數(shù)字信號(hào)處理-課件 第7章 IIR DF 無限長數(shù)字濾波器

*第7章IIRDF無限長數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)*本章主要內(nèi)容幾種典型的IIR數(shù)字濾波器

模擬低通濾波器的特性逼近應(yīng)用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實(shí)現(xiàn)

濾波器設(shè)計(jì)概述

巴特沃斯低通濾波器切比雪夫低通濾波器橢圓形低通濾波器7-1濾波器設(shè)計(jì)概述7.1.1濾波器的類型數(shù)字濾波器是具有濾波功能的離散數(shù)字系統(tǒng)，根據(jù)不同的分類方法，可以分為不同的類型。1)按頻帶可以分為低通、高通、帶通、帶阻和全通數(shù)字濾波器。0(1)低通濾波器波形|H(ejω)|ωcωπ2π3π按頻率分類濾波器波形示意圖0|H(ejω)|π2π3πω(3)帶通濾波器波形0|H(ejω)|ωcωπ2π3π(2)高通濾波器波形按頻率分類濾波器波形示意圖*0|H(ejω)|π2π3πω(4)帶阻濾波器波形0|H(ejω)|π2π3πω(5)全通濾波器波形按頻率分類濾波器波形示意圖*7-1濾波器設(shè)計(jì)概述7.1.1濾波器的類型(2)按逼近方式可以分為巴特沃思濾波器（Butterworth）、切比雪夫?yàn)V波器（Chebyshev）、橢圓濾波器（Elliptic）和貝塞爾濾波器（Bessel）等。(3)按結(jié)構(gòu)可以分為遞歸型濾波器和非遞歸型濾波器兩大類，又稱為無限長沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器。*

（1）頻率變量以數(shù)字頻率ω

表示，ω=ΩT

（3）頻率特性只限于范圍，這是因?yàn)橐廊佣ɡ?，?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的一半.

（2）以數(shù)字抽樣頻率為周期數(shù)字頻率概念*7.1.2DF的技術(shù)指標(biāo)0低通為例ωcωstωπ通帶截止頻率ωc阻帶截止頻率ωst*通帶內(nèi)允許的最大衰減阻帶內(nèi)允許的最小衰減3dB通帶截止頻率

當(dāng)幅度下降到時(shí)，即下降為0.707,，對(duì)應(yīng)的頻率

*7.1.3DF濾波器的三個(gè)參量(1)幅度平方響應(yīng)

(2)相位響應(yīng)*(3)群延遲它表示每個(gè)頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，表示每個(gè)頻率分量的延遲相同。*7.1.4IIR濾波器設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為逼近問題，即設(shè)計(jì)如下形式的濾波器系統(tǒng)函數(shù)并確定濾波器的系數(shù)和的值，使所設(shè)計(jì)的濾波器在性能上逼近給定的性能指標(biāo)。如果在s平面逼近，則得到IIR模擬濾波器，然后再轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器；如果在z平面逼近，則直接得到IIR數(shù)字濾波器*7.1.4IIR濾波器設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一般有如下兩種方法：（1）間接設(shè)計(jì)法

由模擬到數(shù)字的間接設(shè)計(jì)方法，即先設(shè)計(jì)一個(gè)符合要求的模擬濾波器，然后將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。由于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，既可以采用公式法設(shè)計(jì)，也可以采用查表法設(shè)計(jì)，非常方便。（2）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)

用計(jì)算機(jī)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，又稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。由于該方法是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)法，因此設(shè)計(jì)方法和優(yōu)化準(zhǔn)則密切相關(guān)。*

數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的工程流程

(1)按任務(wù)要求確定Filter的性能指標(biāo)；

(2)用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；

(3)選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)；

(4)用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。*2.最小與最大相位系統(tǒng)

7.2幾種簡單典型的IIR濾波器1.全通系統(tǒng)

包括以下三類典型系統(tǒng):

3.最小與最大相位超前系統(tǒng)

*7.2.1全通系統(tǒng)例1求:(1)該系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性

(2)繪出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖

什么是全通系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幅值在所有頻率下的均為1或者常數(shù)的系統(tǒng).根據(jù)全通系統(tǒng)的定義，如下形式的一階系統(tǒng)為全通系統(tǒng)1.一階全通系統(tǒng)*解在所有頻率下幅值特性均為常數(shù)1

*系統(tǒng)零極點(diǎn)圖如下:極點(diǎn)零點(diǎn)零極點(diǎn)位置關(guān)系?*

如何形成高階全通系統(tǒng)?（1）多個(gè)一階全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)為N階系統(tǒng)2.高階全通系統(tǒng)

高階全通系統(tǒng)可由一階全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成或根據(jù)全通系統(tǒng)的幅值特性直接給出高階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。即由如下N個(gè)一階全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)為N階系統(tǒng)*高階全通系統(tǒng)一般形式：?（2）通用N階全通系統(tǒng)*（3）最簡N階全通系統(tǒng)

