廣東深圳鹽田區(qū)2024年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市鹽田區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）隋朝時期的青瓷高足盤是湖北省博物館重要館藏文物之一，具有極高的歷史價值、文化價值.如

圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列說法正確的是（）

A.主視圖與左視圖相同B.主視圖與俯視圖相同

C.左視圖與俯視圖相同D.三種視圖都相同

2.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+尿-10=0的一個根為2,則。的值為（）

A.-3B.2C.3D.7

3.（3分）如圖，在矩形4BCD中，對角線AC,BD交于點、O.若/4OB=50°,則的度數(shù)為（）

A

B

A.65°B.50°C.25°D.20°

4.（3分）如圖，帶有刻度的直尺結(jié)合數(shù)軸作圖，已知圖中過點B和8的兩條線段（兩條線段的另一端在

刻度尺上分別對應(yīng)3和5）相互平行.若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-2且點A與刻度尺上的0刻度重合,

則AB的長度是（）

A.3B.4C.5D.6

5.（3分）寬與長的比等于與Lgo.618）的矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感?世

界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，如古希臘的帕提儂廟等.如

圖，帕提儂神廟平面圖的長約為30米，則它的寬約為（）

A.12.36米B.18.54米C.21.21米D.48.54米

6.（3分）七巧板是一種拼圖玩具，體現(xiàn)了我國古代勞動人民的智慧.如圖，是一個由“七巧板”地磚鋪

成的地板，一個小球在該地板上自由地滾動，并隨機(jī)停留在某塊地傳上，已知小球停在任意一點的可能

性都相同，那么小球停在4號地磚上的概率是（）

B.-1C.-1D.-1

468

7.（3分）如圖，△ABC與是位似圖形，點。是位似中心.若。4=2AD,△ABC的周長為4,則

△DEF的周長為（）

8.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3?4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正

根）的幾何解法.以方程7+5尤-14=0即x（x+5）=14為例說明，記載的方法是:構(gòu)造如圖面積是（尤+尤+5）

2的大正方形.同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X14+52=81,因此x=2.則

在下列四個構(gòu)圖中，能正確說明方程3x-10=0解法的構(gòu)圖是（

Xx+5

二、填空題（本大題有5小題，每小題3分，共15分）

9.（3分）已知生-2,則上3的值為.

b3a

10.（3分）為迎接六一兒童節(jié)到來，某商場規(guī)定凡是購物滿88元以上都可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會.如

圖Q）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向哪個區(qū)域顧客就獲得對應(yīng)的獎品.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤若干次，其中指針

落入優(yōu)勝獎區(qū)域的頻率如圖（b）所示，則轉(zhuǎn)盤中優(yōu)勝獎區(qū)域的圓心角近似為度.

11.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+2x+Z=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范圍是.

12.（3分）圖（a）是燕尾夾，圖（6）是燕尾夾簡化的示意圖，夾臂AC,8?？煞謩e繞點M,N旋轉(zhuǎn)，不

考慮夾臂的粗細(xì)，且此時夾嘴閉合（即C,。兩點重合），AM=BN=20mm,CM=DN=15mm,MN=

8mm.如圖（c）,當(dāng)夾子完全張開時（即A,B兩點重合），夾嘴間的距離CO的長為mm.

13.（3分）如圖，在正方形ABCD中，￡是C。邊上一點且滿足NCBE=30°,將△BCE沿BE折疊得到

△BC'E,CE與對角線3。交于點F,則見的值為

BF

三、解答題（本大題有7小題，共61分）

14.（6分）解一元二次方程：

（1）X2+2X=0；

（2）x2-6A-391=0.

15.（7分）化學(xué)實驗課上，楊老師帶來了Mg（鎂）、M（鋁）、Z〃（鋅）、Cu（銅）四種金屬材料及其元

素卡片（如圖，除正面信息不同外，其余均相同），將四張元素卡片背面朝上洗勻，讓學(xué)生隨機(jī)抽取一

張，然后用抽取到的金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣.（根據(jù)金屬活動順序可知：Mg、Al.Zw可以置換出氫

氣，而C"不能置換出氫氣）

（1）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，抽到“4”的概率為;

（2）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，記下金屬后，放回洗勻，小南再從中隨機(jī)抽取一張，請用列表或畫

樹狀圖的方法求小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率.

