數(shù)字信號(hào)處理-課件 第3章 Z變換及序列的傅里葉變換

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第3章Z變換及序列的傅里葉變換2024/12/2213:282§3-1引言信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法有時(shí)域、變換域兩種。1.時(shí)域分析法

1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算，時(shí)域分解，經(jīng)典時(shí)域分析法，近代時(shí)域分析法，卷積積分。

2）離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 序列的變換與運(yùn)算，卷積和，差分方程的求解。

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2.變換域分析法

1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)： 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域分析。

2）離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)：

Z變換，DFT(FFT)。

Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。2024/12/2213:284

§3.2Z變換的定義與收斂域概述：Z變換產(chǎn)生

Z變換的基本思想來自拉普拉斯。1947年由W.Hurewicz重新引入作為解決線性常系數(shù)差分方程求解的簡(jiǎn)便方法.1952年，哥倫比亞大學(xué)Ragazzini和Zadeh冠以“thez-transform”用于采樣分析等.

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§3.2Z變換的定義及收斂域3.2.1z變換的定義與收斂域*將x(n)展為z-1的冪級(jí)數(shù)。1.z變換的定義序列Z變換定義如下：2024/12/2213:286

2.Z變換的收斂域(2)收斂條件：X(z)收斂的充要條件是絕對(duì)可和。

(1)收斂域的定義:使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.2024/12/2213:287

那么,滿足0≤|z|<|z+|的z,級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。|z+|為最大收斂半徑。

如果級(jí)數(shù)，在

收斂;

3.2.2常見序列的收斂域阿貝爾定理2024/12/2213:288

同樣,對(duì)于級(jí)數(shù)，滿足的z，

級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂。|z_|為最小收斂半徑。|z_|2024/12/2213:289

0n2n1n(n)...1.有限長(zhǎng)序列2024/12/2213:2810

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x(n)n0n1..1...2.右邊序列*第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列*第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)2024/12/2213:2812

收斂域第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域?yàn)?≤|z|<∞;第二項(xiàng)為z的負(fù)冪次級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知,其收斂域?yàn)?/p>

Rx-<|z|;兩者都收斂的域亦為Rx-<|z|<∞;

Rx-為最小收斂半徑。2024/12/2213:2813

因果序列它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域?yàn)椋?024/12/2213:2814

3.左邊序列x(n)0n

n22024/12/2213:2815

第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列,其收斂域;

第一項(xiàng)為z的正冪次級(jí)數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理,其收斂域?yàn)?為最大收斂半徑.2024/12/2213:2816雙邊序列指n為任意值時(shí),x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。

4.雙邊序列0nx2024/12/2213:2817

第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)椋旱谝豁?xiàng)為右邊序列(因果)其收斂域?yàn)椋寒?dāng)Rx-<Rx+時(shí)，其收斂域?yàn)榄h(huán)形2024/12/2213:2818

其收斂域應(yīng)包括即 充滿整個(gè)Z平面。求序列

的Z變換及收斂域。解：這相當(dāng) 時(shí)的有限長(zhǎng)序列，例12024/12/2213:2819

當(dāng) 時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)。求序列

的Z變換及收斂域。解:例22024/12/2213:2820

*收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外。收斂域：2024/12/2213:2821

求序列

變換及收斂域同樣的，當(dāng)|b|>|z|時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。解:例32024/12/2213:2822

§3-3Z逆變換z逆變換的定義已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z逆變換。z變換是由已知序列求z變換解析表達(dá)式并確定收斂域，而z逆變換與z變換在過程上正好是相逆的，即已知序列z變換的解析表達(dá)式X(z)及定義域，求解其序列x(n)，稱為z逆變換或z反變換。23

z變換公式：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.0c接下來介紹Z反變換的求法24由留數(shù)定理可知：

為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)，Res[]表示極點(diǎn)處的留數(shù)3.3.1圍線積分法(留數(shù)法)

為c外的第m個(gè)極點(diǎn)注意上述表達(dá)式包括兩個(gè)圍線；圍線積分的計(jì)算比較麻煩；怎么突破？？采用留數(shù)定理轉(zhuǎn)繁為簡(jiǎn)；難度降低到直接使用代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算；2024/12/2213:2825

