滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點清單 專題04 全等三角形（5個考點清單+8種題型解讀）

專題04全等三角形（5個考點清單+8種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】全等三角形的性質(zhì) 4【考點題型二】添加一個條件使兩三角形全等 7【考點題型三】利用尺規(guī)作圖——三角形 10【考點題型四】三角形全等的判定與性質(zhì) 15【考點題型五】用HL證明兩直角三角形全等 20【考點題型六】利用三角形全等求時間或線段長的多解問題 25【考點題型七】與全等三角形有關(guān)的多結(jié)論問題 32【考點題型八】全等三角形中的動點綜合問題 37【知識點01】全等圖形（一）全等圖形概念：能完全重合的圖形叫做全等圖形.（二）特征：（1）形狀相同；（2）大小相等；（3）對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等?！局R點02】全等三角形及其性質(zhì)（一）全等三角形概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.點撥：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.（二）表示方法：全等用符號“≌”，讀作“全等于”。點撥：（1）書寫三角形全等時，要注意把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。（2）找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的幾種常用方法：①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊。②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。③有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊。④有公共角的，公共角是對應(yīng)角。⑤有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角。⑥兩個全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。⑦由全等三角形的表示方法確定對應(yīng)邊和對應(yīng)角，如：若，則AB和DE，AC和DF，BC和EF分別是對應(yīng)邊；和，和，和分別是對應(yīng)角。【知識點03】全等三角形性質(zhì)（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（2）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等。（3）全等三角形的周長相等，面積相等。【知識點04】全等三角形的判定（一）判定定理（1）三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS"（基本事實）；（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS’（基本事實）；（3）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA'’（基本事實）；（4）兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS"；（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。點撥：一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）注意：（1）“SSA”“AAA'’不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有一組邊對應(yīng)相等；非直角三角形中，如果有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角。（2）“HL”與“SSA”一般的兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等即“SSA”條件時，它們并不全等，但當(dāng)其中的“A”是直角時，這兩個直角三角形就是全等的，這就是判定兩個直角三角形全等特有的“HL'’定理。（二）證題的思路【知識點05】尺規(guī)作圖（一）尺規(guī)作圖的概念在幾何里，用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，就是尺規(guī)作圖。最基本、最常用的尺規(guī)作圖通常稱作基本作圖。（二）基本作圖1.作一條線段與已知線段相等已知：線段（如圖所示）。求作：一條線段長度等于。作法：①任何一條射線；②在射線上截?。ㄒ詾閳A心，以的長為半徑畫弧，交于點），則即為所求作的線段。2.作一個角等于已知角已知：（如圖所示）。求作：，使作法：（1）以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交，于點（2）作射線，以點為圓心，以長為半徑面弧，交于點；（三）運用基本作圖作三角形在作三角形時，一般先畫出草圖，分析作圖步驟以及相應(yīng)的字母表示，選擇正確的作圖程序，再按分析后編寫的字母寫出已知，求作，按步驟一邊畫圖一邊寫好作法。作法中不需要重述基本作圖的過程。例如：已知線段和，如圖所示，求作使作法：如圖所示。①作線段②在的同側(cè)作與交于點則就是所求作的三角形?！究键c題型一】全等三角形的性質(zhì)【例1】（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，已知，，，則．【變式1-1】（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，，則．【變式1-2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，，點A，C，E在同一條直線上，，，則的長為．【變式1-3】（23-24七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，，，若，則°．【變式1-4】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）如圖，，且點B，D，C在一條直線上，點F在AD上，延長CF交AB于點E．(1)試說明：．(2)若，，求的長．【考點題型二】添加一個條件使兩三角形全等【例2】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）如圖，線段是四邊形的對角線，，請?zhí)砑右粋€條件使得，添加的條件為．【變式2-1】（23-24七年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，D，E是邊上的兩點，，現(xiàn)要直接用“”定理來證明，請你再添加一個條件：．【變式2-2】（23-24七年級下·甘肅白銀·期末）如圖，已知，要使，只需添加一個條件：（寫一個即可）．【變式2-3】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，B是中點，，請?zhí)砑右粋€條件，使得，可以添加的條件是．（寫出一個即可）

