空間距離（5題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習（原卷版）

專題37空間距離5題型分類

彩題如工總

題型1:求點到直線的距離

題型5：求異面直線間的距離

題型2：求點到面的距離

空間距離5題型分類

題型4：求面到面的距離

題型3：求直線到平面的距離

彩和機寶庫

1.點到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為“，A是直線/上的定點，尸是直線/外一點，設亦=小則向量成在直

線/上的投影向量肢=3"）",在RCAP。中，由勾股定理，得尸°="而2_|超|2=/2一（4."）2.

AQ

2.點到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為"，A是平面a內的定點，尸是平面a外一點.過點P作平面a的垂線/,交

平面a于點Q,則n是直線I的方向向量,且點P到平面a的距離就是靜在直線/上的投影向量加的長度，

因此力病APnI\AP-n\

PQ==n

\n\I\\

空間距離

（1）點到直線的距離.

①設過點尸的直線/的單位方向向量為n,A為直線/外一點，點A到直線/的距離［='/|麗2_（麗.〃）2；

②若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離.

（2）求點面距一般有以下三種方法.

①作點到面的垂線，求點到垂足的距離；

②等體積法；

③向量法.

題型1：求點到直線的距離

1-1.（2024高三下?廣東茂名?階段練習）菱形ABCD的邊長為4,NA=60。，E為AB的中點（如圖1）,將VADE

沿直線DE翻折至處（如圖2）,連接A3,A'C,若四棱錐A'-EBCD的體積為4指，點/為的

中點，則F到直線BC的距離為（）

A而V23「屈

A?-----DR.-----?-----

224

12（2024?吉林?模擬預測）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=AD=l,CD=2,DE=EC,沿AE

將VADE折成VAPE,如圖2所示，連接P3,PC,得到四棱錐尸-ABCE.

⑴若平面PAE平面PBC=/,求證：Z//BC；

⑵若點T是PC的中點，求點T到直線EB的距離的取值范圍.

1-3.（2024高二上?山東?階段練習）已知直四棱柱-，底面為矩形，AB=1,BC=3,

⑴求證：平行四邊形45co為矩形；

⑵若E為側棱PO的中點，且平面ACE與平面AB尸所成角的余弦值為好，求點8到平面ACE的距離.

4

2-4.（2024?廣東）已知正四棱柱48。。-4與62,48=1,/141=2,E為CQ中點，尸為中點.

（1）證明：為22與CG的公垂線;

（2）求點R到面BDE的距離.

2-5.（2024高二上?貴州?期中）埃及金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，若金

字塔P-ABCD的高為3,AB=3應,點“滿足尸E=2￡B，則點。到平面他C的距離為（）

P

題型3:求直線到平面的距離

3-1.（2024高二上?全國?課后作業(yè)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABGR中，E為線段的中點,

尸為線段的中點.

4-2.（2024高二上?河北滄州?階段練習）兩平行平面a,尸分別經(jīng)過坐標原點。和點4（123）,且兩平面的一

個法向量”=（-1,0,1）,則兩平面間的距離是（）

A.72B.也C.也D.372

2

4-3.（2024高二上?全國?專題練習）直四棱柱A8CD-A耳64中，底面ABCO為正方形，邊長為2,側棱

AA=3,M.N分別為A瓦、A2的中點，E、R分別是G2,與G的中點.

⑴求證：平面AAW//平面EFBD；

⑵求平面AAW與平面EFBD的距離.

題型5:求異面直線間的距離

5-1.（2024高二上?貴州?開學考試）定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線,

公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長度,

叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長度可以看作是：分別連接兩異面直線上兩點，所得連線的向量

在公垂線的方向向量上的投影向量的長度.如圖，正方體ABCD-4耳的棱長為1，MN是異面直線AC與

G。的公垂線段，則的長為（）

A.百B-vcTD-T

52（2024高二上?山西運城期中）如圖，在三棱柱ABC-A81cl中，底面ABC是邊長為2石的正三角形,

9=或，頂點A在底面的射影為底面正三角形的中心，P,。分別是異面直線AG，A?上的動點，則P,

。兩點間距離的最小值是（）

C.屈D,近

2

5-3.（2024高二上?浙江杭州?期末）己知直三棱柱ABC-A與G中，側面的耳8為正方形.AS=BC=2,E,

產(chǎn)分別為AC和CG的中點，BFIA^.