在復(fù)分析中，留數(shù)定理是計(jì)算解析函數(shù)沿封閉曲線路徑積分的一個(gè)有力工具，在z逆變換的計(jì)算中，圍線積分法是求z逆變換的基本方法。2024/12/2213:2826

2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：留數(shù)的求法：

1、當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：2024/12/2213:2827

已知，求z反變換。1）當(dāng)n≥-1時(shí), 無極點(diǎn)，這時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) 因此例42024/12/2213:2828

2）當(dāng)n≤-2時(shí)，X(z)zn-1中的zn+1產(chǎn)生|n+1|階極點(diǎn).因此C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點(diǎn)；而在C外僅有z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn):3.3.2

部分分式展開法

有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運(yùn)算所得的式子.

有理分式：含字符的式子與分母的有理式，或兩個(gè)

多項(xiàng)式的商。

分子的次數(shù)低于分母時(shí)稱為真分式.

30

部分分式展開在求X(z)的逆變換時(shí)，一般X(z)的分子與分母均為含有z的有理多項(xiàng)式，可表示為：A(z)，B(z)都是z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且為既約分式，因此，可將X(z)分解為如下部分分式的形式：各部分分式Xi(z)均為一階或二級(jí)分式，可以根據(jù)教材表3-1所示的常用序列的z變換表求每一個(gè)部分分式Xi(z)的z逆變換，然后將各項(xiàng)相加，即：2024/12/2213:2831

其中，M≥N時(shí)，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點(diǎn)，Zi為X(z)的一個(gè)r階極點(diǎn)。而系數(shù)Ak，Ck分別為：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式：2024/12/2213:2832

的z反變換。用部分分式法，求解：

分別求出各部分分式的z反變換（可查表3-1），然后相加即得X(z)的z反變換。例52024/12/2213:2833

2024/12/2213:2834Matlab實(shí)現(xiàn)部分分式展開法Matlab提供了可用于部分分式展開的函數(shù)residuez，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：[r,p,k]=residuez(b,a)b,a分別是X(z)的分子、分母系數(shù)向量，r、p、k用于存儲(chǔ)輸出數(shù)據(jù)，其中，r表示X(z)各部分分式項(xiàng)的留數(shù)，p表示X(z)的部分分式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的極點(diǎn)，k表示常數(shù)項(xiàng)和整式。Matlab部分分式求z逆變換示例。已知X(z)的解析式如下：試采用部分分式法求X(z)的逆變換解：用Matlab進(jìn)行部分分式展開的Matlab代碼如下：例6clc;clearall;closeall;b=[10.8,1.16,-4,0.6];a=[1,-0.8,0.12];[r,p,k]=residuez(b,a)程序計(jì)算結(jié)果如下：r=6.60004.2000p=0.60000.2000k=0.00005.0000根據(jù)程序輸出結(jié)果，可得X(z)的部分分式如下：逆變換如下373.3.3長(zhǎng)除法(冪級(jí)數(shù)展開法)

在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域?yàn)閨z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級(jí)數(shù)。因?yàn)閤(n)的Z變換為Z-1

的冪級(jí)數(shù)，即2024/12/2213:2838

試用長(zhǎng)除法求

的z反變換。解:收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)因果序列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。例72024/12/2213:2839

2024/12/2213:2840

2024/12/2213:2841

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...2024/12/2213:2842

Z-—)

Z141+—z+—z+—z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...Z的冪級(jí)數(shù)排列2024/12/2213:2843

