中考數(shù)學一輪復習考點題型歸納與分層訓練專題19 等腰三角形(原卷版)

專題19等腰三角形【專題目錄】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法技巧2：巧用特殊角構造含30°角的直角三角形技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用【題型】一、等腰三角形的定義【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度【題型】三、根據(jù)三線合一求解【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長【題型】六、等腰三角形性質與判定的綜合【題型】七、等邊三角形的性質【題型】八、含30°角的直角三角形【考綱要求】1.了解等腰三角形的有關概念，掌握其性質及判定．2.了解等邊三角形的有關概念，掌握其性質及判定．3.掌握線段中垂線的性質及判定．【考點總結】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.【考點總結】二、等邊三角形等邊三角形等邊三角形概念三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。等邊三角形性質和判定（1）等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60o。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（補充：（1）三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。（2）三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點做平行線【考點總結】三、直角三角形直角三角形直角三角形性質①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.直角三角形判定有一個角是直角的三角形是直角三角形.

勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.【技巧歸納】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法【類型】一、作“三線”中的“一線”1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，過點A作EF∥BC，且AE＝AF.求證：DE＝DF.【類型】二、作平行線法2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖①，當點P為AB的中點時，求證：PD＝QD.(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當P，Q在移動的過程中，線段BE，ED，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．【類型】三、截長補短法3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.【類型】四、加倍折半法4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.技巧2：巧用特殊角構造含30°角的直角三角形【類型】一、直接運用含30°角的直角三角形的性質1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE＝1，則BC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D.eq\r(3)＋22．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC的長．【類型】二、連線段構造含30°角的直角三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的長．4．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于點D，交BC于點E.求證：CE＝2BE.【類型】三、延長兩邊構造含30°角的直角三角形5．如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長．【類型】四、作垂線構造含30°角的直角三角形6．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求證：AD＝2BC.技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用【類型】一、當頂角或底角不確定時，分類討論1．若等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一個外角為64°，則底角的度數(shù)為________．【類型】二、當?shù)缀脱淮_定時，分類討論4．已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的兩邊長分別為7和9，則其周長為________．6．若實數(shù)x，y滿足|x－4|＋(y－8)2＝0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為________．【類型】三、當高的位置關系不確定時，分類討論7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內角的度數(shù)．【類型】四、由腰的垂直平分線引起的分類討論8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的度數(shù)．【類型】五、由腰上的中線引起的分類討論9．等腰三角形ABC的底邊BC長為5cm，一腰上的中線BD把其分為周長差為3cm的兩部分．求腰長．【類型】六、點的位置不確定引起的分類討論10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有()A．7個B．6個C．5個D．4個11．如圖，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直線AB上的兩點，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)．【題型講解】【題型】一、等腰三角形的定義例1、已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度例2、如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作□BCDE，則∠E的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【題型】三、根據(jù)三線合一求解例3、如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形例4、下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周長為14【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長例5、如圖，將矩形SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0重合，折痕為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】六、等腰三角形性質與判定的綜合例6、如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0千米，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結果精確到1千米）．【題型】七、等邊三角形的性質例7、如圖，面積為1的等邊三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0的面積是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】八、含30°角的直角三角形例8、如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉得到SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0邊上，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0等腰三角形（達標訓練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．82．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用圖示尺規(guī)作圖的方法在邊SKIPIF1<0上確定一點SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的周長為（

）．A．12 B．14 C．16 D．213．下列命題，錯誤的是（）A．有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等B．如果∠A和∠B是對頂角，那么∠A＝∠BC．等腰三角形兩腰上的高相等D．三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三邊的距離相等4．如圖，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．添加一個條件，不一定能證明SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若SKIPIF1<0，則EF的長為（

）A．8 B．15 C．16 D．24二、填空題6．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為5.6，則SKIPIF1<0___SKIPIF1<0．7．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點E，SKIPIF1<0于點D，請你添加一個條件__________，使SKIPIF1<0（填一個即可）．三、解答題8．如圖，E、F分別是矩形ABCD對角線上的兩點，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．等腰三角形（提升測評）一、單選題1．如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，CFSKIPIF1<0BA，若△ADE的面積為2，則四邊形BCFD的面積為（

）A．10 B．8 C．6 D．42．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（

）A．10 B．12 C．9 D．63．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．54．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在CD邊上，SKIPIF1<0，AG交BF于點H，連接SKIPIF1<0．下列結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，其中正確的結論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個．二、填空題5．如圖，在邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的動點．且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．6．正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0