⑴求四棱錐E-BBC歹的體積；

（2）是否存在點。在直線44上，使得異面直線的距離為1?若存在，求出此時線段。E的長；若不

存在，請說明理由.

5-4.（2024?全國?模擬預測）在平行四邊形A5CD中，AB=2,AD=1,ZSW=60°,M,N分別為直線AB,CD

上的動點，記M,N兩點之間的最小距離為d,將△ABD沿8。折疊，直到三棱錐A-BCD的體積最大時，

不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，d的最小值為.

煉習與桎升

一、單選題

1.（2024高二上?全國?課后作業(yè)）如圖所示，在長方體A3CQ-43cl2中，AA=5,A3=12,則直線4G到

6013

C.—D.——

132

2.（2024高二上?廣東東莞?階段練習）如圖,在棱長為1的正方體ABC。-AACQ1中，石為線段。2的中

點，尸為8片線段的中點，則直線FG到平面ABE的距離為（）

3.（2024高三■全國?專題練習）在空間直角坐標系Qxyz中，A（l,2,l）,B（2,l,m）,C（0,l,2）,若點C到直

線AB的距離不小于迎，則加的范圍為（）

2

A.|^1—>/2,1+A/2JB.|^1—A/2,>/2—1J

C.1—A/2,1+A/2JD.|^>/2—1,1+-\/2^

4.（2024?浙江溫州?三模）四面體Q45c滿足/4。8=/8。7=/（7。4=90,。4=1,。3=2,小7=3,點￡）在

棱OC上，且OC=3OD,點G為ABC的重心，則點G到直線AD的距離為（）

A.—B.；C.—D.-

2233

5.（2024?湖北?模擬預測）如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC/所截得到的，其中

AB=4,BC=2,CC,=3,BE=1,則點C到平面AEC7的距離為（）

4底D.叵

1111

6.（2024高二?全國?課后作業(yè)）如圖，已知ABC-ABG是側棱長和底面邊長均等于a的直三棱柱，。是側

棱CG的中點.則點C到平面人耳。的距離為（）

V2

C,也aD.-----a

42

7.（2024高二上?浙江紹興?期末）空間直角坐標系中A（0,0,0）、8（1,1』）、C（l,0,0））,。（一1,2,1）,其中Aea,

Bea,Cw/i,D^/3,己知平面a〃平面用，則平面a與平面夕間的距離為（)

V13「＞/3

IT35

8.（2024高二上?全國?專題練習）在棱長為1的正方體ABCD-ABCR中，則平面陰。與平面4G。之間的

距離為

A.3

B.

63

2百

rD.

32

9.（2024高二上?湖南邵陽?階段練習）在棱長為1的正方體ABC。-4月￡。中，瓦尸分別是的中點,

則直線BD到平面EFD｝用的距離為（

1

Bc.立D.-

-I43

10.（2024高二上?遼寧沈陽,階段練習）在長方體ABCD-A4CQ］中，AB=1,BC=2,M=3,則異面

直線AC與3G之間的距離是（）

A.@B.且C.顯D.-

5767

IL（2024?北京石景山?模擬預測）如圖，已知正方體ABC。-A/SGQ的棱長為2,點尸為線段8G上的動

點，則點尸到直線AC的距離的最小值為（）

A.1B.立C.述D.逅

234

二、多選題

12.（2024高二上?吉林長春?期中）如圖，正方體48CQ-A耳6。的棱長為2,E為線段中點，F(xiàn)為線

段8月中點，貝I（）

A.點4到直線用E的距離為撞B.直線AE到直線FG的距離為2

3

C.點8到平面4月E的距離為&D.直線尸G到平面的距離為:

13.（2024?遼寧朝陽?一模）如圖，在棱長為1正方體ABCD-ABGR中，股為瓦￡的中點，￡為4G與。M

的交點，產(chǎn)為與C4的交點，則下列說法正確的是（）

A.4G與。啰垂直

B.E尸是異面直線AG與B。的公垂線段,

C.異面直線AC與BC所成的角為m

D.異面直線AG與4c間的距離為更

3

三、填空題

14.（2024高二上?北京?期中）如圖，在長方體ABCO-A耳中，AAl=AB=2,AO=1,點F,G分別

是AB,CG的中點，則點Q到直線GB的距離為.

