高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量（選填題10種考法）

專題03平面向量（選填題10種考法）

考法解讀

a+b=(xi+x2,a-b=(x\—x2,yi-yi)

坐

|=皆+".

標(biāo)=(An,2yi)|a

運(yùn)

算已知兩個(gè)非零向量1=(*1，y。，b=(x2,yi),夕為［與b的夾角，則

公

①=期+貫②?

式Ia|aU=xix2+/i^

__—?—?

③a_Lb0x1X2=0@cos人啊

W+j彳&+爐

⑤a//bOx^y'：—x^i=0

①a〃b=a=Jib（AW0）是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).

注意特定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

②當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，

一

共線向量,

即』，B,C三點(diǎn)共線o石，就共線.

平

-③若二與不共線且;則;.=〃=

面bo.

向匚?OA=jidB+uOC（2,〃為實(shí)數(shù)），若4,B,C三點(diǎn)共線，則

量

苴忘注當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，適

"基辰任用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題

數(shù)

量

--坐標(biāo)法—當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

超

口面此一利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法

兒網(wǎng)法一則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解

三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂

點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

＜E+無(wú)+左=0=0是的重心.

三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)

三的連線與對(duì)邊垂直

角

形8?方=麗?無(wú)=反?萬(wàn)。。是的垂心.

的｛

四三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓

心｛的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r

a應(yīng)+b麗+c友=0=。是"BC的內(nèi)心.

三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是

｛三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

|次卜|麗H女I=o是的外心.

典例剖析

考法一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考法六平面向量與四心

考法二平面向量的基本定理考法七平面向量巧建坐標(biāo)

考法三平面向量的數(shù)量積考法八平面向量與奔馳定理

考法四平面向量的共線定理考法九平面向量中的新定義

考法五平面向量中的取值范圍考點(diǎn)十平面向量與其他知識(shí)綜合

考法一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例1】（2023?湖南?校聯(lián)考二模）（多選）已知向量。=（2,-1）,“/人慟=2卜］,c=（l,2）,則（）

A.a_LcB.|a|=|c|C.b=（4,-2）D.b=a+c

【變式】

1.（2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量。=（1,加）力=（2,Y）,則下列說法正確

的是（）

A.若林+=則加=5

B.若〃b,貝!］機(jī)=一2

C.若a_Lb，則m=-l

D.若m=1,則向量風(fēng)。的夾角為銳角

2（2023?廣東廣州?統(tǒng)考三模）（多選）已知向量〃=（1,2）,b=（-2』），貝！J（）

A.（〃一力）_L（a+Z?）B.（a-b）//（a+b）

C.\a-b\=\a+b\D.人一〃在〃上的投影向量是〃

3.（2023?廣西南寧?南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知向量不=。,加），匕=（2,T）,則下列說法正確的

是（）

A.|a+&|=V10,貝［|：〃=5B.若d回b,則〃z=-2

C.若a，b，則，"=TD.若相=1,則向量q,b的夾角為鈍角

考法二平面向量的基本定理

【例2-1】（2023?安徽?校聯(lián)考二模）如圖，在ABC中，點(diǎn)。為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡,廠分別是線段上

靠近，A的三等分點(diǎn)，則AO=（）

【例2-2】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形A8C￡＞中，點(diǎn)E滿足就）=48E，

CE=ABA+juBC（A,eR）,則M=（）

333

A.---B.—C.—D.1

16816

【變式】

1（2023?江蘇徐州滁州市第七中學(xué)?？家荒＃┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，E、尸分別在邊4）、CO上，AE=3ED,

。尸=FC,A尸與8E相交于點(diǎn)G,記A8=a,A￡>=/?,則AG=()

E

A.L+nB.%+乜

11111111

4_573,6

C.—ciHbD.—ciHbz

11111111

E是A3的中點(diǎn)，BD=2DC,FC=^AF,EF

2.(2023?海南?？?海南華僑中學(xué)校考二模)如圖，在&ABC中,

與AD交于點(diǎn)M,則40=（

A

A.-AB+-ACB,—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

3.（2023?湖南婁底?婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯

首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一

部分與這部分之比，黃金分割比為正L如圖，在矩形A5CD中，AC與80相交于點(diǎn)。，

2

且點(diǎn)E為線段5。的黃金分割點(diǎn)，則8尸=（）

B.^^BA+^^BG

210

C.^1BA+^^-BGD.+—BG

21025

考法三平面向量的數(shù)量積

【例3-1］（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足|。|=1,|切=6,1。一2）|=3,則￡%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【例3-2］（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）正方形45CD的邊長(zhǎng)是2,E是的中點(diǎn)，則EC-ED=（）

A.75B.3C.26D.5

【變式】

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,E分別是BC,AC上的點(diǎn)，且2。=；2C,

2

CE=-CA,則（）

2222

A.2B.—2C.—D.---

99

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量匕滿足卜-司=百，,+匕卜卜〃-4,則忖=.

3.（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）在ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，CO平分/ACB,若=1,口目=2,/ACB=60。,

貝1CD48=.