44Matlab實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)除法

Matlab提供了多項(xiàng)式除法的函數(shù)deconv，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：xn=deconv(b,a)b,a分別是X(z)的分子分母系數(shù)向量，xn表示的X(z)分子除以分母的系數(shù)向量，向量從常數(shù)項(xiàng)開始，按z-1的冪級(jí)數(shù)依次排列。Matlab實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)除法的示例如下：例8用Matlab長(zhǎng)除法求z逆變換（右邊序列）示例已知X(z)的解析表達(dá)式及收斂域如下：求X(z)的逆變換。解：根據(jù)收斂域|z|>2可知，x(n)是因果序列。本題既可以直接用長(zhǎng)除法解題，也可以用程序?qū)崿F(xiàn)Matlab實(shí)現(xiàn)的代碼如下所示：2024/12/2213:28clc;clearall;closeall;b=[0,2];a=[1,-4,4];k=6;%輸出z-1的系數(shù)的長(zhǎng)度，本例輸出6項(xiàng)系數(shù)m=length(a);n=length(b);b=[b,zeros(1,m-n-1+k)]%根據(jù)輸出系數(shù)的長(zhǎng)度對(duì)b末端補(bǔ)零xn=deconv(b,a)程序運(yùn)行結(jié)果如下：xn=0282464160總結(jié)規(guī)律可得：2024/12/2213:2847

§3-4Z變換的性質(zhì)和定理1.線性特性3.

共軛序列6.序列線性加權(quán)4.翻轉(zhuǎn)序列7.初值定理2.序列的移位8.終值定理12.有限項(xiàng)累加9.時(shí)域卷積定理10.序列乘積11.Parseval定理5.Z域尺度變換2024/12/2213:2848

§3-4Z變換的基本性質(zhì)和定理*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性特性

如果 則有：2024/12/2213:2849

已知,求其z變換。解：?例92024/12/2213:2850

2.序列的移位如果 則有：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。例102024/12/2213:2851

3.共軛序列如果，則試證明Z變換的共軛對(duì)稱性：證：例112024/12/2213:2852

4.翻褶序列如果，則證明：2024/12/2213:2853

5.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：2024/12/2213:2854

6.序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則2024/12/2213:2855

已知，證明:證：例122024/12/2213:2856

7.初值定理證：試證明初值定理.例132024/12/2213:2857

8.終值定理證明：2024/12/2213:2858

又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子（z-1)將抵消這一極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。2024/12/2213:2859

9.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理)

2024/12/2213:2860

證明時(shí)域卷積定理

例14

即：時(shí)域卷積

等于頻域乘積2024/12/2213:2861

證明：例142024/12/2213:2862

解：例152024/12/2213:2863

10.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線。2024/12/2213:2864

解：例162024/12/2213:2865

2024/12/2213:2866

11.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。如果則有:2024/12/2213:2867

*幾點(diǎn)說明：2024/12/2213:2868

12.有限項(xiàng)累加特性證：例172024/12/2213:2869

2024/12/2213:2870

已知：X(z)=Z[x(n)]求

：Z[∑m=0nx(m)]

分析：已知條件少、信息量太少；[背景]相對(duì)抽象，不知道如何解題；目的：考查綜合運(yùn)用基本概念、理論、公式的能力

Z[∑m=0nx(m)]

=

Z

[∑m=0nx(m)?1]=

Z

[∑m=0nx(m)u(n-m)]自己構(gòu)造條件=Z

[∑m=-∞∞x(m)u(n-m)]利用卷積公式=Z

[x(n)*u(n)]=X(z)Z

[u(n)]=[z/(z-1)]X(z)另解：Z變換定義的深入應(yīng)用2024/12/2213:2871

本題小結(jié)解題方法簡(jiǎn)單，但不容易想到；解題關(guān)鍵點(diǎn)：常數(shù)1的巧用，并和u(t)發(fā)生聯(lián)系；熟練掌握知識(shí)，自己構(gòu)造條件應(yīng)用卷積和公式；解題所涉及的知識(shí)：

Z變換定義

；卷積和公式；

Z變換性質(zhì)；體會(huì)：深刻掌握有關(guān)基本概念、公式和理論；綜合運(yùn)用知識(shí)、融會(huì)貫通，小知識(shí)點(diǎn)解決大問題；2024/12/2213:2872

§2-5Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系

0.導(dǎo)引：Z變換、拉氏變換、傅里葉的相關(guān)背景Z變換：來源于Laplace的思想，1952年命名拉氏變換：1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中導(dǎo)入拉普拉斯變換.

