，，，米，米，的長為米．【答案】(1)；；(2)，理由見解析；(3)米．【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、用勾股定理解三角形【分析】（）證即可證出，再根據“”字型得；（）先證，再證，最后通過線段和差即可得證；（）按照前問思路構造“手拉手模型”全等，作，使，連接，則為等腰直角三角形，證明，則，最后利用勾股定理求即可；本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等內容，熟練掌握相關知識和添加合適的輔助線是解題關鍵．【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，設與交于點，與交于點，∵，∴，∴；故答案為：，；（2），理由如下：∵和均為等腰直角三角形，∴，，∵∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，作，使，連接，則為等腰直角三角形，同（）同理可證：，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴（米），∴米，故答案為：．11．（23-24七年級下·山西運城·期末）綜合與實踐問題情境：在和中，，，在內部，連接，延長交于點F，交于點G，設．特例思考：（1）如圖1，當時，試說明與之間的數量關系與位置關系；一般猜想：（2）如圖2，當時，請直接用含的代數式表示的度數；深度探究：（3）如圖3，在圖2的基礎上，在線段DB上截取，連接，求的度數．（用含的代數式表示）【答案】（1）；（2）；（3）．【知識點】三角形內角和定理的應用、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，解題的關鍵是證明三角形全等：（1）證明，即可得出結果；（2）同法（1）即可得出結果；（3）同法（1）得到，進而得到，再證明，得到，，進而得到，再利用三角形的內角和定理求解即可．【詳解】解：（1）因為，所以．又因為，，所以所以．又因為，所以．所以．（2）同（1）可得：，∴，∵，∴．（3）由（2），知．同理（1），得．所以．又因為，，所以．所以，．所以．所以．【題型四】三角形全等之倍長中線模型（共4題）12．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級（1）班數學興趣小組在一次活動中進行了試驗探究活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現】（1）如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，求證：．【理解與運用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【知識點】三角形三邊關系的應用、根據三角形中線求長度、全等的性質和SAS綜合（SAS）、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，涉及中點性質、三角形三邊關系等知識，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解決問題的關鍵．（1）延長至點，使，連接，如圖所示，根據題意，由三角形全等的判定得到，從而根據全等三角形性質即可得證；（2）延長至點，使，連接，如圖所示，由三角形全等的判定與性質得到，設，在中，由三邊關系即可得到答案；（3）延長至點，使，連接，如圖所示，得到，再由三角形全等的判定與性質得到，進而可確定，再由全等性質即可得證．【詳解】（1）證明：延長至點，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：延長至點，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，設，在中，由三邊關系可得，即，∴；（3）證明：延長至點，使，連接，如圖所示：∴，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．13．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數量關系，并加以證明．【答案】（1）；（2），見解析；（3），見解析【知識點】根據平行線的性質求角的度數、三角形三邊關系的應用、全等三角形綜合問題、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)【分析】（1）由已知得出，即為的一半，即可得出答案；（2）延長至點M，使，連接，可得，得出，由線段垂直平分線的性質得出，在中，由三角形的三邊關系得出即可得出結論；（3）延長交于點G，根據平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖①，延長到點E，使，連接，∵D是的中點，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：延長至點M，使，連接，如圖②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，延長交于點G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴∴，∴，∵，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關系，作輔助線—倍長中線法、全等三角形的判定與性質，角的關系等知識點，所以本題的綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．14．（23-24七年級下·陜西西安·期末）數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，是的中點，求邊上的中線的取值范圍．

【方法探索】（1）小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長到點，使，連接．根據可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關系，即可得出中線的取值范圍是___________．【問題解決】（2）由第（1）問方法的啟發(fā)，請解決下面問題：如圖2，在中，是邊上的一點，是的中線，，試說明：；【問題拓展】（3）如圖3，是的中線，過點分別向外作，使得，判斷線段與的關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3）；理由見解析【知識點】根據平行線判定與性質證明、三角形三邊關系的應用、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系等知識，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，并運用類比的方法解決問題．（1）延長到點，使，根據定理證明，可得結論；（2）延長到點F，使得，連接．證明，得出，得出，得出，即可證明結論．（3）延長，使，連接，證明，得出，，證明，得出，即可證明結論．【詳解】解：如圖1，延長到點，使，

∵是的中點，，，，，在中，，，；（2）證明：如圖，延長到點F，使得，連接．

∵是邊上的中線，∴，在和中，，，∴，∴，，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：；理由如下：如圖，延長，使，連接，

∵為邊上的中線，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．15．（22-23七年級下·四川達州·期末）（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊的中點，于點，交于點，交于點，連接，此時：與的大小關系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作，邊，分別交，于，兩點，連接，此時：、與的數量關系【答案】（1）；（2），見解析；（3）【知識點】三角形三邊關系的應用、全等三角形綜合問題、全等的性質和SAS綜合（SAS）、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)【分析】（1）延長到點使，再連接，證明，可得，再由三角形三角關系可得，；（2）延長至，使，連接，證明，可得，連接，可知是等腰三角形，則，在中，，即；（3）延長至使，連接，證明，可推導出，再證明，則，能推導出．【詳解】解：（1）延長到點使，再連接，，，，，，在中，，，，，故答案為：，；（2）延長至，使，連接，

