遼寧省鞍山市鐵東區(qū)2024-2025學年九年級上學期數(shù)學期中試卷（含答案）

遼寧省鞍山市鐵東區(qū)2024-2025學年九年級上學期數(shù)學期中

試卷

溫馨提示：1、考試時間120分鐘，卷面滿分120分，試卷共5頁.

2、請仔細審題、認真思考、細致解答、規(guī)范書寫、勿忘檢查.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1.中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，下列四

幅作品分別代表“立春”“立夏”“芒種”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）

0

2.將方程2/+7=%改寫成辦2+岳；+。=0的形式,則凡仇c的值分別為（）

A.-2,1,7B.2,1,-7C.2,-1,7D.2,1,7

3.如圖，矩形/5C0S矩形MG”,已知23=3,BC=5,EF=6,則尸G的長為（）

AD

BC

FG

100

A.----B.10C.11D.12

11

4.如圖，已知DE〃BC,穿=白，若。￡=與，

則BE的長為（）

B乙--------

試卷第1頁，共6頁

A.9B.10C.11D.12

5.若/(-U),8(2,%)兩點在二次函數(shù)了=-(尤-1)，2的圖象上，則下列結論正確的是

()

A.%<%<2B.2<^<y2C.2<y2<y,D.y2<y,<2

6.在RtZ\/8C中，ZC=90°,/8=13,BC=5,則taM的值是()

,1212_55

A.—B.—C.—D.—

1351312

7.如圖，將線段繞點。旋轉得到線段N的,已知。4=5,OB'=3,/9=90。，則線段N8

的長為()

A.3B.4C.5D.V34

8.某款藥品的售價為50元/瓶，經過兩次降價后，售價為40元/瓶，兩次降價的百分率相同,

設每次降價的百分率為x,按題意可列方程為（）

A.50（1-X2）=40B.40（1-X2）=50

C.50（l-x）2=40D.40（l-x）2=50

9.如圖，某數(shù)學興趣小組為了估算河的寬度，在河對岸選定一個目標點尸，在近岸取點。

和S,使點尸、。、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線。上選擇

適當?shù)狞cT,確定尸T與過點。且垂直尸S的直線6的交點R,如果測得0s=45m,S7=90m,

QR=60m,則河的寬度尸。是（）

80mC.90mD.100m

試卷第2頁，共6頁

10.如下表是二次函數(shù)>=辦2+bx+c的幾組對應值:

X6.176.186.196.20

y=ax2+bx+c-0.02-0.010.010.02

根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程分2+及+。=0的一個解X的范圍是（）

A.6.16<x<6.17B.6.17<x<6.18

C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.若一元二次方程l-2x-l=0的兩個實數(shù)根為X],尤2，則再+工2-尤1%的值

為.

12.在平面直角坐標系X。中，己知△4BC,以原點。為位似中心，相似比為L將△48C

2

縮小得到若點/（2,4）,則4的坐標為—.

13.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形N8C,其中=4ABe=27。,

5C=44cm,則高4D約為cm.（結果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin27°^0.45,

cos27°?0.89,tan27°它0.51）

BDC

14.如圖，直線MN平行于x軸，二次函數(shù)了=。|/+左（q<0）的圖像與直線兒火交于人，B

兩點,二次函數(shù)歹=%（》-〃）2（出>。）的圖像與直線"N交于C,。兩點，其頂點為E,若

NC=3,BC=\,BD=2,則點E的坐標為.

15.如圖，已知等邊三角形48C,點。為△/BC外一點，連接4D,BD；且NC4O=90。,

將線段AD繞點B逆時針旋轉60。得到線段BE,連接ZE,CE,且/A4E=90°,若4D=1,

試卷第3頁，共6頁

則CE的長為.

三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理

過程）

16.解下列方程：

⑴x?+6x=-5;

（2）3x2-4x-2=0.

17.若關于x的一元二次方程x2-（2a+l）x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根，求。的取值范圍.

18.如圖，將△/8C繞點B按逆時針方向旋轉40。得到A08E,連接N。，若AB_LDE,垂

足為尸，求N/OE的度數(shù).

19.（1）求二次函數(shù)＞=x2+4x-l的頂點坐標;

（2）將二次函數(shù)y=f+4x-l的圖象向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度,

并在平面直角坐標系中畫出平移后的二次函數(shù)圖象.（先完成下列表格，再描點、連線畫出

函數(shù)圖象，每個小網格的邊長為1個單位長度）

X-012

-

y6

-

試卷第4頁，共6頁

20.如圖，在ZUBC中，點。在8c邊上，連接4D,且4B=4D,點E在/C邊上，連接

DE,且/Z)2=/EZC,若AD=2DE,CE=5,求2c的長.