拉普拉斯是法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，主要研究天體力學(xué)和物理學(xué)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一種解決問題的工具，但在運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數(shù)學(xué)方法.傅里葉變換：歐拉奠定基礎(chǔ)，1807年由傅里葉完善并提出，過程曲折.啟示？2024/12/2213:2873

3.5.1Z變換與拉氏變換的關(guān)系1.理想抽樣信號(hào)的拉氏變換設(shè)為連續(xù)信號(hào)，為其理想抽樣信號(hào)，則:§2-5Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系

2024/12/2213:2874

序列x(n)的z變換為，考慮到,顯然，當(dāng)時(shí)，序列x(n)的z變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉氏變換。2024/12/2213:2875

2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系(S、Z平面映射關(guān)系）S平面用直角坐標(biāo)表示為：Z平面用極坐標(biāo)表示為：又由于所以有：因此， ;這就是說:Z的模只與S的實(shí)部相對(duì)應(yīng),Z的相角只與S虛部Ω相對(duì)應(yīng)。2024/12/2213:2876

=0,即S平面的虛軸

r=1,即Z平面單位圓；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的單位圓內(nèi)；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的單位圓外?！鷍00(1).r與σ的關(guān)系S平面Z平面2024/12/2213:2877

Ω=0，S平面的實(shí)軸，ω=0，Z平面正實(shí)軸；0jIm[Z]Re[Z](2).ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）ωΩ

S:寬 的水平條帶，ω整個(gè)z平面Ω=Ω0(常數(shù))，S:平行實(shí)軸的直線，ω=Ω0T,

Z:始于原點(diǎn)的射線；2024/12/2213:2878

3.5.2Z變換和傅氏變換的關(guān)系連續(xù)信號(hào)經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即:

我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此,

這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號(hào)傅氏變換。

用數(shù)字頻率ω作為Z平面的單位圓的參數(shù)，

ω表示Z平面的輻角，且。2024/12/2213:2879

所以，序列在單位圓上的Z變換即為序列的傅氏變換。2024/12/2213:2880

三大變換關(guān)系總結(jié)

1.序列在單位圓上的Z變換,等于其傅氏變換

2.當(dāng)時(shí)，序列的z變換等于其拉氏變換3.傅里葉變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ

的特例2024/12/2213:28813.6

序列的傅里葉變換及性質(zhì)離散信號(hào)傅氏變換的定義離散信號(hào)傅氏變換的性質(zhì)2024/12/2213:28823.6.1序列的傅氏變換及性質(zhì)

1.

正變換：序列x(n)的傅氏變換（離散時(shí)間傅氏變換DTFT）定義為：序列傅氏變換存在的充分條件

是x(n)滿足絕對(duì)可和條件，即:2024/12/2213:28其中,幅度譜又稱為幅值譜2024/12/2213:282.反變換

X(ejω)的傅里葉反變換為：3.6.1序列的傅氏變換及性質(zhì)2024/12/2213:28853.性質(zhì)主要性質(zhì)包括：傅氏變換的周期性

線性特性時(shí)移與頻移性質(zhì)

對(duì)稱性時(shí)域卷積定理

頻域卷積定理帕斯維爾定理3.6.1序列的傅氏變換及性質(zhì)2024/12/2213:2886設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅氏變換。當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖所示：例1887當(dāng)N=4時(shí)，序列x(n)及其幅度、相位譜如下：2024/12/2213:28883.6.2DTFT的性質(zhì)

設(shè)一復(fù)序列，如果滿足x(n)=x*(-n)則稱序列為共軛對(duì)稱序列。對(duì)于實(shí)數(shù)序列，則為偶對(duì)稱序列(偶函數(shù))ee

(1)共軛對(duì)稱序列

1.序列對(duì)稱性的概念2024/12/2213:2889

設(shè)復(fù)數(shù)序列，如果滿足：xo(n)=-xo*(-n)

則稱序列為共軛反對(duì)稱序列。特例:如是實(shí)序列，共軛反對(duì)稱序列就是奇對(duì)稱序列。

(2)共軛反對(duì)稱序列90結(jié)論:共軛對(duì)稱序列的實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱①

共軛對(duì)稱序列的實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱

序列對(duì)稱性的結(jié)論2024/12/2213:2891結(jié)論:共軛反對(duì)稱序列:實(shí)部奇對(duì)稱，虛部偶對(duì)稱.②共軛反對(duì)稱序列的

實(shí)部奇對(duì)稱，虛部偶對(duì)稱.2024/12/2213:2892(3)任一序列可表示為共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和

如何證明這個(gè)結(jié)論呢?過去的知識(shí)哪些與該結(jié)論有關(guān)呢?例17證:證明任一序列可表示為共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和

2024/12/2213:2893例192024/12/2213:2894同理(1)序列的傅氏變換可表為共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量之和可以推導(dǎo)嗎?