【變式2-4】（23-24八年級上·湖北咸寧·期末）如圖已知，，(1)添加下列條件：①；②；③；④．其中能證明與全等的有______（直接填序號）；(2)在（1）中選擇一個進(jìn)行證明．【考點題型三】利用尺規(guī)作圖——三角形【例3】（23-24八年級上·浙江·期末）已知和線段（如圖）．(1)用直尺和圓規(guī)作（點在的上方），使，（做出圖形，保留痕跡，不寫作法）．(2)這樣的三角形能作幾個？【變式3-1】（23-24七年級下·重慶·期末）如圖，已知線段a，b和．求作：，使得，，．（不寫作法，不下結(jié)論，保留清晰的作圖痕跡）【變式3-2】（23-24七年級下·遼寧本溪·期末）尺規(guī)作圖：如圖，線段和一副三角尺，其中．求作：以線段為一條邊作，使得．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）【變式3-3】（23-24七年級下·廣東佛山·期末）如題圖，已知．(1)請根據(jù)“”作，使，其中點D在右側(cè)，且（要求：尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：(2)若，比的2倍小，求的度數(shù)．【變式3-4】（23-24七年級下·江蘇淮安·期末）如圖，已知線段m，n及．利用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；(1)求作所有滿足條件的（全等除外），使得；(2)在（1）中所作圖中，過點C向直線畫垂線，與直線交于點H；并結(jié)合圖形，直接寫出三條線段、和的數(shù)量關(guān)系為；【考點題型四】三角形全等的判定與性質(zhì)【例4】（22-23七年級下·重慶·期末）如圖，，點E為上一點，且，延長交于點F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【變式4-1】（23-24八年級下·貴州黔西·期末）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在一條直線上，，，(1)求證：；(2)若，，求AD的長．【變式4-2】（23-24八年級上·安徽·期末）如圖，在四邊形中，，為對角線上一點，，且．(1)求證：．(2)若，，求的長．【變式4-3】（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，在中，是邊上的高，點E在上，，，連接并延長交于點F．(1)求證：；(2)若恰好平分，，求的長【變式4-4】（23-24七年級下·遼寧沈陽·期末）如圖，點在的邊上，，，．(1)判斷與是否全等，請說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【考點題型五】用HL證明兩直角三角形全等【例5】（23-24八年級上·廣東肇慶·期末）如圖，中，為上一點，為延長線上一點，且，過點作于點，過點作交的延長線于點，且，連交邊于．求證：(1)；(2)．【變式5-1】（22-23八年級上·北京朝陽·期末）如圖，于點E，于點F，．(1)求證：；(2)求證：．【變式5-2】（23-24七年級下·四川甘孜·期末）如圖，已知，，，，與交于點O．(1)求證：．(2)求．【變式5-3】（23-24八年級下·山東青島·期末）如圖，等腰中，是腰上的高，在底邊上截取，過點E作交于F．(1)求證：(2)若，求的度數(shù)．【變式5-4】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，與中，，，線段與線段在一條直線上，且，連接，，，與相交于點．(1)與全等嗎？為什么？(2)試說明點是線段的中點．【考點題型六】利用三角形全等求時間或線段長的多解問題【例6】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，，．動點P以的速度從點A出發(fā)沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發(fā)沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發(fā)沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發(fā)．連接，當(dāng)動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．【變式6-1】（23-24八年級上·河南商丘·期末）如圖，，E、F分別為線段和射線上的一點，若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線運動，二者速度之比為2：3，當(dāng)點E運動到點A時，兩點同時停止運動．在射線上取一點G，使與全等，則的長為．【變式6-2】（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖，在長方形中，，，，，延長至點E，使，連接．動點P從點A

出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿運動，回到點A停止運動，運動時間為：t秒，當(dāng)t的值為時，和全等．【變式6-3】（23-24八年級上·河南焦作·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，射線于點A．若點C是射線上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C、D、A為頂點的三角形與全等，則點D的坐標(biāo)為．【變式6-4】（23-24八年級上·湖北鄂州·期末）如圖，中，，，．點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點；點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點．點和分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過和作于、作于，當(dāng)點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等．【考點題型七】與全等三角形有關(guān)的多結(jié)論問題【例7】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在中，，為邊上一點，，點在的延長線上，平分，且．連接交于，為邊上一點，滿足，連接交于．以下結(jié)論：①；②；③．正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式7-1】（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）如圖，在與中，，，，分別交，于點，，交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式7-2】（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖所示，，，，點F是的中點．①；②；③；④；⑤．以上結(jié)論，正確的是（

