空間向量與立體幾何（解答題）-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（解析版）

冷集06或同向重鳥更偉幾何（解答集）

五年考情?探規(guī)律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

2023甲乙卷空間幾何體表面積體積問題一般采

考點01求空間幾何體表2022甲乙卷

2021甲乙卷用等體積法或者是空間向量解決，一

面積體積

2021乙甲卷般出現(xiàn)在第一問。

2020全國III卷

2024甲II卷

2023II乙卷二面角的正弦余弦值是高考空間幾

2022III卷何體的高頻考點，也是高考的一盒重

考點02求二面角

2021甲乙n卷要的趨勢。

2020I卷

2023甲卷

線面角問題是高考中的?？键c，方法

考點03求線面角2022甲乙卷

是方向向量與法向量的夾角

2020IIIIII卷

2024I卷

求距離問題是高考I卷的一個重大

考點04已知二面角，求2023I卷

趨勢，容易與動點問題相結(jié)合

點，距離2021I卷

2024甲卷點到平面的距離問題是高考的一個

考點05求點到面的距離

2021I卷重要題型，應(yīng)加強(qiáng)這方面的練習(xí)

分考點?精準(zhǔn)練

考點01求空間幾何體體積表面積

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考甲卷）如圖，在三棱錐P—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2①,PB=PC=?

3尸,4尸,3。的中點分別為￡>,瓦。，點尸在AC上，BF1AO.

A

⑴求證：〃平面ADO；

⑵若NPOF=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

【答案】⑴證明見解析⑵友

3

【詳解】(1)連接。E,OF,^AF=tAC,貝1]8f=BA+A尸=(l-f)8A+tBC,AO=-BA+^BC,BFLAO,

--121

貝3尸,A0=[(1-0BA+tBC]-{-BA+-BC)=(t-l)BA+-tBC2=4(f-l)+4f=0,

解得f=《，則/為AC的中點，由。,E,。/分別為尸民尸A3cAe的中點，

2

于是OE//4&DE=』AB,OF//AB,OF=-AB,即DEHOF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又砂0平面ADO,。。u平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

(2)過尸作尸河垂直尸。的延長線交于點M,

因為P3=PC,O是BC中點，所以尸O1BC,

在RtAPBO中，PB=?BO=LBC=6,

2

所以PO=dPB°-OB2=,6—2=2,

因為AB_L3C,OfV/AB,

所以O(shè)FLBC,又POcOF=O,PO,OFu平面尸。/，

所以3C人平面尸。尸，又Mfu平面尸。/，

所以又BCFM=O,BCFMu平面ABC,

所以依f_L平面ABC,

即三棱錐P-ABC的高為PAf,

因為NPQR=120。，所以NPOM=60。，

所以PM=POsin60°=2x3=若，

2

又=gAB-BC=gx2x2亞=2亞,

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，4C，平面ABC,NACB=90。.

(1)證明：平面ACC|A_L平面BBCC；

(2)設(shè)AB=AB,AA=2,求四棱錐4一2耳CC的高.

【答案】⑴證明見解析.(2)1

【詳解】(1)證明：因為AC,平面ABC,3Cu平面ABC,

所以ACLBC,

又因為NAC2=90,即AC13C,

4cAec:平面ACGA，ACcAC=C,

所以3。1平面ACGA，

又因為3Cu平面BCG與，

所以平面ACC0，平面BCG4.

(2)如圖，

因為平面ACQA，平面BCGBi,平面ACGA7平面BCCXB}=CCt,A。u平面ACQA,

所以A。，平面BCG4，

所以四棱錐A-BB￡C的高為4。.

因為AC_L平面ABC,AC,BCu平面ABC,

所以AC,

又因為A3=48,8C為公共邊，

所以一ABC與.ABC全等，所以AC=AC.

設(shè)\C=AC=x,則AG—%,

所以。為CG中點，?！?；朋=1,

又因為ACLAC,所以AC2+AC2=A<,

BPX2+X2=22,解得片夜,

所以qc=JAG2_℃]2=Jwj-f=i,

所以四棱錐4-Bgcc的高為i.

3.(2022?全國?統(tǒng)考高考乙卷題)如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,￡為AC的

中點.