MgAlZnCu

3。鋅2。銅

12鎂13鋁

MgAlZnCu

16.（8分）如圖，在平行四邊形中，/BDC=90°,E是AD邊上一點，延長BE與的延長線

交于點尸，連接AF.

（1）請從下列條件中選擇一個能證明四邊形A3。尸是矩形的條件，并寫出證明過程；

?AE=DE；?BF=BC；?AE=BE.

（2）若四邊形是矩形，且AB=3,AD=5,求四邊形A2CF的面積.

A

17.(8分)已知甲商品每件的進(jìn)價為20元，售價為每件40元.

(1)若商場計劃對甲商品降價促銷，預(yù)備從原來售價的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價后將售價降為每件32.4

元.若甲商品兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

(2)經(jīng)調(diào)查，甲商品每降價1元時，每月可多銷售10件.已知甲商品在原售價為每件40元時的月銷

售量為100件.若商場希望甲商品該月的獲利為2250元,請問甲商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)降價多少元？

18.(10分)綜合與實踐

背景晚上小明在廣場上散步，如圖(a)所示，AB,C。是廣場上的兩根電線桿，

小明站在點￡處，在兩盞路燈2,D的照射下，地面上形成了他的兩個影子

EH,EG.

素材1兩盞路燈5,。的高均為10根，兩盞路燈相距40加，小明的身高E77為1.5相.

素材2A,C,E,G,H在同一平面內(nèi)，電線桿和人均垂直于地面.

問題提出小明在廣場中走動時(始終保證影子EG,EH不為0),兩個影子端點間的距

離GH是否會發(fā)生改變？

問題解決

任務(wù)1計算(1)如圖(b),當(dāng)小明影子EG長為4.5加時，此時小明到電線桿CD的距離

EC為多少？

任務(wù)2說理(2)小明在廣場上走動的過程中兩個影子端點間的距離G8是否會改變？若

G”的長不變，請求出G”的長；若GH的長度發(fā)生變化，請說明理由.

任務(wù)3拓展(3)小明在廣場的某個位置向上跳起再落下，在該過程中最長達(dá)到10如

請直接寫出小明從起跳到落下的過程中，頭頂距離地面的最大高度.

(a)(b)

19.(11分)綜合與探究

【定義】我們把關(guān)于尤的一元二次方程o?+6x+c=0與c?+bx+a=O(acWO,aWc)稱為一對“友好方

程”.

【示例】如27+7尤-3=0的“友好方程”是-37+7尤+2=0.

(1)寫出一元二次方程12x2_7x+l=0的“友好方程”是.

【探究】

(2)已知一元二次方程12x2-7x+l=0的兩根為垢,，?1,請求出它的“友好方程”的兩個根.

X1324

【猜想工

(3)當(dāng)△=信-4ac20時，方程辦的兩根尤1,X2與其"友好方程"。/+阮+。=0的兩根陽，

冗4之間存在的一種特殊關(guān)系為.(QCWO,

【證明】

+22

V方程a^+bx+c=O的兩根為X,=-bVb-4ac；-b-Vb-4ac_；

12aX22a

方程。/+法+。=0的兩根為x0=-bNb2-4ac,①；

X32c

(4)請完成上述填空①，并補(bǔ)全證明過程.(備注：證明一組關(guān)系即可)

【拓展】

1

(5)已知關(guān)于x的方程20247+云-c=0的兩根是xi=-1,?=請利用上述結(jié)論，直接寫出

X22024

關(guān)于x的方程c(x-1)2-bx+b=2024的兩根.

20.(11分)綜合與探究

如圖，在平行四邊形ABC。中，E,P分別是邊BC,CC上的點，AE與BE交于點P.

(1)【特例感知】

如圖(a),若四邊形ABCD是正方形，當(dāng)ZAPB=ZD時，則線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【深入探究】

如圖(b),若四邊形ABCD是菱形，且則線段AE與8尸滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明

如圖(c),若四邊形ABCO是菱形，E為BC的中點，/APB=/C=60°,請求出笆■的值;

BF

(4)【聯(lián)系拓廣】

如圖(.d),在平行四邊形ABCD中，4D=3,AB=4,ZC=60°,尸是CD邊的中點，當(dāng)點E在直線

BC上運動，且直線AE與直線3尸所夾的銳角為60°時，請直接寫B(tài)E的長.