）A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【變式7-3】（23-24八年級上·湖北黃石·期末）如圖，在中，，，、是斜邊上兩點，且，過點作，垂足是，過點作，垂足是交于點，連接，下列結(jié)論：≌；；若，，則；其中正確的是．【考點題型八】全等三角形中的動點綜合問題【例8】（23-24七年級下·全國·期末）如圖，在中，，D為射線上一動點（不與點B、C重合），在的右側(cè)作，使得，連接．(1)當(dāng)點D在線段上時，求證：；(2)若點D運動到線段上某一點時，恰好有，問：線段與線段有什么位置關(guān)系并說明理由；(3)在點D的運動過程中，當(dāng)垂直于的某邊時，則（用含α的代數(shù)式表示）．【變式8-1】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）在中，，點E為上一動點，過點A作于D，連接．

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)【嘗試探究】點E在運動過程中，的大小是否改變，若改變，請說明理由，若不變，求的度數(shù)；(3)【深入思考】如圖②，若E為中點，探索與的數(shù)量關(guān)系．【變式8-2】（23-24八年級上·湖南株洲·期末）如圖，等腰中，，，點為射線上一動點，連接，作且．(1)如圖1，過F點作交于G點，求證：；(2)如圖2，連接交于點，若，求證：點為中點；(3)如圖3，當(dāng)點在的延長線上時，連接與的延長線交于點，若，則．【變式8-3】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，為銳角，點D為直線上一動點，以為直角邊且在的右側(cè)作等腰直角三角形，，．(1)如果，．①當(dāng)點D在線段上時，如圖1，線段、的位置關(guān)系為________，數(shù)量關(guān)系為________；②當(dāng)點D在線段的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．(2)如圖3，如果，，點D在線段上運動．探究：當(dāng)多少度時，？請說明理由．

專題04全等三角形（5個考點清單+8種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】全等三角形的性質(zhì) 4【考點題型二】添加一個條件使兩三角形全等 7【考點題型三】利用尺規(guī)作圖——三角形 10【考點題型四】三角形全等的判定與性質(zhì) 15【考點題型五】用HL證明兩直角三角形全等 20【考點題型六】利用三角形全等求時間或線段長的多解問題 25【考點題型七】與全等三角形有關(guān)的多結(jié)論問題 32【考點題型八】全等三角形中的動點綜合問題 37【知識點01】全等圖形（一）全等圖形概念：能完全重合的圖形叫做全等圖形.（二）特征：（1）形狀相同；（2）大小相等；（3）對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等?！局R點02】全等三角形及其性質(zhì)（一）全等三角形概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.點撥：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.（二）表示方法：全等用符號“≌”，讀作“全等于”。點撥：（1）書寫三角形全等時，要注意把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。（2）找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的幾種常用方法：①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊。②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。③有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊。④有公共角的，公共角是對應(yīng)角。⑤有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角。⑥兩個全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。⑦由全等三角形的表示方法確定對應(yīng)邊和對應(yīng)角，如：若，則AB和DE，AC和DF，BC和EF分別是對應(yīng)邊；和，和，和分別是對應(yīng)角?！局R點03】全等三角形性質(zhì)（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（2）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等。（3）全等三角形的周長相等，面積相等?！局R點04】全等三角形的判定（一）判定定理（1）三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS"（基本事實）；（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS’（基本事實）；（3）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA'’（基本事實）；（4）兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS"；（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。點撥：一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）注意：（1）“SSA”“AAA'’不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有一組邊對應(yīng)相等；非直角三角形中，如果有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角。（2）“HL”與“SSA”一般的兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等即“SSA”條件時，它們并不全等，但當(dāng)其中的“A”是直角時，這兩個直角三角形就是全等的，這就是判定兩個直角三角形全等特有的“HL'’定理。（二）證題的思路【知識點05】尺規(guī)作圖（一）尺規(guī)作圖的概念在幾何里，用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，就是尺規(guī)作圖。最基本、最常用的尺規(guī)作圖通常稱作基本作圖。（二）基本作圖1.作一條線段與已知線段相等已知：線段（如圖所示）。求作：一條線段長度等于。