21.“雙11”是中國最具影響力的購物節(jié)，某商家決定在“雙11”期間對某商品進行降價銷售,

該商品進價為50元/件.在平時以80元/件的價格進行銷售時，周銷量為500件.根據(jù)近幾

年的經驗來看，在“雙11”期間該商品售價每降低1元，則周銷量增加50件，在商家備貨量

充足的情況下，每件商品的售價為多少元時，周銷售利潤能達到7200元？

22.如圖，在矩形N8CD中，點。為對角線/C中點，點E為AD邊上一點(4E<；4D),

連接EO并延長交8c于點尸；四邊形尸E與關于即所在直線對稱，射線分別

(1)求證：EH=FH；

…AO7

(2)已知為；=1，DH=l；

ULr5

FG

①當點H在線段4D上時，求案的值；

②當ACE不為等腰三角形時，求。的長.

試卷第5頁，共6頁

23.定義：已知一次函數(shù)4：了=辦+〃。/0)和一次函數(shù)4：了=必+〃(加片0)若函數(shù)

l3-.y={ax+b\mx+n),則稱函數(shù)4是一次函數(shù)4、4的累積函數(shù).已知函數(shù)4是一次函數(shù)

4:y=gx+l與一次函數(shù)，2-y=-x+n的累積函數(shù).

備用圖

(1)若函數(shù)4的圖象恰好經過(-1,0),求函數(shù)4的解析式；

(2)若函數(shù)4的圖象頂點為P，當點尸的縱坐標最小時，求此時頂點尸的坐標；

⑶若一次函數(shù)心4的圖象與函數(shù)4的圖象的公共點有且只有三個時，求此時〃的值.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖

形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進

行逐一判斷即可.本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖

形的定義.

【詳解】解：A.不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；

D.是中心對稱圖形，故D選項合題意；

故選：D.

2.C

【分析】本題主要考查一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題

的關鍵；因此此題可根據(jù)一元二次方程辦2+6x+c=0（。/0,b、。為常數(shù)）進行求解即

可.

【詳解】解：把方程2尤2+7=x改寫成ax?+6x+c=0的形式為2x?-x+7=0,則有：

a=2,b——l,c=7；

故選C.

3.B

ATIFF

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，根據(jù)相似多邊形的性質得。=行，進行計算即

nCrG

可得.

【詳解】解：,??矩形ABC?！本匦蜤FG8,

ABBCABEF

??而一拓即F1rl疏—而，

36

,,—t

5FG

??.FG=10,

故選：B.

4.A

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性

27

質.DE//BC,可得△DOESACOB,根據(jù)相似三角形的性質求出。8=彳，即可求解.

答案第1頁，共13頁

【詳解】解：,??〃￡〃8C，

ADOEsACOB,

18

OD

了，

OCIP

|OB

27

OB=—

5

77iQ

BE=OB+OE=—+—=9,

55

故選：A.

5.A

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關

鍵；由題意易得該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線x=l,有最大值為2,進而根據(jù)

“開口向下，離對稱軸的距離越近，其對應的函數(shù)值也就越大”進行求解即可.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=-(x-iy+2可知：開口向下，對稱軸為直線尤=1,當x=l時,

有最大值為2,

?；/(-1,必)，3(2,%)兩點在二次函數(shù)y=-(x-lY+2的圖象上，且點/到對稱軸的距離更

遠,

二弘<%<2；

故選A.

6.D

【分析】本題考查了解直角二角形，根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，在RtZ\/8C中，ZC=90°,/3=13,BC=5,

3=生5

AC12

故選：D.

答案第2頁，共13頁

7.B

【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，根據(jù)旋轉的性質可得48=N2'=90。,

OB=OB，=3,進而根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接

O

依題意，ZS=ZB'=90°,OB=OB'=3,04=5,

■■AB=yjAO2-BO2=4>

故選：B.

8.C

【分析】本題考查一元二次方程的應用，要掌握求平均變化率的方法.設每次降價的百分率

為x,那么第一次降價后的售價是原來的（1-尤），那么第二次降價后的售價是原來的

Orf,根據(jù)題意列方程解答即可.

【詳解】解：設每次降價的百分率為x,

根據(jù)題意列方程得:50（1-x）2=40；

故選：C.

9.C

【分析】此題主要考查了相似三角形的判定與性質.根據(jù)相似三角形的性質得出

等進而代入求出即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得出：QR//ST,

則APQRSAPST,

於PQ=QR

改PQ+QS~ST'

-：QS=45m,57=90m,QR=60m,

PQ60

','P0+45-癡'

解得：P2=90（m）,

答案第3頁，共13頁

故選：c.