根據(jù)全通系統(tǒng)的定義，如上系統(tǒng)滿足全通系統(tǒng)的定義，也是全通系統(tǒng)。該式可以組成任意階全通系統(tǒng)，這是N階最簡全通系統(tǒng)，也是單純的延時(shí)系統(tǒng)。*3.全通系統(tǒng)的應(yīng)用全通系統(tǒng)實(shí)際上是一種不改變信號(hào)的幅度譜，只改變信號(hào)相位譜的信號(hào)處理系統(tǒng)。這表明信號(hào)通過全通系統(tǒng)后，幅度譜不變，僅相位譜發(fā)生改變，也可以認(rèn)為是對(duì)相位進(jìn)行濾波。因此，若需要對(duì)相位進(jìn)行某種處理時(shí)，課采用全通系統(tǒng)。（1）相位矯正IIR濾波器的相位特性通常是非線性的，而視頻和語音信號(hào)傳輸時(shí)要求系統(tǒng)具有線性相位特性，這時(shí)可以采用全通濾波器進(jìn)行相位矯正，以獲得線性相位特性。由于全通濾波器具有相位矯正功能，因此又稱為相位均衡器。*（2）將不穩(wěn)定系統(tǒng)矯正為穩(wěn)定系統(tǒng)（3）因果穩(wěn)定分解為全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)通過級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)可以將非穩(wěn)定系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定系統(tǒng)。全通系統(tǒng)屬于最大相位系統(tǒng)，因?yàn)楦鶕?jù)全通系統(tǒng)的特點(diǎn)，其全部零點(diǎn)均在單位圓外，而全部極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)。而且，全通系統(tǒng)每一對(duì)零、極點(diǎn)呈倒數(shù)關(guān)系，以單位圓為界鏡像分布。因此，在一個(gè)非穩(wěn)定的系統(tǒng)中級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)，則通過零極點(diǎn)對(duì)消的方式可以實(shí)現(xiàn)將不穩(wěn)定系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定系統(tǒng)。根據(jù)全通系統(tǒng)的特性可知，任何一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)均可以分解為一個(gè)全通系統(tǒng)和一個(gè)最小相位系統(tǒng)級(jí)聯(lián)。*7.2.2

最小與最大相位系統(tǒng)

1.最小相位系統(tǒng)對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng),若全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi),系統(tǒng)相位變化最小,稱為最小相位延時(shí)系統(tǒng).2.最大相位系統(tǒng)

對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng),若全部零點(diǎn)在單位圓外,系統(tǒng)相位變化最大,稱為最大相位延時(shí)系統(tǒng).*7.2.3

最小與最大相位超前系統(tǒng)

對(duì)于逆因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)在單位圓外，這類系統(tǒng)的相位變化為正，因而這類系統(tǒng)被稱為相位超前系統(tǒng)。（1）最大相位超前系統(tǒng)

若H(z)的全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，由于這時(shí)相角相位超前最大，故稱這類系統(tǒng)為最大相位超前系統(tǒng)。（2）最小相位超前系統(tǒng)

若H(z)的全部零點(diǎn)在單位圓外，由于這時(shí)相角相位超前最小，故稱這一類系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)。*7.3模擬低通濾波器特性的逼近概述:在模擬濾波器設(shè)計(jì)中，最為關(guān)鍵的是設(shè)計(jì)模擬原型低通濾波器。只要設(shè)計(jì)好了模擬低通濾波器，則其它類型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可方便的通過頻率變換而得到，因此，模擬低通濾波器也稱模擬原型低通濾波器。(1)IIR型數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟:（1）確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)（2）將數(shù)字域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬指標(biāo)（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器（4）模擬濾波器的數(shù)字化。（5）濾波器頻率變換（6）濾波器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

*(2)常用模擬濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性切比雪夫（Chebyshew）濾波器幅頻特性在通帶或阻帶內(nèi)有波動(dòng)，可以提高選擇性；橢圓（Ellipse）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都有紋波貝塞爾（Bessel）濾波器等通帶內(nèi)有較好的線性相位特性不同點(diǎn)！*7.3.1巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法其中：N是filter的階數(shù)；為截止頻率。當(dāng)時(shí)，則即

1.幅度平方函數(shù)*（1）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性；2.基本特性N=2N=4N=81.00（2）N取任何值,都經(jīng)過3dB頻率（3）N越大,過渡帶越窄，在通帶內(nèi)更接近于1，阻帶內(nèi)迅速接近于零1)幅值特性*（2）階數(shù)N對(duì)性能的影響一階巴特沃思濾波器的衰減特性為每倍頻6dB，二階巴特沃思濾波器的衰減率為每倍頻12dB，三階巴特沃思濾波器的衰減率為每倍頻18dB分貝，依此類推。2.求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)根據(jù)巴特沃思濾波器幅值平方函數(shù)表達(dá)式可知，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)先求出濾波器的階數(shù)和截止頻率，然后通過求幅值平方函數(shù)求系統(tǒng)的極點(diǎn)，從而求得系統(tǒng)函數(shù)。*由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率Ωc

