人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題04 整式的乘法與因式分解（5個(gè)考點(diǎn)清單+16種題型解讀）

專題04整式的乘法與因式分解（考點(diǎn)清單，5個(gè)考點(diǎn)清單+16種題型解讀）【清單01】?jī)绲倪\(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.2.冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.3.積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.【清單02】整式的乘法1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.【清單03】整式的除法1．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．語言敘述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【拓展】（1）同底數(shù)冪的除法法則的推廣：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m>n+p）．（2）同底數(shù)冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．2．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．式．【歸納】該法則包括三個(gè)方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來驗(yàn)證結(jié)果的正確性．3．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問題來解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)．（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng)．（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn)．【清單04】乘法公式1.平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如2.完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：3.補(bǔ)充公式；；；.【清單05】因式分解1.因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.2.公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.3.提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.4.公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.5.公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【考點(diǎn)題型一】?jī)绲倪\(yùn)算【例1】（2023秋?永春縣期末）已知，，為正整數(shù)，且滿足，則的取值不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【變式1-1】（2024春?港南區(qū)期末）若，則A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-2】（2023秋?倉山區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【變式1-3】（2023秋?郾城區(qū)期末）計(jì)算：．【考點(diǎn)題型二】?jī)绲倪\(yùn)算的逆運(yùn)算【例2】（2023秋?南陽期末）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)運(yùn)用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若，，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法公式，即，所以，所以．（1）若，，請(qǐng)你也利用逆向思考的方法求出的值；（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考小豫的方法解答下面的問題：小豫的作業(yè)計(jì)算：；解：．①小豫的求解方法逆用了冪的一條運(yùn)算性質(zhì)，請(qǐng)你用符號(hào)（字母）語言直接寫出這條性質(zhì)：．②計(jì)算：．【變式2-1】（2024春?唐山期末）若，，則的值是A．24 B．10 C．3 D．2【變式2-2】（2023秋?東莞市校級(jí)期末）已知，，則值為A．9 B．20 C． D．【變式2-3】（2023秋?舒蘭市期末）當(dāng)，則的值為A．4 B． C．6 D．8【變式2-4】（2023秋?金昌期末）已知，，、為正整數(shù)，求．【考點(diǎn)題型三】?jī)绲倪\(yùn)算的應(yīng)用——比較大小【例3】（2023秋?鄲城縣期末）比較、、的大小A． B． C． D．【變式3-1】（2023秋?舞陽縣期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【變式3-2】（2023秋?藁城區(qū)期末）比較大?。海究键c(diǎn)題型四】整式的乘除法【例4-1】（2023秋?南陵縣期末）計(jì)算：．【例4-2】（2023秋?廣陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算的結(jié)果是．【例4-3】（2023秋?和縣期末）．【例4-4】（2023秋?雷州市期末）．【例4-5】（2023秋?漢陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【例4-6】（2023秋?廉江市期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【例4-7】（2023秋?于都縣期末）已知多項(xiàng)式．化簡(jiǎn)多項(xiàng)式時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過程．在標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是，并寫出正確的解答過程．小明的作業(yè)：①②③④．【變式4-1】（2023秋?黔南州期末）式子化簡(jiǎn)后的結(jié)果是A． B． C． D．【變式4-2】（2023秋?漳州期末）如果，那么、的值分別是A．， B．， C．， D．，【變式4-3】（2023秋?大連期末）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【變式4-4】（2023秋?西寧期末）計(jì)算：．【變式4-5】（2023秋?松北區(qū)期末）若，，則．【變式4-6】（2023秋?雨花區(qū)期末）若，則．【考點(diǎn)題型五】乘法公式【例5-1】（2023秋?久治縣期末）已知，，求與的值．【例5-2】（2023秋?江陽區(qū)期末）計(jì)算：．【例5-3】（2023秋?鞍山期末）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：【變式5-1】（2024春?平南縣期末）已知，，則代數(shù)式的值為A．8 B．18 C．19 D．25【變式5-2】（2023秋?安康期末）計(jì)算：．【考點(diǎn)題型六】因式分解【例6-1】（2023秋?自貢期末）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是A． B． C． D．【例6-2】（2024春?港南區(qū)期末）單項(xiàng)式與的公因式是A． B． C． D．【例6-3】（2023秋?乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A． B． C． D．【例6-4】（2023秋?高青縣期末）分解因式：（1）；（2）．【變式6-1】（2023秋?濱海新區(qū)期末）把多項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是A． B． C． D．【變式6-2】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：；（2）因式分解：．【變式6-3】（2023秋?東城區(qū)期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以為未知數(shù)，、、、為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；（3）結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．【考點(diǎn)題型七】解決不含某項(xiàng)問題【例7】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）已知多項(xiàng)式M=x2?3ax+6，N=x+3，且MN=A，當(dāng)多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，aA．?1 B．?13 C．