10.c

【分析】本題考查利用二次函數(shù)的圖象估算一元二次方程的近似根，根據(jù)拋物線與X軸的交

點的相鄰兩側的函數(shù)值的符號相反，進行判斷即可.

【詳解】解：由表格可知，尤=6.18時，y<0,當x=6.19時，y>0,

??.在6.18<x<6.19之間必然存在一個x的值使y=O,

二方程辦2+6x+c=o的一個解x的范圍是6.18cx<6.19；

故選C.

11.3

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得

X|+無2=2,再工2=T,代入代數(shù)式，即可求解.

【詳解】解：???一元二次方程--2x-l=0的兩個根為不，龍2，

：.x{+x2=2,x1x2=-1,

西+%—=2—(—1)=3,

故答案為：3.

12.(1,2)或(一1,一2)

【分析】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心,

相似比為??，那么位似圖形對應點的坐標的比等于左或-%.根據(jù)位似變換的性質解答即

可.

【詳解】解：???相似比為g,將4/臺?？s小得到A/0。，點/(2,4),

??.H的坐標為(1,2)或(-1,-2)

故答案為：(1,2)或(-1,-2).

13.11.2

【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一性質得到的值，再利用正切定義求解即可.

本題考查等腰三角形的性質、解直角三角形的應用，熟練掌握等腰三角形的性質是解答的關

鍵.

【詳解】=ADIBC,BC=44cm,

答案第4頁，共13頁

...BD=CD=g3C=；x44=22(cm),

ATJ

,/RtZXZBC中tan/ABC=,

AD?BD?tan/ABCb22x0.51?11.2(cm),

故答案為：11.2.

14.加

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵掌握二次函數(shù)的性質.設直線MN交》軸

于點”，過點E作二次函數(shù)y=%(x-人)2(%>0)的對稱軸交"N于點尸，根據(jù)題意可得：

35

AB=4,CD=3,進而得到CP=],AH=2,求出必=],即可求解.

【詳解】解：設直線交歹軸于點“，過點E作二次函數(shù)〉=出口-力)2(出>0)的對稱軸

交MN于點、F,

VAC-3,BC=1,BD=2,

AAB=AC+BC=3+l=4fCD=CB+BD=\+2=3,

131

CF=-CD=-,AH=—AB=2,

222

HC=AC-AH=3-2=l,

35

HF=HC+CF=l+-=~,

22

.??點E的坐標為go),

15.V13

【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，解直角三角形；連接CD,過

點C作C尸，/尸交E4延長線于尸，先證明ACAD0A4BE,根據(jù)已知得出NC,進而解

RM4FC,RLEFC,即可求解.

答案第5頁，共13頁

【詳解】解：如圖所示，連接CQ,過點。作CF，4尸交胡延長線于R

???將線段5。繞點8逆時針旋轉60。得到線段班,

；.BD=BE,ZDBE=60°；

???三角形是等邊三角形，

AB=AC,ZCBA=60°,

??.NDBE=ZCBA=60°,

??.ZCBD=/ABE,

??.ACBDAABE,

/BCD=/BAE=90°,AE=CD,

??.ZACD=/BCD-ZACB=30°；

???AD=\,

:,CD=2,AC=CDCGS/ACD=5

又???ZCAF=180。—/EAB-ABAC=30°,

：.CF=-AC=—,AF=CF?tan/ACF=；

2222

vAE=CD=2,

37

:.EF=2+—=

22

在RtZXMC中,EC=y/EF2+CF2==；

故答案為：V13.

16.(1)---1，%2=-5;

2+VTo2-Vio

(2)再=-T一x9=----------;

23

【分析】此題考查了解一元二次方程.

答案第6頁，共13頁

(1)移項化為一般形式，利用因式分解法解方程即可;

(2)利用公式法解方程即可.

【詳解】(1)解：X2+6X=-5

X2+6x+5=0,

.-.(x+l)(x+5)=0,

???x+l=0或x+5=0,

解得再二-1,x2=-5；

(2)3——4x—2=0

：.a=3,b=—4,c=—2,

???A=/)2-4tzc=(-4)2-4x3x(-2)=40,

-b+ylb2-4ac4±7402±V10

x=-------------------=-----------=-----------

2a63

解得網=生巫，x2=*

1323

1

17.a>——

4

【詳解】分析：根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△>(),即可得出關于a的一元一次不等式,

解之即可得出a的取值范圍.

詳解：???關于x的一元二次方程x2-(2a+l)x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根,

???△=[-(2a+l)]Ma2=4a+l>0,

解得：a>--.

4

點睛：本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關

鍵.

18.ZADE=20°

【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，解題的關

鍵是掌握旋轉的性質.由旋轉可得：ZABD=40°,AB=AD,進而得到=70。，由

48_1?！昕傻?8/辦=90。，推出尸=50。，即可求解.