⑴證明：平面3ED_L平面ACD；

(2)設(shè)鈿=9=2,/4。8=60。，點尸在8。上，當(dāng)4人”的面積最小時，求三棱錐尸-A5c的體積.

【答案】⑴證明詳見解析⑵走

4

【詳解】(1)由于AD=CD,E是AC的中點，所以ACLDE.

AD=CD

由于,所以AADB三ACDB,

ZADB=ZCDB

所以A5=CB,故AC_L3E,

由于DEcBE=E,DE,BEu平面BED,

所以AC_L平面g￡D,

由于ACu平面ACD,所以平面3ED_L平面ACD.

(2)［方法一］:判別幾何關(guān)系

依題意鉆=%>=3c=2,ZACB=60°,三角形ABC是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=LBE=石，

由于AO=CD,AO，CE),所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以O(shè)E=1.

222

DE+BE=BD>所以止_LBE,

由于ACc3E=E,AC,2Eu平面ABC,所以DEJ.平面ABC.

由于"￡)3三△CD3,所以4￡4=4BC,

BF=BF

由于<NFBA=NFBC,所以“五&1三FBC,

AB=CB

所以A/=C產(chǎn)，所以EF1AC,

由于S.c=g-AC?斯，所以當(dāng)防最短時，三角形ABC的面積最小

過E作EF_L8D,垂足為尸，

在RtABED中，-BEDE^-BDEF,解得EF=心,

222

FHBF3

過尸作皿,血‘垂足為H,則小〃所以用‘平面MC,且說=而=“

3

所以儂=:，

4

所以吟ABC=LSABC.W=LXLX2X6X3=^.

r—Az>C3ADC32]]

［方法二］:等體積轉(zhuǎn)換

AB=BC,ZACB=60°,AB=2

；.A4BC是邊長為2的等邊三角形，

BE=K

連接EP

MDB=\CDBAF=CF

EF1AC

.?.在ABED中，當(dāng)EF_L8。時，AAFC面積最小

AD1CD,AD=CD,AC=2,E為4c中點

DE=1DE2+BE1=BD2

;.BE1ED

若EF1BD,在ABED中,EF=班⑦￡=—

BD2

BF=siBE2-EF2=-

2

.<1???13^3^

..SARFF=-BF?EF=—,一,—二---

由22228

?V_V鐘_le更

一^F-ABC—^A-BEF+^C-BEF~Z、帖EF'AC——,'2———

5JO4

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示:

底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，EAB,FBC,.GCD,小必均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面A3CD垂直.

（1）證明：E尸〃平面ABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

【答案】⑴證明見解析；（2）與6

【詳解】（［）如圖所示：

分別取A8,BC的中點M,N,連接MN,因為為全等的正三角形，所以，AB,FN，3C,

EM=FN,又平面E4B_L平面A8CD,平面￡ABc平面MCD=AB,EMu平面E4B,所以EM_L平面

ABCD,同理可得平面ABC。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知E"〃/W,而EM=FN,所以四邊形

EMVF為平行四邊形，所以EF//MN,又E/0平面A5CD,MNu平面ABCD,所以EF〃平面ABCD.

（2）［方法一］:分割法一

如圖所示：

MB

分別取A2OC中點K,"由（1）知，EF"MN艮EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知識可知，BD±MN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,

所以該幾何體的體積等于長方體應(yīng)VWL-EFGH的體積加上四棱錐3-MVFE體積的4倍.

因為MN=NL=LK=KM=4也,EM=8sin60=4石，點B到平面M/FE的距離即為點8到直線建V的距

離d,1=2后，所以該幾何體的體積

丫=（4@，4肉4寺4及x4島2拒=128昌苧相=等技

［方法二］:分割法二

如圖所示：

連接AC,BD,交于0,連接0E,OF,0G,0H.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的4

倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取EH的中點P,連接APQP.則EH垂直平面

APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積

V=1.473-（472）2+4---4V2--4A/2-473+4---4^--4>/2-45/2=^^.

3,，32323

5.（2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABC。，M為8C的中點，

且依_LAM.

（1）證明：平面平面尸2￡（；

（2）若PD=DC=1,求四棱錐尸-ABCD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）變.