0【變式7-1】（2023秋?楚雄州期末）如果計(jì)算的結(jié)果不含項(xiàng)，那么的值為A．0 B．1 C． D．【變式7-2】（2024春?廣陵區(qū)期末）若的結(jié)果中不含項(xiàng)，則的值為A．0 B．2 C． D．【變式7-3】（2023秋?同心縣校級(jí)期末）如果展開式中不含項(xiàng)，則．【考點(diǎn)題型八】解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題【例8】（23-24八年級(jí)·湖南常德·期中）知識(shí)回顧：八年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過這樣一類題“代數(shù)式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，則理解應(yīng)用：(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式2m2?3x?m3?5x的值與(2)已知A=2x+13x?1?x5+3y，B=2x2?3xy+4【變式8】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）若代數(shù)式x5kx?3xy?k?33x2y?4A．2 B．?2 C．?4 D．4【考點(diǎn)題型九】解決污染問題【例9】（2023秋?重慶期末）小明計(jì)算一道題：，的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為內(nèi)應(yīng)填寫A．1 B．2 C．3 D．4【變式9-1】（23-24八年級(jí)·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：24x4yA．?18x3y2 B．18x3【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）右側(cè)練習(xí)本上書寫的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代數(shù)式；（2）若被污染的代數(shù)式的值不小于4，求x的取值范圍.【變式9-3】（2023秋?南昌期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：（1）求所捂的多項(xiàng)式；（2）若，，求所捂多項(xiàng)式的值．【考點(diǎn)題型十】解決誤看問題【例10】（2023秋?瀏陽市期末）小馬和小虎兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：，由于小馬抄錯(cuò)了的符號(hào)，得到的結(jié)果為；由于小虎漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的系數(shù)，得到的結(jié)果為．（1）求出，的值；（2）請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法題的正確結(jié)果．【變式10】（2023秋?西平縣期末）某同學(xué)在計(jì)算加上一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)錯(cuò)將加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推斷出正確的計(jì)算結(jié)果是A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十一】新定義問題【例11】（2023秋?衡陽期末）對(duì)于整數(shù)、定義運(yùn)算：※（其中、為常數(shù)），如3※．（1）填空：當(dāng)，時(shí)，2※；（2）若1※，2※，求的值．【變式11-1】（2023秋?江漢區(qū)期末）定義一種新的運(yùn)算“”，若，則．①依定義，；②若，，，，則．【變式11-2】（2023秋?攸縣期末）一般地，若且，，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為，即．譬如：，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義完成下列問題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：；；．（2）由（1）中計(jì)算的結(jié)果及結(jié)合三個(gè)數(shù)4；16；64之間滿足的等量關(guān)系式，直接寫出；；滿足的等量關(guān)系式．（3）由（2）猜想一般性結(jié)論：且，，，并根據(jù)冪的運(yùn)算法則：以及對(duì)數(shù)的含義證明你的猜想．【變式11-3】（2023秋?望城區(qū)期末）規(guī)定，求：（1）求；（2）若，求的值．【變式11-4】（2023秋?鯉城區(qū)期末）規(guī)定兩數(shù)、之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：因?yàn)?，所以．根?jù)上述規(guī)定，填空：（1）；（2）若，，則的值為．【考點(diǎn)題型十二】規(guī)律問題【例12】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)行研究．小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫出計(jì)算63×67的速算過程；(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘．請(qǐng)你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)．【變式12-1】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期中）下圖揭示了(a+b)n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．請(qǐng)觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【變式12-2】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）觀察：下列等式x?1x+1=x2?1，x?1x2+x+1=【變式12-3】（23-24八年級(jí)·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2020年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)2×2的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(1)圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為．(2)換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果沒有，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)題型十三】幾何圖形問題【例13】（2023秋?乾安縣期末）如圖，一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，把6個(gè)大小相同的小長(zhǎng)方形放入到大長(zhǎng)方形內(nèi)．（1）大長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)（長(zhǎng)和寬都用含，的式子來表示）．（2）求在大長(zhǎng)方形中，陰影部分的面積（用含，的式子來表示）（3）若，大長(zhǎng)方形面積為，大長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積為，則．【變式13-1】（2023秋?安康期末）如圖所示的是人民公園的一塊長(zhǎng)為米．寬為米的空地．預(yù)計(jì)在空地上建造一個(gè)網(wǎng)紅打卡觀景臺(tái)（陰影部分）．（1）請(qǐng)用、表示觀景臺(tái)的面積．（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）（2）如果修建觀景臺(tái)的費(fèi)用為200元平方米．且已知（米，（米．那么修建觀景臺(tái)需要費(fèi)用多少元？【變式13-2】（2023秋?宜州區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，角上有四個(gè)邊長(zhǎng)為米的小正方形空地，開發(fā)商計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化．（1）用含有、的式子表示綠化的總面積（結(jié)果寫成最簡(jiǎn)形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團(tuán)隊(duì)完成此項(xiàng)綠化任務(wù)，已知該隊(duì)每小時(shí)可綠化平方米，每小時(shí)收費(fèi)200元，則該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)多少費(fèi)用？