【詳解】解：由旋轉可得：ZABD=40°,AB=AD,

ABAD=NBDA=1(180°-NABD)=70°,

???ABIDE,

答案第7頁，共13頁

ZBFD=90°,

：.ZBDF=90°-ZABD=90°-40°=50°,

ZADE=ABDA-ZBDF=70°-50°=20°.

19.(1)(-2,-5)；(2)見解析

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象的平移，畫二次函數(shù)圖象；

(1)根據(jù)配方法化為頂點式，即可求解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律得出解析式，進而根據(jù)列表描點畫出函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】(1)解：?.-y=x2+4x-l=(x+2)2-5

二頂點坐標為(-2,-5)

(2)將二次函數(shù)〉=/+4工-1=(》+2『-5的圖象向右平移3個單位長度，再向上平移2個

20.10

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，相似三角形的性質與判定，先證明AE4DSAD/C

根據(jù)相似三角形的性質結合已知，得出NC=2DC,進而證明△￡€?￡>根據(jù)相似三

角形的性質，即可求解.

答案第8頁，共13頁

【詳解】-AD2=AEAC

ADAC

"AE~AD'

又?：/EAD=/DAC

???AEADS^DAC

DEAD

^C~~AC

???AD=IDE,

DEIDE

，貝IJ4C=2。。

Be-AC

???AEADS^DAC

??.ZAED=ZADC

/CED=/ADB

又???AB=AD

ZABC=ZADB=NCED

又?：/ECD=/BCA

???/\ECDS/\BCA

ECBCECDC1

?-PRInJ——

"DCACBCNC_2

.?.2C=2EC=10.

21.每件商品的售價為54元時，周銷售利潤能達到7200元.

【分析】本題考查一元二次方程的應用，設每件商品的售價為x元時，周銷售利潤能達到

7200元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【詳解】解：設每件商品的售價為x元時，周銷售利潤能達到7200元，

根據(jù)題意得，（%-50）［500+50（80-%）］=7200,

解得：x=54或x=86（舍去）；

答：每件商品的售價為54元時，周銷售利潤能達到7200元.

22.⑴見解析

⑵①*=；；②CD=2版

CF7

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可得4?！?C,推出NHEF=NEFB,根據(jù)對稱的性質可得

NEFB=NEFH,推出/fffi產=/￡”,即可證明；

（2）由點。為/C中點，可得O/=OC,設。G=3左，OA=OC=1k,則/G=10左，

答案第9頁，共13頁

CG=4k,證明絲△CO尸，得到/E=Cb.

①證明LCFG^LAHG,得到與=2=g|=j,設C尸=2x,AH=5x,貝U

AHACr5

EH=FH=3x,FG=-x,即可求解；

7

②分兩種情況討論：當"F=〃C=3x時，過點"作〃于T,當CF=HC=2x

時，過點”作于A,根據(jù)矩形的判定與性質和勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：??.在矩形/BCD中，AD//BC,

ZHEF=NEFB,

.?.四邊形ABFE與四邊形ABFE關于EF所在直線對稱，

ZEFB=ZEFH,

ZHEF=/EFH,

EH=FH；

（2）解：???點。為/C中點，

AOA=OC,

AO_7

.瓦一§，

??設OG=3k,OA=OC—7k,

AG=OA+OG=10kfCG=OC-OG=lk-3k=4k,

??,AD//BC,

ZOAE=ZOCF,

在△/QE和△口?尸中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

,^AOE^COF（ASA）,

AE=CF,

①丁AD//BC,

XCFGSRAHG,

.CF_FG_CG_4k_2

./一前一^一標-

.CF_2

,~AH~~5"

答案第10頁，共13頁

???設C尸=2x,AH=5x,

?/AE=CF,

-e?AE=CF=2x,

EH=AH-AE=5x-2x=3x,

由（1）知，EH=FH,

/.EH=FH=3x,

FG2

?

?FG_2

,,一，

FH7

FG=-FH=-x3x=-x,

777

6

FG7X3；

CF-27"7

②由①知，CF=2x,HF=3x,

：.CF*HF,

.??若ASF為等腰三角形，只有以下兩種情況：

情況一：當上m=HC=3x時，如圖1,過點H作〃TLCF于T,

圖1

???ND=NDCT=ZHTC=90°,

四邊形DC"是矩形，

*'-CT=DH=1,即x=1,

:.HF=3X=3,

:.HF=HC=3,

在RMCL歸中，CD=dCH。一DH?=打-f=2拒,

情況二：當C尸=〃C=2x時，如圖2,過點、H作HRLCF于R,

???ZD=ZDCR=ZHRC