15.（2024高二上,上海虹口?階段練習）已知是棱長為1的正方體,則平面A瓦A與平面

的距離為.

16.（2024高二上,黑龍江齊齊哈爾?期中）如圖，在長方體ABC。-A4G。中，A\=AB=1,BC=1,E、

尸、目分別是AB、8、44的中點，則直線EC到平面AW的距離為.

17.（2024?福建?一模）已知空間中三點A（l,l,b）,3（1,-l,2）,C（0,0,0）,則點A到直線BC的距離為.

18.（2024高三?全國?專題練習）如圖，已知正方體ABC。-A冉G。的棱長為1，則線段A?上的動點P到

直線AG的距離的最小值為

19.（2024高二上?重慶沙坪壩?期中）己知直線A8過點A（3,2,0）,它的一個方向向量為根=（0,0,1）,則點

C（3,0,l）到直線AB的距離為.

20.（2024高二?全國?課后作業(yè)）正方體A8CD-4&GQ的棱長為4,M,N,E,F分別為45,AiBi,C1D1,

的中點，則平面4WN與平面EFBD的距離為.

21.（2024高二上?貴州遵義?期中）在空間直角坐標系。孫z中,A（l,2,l）,B（2,l,m）,C（0,l,2）,若點C到

直線AB的距離不小于畫，寫出一個滿足條件的切的值：.

2

22.（2024高二上?廣東佛山?期中）如圖，正方體ABCO-ABCIR的棱長為2,E為線段。2的中點，F(xiàn)為

線段BBt的中點，則直線FC,到平面ABtE的距離為.

23.（2024高二下?全國?單元測試）在直三棱柱ABC-A14G中，=AB=BC=3,AC=2,。是AC的

中點，則直線到平面48。的距離為

24.（2024高二上?全國?專題練習）在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1,且平面平

面ABEF,活動彈子M,N分別在正方形對角線AC,BF上移動,若CM=3N,則長度的最小值為

25.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，底面ABCD為正方形，

且叢=AB=2,歹為棱PD的中點，點M在Bl上，且PA/=2AM,則的中點E到直線MF的距離是

26.（2024高二?全國?課后作業(yè)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，ACBD=O,底面ABCD為菱形，邊長為

2,ZA5C=60°,尸平面ABC。，異面直線6P與8所成的角為60。，若E為線段0c的中點，則點E到

直線BP的距離為.

27.（2024高三上?福建莆田?期中）已知空間中三點4（2,0,0）,B（0,2,0）,C（2,2,2）,則點C到直線AB的

距離為.

28.（2024高二?全國?課后作業(yè)）如圖，多面體A8C-4瓦￡是由長方體一分為二得到的，M=2>AB=BC=\,

NABC=90。，點。是8月中點，則異面直線與BC的距離是.

29.（2024高二?全國?單元測試）如圖，在正方體A8CO-AgGA中，AB=1,M,N分別是棱AB,CC,的

中點，E是的中點，則異面直線AM,EN間的距離為.

30.（2024高三?寧夏銀川?階段練習）在棱長為。的正方體ABC。-A8cA中，點〃是線段DG上的動點,

則M點到直線A2距離的最小值為

31.（2024高三下?山西太原?階段練習）在如圖所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1,且平面ABCQ1

平面ABE尸，活動彈子分別在正方形對角線AC,所上移動，則長度的最小值是.

32.(2024高二?全國?課后作業(yè))已知點AQ,0,0),B(0,l,0),C(0,0,2),P(1-1,0),

則過點尸平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離為.