（用含、的代數(shù)式表示）【考點(diǎn)題型十四】分類討論思想【例14】（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）若是完全平方式，則．【變式】[2024杭州濱江區(qū)模擬]若x2－4xy－y2＝0(y＞0)，則xy＝【考點(diǎn)題型十五】數(shù)形結(jié)合思想【例15-1】（2023秋?臨潁縣期末）實(shí)踐與探索如圖1，邊長(zhǎng)為的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．．．（2）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知，，則．②計(jì)算：．【例15-2】（2023秋?晉江市期末）【實(shí)踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：（1）現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖2所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：；【問題解決】（2）若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，其中②號(hào)長(zhǎng)方體和③號(hào)長(zhǎng)方體各需要多少個(gè)？試通過計(jì)算說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫出因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問題：已知與分別是兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，且，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，求的值．【變式15-1】[2023北京石景山區(qū)期末]著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾用詩詞表達(dá)了“數(shù)形結(jié)合”的思想，其中談到“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.如圖是由四個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形拼成的正方形，其中a＞b＞0.根據(jù)圖形寫出一個(gè)正確的等式，可以表示為??.【變式15-2】（2023秋?潮安區(qū)期末）請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡(jiǎn)）（2）由（1），你能得到怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)用等式表示；（3）如果圖中的，滿足，．求：①的值；②的值．【變式15-3】（2023秋?昌吉州期末）如圖（1），大正方形的面積可以表示為，同時(shí)大正方形的面積也可以表示成兩個(gè)小正方形面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，即．同一圖形（大正方形）的面積，用兩種不同的方法求得的結(jié)果應(yīng)該相等，從而驗(yàn)證了完全平方公式：．把這種“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結(jié)果相等，從而構(gòu)建等式，根據(jù)等式解決相關(guān)問題”的方法稱為“面積法”．（1）用上述“面積法”，通過如圖（2）中圖形的面積關(guān)系，直接寫出一個(gè)等式：．（2）如圖（3），中，，，，，是斜邊邊上的高．用上述“面積法”求的長(zhǎng)；（3）如圖（4），等腰中，，點(diǎn)為底邊上任意一點(diǎn)，，，，垂足分別為點(diǎn)，，，連接，用上述“面積法”求證：．【變式15-4】（2023秋?梁山縣期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助解數(shù)學(xué)問題．（1）請(qǐng)寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．圖；圖；圖．其中，完全平方公式可以從“形”的角度進(jìn)行探究，通過圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．在圖4中，已知，，求的值．解：，，又，，．即．類比遷移：（2）若，則；（3）如圖5，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，陰影部分面積為．【考點(diǎn)題型十六】整體思想【例16】（2024春?桃源縣期末）閱讀下列材料若滿足，求的值．設(shè)，，則，，．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：（1）若滿足，求的值；（2）已知正方形的邊長(zhǎng)為，，分別是、上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是48，分別以、為邊作正方形．①，；（用含的式子表示）②求陰影部分的面積．【變式16-1】[2024北京海淀區(qū)一模]已知2x2＋x－1＝0，求代數(shù)式(2x＋1)2－2(x－3)的值.【變式16-2】（2023秋?謝家集區(qū)期末）將邊長(zhǎng)為的小正方形和邊長(zhǎng)為的大正方形按如圖所示放置，其中點(diǎn)在邊上．（1）若，，求的值；（2）連接，，若，，求陰影部分的面積．

專題04整式的乘法與因式分解（考點(diǎn)清單，5個(gè)考點(diǎn)清單+16種題型解讀）【清單01】?jī)绲倪\(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.2.冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.3.積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.【清單02】整式的乘法1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.【清單03】整式的除法1．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．語言敘述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【拓展】（1）同底數(shù)冪的除法法則的推廣：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m>n+p）．（2）同底數(shù)冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．2．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．式．【歸納】該法則包括三個(gè)方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來驗(yàn)證結(jié)果的正確性．3．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問題來解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)．（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng)．（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn)．【清單04】乘法公式1.平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如2.完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：3.補(bǔ)充公式；；；.【清單05】因式分解1.因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.2.公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.3.提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.4.公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.5.公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【考點(diǎn)題型一】?jī)绲倪\(yùn)算【例1】（2023秋?永春縣期末）已知，，為正整數(shù)，且滿足，則的取值不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【分析】將原方程化為，得到，，再根據(jù)，，為正整數(shù)，求出，的值，進(jìn)而求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：，，，，，為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不可能為8．