作法：①任何一條射線；②在射線上截取（以為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點），則即為所求作的線段。2.作一個角等于已知角已知：（如圖所示）。求作：，使作法：（1）以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交，于點（2）作射線，以點為圓心，以長為半徑面弧，交于點；（三）運用基本作圖作三角形在作三角形時，一般先畫出草圖，分析作圖步驟以及相應(yīng)的字母表示，選擇正確的作圖程序，再按分析后編寫的字母寫出已知，求作，按步驟一邊畫圖一邊寫好作法。作法中不需要重述基本作圖的過程。例如：已知線段和，如圖所示，求作使作法：如圖所示。①作線段②在的同側(cè)作與交于點則就是所求作的三角形?！究键c題型一】全等三角形的性質(zhì)【例1】（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，已知，，，則．【答案】60°/60度【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的對應(yīng)角相等，并注意運用了三角形的內(nèi)角和定理，做題時要找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系．先利用，得到對應(yīng)角相等，然后在中依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出的大?。驹斀狻拷猓海?，，．故答案為：．【變式1-1】（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，，則．【答案】/105度【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解；【詳解】解：∵，∴∴故答案為：【變式1-2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，，點A，C，E在同一條直線上，，，則的長為．【答案】3【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)可得出，，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，∵點A，C，E在同一條直線上，∴，故答案為：3．【變式1-3】（23-24七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，，，若，則°．【答案】25【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)．由可得，推出，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，，即，，，，故答案為：．【變式1-4】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）如圖，，且點B，D，C在一條直線上，點F在AD上，延長CF交AB于點E．(1)試說明：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．（1）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得，，再由等量代換即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得，，再由等量代換即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵點B，D，C在一條直線上，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴．【考點題型二】添加一個條件使兩三角形全等【例2】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）如圖，線段是四邊形的對角線，，請?zhí)砑右粋€條件使得，添加的條件為．【答案】（答案不唯一）【知識點】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．根據(jù)全等三角形的判定定理，即可解答．【詳解】解：①當(dāng)時，根據(jù)可判定；②當(dāng)時，根據(jù)可判定；③當(dāng)時，根據(jù)可判定；故答案為：（或或）．【變式2-1】（23-24七年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，D，E是邊上的兩點，，現(xiàn)要直接用“”定理來證明，請你再添加一個條件：．【答案】【知識點】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】在與中，已知，，即已知一角及角的一邊對應(yīng)相等，根據(jù)“”的判定方法，可以添加已知邊的對角對應(yīng)相等即可．本題考查了全等三角形的判定定理：：兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：可添加一個條件：，使．理由：在與中，，．故答案為【變式2-2】（23-24七年級下·甘肅白銀·期末）如圖，已知，要使，只需添加一個條件：（寫一個即可）．【答案】（答案不唯一）【知識點】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意可知，推出，，則可添加條件，利用即可證明．【詳解】解：添加條件，理由如下：∵，∴，，∴，故答案為：（答案不唯一）．【變式2-3】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，B是中點，，請?zhí)砑右粋€條件，使得，可以添加的條件是．（寫出一個即可）

【答案】（答案不唯一）【知識點】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定．根據(jù)題意可知已有一組對應(yīng)角和一組對應(yīng)邊相等，再確定一組對應(yīng)角相等即可判定．【詳解】解：∵B是中點，∴，∵，∴當(dāng)時，依據(jù)可得，，故答案為：（答案不唯一）【變式2-4】（23-24八年級上·湖北咸寧·期末）如圖已知，，(1)添加下列條件：①；②；③；④．其中能證明與全等的有______（直接填序號）；(2)在（1）中選擇一個進(jìn)行證明．【答案】(1)②③(2)見解析【知識點】用SSS間接證明三角形全等（SSS）、添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了添加條件使三角形全等及證明；（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可解答；（2）根據(jù)（1）所選取的條件，證明三角形全等即可．【詳解】（1）解：已知，，要使與全等可以添加的條件為或，能得到這些條件的有②③，故答案為：②③；（2）證明：選③，∵，∴，即，在與中，，∴．【考點題型三】利用尺規(guī)作圖——三角形【例3】（23-24八年級上·浙江·期末）已知和線段（如圖）．(1)用直尺和圓規(guī)作（點在的上方），使，（做出圖形，保留痕跡，不寫作法）．