2.求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)（1）求N和截止頻率解聯(lián)立方程*其零點(diǎn)全部在處；即全極點(diǎn)型，極點(diǎn)如下：即：這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。且分布在巴特沃斯圓上（半徑為），共有2N點(diǎn)。（2）求系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)*Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)分布特點(diǎn)如下圖所示在設(shè)計(jì)巴特沃思濾波器時(shí)，首先應(yīng)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求.因此，應(yīng)將Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)中的左半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給Ha(s)，右半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給Ha(-s).*（3）求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)由(1),(2)可知，模擬低通巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為根據(jù)H(0)=1，將s=0代入，可求得常數(shù)C為因此，巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，k=1，2，…，N其中，*分析當(dāng)N=1時(shí)極點(diǎn)詳細(xì)分布情況。例2N=1解:因?yàn)镹=1,代入得結(jié)論:極點(diǎn)對(duì)稱分布*分析當(dāng)N=2時(shí)極點(diǎn)詳細(xì)分布情況。4例3解:結(jié)論:極點(diǎn)對(duì)稱分布*例4分析當(dāng)N=3時(shí)極點(diǎn)詳細(xì)分布情況。解:*解例5若已知幅值平方響應(yīng)如下試確定巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)由此可知：N=3，Ωc=0.5求解得3個(gè)極點(diǎn)為：*因此，系統(tǒng)函數(shù)如下：*3．查表法設(shè)計(jì)模擬低通巴特沃思濾波器模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論與方法在數(shù)學(xué)上非常成熟，可以通過代數(shù)演繹求出理論上的解析表達(dá)式，由于方法成熟，通過將截止頻率歸一化就可用查表法設(shè)計(jì)低通模擬濾波器。教材表7-1給出了歸一化原型低通巴特沃思模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。由于系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)a0=1，aN=1，因此，10階以下的歸一化模擬原型巴特沃思濾波器都可以通過查表7-1進(jìn)行設(shè)計(jì)。*4．Matlab設(shè)計(jì)巴特沃思模擬濾波器巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)中常用到的Matlab函數(shù)主要有如下三個(gè)。（1）[N，W]=buttord(Omegap，Omegas，Rp，Rs，’s’)該函數(shù)的功能是依據(jù)巴特沃思濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N和3dB帶寬。輸入?yún)?shù)包括通帶截止頻率Omegap、阻帶截止頻率Omegas、通帶最大衰減Rp和阻帶最小衰減指標(biāo)Rs。Omegap和Omegas的單位是rad/s。函數(shù)buttord(Omegap，Omegas，Rp，Rs，’s’)也可以用于高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。用于設(shè)計(jì)高通濾波器時(shí)，則要求Omegap>Omegas，用于帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，Omegap、Omegas和W都是二維向量，即通帶或阻帶的兩個(gè)邊緣頻率。*（2）[z，p,，k]]=buttap(N)該函數(shù)的功能是根據(jù)巴特沃思濾波器的階數(shù)N計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)，z表示零點(diǎn)數(shù)組，為一個(gè)空矩陣，p表示極點(diǎn)數(shù)組，k表示增益。（3）[B,A]=butter(N，W，’s’)該函數(shù)的功能是根據(jù)巴特沃思濾波器的階數(shù)N和3dB帶寬頻率計(jì)算濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)矩陣，B表示濾波器分子多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣，A表示分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣。

濾波器設(shè)計(jì)：Matlab設(shè)計(jì)模擬低通巴特沃思濾波器已知巴特沃思低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)如下：

通帶截止頻率：0.2π，通帶波紋：1dB

阻帶截止頻率：0.3π，阻帶波紋：20dB試設(shè)計(jì)符合指標(biāo)要求的模擬低通巴特沃思濾波器。解：%IIR巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì).clc;clearall;closeallOmegap=0.2*pi;Omegas=0.3*pi;Rp=1;As=15;Ripple=10^(-Rp/20);Attn=10^(-As/20);[B,A]=g_buttap(Omegap,Omegas,Rp,As)figure(1)[H,w]=freqs(B,A);w=[0:pi/500:pi];H=freqs(B,A,w);mag=abs(H);dB=20*log10(mag+eps)/max(mag);pha=angle(H);[hat,x,t]=impulse(B,A);例6subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title('幅值響應(yīng)');xlabel('Ω/π');ylabel('|H(Ω）|');axis([0,1,0,1.1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,Omegap/pi,Omegas/pi,1])set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,Attn,Ripple,1]);gridsubplot(2,2,3);plot(w/pi,dB);title('對(duì)數(shù)幅值響應(yīng)（dB）');xlabel('Ω/π');ylabel('20log|H(Ω)|');axis([0,1,-2*As,5]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,Omegap/pi,Omegas/pi,1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-2*As,-As,-1,0]);gridsubplot(2,2,2);plot(w/pi,pha/pi);title('相位響應(yīng)');xlabel('Ω/π');ylabel('arg[H（Ω)]');axis([0,1,-1,1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,Omegap/pi,Omegas/pi,1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-1,-0.5,0,0.5,1]);gridsubplot(2,2,4);plot(t,hat);title('單位沖激響應(yīng)');xlabel('t(s)');ylabel('ha(t)');axis([0,max(t),min(hat),1.1*max(hat)]);grid*濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果如下：N=8B=0.0477A=1.00003.50456.14066.98145.61263.26331.34160.35790.0477根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)矩陣，可得模擬低通巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下（保留三位小數(shù)）：*濾波器的性能如下圖所示：濾波器性能仿真，所設(shè)計(jì)的濾波器在通帶截止頻率和阻帶截止頻率均達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。*7.3.2切比雪夫低通濾波器切比雪夫（Chebyshev）濾波器是一種在通帶或阻帶范圍內(nèi)幅值響應(yīng)具有等波紋波動(dòng)的濾波器。切比雪夫?yàn)V波器在過渡帶比巴特沃思濾波器衰減快，但幅頻特性不如巴特沃思濾波器平坦。根據(jù)頻率響應(yīng)曲線波動(dòng)位置的不同，切比雪夫?yàn)V波器可以分為切比雪夫I型和切比雪夫II型兩種。切比雪夫?yàn)V波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小，但是切比雪夫I型濾波器在通帶內(nèi)存在波動(dòng)，切比雪夫II型濾波器在阻帶內(nèi)存在波動(dòng)。*切比雪夫I型濾波器幅值特性切比雪夫II型濾波器幅值特性*切比雪夫多項(xiàng)式如下：