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的運(yùn)算，難度較大，根據(jù)，，為自然數(shù)求出，的值是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024春?港南區(qū)期末）若，則A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的乘法，掌握“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”是正確解答的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋?倉山區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，可得答案．【解答】解：、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故不符合題意；、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故不符合題意；、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋?郾城區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)積的乘方得出原式，再算乘法，算乘方，最后求出答案即可．【解答】解：．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方，能正確根據(jù)積的乘方進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】?jī)绲倪\(yùn)算的逆運(yùn)算【例2】（2023秋?南陽期末）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)運(yùn)用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若，，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法公式，即，所以，所以．（1）若，，請(qǐng)你也利用逆向思考的方法求出的值；（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考小豫的方法解答下面的問題：小豫的作業(yè)計(jì)算：；解：．①小豫的求解方法逆用了冪的一條運(yùn)算性質(zhì)，請(qǐng)你用符號(hào)（字母）語言直接寫出這條性質(zhì)：．②計(jì)算：．【分析】（1）逆向運(yùn)用冪的乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則，即可得出答案；（2）①逆向運(yùn)算積的乘方運(yùn)算法則填空即可；②逆向運(yùn)算積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：（1），．，，；（2）①小豫的求解方法逆用了積的乘方運(yùn)算性質(zhì)，即，故答案為：；②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了積的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，熟練掌握積的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2024春?唐山期末）若，，則的值是A．24 B．10 C．3 D．2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則解答即可．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【變式2-2】（2023秋?東莞市校級(jí)期末）已知，，則值為A．9 B．20 C． D．【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋?舒蘭市期末）當(dāng)，則的值為A．4 B． C．6 D．8【分析】運(yùn)用同底數(shù)冪相乘和整體思想進(jìn)行求解．【解答】解：，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同底數(shù)冪相乘和整體思想的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)和能力．【變式2-4】（2023秋?金昌期末）已知，，、為正整數(shù)，求．【分析】首先求出，，進(jìn)而利用積的乘方以及同底數(shù)冪的乘方運(yùn)算法則求出即可．【解答】解：，，，，．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了積的乘方與冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘方運(yùn)算等知識(shí)，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型三】?jī)绲倪\(yùn)算的應(yīng)用——比較大小【例3】（2023秋?鄲城縣期末）比較、、的大小A． B． C． D．【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘都轉(zhuǎn)換成指數(shù)是11的冪，再根據(jù)底數(shù)的大小進(jìn)行判斷即可．【解答】解：，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于都轉(zhuǎn)化成以11為指數(shù)的冪的形式．【變式3-1】（2023秋?舞陽縣期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【分析】根據(jù)冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系解決此題．【解答】解：，，，，，．又，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小比較，熟練掌握冪的乘方、有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023秋?藁城區(qū)期末）比較大?。海痉治觥扛鶕?jù)冪的乘方把兩個(gè)數(shù)寫成指數(shù)相同的數(shù)，再比較．【解答】解：，，而．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)冪的乘方與積的乘方的理解及計(jì)算能力．【考點(diǎn)題型四】整式的乘除法【例4-1】（2023秋?南陵縣期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)冪的相關(guān)運(yùn)算法則即可求解．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪的相關(guān)運(yùn)算．掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【例4-2】（2023秋?廣陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算的結(jié)果是．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確記憶運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【例4-3】（2023秋?和縣期末）．【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則求出即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的除法運(yùn)算，熟練掌握整式的除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【例4-4】（2023秋?雷州市期末）．【分析】先算乘方、負(fù)數(shù)的指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再算加減即可得到結(jié)果即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方、負(fù)數(shù)的指數(shù)冪和零指數(shù)冪，先算乘方、負(fù)數(shù)的指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再算加減即可得到結(jié)果，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【例4-5】（2023秋?漢陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【分析】利用冪的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【例4-6】（2023秋?