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市鹽田區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）隋朝時期的青瓷高足盤是湖北省博物館重要館藏文物之一，具有極高的歷史價值、文化價值.如

圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列說法正確的是（）

A.主視圖與左視圖相同B.主視圖與俯視圖相同

C.左視圖與俯視圖相同D.三種視圖都相同

【分析】根據(jù)三視圖的定義求解即可.

【解答】解：這個幾何體的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同.

故選：A.

2.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+6x-10=0的一個根為2,則b的值為（）

A.-3B.2C.3D.7

【分析】把x=2代入方程中，求解即可.

【解答】解：：22+2b-10=0,

:.b=3.

故選：C.

3.（3分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,3。交于點O.若NAO2=50°,則NAD3的度數(shù)為（）

A

B

A.65°B.50°C.25°D.20°

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：；四邊形ABO）是矩形，

：.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

VZAOB=ZOAD+ZODA=50°,

/.ZADB=25°.

故選：C.

4.（3分）如圖，帶有刻度的直尺結(jié)合數(shù)軸作圖，已知圖中過點B和8的兩條線段（兩條線段的另一端在

刻度尺上分別對應(yīng)3和5）相互平行.若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-2且點A與刻度尺上的0刻度重合,

【分析】利用數(shù)軸知識和三角形相似的性質(zhì)解答.

【解答】解：???由題意可知線段平行，

???可以找到相似三角形，通過三角形相似可以得到相似比的等式,

3-AB

?8-（-2）'

-3=-A-B-,

510

AB=6.

故選：D.

5.（3分）寬與長的比等于近二L（=o,618）的矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感?世

界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，如古希臘的帕提儂廟等.如

圖，帕提儂神廟平面圖的長約為30米，則它的寬約為（

C.21.21米D.48.54米

【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算，即可解答.

【解答】解：設(shè)它的寬為x米，

由題意得：匕_20.618,

30

解得：了七18.54,

它的寬約為18.54米，

故選：B.

6.（3分）七巧板是一種拼圖玩具，體現(xiàn)了我國古代勞動人民的智慧.如圖，是一個由“七巧板”地磚鋪

成的地板，一個小球在該地板上自由地滾動，并隨機(jī)停留在某塊地質(zhì)上，已知小球停在任意一點的可能

性都相同，那么小球停在4號地磚上的概率是（）

2468

【分析】用4號地磚的面積除以總面積即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)圖形可知，一個由“七巧板”地磚鋪成的地板平均分成了16份，其中4號地磚的面

積為16份中的2份，

那么小球停在4號地磚上的概率是工=_1.

168

故選：D.

7.（3分）如圖，△ABC與△DEP是位似圖形，點。是位似中心.若。4=2AD,△ABC的周長為4,則

△DEF的周長為（）

【分析】結(jié)合題意可得△ABC與的位似比為2：3,則△ABC與的周長比為2：3,進(jìn)而

可得答案.

【解答】解："：OA=2AD,

：.OA：OD=2：3.

「△ABC與是位似圖形，點O是位似中心,

.?.△ABC與△。所的位似比為2：3,

.?.△ABC與△QEF的周長比為2：3.

VAABC的周長為4,

.?.△OEF的周長為6.

故選：A.

8.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3?4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正

根）的幾何解法.以方程/+5尤-14=0即x（x+5）=14為例說明，記載的方法是:構(gòu)造如圖面積是（尤+尤+5）

2的大正方形.同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X14+52=81,因此x=2.則

在下列四個構(gòu)圖中，能正確說明方程3x-10=0解法的構(gòu)圖是（）

【分析】根據(jù)題意，畫出方程7-3x-10=0,即x（x-3）=10的拼圖過程，再由面積之間的關(guān)系解

答即可.

【解答】解：方程/-3x-10=0,即x（x-3）=10的拼圖如圖所示:

中間小正方形的邊長X-（X-3）=3,其面積為9,

大正方形的面積：（x+x-3）2=4尤（%-3）+9=4X10+9=49,其邊長為7,

因此，C選項所表示的圖形符合題意.

故選：C.

二、填空題（本大題有5小題，每小題3分，共15分）

9.（3分）已知生上，則且3的值為

b3a—2—

【分析】利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答.