(2)這樣的三角形能作幾個？【答案】(1)見解析(2)2【知識點】尺規(guī)作一個角等于已知角、尺規(guī)作圖——作三角形、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）先作，再在上截取，然后以為圓心，為半徑畫弧交于和，則和即為所作；（2）由作圖即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，和即為所作，；（2）解：由圖可得：這樣的三角形能作個．【變式3-1】（23-24七年級下·重慶·期末）如圖，已知線段a，b和．求作：，使得，，．（不寫作法，不下結(jié)論，保留清晰的作圖痕跡）【答案】作圖見解析【知識點】尺規(guī)作圖——作三角形【分析】此題考查作圖能力：作一角等于已知角，截取線段長度等于已知線段長，掌握簡單的作圖方法是解題的關(guān)鍵．先作，再在角的兩邊分別截取，，，則，從而可得答案．【詳解】解：如圖，即為所求作的三角形；【變式3-2】（23-24七年級下·遼寧本溪·期末）尺規(guī)作圖：如圖，線段和一副三角尺，其中．求作：以線段為一條邊作，使得．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【知識點】尺規(guī)作圖——作三角形【分析】本題考查尺規(guī)作三角形，根據(jù)尺規(guī)作角的方法作出，即可．掌握尺規(guī)作角的方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】因為所以如圖所示，即為所求．【變式3-3】（23-24七年級下·廣東佛山·期末）如題圖，已知．(1)請根據(jù)“”作，使，其中點D在右側(cè)，且（要求：尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：(2)若，比的2倍小，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、尺規(guī)作圖——作三角形、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】（1）以點B為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交、于點E、F，再以點C為圓心，相同的半徑作弧，交于點G，以點G為圓心，為半徑作弧，交另一條弧于點O，連接并延長，再以點C為圓心，為半徑作弧，交射線于點D，即可得，，連接，再利用“”，即可求解；（2）由題意得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，求得，從而可得，由（1）可得，，即可求解．【詳解】（1）解：以點C為頂點，為的一條邊，作，，在和中，，∴．（2）解：∵比的2倍小，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可得，，∴．【點睛】本題考查作圖?三角形、全等三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理及解一元一次方程，熟練掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（23-24七年級下·江蘇淮安·期末）如圖，已知線段m，n及．利用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；(1)求作所有滿足條件的（全等除外），使得；(2)在（1）中所作圖中，過點C向直線畫垂線，與直線交于點H；并結(jié)合圖形，直接寫出三條線段、和的數(shù)量關(guān)系為；【答案】(1)見解析(2)或【知識點】畫出直線、射線、線段、尺規(guī)作圖——作三角形、尺規(guī)作一個角等于已知角、作垂線(尺規(guī)作圖)【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，作一條線段等于已知線段的作法，都是基本作圖，需要熟練掌握．（1）第一種先做出，然后在邊上截取得到點C，再以點為圓心，的長為半徑作弧交射線于兩點，連接即可得到和，則這兩個三角行為符合題意的三角形；（2）根據(jù)（1）中兩種作圖情況分別得出當(dāng)即時，三條線段、和的數(shù)量關(guān)系：；當(dāng)即時，三條線段、和的數(shù)量關(guān)系：．【詳解】（1）解：將原角按如下取點命名：，以點O為圓心，長為半徑畫弧，交兩邊于兩點，再畫射線，以長為半徑畫弧，交于點C，再以C為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點H，連接，則，再以點為圓心，的長為半徑作弧交射線于兩點，連接即可得到和，則這兩個三角行為符合題意的三角形，故兩種作圖如下：；（2）解：如題意畫圖如下，其中位置即為兩種情況的位置，當(dāng)即時，三條線段、和的數(shù)量關(guān)系：，當(dāng)即時，三條線段、和的數(shù)量關(guān)系：，故答案為：或．【考點題型四】三角形全等的判定與性質(zhì)【例4】（22-23七年級下·重慶·期末）如圖，，點E為上一點，且，延長交于點F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對等角【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形全等的判定證明即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得到，然后運用三角形內(nèi)角和定理計算即可；【詳解】（1）解：在和中（2）【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練運用這些知識解決問題是關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24八年級下·貴州黔西·期末）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在一條直線上，，，(1)求證：；(2)若，，求AD的長．【答案】(1)見解析；(2)．【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，再根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：，，，在與中，，；（2）解：由（1）知，，，，．【變式4-2】（23-24八年級上·安徽·期末）如圖，在四邊形中，，為對角線上一點，，且．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由全等三角形得到線段相等是解題的關(guān)鍵．（1）由補(bǔ)角的性質(zhì)得到，由平行得，由即可證明三角形全等；（2）由全等三角形得，，進(jìn)而求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴．∴【變式4-3】（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，在中，是邊上的高，點E在上，，，連接并延長交于點F．