N

為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)1．切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式：式中，（2）切比雪夫多項(xiàng)式的特殊取值(3)切比雪夫多項(xiàng)式具有如下遞推公式*不同N值的切比雪夫多項(xiàng)式的曲線

切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)時(shí)，曲線具有等紋波特性；當(dāng)時(shí)，曲線按雙曲余弦函數(shù)單調(diào)上升*2．幅值響應(yīng)特點(diǎn)（1）通帶內(nèi)特性因此，可得通帶內(nèi)的衰減為：*（2）通帶外特性在通帶外，由于Ω>Ωc為雙曲余弦函數(shù)Ω不斷增加時(shí)*3．根據(jù)濾波器指標(biāo)求ε和N(1)求ε設(shè)允許的通帶紋波為δ1即Ap，則有*切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)

ε是小于1的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通帶內(nèi)紋波大小的一個(gè)參數(shù)，ε愈大，紋波也愈大。Ωp稱為有效通帶截止頻率。頻率通常對(duì)Ωp歸一化，

*（2）求N*4.求系統(tǒng)函數(shù)由于ε和N已求出，為求解Ha(s)，與巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)類似，可采用查表法和極點(diǎn)分布法兩種方法求解。2）由極點(diǎn)分布求歸一化幅值平方響應(yīng)為1）查表法求*s=jΩ

代入可得令則有因此可得，方程*方程有2N個(gè)共軛復(fù)數(shù)根,2N個(gè)根關(guān)于虛軸對(duì)稱分布.N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn);N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸沒有極點(diǎn)。根據(jù)雙曲余弦函數(shù)的特性可知，2N個(gè)根分布在一個(gè)橢圓上。橢圓的短軸和長軸半徑分別為：將左半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給Ha(s)k=1，2，…，N*k=1，2，…，N因此可得k=1，2，…，N從而有*

（1）先在s平面根據(jù)長半軸和短半軸繪出橢圓，再以橢圓的長軸和短軸半徑在該平面繪出兩個(gè)同心圓。

橢圓上2N個(gè)極點(diǎn)可以通過作圖法確定，如下圖.以N=4為例,Ha(s)Ha(-s)在s平面共有8個(gè)極點(diǎn),這8個(gè)極點(diǎn)的位置可以通過如下作圖法確定.具體方法如下：*（2）將兩個(gè)圓的圓周等分為2N份，因而在圓周上得到2N個(gè)等分點(diǎn)，等分點(diǎn)的幅角間隔為π/N.關(guān)于虛軸對(duì)稱.若N為奇數(shù)，則實(shí)軸上有極點(diǎn)，第一個(gè)點(diǎn)可從實(shí)軸開始；若N為偶數(shù)，則第一個(gè)等分點(diǎn)的角度為π/(2N)（3）橢圓上2N個(gè)極點(diǎn)的縱坐標(biāo)由大圓圓周上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)來確定，橢圓的橫坐標(biāo)由小圓圓周上相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)來確定，如圖中虛線所示。

切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)示例。已知切比雪夫I型濾波器的參數(shù)如下：ε=0.04，N=4設(shè)計(jì)切比雪夫I型低通原型濾波器。解：（1）求橢圓長半軸b和短半軸a根據(jù)已知條件可得=1.5177例7*（2）計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，左半平面的極點(diǎn)分配給Ha(s)，左半平面的極點(diǎn)如下：經(jīng)計(jì)算可得*（3）求系統(tǒng)函數(shù)由上可得，濾波器原型系統(tǒng)函數(shù)*5．查表法設(shè)計(jì)模擬低通切比雪夫?yàn)V波器巴特沃思模擬低通濾波器一樣，模擬低通切比雪夫?yàn)V波器既可以用解析法設(shè)計(jì)，也可以用查表法設(shè)計(jì)歸一化模擬低通切比雪夫?yàn)V波器。波紋值ε=0.34931和ε=0.508847時(shí)，歸一化原型低通切比雪夫模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)見教材表7-3（I）和表7-3（II），分子常數(shù)k可以通過給定的低頻或高頻特性確定教材7-3節(jié)給出了切比雪夫?yàn)V波器分母多項(xiàng)式系數(shù)表，可用于查表法設(shè)計(jì)。*6．Matlab設(shè)計(jì)模擬低通切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)的Matlab函數(shù)主要有三個(gè)：（1）[N，W]=