3

【詳解】（1）因為尸。,底面ABC。，Akfu平面ABC。，

所以尸￡>上AM,又尸3_LAM,PBPD=P,

所以AMI平面PBD,而AA/u平面E4M,所以平面/UM■，平面PBD.

（2）［方法一］:相似三角形法

AB

由（1）可知于是LABZA_5M4,故F=

ABBM

因為BM=（BC,Ar?=BC,A3=l,所以;叱=1,即gc=&.

故四棱錐尸-48。。的體積1/=J48?20尸。=乂2.

33

6.（2021?全國?高考甲卷題）已知直三棱柱ABC-4瓦￡中，側(cè)面相片8為正方形，AB=BC=2,E,F分

（1）求三棱錐P-￡BC的體積；

（2）已知。為棱4月上的點，證明：BF±DE.

【答案】（l）g;（2）證明見解析.

【詳解】（1）由于B尸，A4,AB//A.B,,所以

又48勖8/,BBqBF=B,故AB/平面BCC4,

則AB13C,ABC為等腰直角三角形，

=XX

S&BCE=5SAABC=]X（5X2x2]=1,VF_EBC~SABCECF=§xlxl=§.

（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體ABCM-44GM1,如圖所示，取棱AM,8c的

正方形BCG片中，G,尸為中點，則3斤，用G,

又8尸，4耳，A4n4G

故BP_L平面AgGH,而DEu平面48夕//,

從而BF工DE.

7.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷題）如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，ABC是底面的內(nèi)接正三

角形，尸為DO上一點，EL4PC=90°.

D

（1）證明：平面R4BEI平面PAC；

（2）設(shè)。。=0，圓錐的側(cè)面積為后，求三棱錐P-ABC的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）

8

【詳解】（1）連接。AOBOC,。為圓錐頂點，。為底面圓心，.?.8,平面ABC,

P在。。上，OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

.ABC是圓內(nèi)接正三角形，，人仁二3。，ATMCffliPBC,

ZAPC=ZBPC=90°,即P8_LPC,PA_LPC,

（2）設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為,，圓錐的側(cè)面積為萬”萬,〃=百，

OD2=l2-r2=2,解得r=l1=&,AC=2rsin60=—,

在等腰直角三角形APC中，AP=^AC=顯,

22

在Rt私。中，PO=VAP2-OA2=,

.??三棱錐P-ABC的體積為％.J尸。?%BC=L變x@x3=亞.

r-ADC3ZAADC3248

8.（2020?全國?統(tǒng)考高考回卷）如圖，已知三棱柱ABC-4&Q的底面是正三角形，側(cè)面BB】QC是矩形，M,

N分別為BC,BQ的中點，P為4M上一點.過&Q和P的平面交于E,交AC于F.

(1)證明：AA1//MN,且平面44WM3平面EB】GF；

兀

(2)設(shè)。為HAiBiG的中心，若AO=4B=6,A?！ㄆ矫鍱B】QF,且EIMPN=§,求四棱錐B-EB】GF的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)24.

【詳解】(1)M,N分別為3C,8G的中點，

又A4.//BB,/.MNHAA1

在等邊一ABC中，〃為BC中點，則

又1側(cè)面為矩形，

BC±BB,MN//BB、MN±BC

由ACVc4Vf=M,腦V,AMu平面AAMN

3C1平面AAMN又，B.CJ/BC,且BCtZ平面ABC,BCu平面ABC,

〃平面ABC

又146匚平面匹。產(chǎn),且平面EBCZc平面ABC=EF

BiCJIEF:.EF//BC

又iBC_L平面AAMN平面AA腦VEFu平面防。仍

平面EBgF1平面\AMN

(2)過M作PN垂線，交點為

畫出圖形，如圖

.AO〃平面E4GF

AOu平面A4WN,平面AAMNc平面E耳C^=NP

:.AO//NP5L-NO//AP

AO=NP=6。為△A[B]G的中心.，ON=sin60°=jx6xsin60°=>/3

故：ON=AP=y/3,貝U4M=3AP=34,

平面EB&F，平面AtAMN,平面EBgFc平面\AMN=NP,

也＜=平面4可斷，必/，平面￡耳弓尸

又在?嗜嗡即跖=與涔祟=2

由（1）知，四邊形EBCZ為梯形

二.四邊形EB￡F的面積為：S四邊形鶴°F=—±?NP=;一x6=24

…Vg—E^GF=S四邊形EMO尸.h，

丸為M到PN的距離MH=273-sin60°=3,

.?“=1x24x3=24.

