2025屆吉林省通化市梅河口第五中學(xué)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆吉林省通化市梅河口第五中學(xué)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.2.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知集合,則集合真子集的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.84.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn),過(guò)作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒,則無(wú)理數(shù)的估計(jì)值是()A. B. C. D.5.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg6.在棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點(diǎn),又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時(shí),平面 D.當(dāng)m變化時(shí),直線l的位置不變7.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.8.設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.10.已知集合,,則()A. B. C. D.11.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則()A.或 B.或C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.14.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,若,,則__________.15.已知為等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和.若,且與的等差中項(xiàng)為,則__________.16.我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:?jiǎn)柾し綆缀??”大致意思是:有一個(gè)四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺,則該正四棱臺(tái)的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖在四邊形中,,,為中點(diǎn),.(1)求;(2)若,求面積的最大值.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.(1)判斷點(diǎn)是否在直線上?說(shuō)明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心,點(diǎn)到軸的距離為,點(diǎn),求的最大值.20.(12分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)已知矩陣,,若矩陣,求矩陣的逆矩陣.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為實(shí)數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.(1)求線段長(zhǎng)的最小值;(2)求點(diǎn)的軌跡方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考,常見考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.2、C【解析】

由,化簡(jiǎn)得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn),余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.3、C【解析】

解出集合,再由含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用,含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點(diǎn),直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積,考查計(jì)算能力,屬于中等題.5、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.故選D.6、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個(gè)分析即可.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn),所以,所以,因?yàn)槊婷?所以.選項(xiàng)A、D顯然成立;因?yàn)?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,所以B項(xiàng)成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項(xiàng)不成立.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.7、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)?,所以圓心到的距離為:,即,因?yàn)?,所以解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問(wèn)題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個(gè)思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.8、C【解析】

作出韋恩圖,數(shù)形結(jié)合,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示,,同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件,注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象,故可否定.故選B.10、D【解析】

先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道容易題.11、C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為,B選項(xiàng)漸近線為,C選項(xiàng)漸近線為,D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

簡(jiǎn)單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計(jì)算,結(jié)合對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí),,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點(diǎn),即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn)∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點(diǎn),∴,∵PQ垂直l于點(diǎn)Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點(diǎn),∴,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查兩角和的正弦公式,考查三角形的內(nèi)角和定理,屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進(jìn)而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,由于與的等差中項(xiàng)為,則,則,,,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高,再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長(zhǎng)為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D',且上底邊長(zhǎng)為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺(tái)的體積是,故答案為:21;3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了棱臺(tái)的體積計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)1;(2)【解析】

(1),在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出,運(yùn)用算兩次的思想即可求得,進(jìn)而求出;(2)在中,根據(jù)余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,求出的面積的最大值.【詳解】(1)由題設(shè),則在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面積的最大值為,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2).【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.是的中點(diǎn),,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設(shè),則,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為,則,則,取.直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.19、(1)不在,證明見詳解;(2)【解析】

(1)假設(shè)直線方程,并于拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,計(jì)算,可得,然后驗(yàn)證可得結(jié)果.(2)分別計(jì)算線段中垂線的方程,然后聯(lián)立,根據(jù)(1)的條件可得點(diǎn)的軌跡方程,然后可得焦點(diǎn),結(jié)合拋物線定義可得,計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)直線方程,根據(jù)題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡(jiǎn)可得,所以則直線方程為,所以直線過(guò)定點(diǎn),所以可知點(diǎn)不在直線上.(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由,所以上式化簡(jiǎn)為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為,所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),有最大所以【點(diǎn)睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用,第(1)問(wèn)中難點(diǎn)在于計(jì)算處,第(2)問(wèn)

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