cheb1ord(Omegap，Omegas，Rp，Rs，’s’)該函數(shù)的功能是依據(jù)切比雪夫I型濾波器的指標(biāo)，計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N和3dB帶寬。輸入?yún)?shù)包括通帶截止頻率Omegap、阻帶截止頻率Omegas、通帶最大衰減Rp和阻帶最小衰減指標(biāo)Rs。cheb1ord(Omegap，Omegas，Rp，Rs，’s’)也可以用于高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，用于設(shè)計(jì)高通濾波器時(shí)，則要求Omegap>Omegas；用于帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，Omegap、Omegas和W都是二維向量，即通帶或阻帶的兩個(gè)邊緣頻率。*（2）[z，p,，k]=cheb1ap(N，Rp)該函數(shù)的功能是根據(jù)切比雪夫I型濾波器的階數(shù)N和指標(biāo)Rp，計(jì)算濾波器的零極點(diǎn)，z表示零點(diǎn)數(shù)組，為一個(gè)空矩陣，p表示極點(diǎn)數(shù)組，k表示增益。（3）[B,A]=cheby1(N，Rp，W，’s’)該函數(shù)的功能是根據(jù)切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)N和指標(biāo)Rp、3dB帶寬頻率W，計(jì)算濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的系數(shù)矩陣，B和A表示系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣。*7.切比雪夫II型濾波器切比雪夫II型濾波器幅值平方函數(shù)如下：式中，ε為小于1的正數(shù)，是表示通帶波紋大小的參數(shù)，ε越大，波紋越大。N為整數(shù)，為濾波器階數(shù)。切比雪夫II型濾波器既有極點(diǎn)，又有零點(diǎn)，且零點(diǎn)為虛數(shù)。切比雪夫II型低通濾波器與I型最大的不同是，II型的幅值響應(yīng)在通帶單調(diào)下降,而在阻帶內(nèi)具有等波紋特性,波動(dòng)的幅度由波紋參數(shù)ε控制.*7.3.3橢圓型濾波器橢圓型濾波器的幅值響應(yīng)特征是通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋特性、對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓型濾波器能獲可最窄的過渡帶，性能是最優(yōu)的。橢圓型濾波器又稱為考爾型濾波器（Cauer）。幅值平方函數(shù)形式如下：式中，N為整數(shù)，為濾波器階數(shù)，ε為通帶波紋參數(shù)，JN為N階雅可比橢圓函數(shù)。*1.橢圓型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)橢圓型濾波器不同于巴特沃思和切比雪夫?yàn)V波器，它是既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)的濾波器，因此，橢圓型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母均為關(guān)于s的多項(xiàng)式，其一般形式為：（1）N為偶數(shù)時(shí)（2）N為奇數(shù)時(shí)*2.橢圓型濾波器的性能和特點(diǎn)橢圓型濾波器在通帶和阻帶都具有等波紋特性，如下圖所示。在相同階數(shù)的條件下，橢圓型濾波器濾波器與其他型濾波器相比具有最小的通帶和阻帶波動(dòng)，而且通帶和阻帶的波動(dòng)相同，這一點(diǎn)與通帶和阻帶都平坦的巴特沃思濾波器，以及通帶平坦、阻帶等波紋或是阻帶平坦、通帶等波紋的切比雪夫?yàn)V波器具有明顯的不同。*3.Matlab設(shè)計(jì)橢圓型濾波器Matlab設(shè)計(jì)橢圓型濾波器的函數(shù)主要有如下三個(gè)：（1）[N，W]=

ellipord(Omegap，Omegas，Rp，Rs，’s’)該函數(shù)的功能是依據(jù)橢圓型濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N和3dB帶寬。輸入?yún)?shù)包括通帶截止頻率Omegap、阻帶截止頻率Omegas、通帶最大衰減Rp和阻帶最小衰減指標(biāo)Rs。ellipord(Omegap，Omegas，Rp，Rs，’s’)也可用于高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。用于設(shè)計(jì)高通濾波器要求Omegap>Omegas，用于設(shè)計(jì)帶通和帶阻濾波器時(shí)，Omegap、Omegas和W都是二維向量，即通帶或阻帶的兩個(gè)邊緣頻率。7-4沖擊響應(yīng)不變法上式表明，先對(duì)Ha(s)

沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過

z=esT

的映射關(guān)系映射到Z平面。7.4.1基本原理沖激響應(yīng)不變法就是使h(n)充分逼近為AF沖激響應(yīng)ha(t)的抽樣值，即:因此有:由于:Ha(s)=L[ha(t)],H(z)=Z[h(n)]1.逼近原理*2.s平面與z平面的關(guān)系根據(jù)采樣序列z變換與模擬信號(hào)拉普拉斯變換的關(guān)系，可得：上式表明，采用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，也將模擬濾波器的s平面變換為數(shù)字濾波器的z平面，這一變換反映了拉氏變換到z變換之間的關(guān)系，即首先對(duì)Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過z=esT的函數(shù)關(guān)系映射到z平面**3.頻率響應(yīng)關(guān)系在時(shí)域，數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)與模擬濾波器沖擊響應(yīng)的抽樣值相等，而從頻域看，根據(jù)連續(xù)信號(hào)抽樣理論，對(duì)連續(xù)信號(hào)ha(t)抽樣之后，則有由此可得：*任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻率響應(yīng)都不可能是真正限帶的，因而不可避免地存在頻譜的交疊，即下圖所示的頻譜混淆現(xiàn)象。這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在高頻段將不同于原模擬濾波器的頻率響應(yīng)，會(huì)因混疊現(xiàn)像而產(chǎn)生一定的失真。*0周期延拓混疊π-πHa(jΩ)ΩHa(ω)7.4.2設(shè)計(jì)方法1.Ha(s)為單極點(diǎn)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)為單階極點(diǎn)，且N＞M，一般可表示為如下形式：其拉氏逆變換為：7.4.2設(shè)計(jì)方法1.Ha(s)為單極點(diǎn)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)為單階極點(diǎn)，且N＞M，一般可表示為如下形式：其拉氏逆變換為：對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔抽樣，可得根據(jù)沖激響應(yīng)不變法的原理可得對(duì)序列h(n)取z變換，可得*H(z)由此可得單極點(diǎn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)公式*這是模擬濾波器數(shù)字化的一般方法H(z)=z[h(n)]模擬濾波器數(shù)字化的步驟如下:2.Ha(s)為重極點(diǎn)系統(tǒng)（1）根據(jù)拉普拉斯逆變換，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)ha(t)（2）對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔抽樣，得單位抽樣序列h(n)（3）對(duì)h(n)進(jìn)行z變換得系統(tǒng)函數(shù)*3．沖激響應(yīng)不變法的特點(diǎn)沖激響應(yīng)不變法保證了s平面與z平面的極點(diǎn)位置的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但整個(gè)s平面與z平面并不存在這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置與s平面的零點(diǎn)就沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。沖激響應(yīng)不變法具有如下特點(diǎn)。

（1)若要求數(shù)字濾波器的時(shí)域沖激響應(yīng)能模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，一般采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)。（2)沖激響應(yīng)不變法的頻率坐標(biāo)的變換是線性的，ω＝ΩΤ。因此，若模擬低通濾波的頻率響應(yīng)限帶（折疊頻率以內(nèi)），通過變換后數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。（3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，數(shù)字濾波器H(z)也是穩(wěn)定的.*（4)沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻譜的周期延拓，因此只能用于限帶的頻率響應(yīng)特性，如衰減特性很好的低通或帶通濾波器設(shè)計(jì)，高頻衰減越大，頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)越小，而對(duì)于高通和帶阻濾波器，一般不宜采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)。4．Matlab實(shí)現(xiàn)沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器Matlab提供了激響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器的函數(shù)mpinvar，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：[Hb,Ha]=impinvar(b,a,T)b,a分別是模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的系數(shù)矩陣，T是抽樣間隔。*解：5.設(shè)計(jì)舉例例8已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)如下：設(shè)T=0.1s，試采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器將Ha(s)展為部分分式，可得根據(jù)設(shè)計(jì)公式,可得代入?yún)?shù)可得:模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為:應(yīng)用教材例題Matlab代碼,結(jié)果如下：B1=00.0779A1=1.0000-1.55950.6065H(z)系數(shù)矩陣與直接應(yīng)用公式計(jì)算結(jié)果完全一致.分別以T=0.1s和T=0.02s,模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)計(jì)算結(jié)果如下圖所示。模擬濾波器與數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)與沖激響應(yīng)*沖擊響應(yīng)不變法總結(jié)1.低頻逼近性能較好;2.高頻誤差較大,不宜采用;*7.5雙線性變換法

引言:

無論是沖激響應(yīng)法,還是階躍響應(yīng)法,都是從從S平面到Z平面變換;

但從S平面到Z平面不是一一對(duì)應(yīng)映射關(guān)系,因此存在混疊失真。怎么克服混疊失真現(xiàn)象呢?可采用具有一一映射關(guān)系的雙線性變換法。該方法基本思想是，先將S平面設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)變換到S1平面，然后再轉(zhuǎn)換到Z平面,兩次變換均為一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。*

總結(jié):尋找中間映射關(guān)系S1平面,使S平面到Z平面之間滿足一一映射關(guān)系。如下圖所示：7.5.1基本原理

雙線性變換法提出的原因是為了避免數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在高頻段發(fā)生混疊現(xiàn)象，而根據(jù)信號(hào)采樣理論，模擬信號(hào)抽樣之后發(fā)生混疊現(xiàn)象是因?yàn)閺膕平面到z平面的映射為多值映射。因此，雙線性變換法的目標(biāo)就是要實(shí)現(xiàn)從s平面到z平面的單值映射關(guān)系。*1．變換思路從s平面到z平面的映射關(guān)系不是單值映射，但s平面從-π/T~π/T的條狀區(qū)域與單位圓則為單值映射關(guān)系.因此，如果能建立一種單值映射關(guān)系，可以從s平面映射到-π/T~π/T的條狀區(qū)域，再從條狀區(qū)域單值映射到z平面，則從理論上實(shí)現(xiàn)了從s平面到z平面的單值映射關(guān)系。2．確定變換關(guān)系總體思路：

