河北省金科大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省金科大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，由，解得，所以，，故選：C．2.已知，若為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由為純虛數(shù)，得，，解得，所以，故選:B．3.設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，故，因?yàn)?，所以，故，解得，故選：C．4.已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，又，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形為菱形，故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量為，故選：D．5.設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，在上恒成立，記，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以只需，解得，故選：A．6.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛(ài)，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開(kāi)展志愿服務(wù)工作．若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館時(shí)，場(chǎng)館僅有2名志愿者的概率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】不考慮甲是否去場(chǎng)館，所有志愿者分配方案總數(shù)為，甲去場(chǎng)館的概率相等，所以甲去場(chǎng)館或的總數(shù)為，甲不去場(chǎng)館，分兩種情況討論，情形一，甲去場(chǎng)館，場(chǎng)館有兩名志愿者共有種；情形二，甲去場(chǎng)館，場(chǎng)館場(chǎng)館均有兩人共有種，場(chǎng)館場(chǎng)館均有兩人共有種，所以甲不去場(chǎng)館時(shí)，場(chǎng)館僅有2名志愿者的概率為.故選：B．7.已知正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞著邊旋轉(zhuǎn)至分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于平面，所以平面，平面，由于，則，在中，利用余弦定理可得,所以，過(guò)作的垂線，垂足為，由，平面，所以平面，又平面，所以，所以，不妨設(shè)，則，所以由余弦定理得，，故選：A．8.已知雙曲線的離心率為2，左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，是上位于第一象限的兩點(diǎn)，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，左焦點(diǎn)為，離心率，則，由余弦定理得，所以，又，所以，設(shè)，則，，所以，所以，，故選：D．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知甲?乙兩組數(shù)據(jù)分別為，和，若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則（）A.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10B.乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.5C.甲?乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同D.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差【答案】AD【解析】甲組共有5個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列后，10為中間數(shù)字，所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為選項(xiàng)正確；由題意得甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，且易知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為10，故乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為10，故得，所以，又，乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知甲組數(shù)據(jù)極差為4，乙組數(shù)據(jù)極差為選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，乙組數(shù)據(jù)離散程度更大，方差更大，D選項(xiàng)正確，故選：AD．10.已知圓臺(tái)上?下底面半徑分別為1，2，且上下底面圓周均在半徑為的球的球面上，則該圓臺(tái)的體積可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】設(shè)圓臺(tái)外接球球心為，球心到上，下底面的距離為，則，解得，同理可得，若位于上下底面之間，則圓臺(tái)的高為，此時(shí)圓臺(tái)體積為，若位于下底面下方，則圓臺(tái)的高為，此時(shí)圓臺(tái)體積為.故選：AC．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓，是圓的一條直徑，點(diǎn)在圓上，設(shè)直線為兩圓的公切線，則（）A.圓和圓外切 B.直線斜率的最小值為0C.直線斜率的最大值為 D.面積的最大值為7【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，，因?yàn)?，所以和外離，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，畫出兩圓如下：可以看出共有4條公切線，其中內(nèi)公切線的斜率最小，其中：與和均相切，所以直線斜率的最小值為正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，：，內(nèi)公切線的斜率最大，設(shè)其傾斜角為，直線的斜率，即，則，所以直線斜率的最大值為．C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，易知，此時(shí)三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為，選項(xiàng)正確，故選：．12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題意可得：，對(duì)于選項(xiàng)A：由于，則，即，顯然，因?yàn)榫趦?nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)值均為正值，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，由解得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，等價(jià)于，即證，，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，則，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，要證，只需，即，，設(shè)，則，因?yàn)榫趦?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知存在使得，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榫趦?nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)值均為正值，則在內(nèi)單調(diào)遞增，要證，只需，即，因?yàn)?，可得，D選項(xiàng)正確；故選：ABD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，若，則__________．【答案】2【解析】依題意，，解得，又，所以，故，解得．故答案為：2.14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．【答案】110【解析】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?10.15.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則__________．【答案】3【解析】由題意知圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，解出，由于上單調(diào)遞減，，因此，解出，由于，所以取，解得，又由于，且，則．故答案為：316.已知橢圓為的左?右焦點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），設(shè)的外接圓面積為，內(nèi)切圓面積為，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由于，所以，，故，設(shè)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)為等邊三角形，所以，設(shè)外接圓半徑為，則，即，由余弦定理得：，整理可得，所以的面積，故的內(nèi)切圓半徑，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟．17.記銳角中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求的值；（2）若，且，求的面積．解：（1）由條件及正弦定理得而，所以，因此，由于，則，得因此是銳角三角形，因此均存在，所以，故；（2）由（1）可知，，則，且，故，利用正弦定理得，解出，，故，因此面積．18.一個(gè)骰子各個(gè)面上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)拋擲該股子2次，記第一次正面朝上的數(shù)字為，第二次正面朝上的數(shù)字為，記不超過(guò)的最大整數(shù)為．（1）求事件“”發(fā)生的概率，并判斷事件“”與事件“”是否為互斥事件；（2）求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為時(shí)，，當(dāng)取取值為1，2時(shí)，，當(dāng)取取值為1時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，事件“”與事件“”不能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；（2）的取值為，取值為，時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，取值為時(shí)，，所以的分布列為0123456所以．19.如圖，在四棱錐中，平面，在棱上，平面，設(shè)．（1）求；（2）若點(diǎn)到平面的距離為1，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）連接，相交于，由可知，面，平面平面，由平面可知，，則；（2）易知，又，故由余弦定理得，解得，由于，所以，又平面平面，所以，因?yàn)?，面，面，所以平面，而面，所以面面，又平面平面，過(guò)作垂直于，則平面，所以，設(shè)，對(duì)使用等面積法可得，解得，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，由，可得，因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．20.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知為等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，設(shè)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．解：（1）為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則有，所以，等比數(shù)列的公比為2，又，所以；證明：（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，則，因此．21.已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且的最小值為2．（1）求的方程；（2）過(guò)且與垂直的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的中點(diǎn)分別為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去；設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，設(shè)，則，所以，所以，所以的方程為．（2）由（1）可知，，所以，同理可得，所以直線斜率為，所以直線，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椤?，所以在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，則為定值，所以存在定點(diǎn)，使得為定值．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；（2），設(shè)，則，（i）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，又，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