【解答】解：..?曳=2,

b3

?,.設(shè)a=2左，b=3k,

-b-a=3k-2k=k=1

,~2k3c萬，

故答案為：—■

2

10.（3分）為迎接六一兒童節(jié)到來，某商場規(guī)定凡是購物滿88元以上都可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會.如

圖Q）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向哪個區(qū)域顧客就獲得對應(yīng)的獎品.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤若干次，其中指針

落入優(yōu)勝獎區(qū)域的頻率如圖（b）所示，則轉(zhuǎn)盤中優(yōu)勝獎區(qū)域的圓心角近似為72度.

【分析】利用頻率估計概率，可知當(dāng)〃很大時，頻率將會接近其概率，所以可估計指針落入優(yōu)勝獎區(qū)域

的概率，用3600乘概率即可得出答案.

【解答】解：由圖（6）可估計指針落入優(yōu)勝獎區(qū)域的概率為0.2,

轉(zhuǎn)盤中優(yōu)勝獎區(qū)域的圓心角的度數(shù)近似為：0.2X360。=72。.

故答案為：72.

11.（3分）關(guān)于尤的一元二次方程/+2x+Z=0有兩個不相等的實數(shù)根，則1的取值范圍是5<1.

【分析】由方程有兩個不等實數(shù)根可得出關(guān)于左的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論.

【解答】解：由已知得：△=4-4%>0,

解得：k<\.

故答案為：％<1.

12.（3分）圖Q）是燕尾夾，圖（6）是燕尾夾簡化的示意圖，夾臂AC,8D可分別繞點M,N旋轉(zhuǎn)，不

考慮夾臂的粗細(xì)，且此時夾嘴閉合（即C,。兩點重合），AM=BN=20mm,CM=DN=15mm,MN=

8mm.如圖（c）,當(dāng)夾子完全張開時（即A,B兩點重合），夾嘴間的距離CD的長為14mm.

【分析】連接CD根據(jù)已知可證△AMNS/V1C。，然后利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：連接CD,如圖,

AM—BN=2Qmm,CM=DN=15mm,MN=8mm,

.AMAN_4

ACAD7

又ZA=ZA,

AAMN^AACD,

???M一N,-4—,

CD7

ACD=—=14Grnn),

4

；?夾嘴間的距離CD為14m加

故答案為：14.

13.（3分）如圖，在正方形ABCO中，E是CD邊上一點且滿足/C8E=30°,將ABCE沿BE折疊得到

ABC'E,CE與對角線8。交于點F,則①的值為__在二1

BF-2

D.___弓.....C

【分析】設(shè)CE=m,延長EC'、BA交于點H,由正方形的性質(zhì)得NC=/ABC=90°,因為NC2E=

30°,所以BE=2CE=2m,ZEBH=6Q°,則CO=CB=求得。E=（氏-1）機(jī)，由折疊得/

BEH=/BEC,而NEBH=/BEC,所以/BEH=/EBH,則①/=E8,所以42即是等邊三角形，則

BH=BE=2m,再證明則［甲=蟲-1,于是得到問題的答案.

【解答】解：設(shè)CE=m,延長EC'、BA交于點H,

:四邊形ABC。是正方形，

：.ZC=ZABC=9O°,AB//CD,

"：ZCBE=3Q°,

：.BE=2CE=2m,ZEBH=ZABC-ZCBE=90°-30°=60°,

???CD=CB=VBE2-CE2=V(2rn)2-m2=^3m,

'.DE—CD-CE—\/~2m-m—(^/"§一1)m,

由折疊得/BEC,

'：NEBH=ZBEC,

：.ZBEH=ZEBH,

:?BH=EH,

???AS即是等邊三角形，

：?BH=BE=2m,

■:DE〃BH,

：.ADFE^ABFH,

?DF=dl)m=E-l.

BF2m2

故答案為：二1.

2

三、解答題（本大題有7小題，共61分）

14.（6分）解一元二次方程：

（1）X2+2X=0；

（2）7-6x-391=0.

【分析】（1）利用因式分解法求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【解答】解：（1）/+2x=0,

x(x+2)=0,

.\x—0或x+2=0,

*-0?X2~~2；

(2)x2-6x-391=0,

x2-6x=391,

x2-6x+9=391+9,即(x-3)2=400,

Ax-3=±20,

??.xi=23,X2=-17.