，，，，，連接，，，是等腰三角形，，在中，，即；（3）延長至使，連接，

，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的綜合應用，熟練掌握三角形全等的判定及性質，三角形中線的定義，三角形三邊關系是解題的關鍵．【題型五】三角形全等之截長補短模型（共3題）16．（23-24八年級上·福建南平期末）【問題背景】如圖1，在四邊形中，，點E、F分別是邊上的點，且，試探究圖中線段之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長到點G，使，連結，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是_____．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，點E、F分別是邊上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由．【答案】【問題背景】；【探索延伸】仍然成立，理由見解析【知識點】全等三角形綜合問題、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．問題背景：先利用“”判斷得到，，再證明，接著根據“”判斷，所以，從而得到；探索延伸：結論仍然成立，證明方法與（1）相同．【詳解】問題背景：，證明如下：如下圖，延長到點，使得，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：；探索延伸：結論仍然成立，理由如下：如下圖，延長到點，使得，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．17．（22-23八年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖①，在四邊形中，，點E，F分別是邊，上的點，且，求線段之間的數量關系．小明提供了這樣的思路：延長到點G，使，連接．

(1)根據小明的思路，請直接寫出線段之間的數量關系：___________；(2)如圖②，在四邊形中，，點E，F分別是邊上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立說明理由．(3)如圖③，在四邊形中，，點E，F分別是邊延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．【答案】(1)(2)（1）中的結論仍然成立，理由見解析(3)結論不成立，應當是，理由見解析【知識點】全等三角形綜合問題【分析】該題主要考查了全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是正確作出輔助線．（1）如圖中，延長到，使，連接．利用全等三角形的性質解決問題即可．（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，如圖中，延長至M，使，連接．只不過證明三角形和全等中，證明時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應該通過全等三角形來實現相等線段的轉換．就應該在上截取，使，連接．根據（1）的證法，我們可得出，那么．所以（1）的結論在（3）的條件下是不成立的．【詳解】（1）解：如圖中，延長到G，使，連接，

，，．．．．又，，，．．故答案為：；（2）解：（1）中的結論仍然成立．證明：如圖中，延長至M，使，連接．

，，，在與中，，．．，．，即．在與中，，．，即，．（3）解：結論不成立，應當是．證明：如圖中，在上截取，使，連接．

，，．在與中，．．．．，∴．，，．18．（23-24七年級下·四川達州·期末）在數學活動課上，李老師給出以下題目條件：在四邊形中，，點E、F分別是直線上的一點，并且．請同學們在原條件不變的情況下添加條件，開展探究活動．【初步探索】（1）“興趣”小組做了如下探究：如圖1，若，延長到點G，使．連接，再證明，由此可得出，，之間的數量關系為________；【靈活運用】（2）“實踐”小組提出問題：如圖2，若，（1）中結論是否仍然成立？請說明理由；【延伸拓展】（3）“奮進”小組在“實踐”小組的基礎上，提出問題：如圖3，若，點E、F分別在線段的延長線上，連接，且仍然滿足．請寫出與的數量關系，并說明理由．【答案】（1）（2）成立，理由見解析（3），證明見解析【知識點】全等的性質和SSS綜合（SSS）、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】（1）延長到點，使，連接，則，從而得出，證明得出，證明得出，即可證明；（2）延長到點，使，連接，則，從而得到，證明得出，證明得出，即可證明；（3）延長到點，使，連接，則，證明得出，證明得出，從而得到，即可得解．【詳解】解：（1）如圖，延長到點，使，連接，則，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，故答案為：；（2）成立，理由：如圖，延長到點，使，連接，則，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，；（3），證明：如圖，延長到點，使，連接，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了同角的補角相等、全等三角形的判定與性質等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出輔助線構造三角形全等是解此題的關鍵．【題型六】三角形全等之新定義型綜合問題（共4題）19.（23-24七年級下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數量關系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點E，點C關于直線對稱點為點F，連接，，且，求證：．【答案】(1)(2)或(3)見解析【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質和SAS綜合（SAS）、三角形內角和定理的應用【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，四邊形內角和定理：（1）根據“邊垂角”的定義即可得到答案；（2）分兩種情況畫出圖形，根據四邊形的內角和定理以及等角的余角相等即可得出結論；（3）延長交于點，先證明，再證明，依據題意得出，即可得到結論．【詳解】（1）解：根據“邊垂角”的定義，的“邊垂角”是；（2）解：若是的“邊垂角”，分兩種情況①如圖，是的“邊垂角”，，，，，

②如圖，是的“邊垂角”，，，，，

綜上所述，與的數量關系是或；（3）解：延長交于點，是的“邊垂角”，∴，，，，，，，，，，