3

考點02求二面角

1(2024?全國?高考H)如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=50,ZADC=9Q°,ZBAD=30°,

2i

WE,尸滿足AE=gA。，AF=-AB,將△但'沿EF翻折至！尸所，使得尸C=4jL

⑴證明：EFLPD-,

⑵求平面尸。與平面P2F所成的二面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析⑵丸叵

65

【詳解】(1)由AB=8,A￡>=5g,AE=|AD,AF=；AB,

得AE=2百,AF=4,又ZBAD=30°,在△A￡F中，

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-2^-^=2,

所以AE2+E/Y=AR2,則AE_L￡F,即防上AD,

所以EF，PE,EF，DE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以EFI平面尸DE,又PDu平面尸DE,

故EF_LPD；

(2)連接CE,ZADC=90",ED=3^3,CD=3,貝！JCE?=ED?+CD，=36,

在,PEC中，PC=4?PE=2?EC=6,EC2+PE1=PC2,

所以PE_LEC,由(1)知PE_LEF,又成?.石尸=瓦￡<7、￡/<=平面4^。,

所以PE_L平面ABC。，又￡?<Z平面ABC。，

所以PE工ED,則PE,EF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系f-Dz,

則E(0,0,0),P(0,0,2G),D(0,3^,0),C(3,3^,0),F(2,0,0),A(0,-2W,0),

由尸是AB的中點,得3(4,2后0),

所以PC=(3,36,-2&),PD=(0,3?-2?PB=(4,2&,-2百),PF=(2,0,-26),

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個法向量分別為〃=（玉,M，Z］）,m=（X2，y2，Z2）,

n-PC=3%+-2石Z[=0m-PB=4x2+2石%-2上z2=0

n-PD=36y「2也z、=0m-PF=2x2-2A/3Z2=0

令％=2,%=8,得占=0,Z]=3,%=-1/2=1,

所以3=(0,2,3),茄=(有,-1,1),

m'n\1V65

所以向sm，"卜麗=耳后=行，

設(shè)平面PCD和平面BBR所成角為。，則sin6=Jl-cos2夕=與畫

65

即平面PCD和平面尸班'所成角的正弦值為.

2（2024?全國?高考甲卷）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABC。與四邊形AOEF

均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=MFB=2^,M為AD的中點.

⑴證明：氏0//平面。?！辏?/p>

⑵求二面角F-BH-E的正弦值.

【答案】⑴證明見詳解；（2）逑

13

【詳解】（1）因為3C〃AD,E尸=2,AD=4,M為AD的中點，所以BC//MD,BC=MD,

四邊形3。皿為平行四邊形，所以BM//CD,又因為BMa平面CDE,

CDu平面CDE,所以〃平面CDE；

（2）如圖所示，作交4D于0,連接。尸，因為四邊形A8CD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,

AB=BC=2,所以CD=2,結(jié)合（1）3czM/為平行四邊形，可得BM=CD=2,又AM=2,

所以.ABM為等邊三角形，。為AM中點，所以02=6，

又因為四邊形仞石尸為等腰梯形，M為AD中點，所以EF=MD,EF〃MD,四邊形的處為平行四邊形,

FM=ED=AF,所以△AEM為等腰三角形，與△AEM底邊上中點。重合，OFYAM,

OF^ylAF2-AO2-3-因為。4+。尸=防2，所以QB_LOP，所以°氏°少,°尸互相垂直，

以。8方向為x軸，QD方向為＞軸，O尸方向為z軸，建立。-孫z空間直角坐標(biāo)系，

F（0,0,3）,B（^,0,0）,M（0,l,0）,￡（0,2,3）,BM=（-A/3,1,0）,BF=（-5/3,0,3）,

BE=（-52M設(shè)平面卸小f的法向量為機(jī)=（3,乂,4）,

平面EMB的法向量為“=（務(wù)，%，22），

m-BM=0瓜T+%=

則令％=6，得弘=3,4=1,即沆=(6,3,1),

m-BF=0"\/3^+3Z]=0

n-BM=Q—y/3x2+%二°八尻乙曰Q1

則＜即《L，令w=J3，得%=3*2=-1,

nBE=0-Q3X?+2y2+3z2=0

/1-\m-n1111A^RA^R

即為=（四,3,-1）,COS加,"=麗j=屈屈=衛(wèi)，則sinm,n=得-，故二面角歹―HW—E的正弦值為磊-.