15.（7分）化學(xué)實驗課上，楊老師帶來了Mg（鎂）、AI（鋁）、Z〃（鋅）、Cu（銅）四種金屬材料及其元

素卡片（如圖，除正面信息不同外，其余均相同），將四張元素卡片背面朝上洗勻，讓學(xué)生隨機(jī)抽取一

張，然后用抽取到的金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣.（根據(jù)金屬活動順序可知：Mg、Al,可以置換出氫

氣，而Ca不能置換出氫氣）

（1）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，抽到“4”的概率為1;

----J.---

（2）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，記下金屬后，放回洗勻，小南再從中隨機(jī)抽取一張，請用列表或畫

樹狀圖的方法求小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率.

MgAlZnCu

12鎂13鋁3。訐鋅2。F銅

MgAlZnCu

【分析】(1)由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到“4”的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答

案.

(2)列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的結(jié)果數(shù)，再利用概

率公式可得出答案.

【解答】解：(1)由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到“A/”的結(jié)果有1種，

小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，抽到“4”的概率為工.

4

故答案為：1.

4

(2)列表如下:

MgAlZnCu

Mg(Mg,Mg)(Mg,AD(Mg,Z〃)(Afg,Cu)

AlCAI,Mg)(Al,AD(Al,Zn)(Al,Cu)

Zn(.Zn,Mg)(Z”,AD(Zn,Zn)(Z小Cu)

Cu(CM,Mg)CCu,Al)(Cw,Zn)(Cu,Cu)

共有16種等可能的結(jié)果，其中小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的結(jié)果有：(Mg,Mg),(Mg,

Al),(Mg,Zn),(Al,Mg),(Al,AD,(Al,Zn),(Zn,Mg),(Zn,AD,(Zn,Zn),共9種，

小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率為

16

16.(8分)如圖，在平行四邊形ABCD中，ZBDC=90°,E是AO邊上一點，延長BE與CD的延長線

交于點F,連接AF.

(1)請從下列條件中選擇一個能證明四邊形ABDE是矩形的條件，并寫出證明過程；

@AE=DE；②BF=BC；③AE=BE.

(2)若四邊形是矩形，且AB=3,AD=5,求四邊形ABCE的面積.

A

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得CD,則NABEn/DPE,而/AEB=NDEF,AE=DE,即可

根據(jù)“A4S”證明絲△QFE,WAB=DF,則四邊形ABDP是平行四邊形，由/BOC=90°,得

/BDF=90°,則四邊形ABDF是矩形；

(2)由AB=OF=CO=3,得CF=6,根據(jù)勾股定理求得8。=而匹后=4,根據(jù)梯形的面積公式

即可求得答案.

【解答】解：(1)選①AE=DE.

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,

ZABE=ZDFE,

在△ABE和△。尸E中，

rZABE=ZDFE

'ZAEB=ZDEF>

AE=DF

:.AABE咨ADFE(AAS),

：.AB^DF,

,JAB//DF,AB=DF,

，四邊形ABDF是平行四邊形，

VZB￡>C=90°,

:.NBDF=90°,

四邊形AB。尸是矩形；

(2)解：?..四邊形ABDP是矩形，

：.AB=DF,

V四邊形ABDF是平行四邊形，

：.AB=CD,

：.AB^DF=CD=3,

：.CF=DF+CD=3+3=6,

在RtZkBDC中，BC=AD=5,CD=3,

SD=7BC2-CD2=A/52-32=4,

,JAB//CF,

：.S=-BD(AB+CF)=_X4X(3+6)=18,

22

四邊形ABC尸的面積S等于18.

17.(8分)已知甲商品每件的進(jìn)價為20元，售價為每件40元.

(1)若商場計劃對甲商品降價促銷，預(yù)備從原來售價的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價后將售價降為每件32.4

元.若甲商品兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

(2)經(jīng)調(diào)查，甲商品每降價1元時，每月可多銷售10件.已知甲商品在原售價為每件40元時的月銷

售量為100件.若商場希望甲商品該月的獲利為2250元,請問甲商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)降價多少元？

【分析】(1)設(shè)這個降價率為x,根據(jù)從原來售價的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價后將售價降為每件32.4元,

列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

(2)設(shè)甲商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)降價y元，則每月銷售量為(100+10%)件，根據(jù)商場希望甲商品該

月的獲利為2250元，列出一元二次方程，解方程即可.