廉江市期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【分析】（1）利用冪的乘方的法則對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可；（2）利用同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，冪的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：（1）當(dāng)，時(shí)，；（2）當(dāng)，，時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【例4-7】（2023秋?于都縣期末）已知多項(xiàng)式．化簡(jiǎn)多項(xiàng)式時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過程．在標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是，并寫出正確的解答過程．小明的作業(yè)：①②③④．【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行判斷即可；根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：①，故答案為：①；正確解答過程為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋?黔南州期末）式子化簡(jiǎn)后的結(jié)果是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)積的乘方法則計(jì)算乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解題關(guān)鍵是熟練掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則、冪的乘方法則和積的乘方法則．【變式4-2】（2023秋?漳州期末）如果，那么、的值分別是A．， B．， C．， D．，【分析】先將展開，然后與找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的系數(shù)，即可得到、的值．【解答】解：，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是明確多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的系數(shù)．【變式4-3】（2023秋?大連期末）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、，故選項(xiàng)正確，符合題意；、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023秋?西寧期末）計(jì)算：．【分析】先利用乘法的結(jié)合律，再把結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的計(jì)算，掌握乘法的運(yùn)算法則及科學(xué)記數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2023秋?松北區(qū)期末）若，，則．【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則可得，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)椋?，所以．故答案為?．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2023秋?雨花區(qū)期末）若，則．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：，原式，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點(diǎn)題型五】乘法公式【例5-1】（2023秋?久治縣期末）已知，，求與的值．【分析】根據(jù)完全平方公式間的關(guān)系，可得答案．【解答】解：，，；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵．【例5-2】（2023秋?江陽區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．【例5-3】（2023秋?鞍山期末）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：【分析】原式先利用平方差公式化簡(jiǎn)，再利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024春?平南縣期末）已知，，則代數(shù)式的值為A．8 B．18 C．19 D．25【分析】先根據(jù)完全平方公式得出，再求出答案即可．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方公式為：，．【變式5-2】（2023秋?安康期末）計(jì)算：．【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式分別計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可得出結(jié)果．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型六】因式分解【例6-1】（2023秋?自貢期末）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是A． B． C． D．【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式即為因式分解，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：是整式乘法運(yùn)算，則不符合題意；是單項(xiàng)式的變形，則不符合題意；的右邊不是積的形式，則不符合題意；符合因式分解的定義，則符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的識(shí)別，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．【例6-2】（2024春?港南區(qū)期末）單項(xiàng)式與的公因式是A． B． C． D．【分析】根據(jù)公因式的概念分別求得系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的次數(shù)的最低次數(shù)即可．【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式與的公因式是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關(guān)鍵．【例6-3】（2023秋?乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A． B． C． D．【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分別將各式分解，即可作出判斷．【解答】解：．，故此選項(xiàng)不合題意；．無法運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；．，故此選項(xiàng)符合題意；．無法運(yùn)用完全平方公式分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確掌握乘法公式是解題關(guān)鍵．【例6-4】（2023秋?高青縣期末）分解因式：（1）；（2）．【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋?濱海新區(qū)期末）把多項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是A． B． C． D．【分析】將原式因式分解后即可求得答案．【解答】解：，則把多項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：；（2）因式分解：．【分析】（1）首先將前兩項(xiàng)組合提取公因式，后兩項(xiàng)組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先分別將與組合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．【解答】解：（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組分解是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023秋?東城區(qū)期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以為未知數(shù)，、、、為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；（3）結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．