從s平面到z平面建立單值映射包括兩個(gè)變換，分別確定每一步驟的變換函數(shù)，然后消去中間變量s1即可得到最終的變換函數(shù)關(guān)系。*即:變換關(guān)系:（1）從s平面到s1平面變換關(guān)系*由該式可得：*（2）從s1平面到z平面變換關(guān)系從s1平面的-π/T~π/T的條狀區(qū)域到z平面的變換可以通過如下變換實(shí)現(xiàn)：*根據(jù)上述兩個(gè)變換關(guān)系,消去中間變量s1，即可得到可得從S平面到z平面的單值映射關(guān)系:或:這就是雙線性變換該變換實(shí)現(xiàn)了單值映射，通過該變換可以將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。（3）從s平面到z平面的變換關(guān)系1.常數(shù)c的確定方法7.5.2設(shè)計(jì)方法1）低頻段頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系若模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在低頻段充分逼近，即兩者在低頻處有確切的頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系，則有由于在低頻段，Ω和ω均比較小，因此有根據(jù)歸一化數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω的關(guān)系因而可得：根據(jù)上式可得:2）特定頻率點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系數(shù)字濾波器的特定頻率，如低通濾波器的截止頻率ωc與模擬濾波器的通帶截止頻率Ωc有嚴(yán)格對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)截止頻率較低時(shí)，則有2.雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換法的主要優(yōu)點(diǎn)是不存在頻譜混疊現(xiàn)象。由于s平面與z平面為單值映射，s的虛軸對(duì)應(yīng)于z平面單位圓的一周，s平面的Ω=0對(duì)應(yīng)于z平面的ω=0，Ω=∞對(duì)應(yīng)ω→π，即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在頻譜混疊效應(yīng)。將s=σ+jΩ代入可得進(jìn)一步可得由于(2/T)>0,因而有因此可得

（1）σ<0時(shí)，即s左半平面，映射到z平面的單位圓內(nèi)；

（2）σ=0時(shí)，即s平面的虛軸，映射到在平面的單位圓上；

（3）σ>0時(shí)，即s右平面，映射到z平面的單位圓外。若模擬濾波器穩(wěn)定，通過雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性保持不變。3.雙線性變換的特點(diǎn)（1）主要優(yōu)點(diǎn)：s平面與z平面為一一對(duì)應(yīng)的單值映射關(guān)系，s平面的整個(gè)jΩ軸單值對(duì)應(yīng)于z平面單位圓上的一周。但雙線性變換的數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω為非線性關(guān)系.（2）缺點(diǎn)：

Ω與ω的非線性關(guān)系造成了數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生一定程度的頻率畸變。4．頻率預(yù)畸變由模擬濾波器Ha(s)經(jīng)雙線性變換法得到H(z)，在通帶與阻帶區(qū)間，其幅值特性仍保持原模擬濾波器相同的等起伏特性;但在通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率、起伏的峰值和谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)產(chǎn)生了非線性正切畸變;需要指出的是,這種畸變可以通過預(yù)畸進(jìn)行一定程度的校正。*5．Matlab實(shí)現(xiàn)雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器Matlab提供了基于雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器的Matlab函數(shù)，該函數(shù)為bilinear，其調(diào)用格式如下：[Hb,Ha]=bilinear(b,a,T)b,a分別是模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)矩陣，T是抽樣間隔。設(shè)計(jì)模擬濾波器并用雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器。已知濾波器的技術(shù)指標(biāo)如下：通帶范圍：ωp=0.2π，通帶衰減特性：Ap=2dB

阻帶范圍：ωs=0.55π，阻帶衰減特性：As=2dB

抽樣間隔T=1s試用Matlab設(shè)計(jì)巴特沃思模擬低通濾波器，并采用雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器。解：例9為便于比較，本例的指標(biāo)和教材例7-9的指標(biāo)相同，本例采用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，因此，設(shè)計(jì)模擬濾波器部分的程序代碼完全相同。首先采用buttord函數(shù)計(jì)算濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率，在此基礎(chǔ)上計(jì)用butter函數(shù)計(jì)算模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)矩陣，再調(diào)用bilinear函數(shù)用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。*clc;clearall;closeallOmegap=0.2*pi;Omegas=0.55*pi;Rp=2;As=15;N1=log10((10^(0.1*As)-1)/(10^(0.1*Rp)-1))/(2*log10(Omegas/Omegap))%計(jì)算階數(shù)[N,Omegac]=buttord(Omegap,Omegas,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,Omegac,'s')%計(jì)算模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)矩陣T=1;[Bb,Ba]=bilinear(B,A,T)%調(diào)用雙線性函數(shù)%Matlab程序代碼如下：*N1=1.9563N=2Omegac=0.7345B=000.5395A=1.00001.03880.5395Bb=0.08150.16310.0815Ba=1.0000-1.04590.3721根據(jù)程序計(jì)算結(jié)果，模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：程序運(yùn)行結(jié)果如下：根據(jù)程序計(jì)算結(jié)果，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為*雙線性變換法法轉(zhuǎn)換的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線*觀察剛才得到的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)

本例和教材例7-9的技術(shù)指標(biāo)相同，對(duì)比教材例7-9的設(shè)計(jì)結(jié)果，兩例所設(shè)計(jì)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)完全相同，但例7-9采用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器，在阻帶截止頻率處的衰減特性沒有達(dá)到指標(biāo)要求，而本例采用雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，在通帶和阻帶截止頻率處的衰減特性都達(dá)到了設(shè)計(jì)要求.