3.(2023全國?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BD_LCD,ZADB=ZADC=60,

E為BC的中

⑴證明：BC±DA；

(2)點尸滿足斯=￡>4，求二面角O-AB-產(chǎn)的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；(2)走.

3

【詳解】(1)連接因為E為8C中點，DB=DC,所以DELBC①，

因為ZM=D3=OC,ZADB=ZADC=60,所以ACD與△ABD均為等邊三角形，

：.AC^AB,從而AE_LBC②，由①②，AEDE=E,AE；￡)Eu平面AQE,

所以，3C1平面AT>E,而4)u平面ADE,所以3C_LZM.

(2)不妨設(shè)DA=DB=DC=2,BD1CD,:.BC=2^,DE=AE=啦.

二AE2+￡)E2=4=32,...招工小，又；BC=E,DE,BCu平面BCD.?.?!￡1，平面BCD.

以點E為原點，即，班,￡A所在直線分別為無,％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)。(①0,0),A(0,0,A/2),5(0,&0),E(0,0,0),

設(shè)平面與平面ABf的一個法向量分別為4=(xl,y1,zI),n2=(x2,y2,z2),

二面角。-AB-尸平面角為。，而協(xié)=(0,也-3),

因為石尸=04=卜后,0,忘)，所以尸卜虛,0,夜)，即有4尸=卜血,0,0),

—A/2XJ+A/2ZJ=0

取石=1,所以“=(1,1,1)；

[-=0

V2y2--0

取%=i，所以%=(0,1,1),

—A/2X2=0

Y\.%2V6

所以,從而sin。=

?1||?2島④一3

所以二面角。-9-尸的正弦值為9.

4.(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱錐P—ABC中，ABIBC,AB=2,BC=2應(yīng)，PB=PC=?

BP,AP,8C的中點分別為D,E,O,AD=y[5DO,點尸在AC上，BF±AO.

P

(1)證明：EF〃平面ADO；

⑵證明：平面ADO_L平面BEE

⑶求二面角D—AO—C的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；(2)證明見解析；(3)變.

2

【詳解】(1)連接。E,。/，T^AF=tAC,則BF=BA+A尸=(1一。a4+/8C,AO=-BA+^BC,BFLAO,

121

貝ijBFAO=[(1-0BA+tBCY(-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC92=4(r-l)+4z=0,

解得，=(，則尸為AC的中點，由。，瓦O,尸分別為總,FA5cAe的中點，

2

P

A

于是DE//AB,DE=LAB,OF//AB,OF=LAB,即DE//OF,DE=OF,則四邊形OD石產(chǎn)為平行四邊形,

22

EF//DO,EF=DO,又￡1尸0平面4￡)0,。0<=平面400,

所以EF〃平面ADO.

(2)法一：由(1)可知EF〃O￡>,則AO=",OO=如，AD=yf5DO=—,

22

因止匕OD2+AO2=4。2=11,則OD_LAO,有￡F_LAO,

又AO^LBF,BFJEF=F,平面5跖，

則有AO_L平面BEF,又AOu平面ADO,所以平面ADO_L平面班F.