【分析】（1）（2）（3）仿照題例，找到滿足條件的、、、，分解即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，看懂題例掌握“十字相乘法”是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】解決不含某項(xiàng)問題【例7】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）已知多項(xiàng)式M=x2?3ax+6，N=x+3，且MN=A，當(dāng)多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，aA．?1 B．?13 C．0【答案】D【分析】本題考查的是整式的乘法—多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出整式相乘的式子，再計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，最后進(jìn)行合并同類項(xiàng)，令二次項(xiàng)的系數(shù)等于0即可．【詳解】解：∵M(jìn)N==∴A=MN=∵多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，∴3?3a=0∴a=1故選D．【變式7-1】（2023秋?楚雄州期末）如果計(jì)算的結(jié)果不含項(xiàng)，那么的值為A．0 B．1 C． D．【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再結(jié)合項(xiàng)的系數(shù)為零即可得出答案．【解答】解：，又計(jì)算的結(jié)果不含項(xiàng)，．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的乘法運(yùn)算，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2024春?廣陵區(qū)期末）若的結(jié)果中不含項(xiàng)，則的值為A．0 B．2 C． D．【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，合并同類項(xiàng)，由題可得含的平方的項(xiàng)的系數(shù)為0，求出即可．【解答】解：，的結(jié)果中不含項(xiàng)，，解得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，能熟練地運(yùn)用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023秋?同心縣校級(jí)期末）如果展開式中不含項(xiàng)，則．【分析】先用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，再根據(jù)不含項(xiàng)得方程，求解即可．【解答】解：．展開式中不含項(xiàng)，．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題【例8】（23-24八年級(jí)·湖南常德·期中）知識(shí)回顧：八年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過這樣一類題“代數(shù)式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，則理解應(yīng)用：(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式2m2?3x?m3?5x的值與(2)已知A=2x+13x?1?x5+3y，B=2x2?3xy+4【答案】(1)m=(2)y=【分析】（1）先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，結(jié)合多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，即可求出答案；（2）先把A進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后計(jì)算2A?6B，結(jié)合多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，即可求出答案．【詳解】（1）解：2=2=(5m?3)x+2m2∵其值與x的取值無關(guān)，∴5m?3=0，

解得：m=35即：當(dāng)m=35時(shí)，多項(xiàng)式2m（2）解：∵A=(2x+1)(3x?1)?x(5+3y)，B=2x∴2A?6B=2[(2x+1)(3x?1)?x(5+3y)]?6(2x=2(6x=12x=12xy?8x?26=4x(3y?2)?26；

∵2A?6B的值與x無關(guān)，∴3y?2=0，即y=2【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減乘混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式8】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）若代數(shù)式x5kx?3xy?k?33x2y?4A．2 B．?2 C．?4 D．4【答案】A【分析】本題考查整式的四則混合運(yùn)算，先將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)此代數(shù)式的值與y的取值無關(guān)，可知關(guān)于y的項(xiàng)的系數(shù)為0，從而可以求得k的值．【詳解】解：x=5k=?3k=∵關(guān)于y的代數(shù)式：x5kx?3xy?k?3∴?3k+6=0，解得k=2，即當(dāng)k=2時(shí)，代數(shù)式的值與y的取值無關(guān)．故選：A.【考點(diǎn)題型九】解決污染問題【例9】（2023秋?重慶期末）小明計(jì)算一道題：，的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為內(nèi)應(yīng)填寫A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對(duì)照即可得出結(jié)論．【解答】解：．內(nèi)應(yīng)填寫1，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟知單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加是解答此題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：24x4yA．?18x3y2 B．18x3【答案】B【分析】利用多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：(?4x2y2+3xy?y)?(?6x2y)=24x4y3?18x3y2+6x2y2，∴■=18x3y2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）右側(cè)練習(xí)本上書寫的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代數(shù)式；（2）若被污染的代數(shù)式的值不小于4，求x的取值范圍.【答案】（1）?2x?4；（2）x≤?4【分析】（1）根據(jù)題意，被墨水污染的代數(shù)式=2x+5(x－2)－(2（2）由（1）中結(jié)果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解題．【詳解】解：（1）由已知可得，2x+5=2x=?2x?4（2）由已知可得，?2x?4≥?2x≥解得x≤?4【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、解一元一次不等式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023秋?南昌期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：（1）求所捂的多項(xiàng)式；（2）若，，求所捂多項(xiàng)式的值．【分析】（1）設(shè)多項(xiàng)式為，則計(jì)算即可．（2）把，代入多項(xiàng)式求值即可．【解答】解：（1）設(shè)多項(xiàng)式為，則．（2），，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，解題的關(guān)鍵是利用乘法與除法是互為逆運(yùn)算，把乘法轉(zhuǎn)化為除法解決問題，屬于基礎(chǔ)題．【考點(diǎn)題型十】解決誤看問題【例10】（2023秋?瀏陽市期末）小馬和小虎兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：，由于小馬抄錯(cuò)了的符號(hào)，得到的結(jié)果為；由于小虎漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的系數(shù)，得到的結(jié)果為．（1）求出，的值；（2）請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法題的正確結(jié)果．【分析】（1）先根據(jù)小馬和小虎的計(jì)算結(jié)果，列出關(guān)于，的方程，求出，即可；（2）把（1）中求出的，值代入這道乘法題，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）小馬抄錯(cuò)了的符號(hào)，得到的結(jié)果為，，，①；小虎漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的系數(shù)，得到的結(jié)果為，，，，②；②①得：，把代入②得，；（2）由（1）可知，這道整式乘法題為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握去括號(hào)法則和合并同類項(xiàng)法則．