2.DTFT對(duì)稱性的應(yīng)用2024/12/2213:2895

對(duì)進(jìn)行傅氏變換，得:例20證:即序列的傅氏存在對(duì)稱性2024/12/2213:2896結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠郑瑢?shí)部對(duì)應(yīng)的傅氏變換具有共軛對(duì)稱性；虛部和j一起對(duì)應(yīng)的傅氏變換具有共軛反對(duì)稱性。2024/12/2213:2897將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)

則有(2)序列實(shí)部的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛對(duì)稱分量(3)序列虛部乘以復(fù)數(shù)j的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛反對(duì)稱分量2024/12/2213:2898

序列實(shí)部的傅氏變換等于其傅氏變換的共軛對(duì)稱分量證明：例212024/12/2213:2899

序列虛部的j倍的傅氏變換等于其傅氏變換的共軛反對(duì)稱分量證明：例222024/12/2213:28100(4)序列的共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱分量的傅里葉變換分別等于序列傅里葉變換的實(shí)部和虛部乘以j，即2024/12/2213:28101

序列的共軛對(duì)稱分量的傅氏變換等于其傅氏變換的實(shí)部證明：例232024/12/2213:28102

序列的共軛反對(duì)稱分量的傅氏變換等于其傅氏變換的虛部再乘以j.證明：例242024/12/2213:28103

(5)對(duì)于實(shí)數(shù)序列有如下結(jié)論:例25證明:2024/12/2213:28104

證明：例262024/12/2213:28105

證：根據(jù)Z變換的性質(zhì)證明例27怎么證明呢?1061.

線性特性3.6.3序列傅里葉變換的性質(zhì)

序列的傅里葉變換是序列在單位圓上的z變換，因此序列傅立葉變換的相關(guān)性質(zhì)一般都與z變換的性質(zhì)具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者可由z變換推導(dǎo)得出。

舉例如下:2024/12/2213:281072.時(shí)移與頻移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)：頻移性質(zhì)：2024/12/2213:281083.時(shí)域卷積定理若y(n)=x(n)*h(n),則2024/12/2213:281094.頻域卷積定理

若y(n)=x(n)h(n),則2024/12/2213:281105.帕斯維爾定理定理表明：時(shí)域總能量等于頻域總能量序列傅里葉變換的其他相關(guān)性質(zhì)見教材表3-5并可以和z變換相關(guān)性質(zhì)表對(duì)照分析2024/12/2213:28111

線性移不變系統(tǒng)h(n)為單位抽樣響應(yīng)h(n)x(n)(n)

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且

在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率

響應(yīng)?！?-7

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 及頻率響應(yīng)3.7.1系統(tǒng)函數(shù):2024/12/2213:28112

線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:

∑|h(n)|<∞其z變換H(z)的收斂域由∑|h(n)z-n|<∞確定3.7.2因果穩(wěn)定系統(tǒng)若系統(tǒng)單位圓上收斂，則∑|h(n)|<∞因此,系統(tǒng)穩(wěn)定.結(jié)論:收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的.因果系統(tǒng)的收斂域?yàn)?R+<|z|≤∞因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域?yàn)?結(jié)論:因果穩(wěn)定系統(tǒng)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi).1≤|z|≤∞1133.7.3系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性系統(tǒng)的差分方程：取z變換得：得：對(duì)上式因式分解，令1.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系2024/12/2213:28114

2.系統(tǒng)函數(shù)的分類(1)IIR系統(tǒng)(無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)系統(tǒng))如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)延伸到無窮長(zhǎng),即n→∞時(shí),h(n)仍有值,這樣的系統(tǒng)稱作IIR系統(tǒng)。2024/12/2213:28115

(2)FIR