法二：因為AB1BC,過點A作z軸，平面BAC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4(2,0,0,),3(0,0,0),C(0,2忘,0),

3,15

DB+AB-DA921

在ARDA中，cos/PBA=-----2-D--B--A-B-----=-2--x-2-x--近7=

在/\PBA中，PA2=PB1+AB1-2PB-ABcosZPBA=6+4-2-s/6x2x--=14,

PA=^14(無一-2）2+y2+z2=14

設(shè)尸(x,y,z),所以由P8="可得：，尤2+-j2+z2=6,

PC=&)尤24-（J-2A/2）2+Z2=6

可得：x=-l,y=6*z=也,所以4-1,0網(wǎng),

則?！?，孝￥)，所以明，￥考,

F（l,V2,0）,

4。=卜2,0,0),4力=

設(shè)平面ADO的法向量為4=(占,M，zJ,

-.-z\C—2M+,x/Zy,=0

n,?AU二u,

則-，得5A/246n'

nx-AD=0+

令%=1,則％=&，z=g■,所以4=（1,0,石卜

麗］界￥)麗=1

厄0）

設(shè)平面BEF的法向量為巧==（*2，%/2）,

\-BE=O,-x+—y+—z=0

則:，得222及22z2,

n-BF=0/r-

i2乂+<2%=0

令石=2,則%=一忘,22=0,所以％=（2,-0,0）,

4.%=2x1+^2x卜形）+0=0,

所以平面AT>O，平面BEB

(3)法一：過點。作O////3/交AC于點H,設(shè)ADBE=G,

由AO_L3產(chǎn)，得〃O_LAO,S.FH=-AH,

3

又由(2)知，ODLAO,則為二面角D-AO-C的平面角,

因為分別為PB,PA的中點，因此G為,上"的重心，

1113

即有OG=—AO,GE=—BE,XFH=-AH,即有?！?—G/，

3332

4315

4+--------4+6-P*

cosZABD=——上解得*M同理得金手,

。。瓜2x2x^/6

2x2x—

2

5

于是BE?+EF?=BF?=3,即有3EJ_EF,則GF?=

3

”而Y后33岳岳

從而GF=,DH=—x=,

3232

在△OOH中，OH=LBF=2OD=^,DH=J^~,

2222

63_15___________

于是cos/DO"=%=_與,sinZDOH=1---=—,

2x----x——'I2J”

22

所以二面角。―AO-C的正弦值為它.

2

p.

法二：平面ADO的法向量為々=(L0,石卜

平面ACO的法向量為%=(0,0,1),

/\勺?％A/3

所以8s伍,2=麗'm叵

~2

因為(公生”［。，無］,所以sin(%,%)=Jl-cos?(%,%)=5

故二面角AO-C的正弦值為變.

2

5.(2022?全國?新課標(biāo)回卷)如圖，直三棱柱ABC-A?C的體積為4,A^C的面積為2后.

⑴求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點，AAt=AB,平面ABC,平面A8BM，求二面角A—3D—C的正弦值.

【答案】(1)0(2)也

2

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-A4G中，設(shè)點A到平面48c的距離為/z,

VSh=h

則A-AtBC=^A,BC'~Y~=匕廠ABC=gSABC.4A=ABC-^C,=，

解得/7=應(yīng)，

所以點A到平面\BC的距離為近；

(2)取42的中點瓦連接AE,如圖，因為然=45,所以

又平面\BC1平面ABB^,平面AtBCc平面ABB^=,

且AEu平面ABBiA，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-A4G中，BBX-L平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面A3c可得AE-LBC,BBt1BC,

又AE,BB,u平面$且相交，所以BC人平面A盟人，

所以BC,R4,3月兩兩垂直，以2為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由⑴得AE=⑦，所以A41=AB=2,4^=2血，所以3c=2,

則A(0,2,0),A(。,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點0(1,1,1),

則30=(1,1,1),BA=(0,2,0),SC=(2,0,0),

m?BD=x+y+z=Q

設(shè)平面4步的一個法向量加=(尤,y,z),則

m-BA=2y=0

〃?BD=a+b+c=0

可取加=(1,0,T),設(shè)平面8￡>C的一個法向量a=(a,6,c),貝卜

n-BC=2a=0

何‘〃"尚力所以二面角一曲一。的正弦值為/一［2

可取;7=(0,則cosA1=9.

6.(2022全國?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷)如圖，P0是三棱錐P-A5c的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點.