【解答】解：(1)設(shè)這個降價率為X,

依題意得：40(1-x)2=32.4,

解得：xi=0.1=10%,X2=1.9(不符合題意，舍去)，

答：這個降價率為10%;

(2)設(shè)甲商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)降價y元，則每月銷售量為(100+10%)件，

依題意得：(40-20-y)(100+10y)=2250,

整理得：7-10y+25=0,

解得:yi=y2=5,

答：甲商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)降價5元.

18.(10分)綜合與實踐

背景晚上小明在廣場上散步，如圖(。)所示，AB,C。是廣場上的兩根電線桿，

小明站在點￡處，在兩盞路燈8,。的照射下，地面上形成了他的兩個影子

EH,EG.

素材1兩盞路燈3,￡＞的高均為10加，兩盞路燈相距40加，小明的身高EF為1.5m.

素材2A,C,E,G,H在同一平面內(nèi)，電線桿和人均垂直于地面.

問題提出小明在廣場中走動時(始終保證影子EG,EH不為0),兩個影子端點間的距

離GH是否會發(fā)生改變？

問題解決

任務(wù)1計算(1)如圖(6),當(dāng)小明影子EG長為45%時，此時小明到電線桿CD的距離

EC為多少？

任務(wù)2說理(2)小明在廣場上走動的過程中兩個影子端點間的距離G8是否會改變？若

G”的長不變，請求出G”的長；若GH的長度發(fā)生變化，請說明理由.

任務(wù)3拓展(3)小明在廣場的某個位置向上跳起再落下，在該過程中GH最長達(dá)到10如

請直接寫出小明從起跳到落下的過程中，頭頂距離地面的最大高度.

(a)(b)

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例得出.??典里烏=里，進(jìn)而得出四二EF然后由GE

AHARGCCDCEAB-EF

的長度即可求出答案.

(2)由(1)得得里烏=2_,結(jié)合NHEG=NA￡C證得△HEGs^AEC,由相似的性質(zhì)得出

AECE17

竺=_!,然后根據(jù)AC^40m求出G8的長度為定值.

ACAE17

(3)由(2)得知史=_^一進(jìn)而G8=T里一，即可根據(jù)所的最大值求出G8的最大值.

ACAB-EF-1

EF

【解答】解：(1)根據(jù)題意，EF//AB//CD,AB=CD.

.EHEFGEEF

AHABGCCD

?EH=GE=EF=15=3

"AEAB-EF10-1.5Tz'

當(dāng)EG=45〃時，CE=17EG=25.5m.

3

故小明到電線桿CD的距離EC為255m.

(2)由(1)得理_/^=.EF_=且.

AECEAB-EF17

又；NHEG=NAEC,

：.AHEGS/XAEC,

,.--G-H-s?EH11h3'?

ACAE17

又?.?AC=40機(jī)，

：.GH=AC-3-=

1717

故GH的長度不會改變，G”=3加.

17

(3)由(2)可知8旦=EF

ACAB-EF

EFEF

當(dāng)小明跳起時，EF變大,(也.-1)變小，GH變大，當(dāng)小明跳到最高點時，GH最大長度為10%.

EF

40

■——1

EF

解得E「=2/n.

故從起跳到落下的過程中，頭頂距離地面的最大高度為2%

19.(11分)綜合與探究

【定義】我們把關(guān)于x的一元二次方程與c/+6x+a=0(ac#0,a#c)稱為一對“友好方

程”.

【示例】如27+7x-3=0的“友好方程”是-37+7尤+2=0.

(1)寫出一元二次方程12?-7x+l=0的“友好方程”是%2-7x+12=0.

【探究】

(2)已知一元二次方程12?-7x+l=0的兩根為x=1,xc」，請求出它的“友好方程”的兩個根?