因?yàn)闆_激響應(yīng)不變法存在混疊現(xiàn)象，而雙線性變換法從理論上完全消除了混疊現(xiàn)象。*總結(jié)

只需將代入模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)就可得到DF的系統(tǒng)函數(shù)H(z).*

若模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下:解：雙線性變換法舉例

試用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR型DF,T=2s例10*解題結(jié)束！例10(續(xù))觀察合并同類項(xiàng)!*總結(jié)

只需將代入模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)就可得到DF的系統(tǒng)函數(shù)H(z).*7.6模擬濾波器頻帶變換7.6.1IIR濾波器頻帶變換方法無論是巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器還是橢圓型濾波器的逼近方法，一般都是先設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，然后再應(yīng)用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法，得到數(shù)字低通濾波器。但在實(shí)際應(yīng)用中，除低通濾波器之外，高通、帶通和帶阻等濾波器也具有廣泛的應(yīng)用需求，工程上不僅需要數(shù)字低通濾波器，還需要其他類型的數(shù)字濾波器。對(duì)于IIR型數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器，可以先設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器，然后再通過頻率變換得到所需要的數(shù)字濾波器。頻率變換主要有以下兩種方法：*1）先在模擬域進(jìn)行頻帶轉(zhuǎn)換，然后將轉(zhuǎn)后的模擬濾波器數(shù)字化。

該方法理論上包括兩個(gè)過程:（1）模擬濾波器的頻率轉(zhuǎn)換。將模擬歸一化低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器;（2）模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。根據(jù)濾波器的特點(diǎn)，選用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將模擬濾波器進(jìn)行數(shù)字化，獲得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。*2）先進(jìn)行模擬濾波器數(shù)字化，然后進(jìn)行數(shù)字域頻帶轉(zhuǎn)換，即先用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器，然后在數(shù)字域進(jìn)行數(shù)字頻帶變換，轉(zhuǎn)換為數(shù)字高通、數(shù)字帶通、數(shù)字帶阻濾波器，如下圖所示。*7.6.2模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬高通模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬高通濾波器是指由一個(gè)已設(shè)計(jì)好的歸一化模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)換為模擬高通濾波器，歸一化模擬低通濾波器和高通濾波器指標(biāo)如下圖所示。*設(shè)已有的歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為H1(s)，高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，復(fù)頻率變量分別用s1=jΩ1和s=jΩ表示，則由低通到高通的頻率變換關(guān)系如下:代入歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H1(s)，即可得到歸一化的模擬高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)即若模擬高通濾波器的通帶截止頻率沒有歸一化，則采用如下公式即可得到截止頻率為Ωc的高通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。*7.6.3模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶通模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器是指由一個(gè)已有的歸一化模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器，歸一化模擬低通濾波器和帶通濾波器指標(biāo)如下圖所示。*對(duì)于帶通濾波器，還需要應(yīng)用到如下技術(shù)參數(shù)：式中，B為帶通濾波器的帶寬，Ω0為帶通濾波器的通帶幾何中心頻率。設(shè)已有的歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為H1(s)，帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，復(fù)頻率變量分別用s1和s表示，則由低通到帶通的頻率變換關(guān)系為*代入模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H1(s)，即可得到模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)，即因此可得，由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的步驟如下：（1）確定帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，計(jì)算帶通濾波器的帶寬B和通帶幾何中心頻率Ω0：（2）在模擬低通濾波器H1(s)中代入低通到帶通的變換關(guān)系式，即得帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)*7.6.4模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器是指由一個(gè)已有的歸一化模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器，歸一化模擬低通濾波器和帶阻濾波器指標(biāo)如下圖所示。*對(duì)于帶阻濾波器，還將應(yīng)用如下技術(shù)參數(shù)式中，Ω0為帶通濾波器的通帶幾何中心頻率設(shè)已有的歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為H1(s)，帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，復(fù)頻率變量分別用s1和s表示，則由低通到帶通的頻率變換關(guān)系為：*代入模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H1(s)，即可得到模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)，即：因此可得，由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器的步驟如下：（1）確定帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)，計(jì)算通帶幾何中心Ω0：

*（2）在模擬低通濾波器H1(s)中代入低通到帶阻的變換關(guān)系，

即得帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為設(shè)計(jì)方便，教材表7-4列出了歸一化模擬低通濾波器變換到其他模擬濾波器的頻率變換公式。這些變換都是代數(shù)變換，對(duì)原模擬低通濾波器進(jìn)行變量置換即可完成由低通到高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。*模擬域頻帶轉(zhuǎn)換公式表

為設(shè)計(jì)方便，教材表7-4列出了歸一化模擬低通濾波器變換到其他模擬濾波器的頻率變換公式。這些變換都是代數(shù)變換，對(duì)原模擬低通濾波器進(jìn)行變量置換即可完成由低通到高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。*7.6.5Matlab實(shí)現(xiàn)模擬頻率轉(zhuǎn)換Matlab提供了實(shí)現(xiàn)模擬頻率轉(zhuǎn)換的如下函數(shù)：1.低通——高通轉(zhuǎn)換函數(shù)：[b,a]=lp2hp(bp，ap，w)2.低通——通轉(zhuǎn)換函數(shù)：[b,a]=lp2hp(b，a，wo，bw)3.低通——高通轉(zhuǎn)換函數(shù)：[b,a]=lp2hp(b，a，w，bw)b，a分別表示轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)；bp，ap表示轉(zhuǎn)換前歸一化系統(tǒng)函數(shù)分子分母系數(shù)；w表示模擬高通濾波器通帶截止頻率，wo