(1)證明：OE//平面PAC；

(2)^ZABO=Z.CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)《

【詳解】(1)證明：連接8。并延長交AC于點。，連接。4、PD,

因為P0是三棱錐P-ABC的高，所以「0/平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOAvAPOB,即。4=03,所以NQ45=NO54,

又AB1AC,即/B4C=90。，所以NQ4B+/Q4￡>=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以NODA=NQW

所以AO=DO,即AO=DO=O3,所以。為BD的中點，又E為網(wǎng)的中點，所以0E//PD,

又OE<Z平面PAC,BDu平面PAC,

所以0E〃平面PAC

（2）解：過點A作上〃OP,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因為尸0=3,AP=5,所以Q4=JAP'_PO?=4,

又NOS4=NOBC=30。，所以BD=2O4=8,則AD=4,AB=473,

所以AC=12,所以。（2百,2,0）,B（473,0,0）,網(wǎng)26,2,3）,C（0,12,0）,

所以“3后1,目，

則AE=（36,1,3，AB=（473,0,0）,AC=（0,12,0）,

n?AE=3^/3x+y+—z=0

設(shè)平面AEB的法向量為〃=（x,y,z）,貝葉2,令z=2,貝1」丁二-3,x=0,所以

n?AB=4\/3x=0

n=（O,-3,2）；

-3

——r/、「iAE=36a+0+—c=0

設(shè)平面AEC的法向量為機(jī)=（a,b,c）,貝1“2

mAC=12fe=0

令〃=百，貝!Jc=—6,b=0,所以用=（6,0,-6）；

-124^/3

所以儂（/〃'\用=n-而m

-713x5/39-13

45/3

設(shè)二面角C-AE-B的大小為6,則|cos0|=|cos^ra,m

IT

所以sin6=Jl-cos20==,即二面角C—AE—3的正弦值為7T.

yt

C\

7.(2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是矩形，底面A8CD,PD=DC=1,M

為BC的中點，且PB_LAAf.

(1)求BC；

(2)求二面角&-府-3的正弦值.

【答案】(1)0;(2)畫

【詳解】(［)［方法一］:空間坐標(biāo)系+空間向量法

PD_L平面ABCD,四邊形43co為矩形，不妨以點。為坐標(biāo)原點，DA,DC、DP所在直線分別為了、

＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)3c=2°,則￡＞（0,0,0）、尸（0,0,1）、B（2a,l,0）、”,1,0）、A（2?,0,0）,

則P3=（2a,l,-1）,AM=（-a,1,0）,

PB±AM,則PHAM=-2/+l=0，解得a=變，故BC=2a=6;

2

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)3D.因為尸D_L底面ABCD,且AMu底面ABCD,所以尸

又因為PB_LAM,PBPD=P,所以AM工平面PB￡).

又BDu平面PBD,所以川0_1_皮).

從而ZADB+ZDAM=90°.

因為NM4B+NZMA/=90。，所以/M4B=NAE?.

所以-ADBs一BAM,于是最=黑.所以：8。2=1.所以BC=A/L

ABBM2

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)3。交AM于點N.

由［方法二］知4W_LDB.

ANDA7

在矩形ABC。中，有aDANs^BMN,所以——=——=2,^AN=-AM.

MNBM3

令BC=2f(t>0),因為M為BC的中點，則3加=/,￡>3=44/+1，AM=4^+1-

由SoABugnAABugoB，.，得/=3"/+15〃+1,解得/=g,所以BC=2,=也.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

設(shè)平面R4M的法向量為根=(XQi，zJ,則AM=-手，1，°］，AP=(-72,0,1),

rm,AA/---V--2x,+y,=01—//—\

由2171取再=/，可得加=(應(yīng)」,2),

m-AP=-yflxx+Z］=0

設(shè)平面的法向量為〃=伍，%，Z2)，BM=--^-,0,0,BP=^2,—,

【2J

n-BM==0,,、

由J2，取%=1,可得”=(0,1,1),

n-BP=->/2X2-y2+z2=0

cos(〃7,=J"：；=廠3打=3"^,所以，sin(m,n\=Jl-cos2(m,n\=,

因此，二面角A-PM-3的正弦值為畫.

14

【方法二】：構(gòu)造長方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長方體ABC。-4耳￡。，聯(lián)結(jié)A耳,交點記為H,由于A瓦，AB,AgLBC,所以AHL

平面A8CQ.過"作2M的垂線，垂足記為G.

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可