【變式10】（2023秋?西平縣期末）某同學(xué)在計(jì)算加上一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)錯(cuò)將加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推斷出正確的計(jì)算結(jié)果是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)題意算出這個(gè)多項(xiàng)式，再與相加即可．【解答】解：由題意知，這個(gè)多項(xiàng)式為，正確的計(jì)算結(jié)果為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十一】新定義問題【例11】（2023秋?衡陽期末）對(duì)于整數(shù)、定義運(yùn)算：※（其中、為常數(shù)），如3※．（1）填空：當(dāng)，時(shí)，2※；（2）若1※，2※，求的值．【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算方法計(jì)算即可；（2）判斷出，，可得結(jié)論．【解答】解：（1）2※，故答案為：3；（2）※，2※，，（2），整理得：，，解得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式11-1】（2023秋?江漢區(qū)期末）定義一種新的運(yùn)算“”，若，則．①依定義，；②若，，，，則．【分析】①②根據(jù)定義的新運(yùn)算列式計(jì)算即可．【解答】解：①，．故答案為：4；②設(shè)，，，則，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，理解新定義的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023秋?攸縣期末）一般地，若且，，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為，即．譬如：，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義完成下列問題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：；；．（2）由（1）中計(jì)算的結(jié)果及結(jié)合三個(gè)數(shù)4；16；64之間滿足的等量關(guān)系式，直接寫出；；滿足的等量關(guān)系式．（3）由（2）猜想一般性結(jié)論：且，，，并根據(jù)冪的運(yùn)算法則：以及對(duì)數(shù)的含義證明你的猜想．【分析】（1）根據(jù)題中給出的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）由（1）中的結(jié)果即可得出；；滿足的等量關(guān)系式；（3）設(shè)，，則，，分別表示出，的值，即可得出猜想．【解答】解：（1），；，；，，故答案為：2，4，6；（2），；（3），證明：設(shè)，，則，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題思路以材料的形式給出，需要學(xué)生仔細(xì)閱讀，理解并靈活運(yùn)用所給的信息．【變式11-3】（2023秋?望城區(qū)期末）規(guī)定，求：（1）求；（2）若，求的值．【分析】（1）根據(jù)定義以及同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可；（2）把64寫成底數(shù)是2的冪，再根據(jù)定義以及同底數(shù)冪的乘法法則可得關(guān)于的一元一次方程，再解方程即可．【解答】解：（1）由題意得：；（2），，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式11-4】（2023秋?鯉城區(qū)期末）規(guī)定兩數(shù)、之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：因?yàn)?，所以．根?jù)上述規(guī)定，填空：（1）；（2）若，，則的值為．【分析】（1）把相應(yīng)的值代入，結(jié)合冪的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）結(jié)合所給的運(yùn)算，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（1），；故答案為：3；（2），，，，，，，．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【考點(diǎn)題型十二】規(guī)律問題【例12】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)行研究．小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫出計(jì)算63×67的速算過程；(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘．請(qǐng)你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)．【答案】(1)4221(2)10a+b10a+c(3)10x+y【分析】（1）根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律對(duì)63×67進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為b，則另一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為c，其中b+c=10，那么這兩個(gè)兩位數(shù)分別為10a+b，10a+c，然后將常規(guī)計(jì)算得到的結(jié)果與小明速算方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；（3）仔細(xì)閱讀小紅發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，再進(jìn)行推廣，并用字母表示出來即可．【詳解】（1）63×67=100×6×7（2）小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律是：10a+b10a+c=100aa+1驗(yàn)證小明的速算規(guī)律：設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為b，則另一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為a，個(gè)位數(shù)為c，其中b+c=10，∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別為：10a+b，10a+c，常規(guī)的計(jì)算方法是：10a+b10a+c∵b+c=10，∴10a+b10a+c小明的速算方法是：100a+b10a+c∴小明的速算方法是正確的．（3）小穎發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律是：10x+y10z+y=100xz+y證明如下：設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，則另一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)為z，個(gè)位數(shù)為y，其中x+z=10，∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別為：10x+y，10z+y，常規(guī)的計(jì)算方法是：10x+y∵x+z=10，∴10x+y10z+y【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，讀懂題目中的信息，理解“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”和“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”數(shù)字的變換規(guī)律的探索過程是解答此題的關(guān)鍵．【變式12-1】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期中）下圖揭示了(a+b)n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．請(qǐng)觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【答案】天（日）【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘法的展開式，能發(fā)現(xiàn)a+bn展開后，各項(xiàng)是按a的降冪排列的，系數(shù)依次是從左到右a+b根據(jù)514=49+2【詳解】解：∵(a+b)(a+b)a+b∴a+b∴51=∴514∴假如今天是星期五，那么再過514故答案為：天．