(1)求證：；(2)若恰好平分，，求的長【答案】(1)詳見解析(2)【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．（1）證明即可得證結(jié)論；（2）由得到，又，從而，因此，再由，即可證明，進(jìn)而得到，．【詳解】（1）證明：∵是邊上的高，∴．在和中∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴在和中，∴，∴，∴，∴．【變式4-4】（23-24七年級下·遼寧沈陽·期末）如圖，點在的邊上，，，．(1)判斷與是否全等，請說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【知識點】兩直線平行內(nèi)錯角相等、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及角的和差求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】（1）；理由：∵，∴，即，∵，∴，又∵，∴；（2）由（1）得，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【考點題型五】用HL證明兩直角三角形全等【例5】（23-24八年級上·廣東肇慶·期末）如圖，中，為上一點，為延長線上一點，且，過點作于點，過點作交的延長線于點，且，連交邊于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】全等三角形綜合問題、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由“”可證；（2）先由（1）可知，證，從而由三角形全等的性質(zhì)可得，然后由線段的和差即可得證．【詳解】（1）證明：∵，，∴在與中，，；（2）證明：由（1）知，，∵，，，在與中，，，，，．【變式5-1】（22-23八年級上·北京朝陽·期末）如圖，于點E，于點F，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，再根據(jù)，即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵于點于點，，，，在和中，，；（2）證明：，，．【變式5-2】（23-24七年級下·四川甘孜·期末）如圖，已知，，，，與交于點O．(1)求證：．(2)求．【答案】(1)見解析(2)【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，（1）根據(jù)證明兩個三角形全等即可；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）知：，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．【變式5-3】（23-24八年級下·山東青島·期末）如圖，等腰中，是腰上的高，在底邊上截取，過點E作交于F．(1)求證：(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，（1）直接利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，然后根據(jù)等邊對等角得，進(jìn)而求出，可得答案.【詳解】（1）證明：∵是腰上的高，，∴.又∵，，∴，∴；（2）∵，，∴.∵，∴，∴.∵是等腰三角形，∴.∵是的外角，∴，∴．【變式5-4】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，與中，，，線段與線段在一條直線上，且，連接，，，與相交于點．(1)與全等嗎？為什么？(2)試說明點是線段的中點．【答案】(1)全等，理由見解析(2)說明見解析【知識點】全等三角形綜合問題、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中點定義等知識，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，再利用即可證明；（2）利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段中點定義即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：，，即，在與中，，，，，在和中，；（2）解：由（1）知，，與相交于點，，在和中，，，，點是線段的中點．【考點題型六】利用三角形全等求時間或線段長的多解問題【例6】（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，，．動點P以的速度從點A出發(fā)沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發(fā)沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發(fā)沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發(fā)．連接，當(dāng)動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．【答案】或【知識點】幾何問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解二元一次方程組，設(shè)運動的時間為，動點M的速度為，則，進(jìn)而得到，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)運動的時間為，動點M的速度為，由題意得，，∴．∵，∴．當(dāng)時，則，∴，解得，∴，解得．當(dāng)時，則，∴，解得，∴，解得．綜上所述，動點M的速度為或，故答案為：或．【變式6-1】（23-24八年級上·河南商丘·期末）如圖，，E、F分別為線段和射線上的一點，若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線運動，二者速度之比為2：3，當(dāng)點E運動到點A時，兩點同時停止運動．在射線上取一點G，使與全等，則的長為．【答案】8或15【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，使與全等；然后分和兩種情況解答即可．【詳解】解：設(shè)，則，使與全等①當(dāng)時，∵，∴，解得：，∴．②當(dāng)時，∵，∴，解得：，∴，綜上所述，或．故答案為：8或15．【變式6-2】（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖，在長方形中，，，，，延長至點E，使，連接．動點P從點A