X1324

【猜想工

(3)當(dāng)△=廬-4<ac20時，方程的兩根xi,X2與其"友好方程"星+云+^-。的兩根無3,

網(wǎng)之間存在的一種特殊關(guān)系為互為倒數(shù).QcWO,a#c)

【證明】

方程右+法+。=0的兩根為X,=fNb2-4ac,-b-Vb2-4ac

X12aX22a

方程c/+6x+a=0的兩根為xr2

=-bWb2-4ac,①%4=-b-Vb-4ac

X32c2c

(4)請完成上述填空①，并補(bǔ)全證明過程.(備注：證明一組關(guān)系即可)

【拓展】

(5)已知關(guān)于x的方程20247+6尤-c=0的兩根是皿=-1,Xn=-A-,請利用上述結(jié)論，直接寫出

22024

關(guān)于x的方程c(x-1)2-bx+b=2024的兩根.

【分析】(1)根據(jù)“友好方程”的定義寫出對應(yīng)的友好方程即可；

(2)因式分解法求出每個方程的兩個實數(shù)根，原方程與“友好方程”的根得出規(guī)律；

(3)再用求根公式去驗證即可；

(3)先根據(jù)“友好方程”的根的特點得出-c/+bx+2024=0,即c7-法-2024=0的兩根為xi=-1,

X2=2O24,將待求方程變形為C(x-1)2-b(x-1)-2024=0,把x-1看作整體即可求解.

【解答】解：(1)一元二次方程127-7x+l=0的“友好方程”為：/-7尤+12=0,

故答案為：x2-7x+12=0；

(2)x2-7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

解得xi=3,%2=4；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，猜想當(dāng)△=b2-4砒，0時，cuc2+bx+c=0的兩根xi、犯與其“友好方程"cf+fcv+a

=0的兩根X3、心之間存在的一種特殊關(guān)系為互為倒數(shù)，(〃cW0,

故答案為：互為倒數(shù)；

(4)證明如下：

2

...方程a?+a+c=0的兩根為x,「b+'M%'-4ac,-b-\'b-4ac；

12a22a

"友好方程"c/+6x+a=0的兩根為x4=_bHb2_4ag,

x32c2c

22222

?r..r.--b+Vb-4ac.-b-Vb-4acb-(b-4ac)4ac},-b-Vb-4ac.

2a2c4ac4ac2a

-b+db：-4ac=b：-（b?-4ac）=4ac=]

2c4ac4ac

即原方程的兩根與“友好方程”的兩根互為倒數(shù),

故答案為：x4=-b7L7ac；

2c

(5)關(guān)于x的方程2024x2+bx-c=0的兩根是xi=-1,~」，

22024

2

...該方程的“友好方程”-c/+bx+2024=0,即ex-b尤-2024=0的兩根為xi=-1,x2=2024,

貝1Jc(x-1)2-bx+b=2024,BPc(x-1)2-Z?(x-1)-2024=0中x-1=-1或x-1=2024,

該方程的解為xi=0,&=2025.

20.(11分)綜合與探究

如圖，在平行四邊形4BC。中，E,F分別是邊BC,C。上的點，AE與BF交于點P.

(1)【特例感知】

如圖(a),若四邊形ABCD是正方形，當(dāng)時，則線段AE與8尸的數(shù)量關(guān)系是AE=BF；

(2)【深入探究】

如圖(b),若四邊形ABC。是菱形，且則線段AE與8尸滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明

如圖(c),若四邊形ABCO是菱形，E為BC的中點，ZAPB=ZC=600,請求出旭的值；

BF

(4)【聯(lián)系拓廣】

如圖(d),在平行四邊形ABCD中，AD=3,AB=4,ZC=60°,尸是CD邊的中點，當(dāng)點E在直線

BC上運動，且直線AE與直線所夾的銳角為60°時，請直接寫B(tài)E的長.

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得乙再由ASA證明△A2E四△BCF即可得到

(2)兩種方法：通過輔助線構(gòu)造△AEMgZ\BFC(ASA)證得AE=B凡或通過輔助線構(gòu)造

BCFCASA)證得AN=BR再由AN=AE即可證明結(jié)論.

(3)通過延長AB構(gòu)造△EAGS/SPBC,進(jìn)而得到迺望，結(jié)合AG=WA3求出答案.

BFBC2

(4)先通過作輔助線R7求出2尸的長度，然后證明△A2/SZ\BFC,由膽求出A/和8/,進(jìn)

BFBCFC

MSAAGZ為等邊三角形得到AG和GB的長度，再證明△BAES