33.（2024高二上?四川綿陽?階段練習）已知正三棱柱ABC-A旦G的所有棱長均為2,。為線段C6上的動

點，則A到平面4比）的最大距離為.

34.（2024?廣東廣州?一模）在棱長為1的正方體ABCD-A與GA中，點區(qū)廠分別是棱BC,CG的中點，P是

側面AD24上的動點.且PC"/平面AEF,則點P的軌跡長為.點尸到直線AF的距離的最小值

為.

35.（2024高二上?浙江寧波?期末）如圖，正四棱錐P-ABCD的棱長均為2,點E為側棱尸。的中點.若點

M,N分別為直線A3,CE上的動點，則MN的最小值為.

四、解答題

36.（2024高二上?廣東佛山?階段練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A4GA中，E為線段。2的中

點，B為線段2月的中點.

⑴求點4到直線與E的距離；

（2）求直線FC,到直線AE的距離；

⑶求直線FG到平面ABF的距離.

37.（2024高二?湖南?課后作業(yè)）已知正方體ABCD-ABCiR的棱長為4,設M、N、E、尸分別是

AA，A牛D￡,B￡,的中點，求平面AMN與平面EEBD的距離.

38.（2024高二上?重慶?期中）如圖正方體ABC。-A旦GA的棱長為2,E是棱4G的中點，過AjE的平面

與棱2月相交于點尸

⑴求證：歹是B片的中點；

（2）求點D到平面ADXE的距離.

39.（2024高二上?廣東東莞?階段練習）如圖，P、。分別是正四棱柱上、下底面的中心，E

是A8的中點，AB=&4=20.如圖建立空間直角坐標系.

⑴求平面PBC的法向量；

⑵求點O到平面PBC的距離.

40.（2024高二?陜西寶雞?期末）如圖，已知菱形A3CO和矩形ACM所在的平面互相垂直，AB=AF=2,

ZADC=60°

⑴求直線BF與平面ABCD的夾角；

⑵求點A到平面FBD的距離.

41.（2024?福建泉州?模擬預測）如圖所示，在四棱錐P-ABCZ）中，側面一K4D是正三角形，且與底面ABCD

垂直，3C〃平面上4D,BC=^AD=1,E是棱PD上的動點.

p

B

C

⑴當E是棱尸。的中點時，求證：CE〃平面7MB；

⑵若AB=1,ABLAD,求點8到平面ACE距離的范圍.

42.（2024高二上?廣東東莞?階段練習）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-AgG。中，E為線段4耳的中

點，尸為線段AB的中點.

⑴求平面AEG的法向量;

⑵求直線FC到平面AEG的距離.

43.（2024?貴州貴陽?一模）底面為菱形的直棱柱ABCO-A46。中，E、F分別為棱4耳、AR的中點.

Di

⑴在圖中作一個平面。，使得BDua,且平面尸〃tz.（不必給出證明過程，只要求作出a與直棱柱

ABCD-^QD,的截面）;

（2）若A3=例=2,ZBAD=60,求平面AER與平面a的距離d.

44.（2024高二?湖南?課后作業(yè)）在棱長為3的正方體ABC。-44Goi中，E、尸分別是2瓦、?？诘闹悬c,

求平面ADE與平面4cl尸之間的距離.

45.（2024高二上洞南,期中）在」.ABC（圖1）中，3C=3,NC=45。,AD為BC邊上的高，且滿足DC=23。，

現(xiàn)將△AB。沿A少翻折得到三棱錐A-3CD（圖2）,使得二面角B-AD-C為60。.

圖1圖2

（1）證明：5C1平面MD；

⑵在三棱錐A—BCD中，M為棱CO的中點，點尸在棱AC上，且AP=2Ac[o<4<；）,若點C到平面PBM

的距離為主叵，求2的值.

13

46.（2024?江蘇南京?二模）在梯形ABCD中，ABCD,?D90?,AB=2亞,AD=DC=6,如圖L現(xiàn)

將△ADC沿對角線AC折成直二面角尸-AC-3,如圖2,點M在線段5P上.

⑴求證：A