出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿運動，回到點A停止運動，運動時間為：t秒，當(dāng)t的值為時，和全等．【答案】或10【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意分兩種情況：和，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)時，∴∵在長方形中，，，∴，∴∵點P的運動時間為每秒2個單位∴（秒）；如圖所示，當(dāng)時，∴，∴，∴（秒）綜上所述，當(dāng)t的值為或10秒時，與全等．故答案為：3.5或10．【變式6-3】（23-24八年級上·河南焦作·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，射線于點A．若點C是射線上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以C、D、A為頂點的三角形與全等，則點D的坐標(biāo)為．【答案】或【知識點】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題、一次函數(shù)與幾何綜合、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，先求出兩點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長，分或兩種情況進(jìn)行討論求解即可．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，∴點B的坐標(biāo)為0,2，∴，當(dāng)時，，解得：，∴點A的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，如圖所示，∵，，∴，當(dāng)以C、D、A為頂點的三角形與全等時，共有或兩種情況，當(dāng)時，，∴點D的坐標(biāo)為，即；當(dāng)時，，∴點D的坐標(biāo)為．綜上所述，點D的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【變式6-4】（23-24八年級上·湖北鄂州·期末）如圖，中，，，．點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點；點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點．點和分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過和作于、作于，當(dāng)點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等．【答案】2或7或24【知識點】全等三角形的性質(zhì)、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，代入得出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等，分為五種情況：①如圖1，P在上，Q在上，則，，，，，，，，，，，即，；②如圖2，P在上，Q在上，則，，由①知：，，；因為此時，所以此種情況不符合題意；③當(dāng)P、Q都在上時，如圖3，，解得：；④當(dāng)Q到A點停止，P在上時，如圖4，，時，解得．，符合題意；⑤因為P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在上的情況不存在；綜上，點P運動2或7或24秒時，以P、E、C為頂點的三角形上以Q、F、C為頂點的三角形全等．故答案為：2或7或24．【考點題型七】與全等三角形有關(guān)的多結(jié)論問題【例7】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在中，，為邊上一點，，點在的延長線上，平分，且．連接交于，為邊上一點，滿足，連接交于．以下結(jié)論：①；②；③．正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后利用定理證明出，進(jìn)而判斷①；利用證明出進(jìn)而可判斷②；得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】，，平分，，，在和中，，，故①正確；∵，，∴，故②正確；∴又∵∴，故③正確．綜上所述，正確的有3個．故選：D．【變式7-1】（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）如圖，在與中，，，，分別交，于點，，交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，利用可證明，即可得，，，進(jìn)而可判斷①②正確，再利用可證明，即可判斷④正確，再證明，，可知，根據(jù)題目條件，不能判斷出與的大小關(guān)系，因此不能判斷與是否相等，進(jìn)而可知③不正確，理解并掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，故②正確，，即，故①正確，，，，，故④正確，，，，，，又，，即，，，，，，根據(jù)題目條件，不能判斷出與的大小關(guān)系，因此不能判斷與是否相等，故③錯誤，綜上，正確的有①②④；答案：B．【變式7-2】（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖所示，，，，點F是的中點．①；②；③；④；⑤．以上結(jié)論，正確的是（

）A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、兩直線平行內(nèi)錯角相等【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．根據(jù)題意證明出，進(jìn)而判斷①；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷②③；然后根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可判定④；然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可判斷⑤．【詳解】解：∵∴又∵，，∴，故①正確；∴∴，故②正確；∵∴，∴，即又∵∴∴∴，故③正確；∵點F是的中點∴，故④正確；∵∴，故⑤錯誤．綜上所述，正確的是①②③④．故選：C．【變式7-3】（23-24八年級上·湖北黃石·期末）如圖，在中，，，、是斜邊上兩點，且，過點作，垂足是，過點作，垂足是交于點，連接，下列結(jié)論：≌；；若，，則；其中正確的是．【答案】【知識點】全等三角形綜合問題【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，只要證明，即可解決問題．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，故①正確∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正確，∵若．∴，∴，∵，∴，故③正確，∵，，∴，故④錯誤，故答案為：①②③．【考點題型八】全等三角形中的動點綜合問題【例8】（23-24七年級下·全國·期末）如圖，在中，，D為射線上一動點（不與點B、C重合），在的右側(cè)作，使得，連接．(1)當(dāng)點D在線段上時，求證：；(2)若點D運動到線段上某一點時，恰好有，問：線段與線段有什么位置關(guān)系并說明理由；(3)在