【變式12-2】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）觀察：下列等式x?1x+1=x2?1，x?1x2+x+1=【答案】?1【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律探索、求代數(shù)式的值，由題意得出根據(jù)x?1xn+xn?1+…+1=【詳解】解：∵x?1x+1=x2?1∴x?1x∵x?1x∴x7∴x7∴x=1，當(dāng)x=1時(shí)，x2024故答案為：?1．【變式12-3】（23-24八年級(jí)·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2020年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)2×2的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(1)圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為．(2)換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)7(2)有同樣的規(guī)律，證明見解析【分析】（1）按照題目要求列式計(jì)算即可；（2）設(shè)方框框出的四個(gè)數(shù)分別為a，【詳解】（1）解：10×4?3×11=40?33=7，故答案為：7；（2）有同樣的規(guī)律，證明：設(shè)方框框出的四個(gè)數(shù)分別為a，則a+1==7．【點(diǎn)睛】此題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握整式的四則混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十三】幾何圖形問題【例13】（2023秋?乾安縣期末）如圖，一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，把6個(gè)大小相同的小長(zhǎng)方形放入到大長(zhǎng)方形內(nèi)．（1）大長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)（長(zhǎng)和寬都用含，的式子來表示）．（2）求在大長(zhǎng)方形中，陰影部分的面積（用含，的式子來表示）（3）若，大長(zhǎng)方形面積為，大長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積為，則．【分析】（1）利用整式的加減即可求解；（2）利用多項(xiàng)式乘法求得大長(zhǎng)方形的面積，再利用大長(zhǎng)方形的面積減去6個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，分別用表示出大長(zhǎng)方形的面積，陰影部分的面積，代入即可求解．【解答】解：（1）大長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)，故答案為：，；（2）大長(zhǎng)方形面積為，故陰影部分的面積；（3）當(dāng)時(shí)，；；，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，整式的混合運(yùn)算涉及的知識(shí)有：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，合并同類項(xiàng)法則，認(rèn)真觀察圖形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2023秋?安康期末）如圖所示的是人民公園的一塊長(zhǎng)為米．寬為米的空地．預(yù)計(jì)在空地上建造一個(gè)網(wǎng)紅打卡觀景臺(tái)（陰影部分）．（1）請(qǐng)用、表示觀景臺(tái)的面積．（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）（2）如果修建觀景臺(tái)的費(fèi)用為200元平方米．且已知（米，（米．那么修建觀景臺(tái)需要費(fèi)用多少元？【分析】（1）根據(jù)面積之間的和差關(guān)系用代數(shù)式表示即可；（2）代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）陰影部分的面積為：；所以觀景臺(tái)的面積為平方米；（2）當(dāng)，時(shí)，原式（平方米），（元．所以修建觀景臺(tái)需要費(fèi)用為29400元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握?qǐng)D形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系是正確解答的前提．【變式13-2】（2023秋?宜州區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，角上有四個(gè)邊長(zhǎng)為米的小正方形空地，開發(fā)商計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化．（1）用含有、的式子表示綠化的總面積（結(jié)果寫成最簡(jiǎn)形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團(tuán)隊(duì)完成此項(xiàng)綠化任務(wù)，已知該隊(duì)每小時(shí)可綠化平方米，每小時(shí)收費(fèi)200元，則該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)多少費(fèi)用？（用含、的代數(shù)式表示）【分析】（1）直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）先求出該隊(duì)需要多少小時(shí)綠化完，再乘以每小時(shí)的費(fèi)用即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：平方米，答：綠化的面積是平方米；（2）根據(jù)題意得：元，答：該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)需要元費(fèi)用．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十四】分類討論思想【例14】（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）若是完全平方式，則．【答案】或【分析】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，根據(jù)完全平方公式即可求解，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∴∴，解得，或，故答案為：或【變式】[2024杭州濱江區(qū)模擬]若x2－4xy－y2＝0(y＞0)，則xy＝【答案】2＋5或2－5【考點(diǎn)題型十五】數(shù)形結(jié)合思想【例15-1】（2023秋?臨潁縣期末）實(shí)踐與探索如圖1，邊長(zhǎng)為的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．．．（2）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知，，則．②計(jì)算：．【分析】（1）分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積即可得出答案；（2）①利用平方差公式將，再代入計(jì)算即可；②利用平方差公式將原式轉(zhuǎn)化為即可．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2中的陰影部分是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，所以有，故答案為：；（2）①，，又，，即，故答案為：4；②，，，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．【例15-2】（2023秋?晉江市期末）【實(shí)踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：（1）現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖2所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：；【問題解決】（2）若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，其中②號(hào)長(zhǎng)方體和③號(hào)長(zhǎng)方體各需要多少個(gè)？試通過計(jì)算說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫出因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問題：已知與分別是兩個(gè)