考法四平面向量的共線定理

uiun/F

【例4-1】（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）已知a、b為不共線的向量，AB=a+5b，BC=-2a+Sb，CD^3\^a-bj,

貝U（）

A.AB,C三點(diǎn)共線B.AC,。三點(diǎn)共線

C.AB,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

【例4-2］（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）在ASC中2E=gEC,2尸=g（2A+BC）,點(diǎn)P為AE與昉的交

點(diǎn)，AP=AAB+juAC,貝—（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

【變式】

1.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在ASC中，/是AC邊上一點(diǎn)，且AM=：MC,N是在上一點(diǎn)，若

AN=：AC+,〃3C,則實(shí)數(shù)優(yōu)的值為（）

1111

A.——B.——C.-D.-

3663

2.（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，在ABC中，M為線段3C的中點(diǎn)，G為線段AM上

一點(diǎn)，AG=2GM，過點(diǎn)G的直線分別交直線A5,AC于尸，。兩點(diǎn)，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,

41

則一+—7的最小值為（）.

xy+1

44一

3.（2023?四川成都?石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）q,g是兩個(gè)不共線的向量，已知45=2弓+3，CB=e^3e2f

C0=2q—弓且A氏。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=.

考法五平面向量中的取值范圍

【例5-1】（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，

1—x

ZBAD=60°,AE=XAB+-^AD,XG[0,1],則。的最小值為（）

421

A.-2B.——C.——D.——

332

【例5-2]（2023?山東濰坊?昌樂二中?？寄M預(yù)測(cè)）己知平面向量a、b、c滿足卜|=1，b-c=0,a-b=l，

a-c=-l，貝1]卜+。]的最小值為（）

A.1B.72C.2D.4

【變式】

1.（2023?河南開封?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）折扇又名"撒扇"、"紙扇"，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)?/p>

扇面的能折疊的扇子，如圖L其展開幾何圖是如圖2的扇形其中ZAO8=120。，OC=2,Q4=5,

點(diǎn)E在CO上，則E4.的最小值是.

圖1圖2

2.（2023.0川成都,校聯(lián)考二模）平面向量o,6滿足|a|=|b|,且|"361=1,則cos〈b,3b-a）的最小值是

3.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一ABC中，AB^AC=242,|AB+lBc|mn=2（AeR）,AM=^MB,

JIJIII__

AP=sin2a-AB+cos2a-AC，aG，則附尸的取值范圍為（）

_oJ11

A.孚?B.[|4]

「姮歷][4畫]

c

-斤=]D-[I亍」

4.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知（。的半徑為L(zhǎng)直線必與O相切于點(diǎn)A,直線PB與O交于8,C

兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，若怛。|=0,則P4P。的最大值為（）

A1+V2R1+2忘

22

C.1+V2D.2+V2

考法六平面向量與四心

【例6】（2023春?福建莆田?高一福建省仙游縣華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。，N,P,/在4ABe所在的平

面內(nèi)，則下列說法不正確的是（）

A.若|。4卜]。4=|。4,則O是ABC的外心

B.^CBIA^ACIB=BAIC=O^貝!1/是：ABC的內(nèi)心

C.PAPB=PBPC=PCPA,則尸是,ABC的垂心

D.若NA+NB+N（j=0,則N是，ABC的重心

【變式】

1.（2023春?河南濮陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）點(diǎn)O,G,P為.ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有

|OA|2+|BC|2=\OB\+|CA|2=|oc|2+1AB|2,GA+GB+GC=O,

（PA+PB\AB=（PB+PC）BC=（PC+PA]CA=O,則點(diǎn)O,G,P分別為ABC的（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

/\

ARAQ

2.（2023春?廣東珠海）（多選）在ABC所在平面內(nèi)，點(diǎn)滿足AP=2+~，其中X?0,+oo）,相，

nn\AC7\^7

neR,m^O,〃wO,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)機(jī)網(wǎng)=小牛1時(shí)，直線AP一定經(jīng)過ABC的重心

B.當(dāng)機(jī)=〃=1時(shí)，直線AP一定經(jīng)過ABC的外心

C.當(dāng)機(jī)=cos5,〃=cosC時(shí)，直線AP一經(jīng)過.ABC的垂心

D.當(dāng)機(jī)=sin5,〃=sinC時(shí)，直線AP一定經(jīng)過，ABC的內(nèi)心

3.（2023春?湖北）（多選）在ABC所在的平面上存在一點(diǎn)P,AP=XAB+〃AC（4,〃￡R）,則下列說法

錯(cuò)誤的是（）

A.若4+〃=1,則點(diǎn)尸的軌跡不可能經(jīng)過ABC的外心

B.若4+〃=-2,則點(diǎn)尸的軌跡不可能經(jīng)過.ABC的垂心

C.若2+〃=：,則點(diǎn)P的軌跡可能經(jīng)過ABC的重心

D.若幾=〃，則點(diǎn)尸的軌跡可能經(jīng)過ABC的內(nèi)心

4.（2023春?江蘇揚(yáng)州）（多選）已知直角三角形A3C滿足A=90。，AB=3,AC=4,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.若點(diǎn)。為ABC的重心，貝!JAO=—AB+—AC；

’33

B.若點(diǎn)。為.ABC的外心，則AO=-AB+-AC；

22

169

C.若點(diǎn)。為ABC的垂心，則AO=——A3+——AC；

2525

D.若點(diǎn)。為,ABC的內(nèi)心，貝!|AO=-AB+-AC.

考法七平面向量巧建坐標(biāo)

【例7】（2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在R348C中，?B90?,AB=^,BC=2,若動(dòng)點(diǎn)尸

滿足,尸|=&,則8尸C尸的最大值為（）

A.16B.17C.18D.19

【變式】

1（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在ABC中，AC=3,3C=4,NC=9（r.P為ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則PA-PB的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2.（2023?重慶,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),經(jīng)過C,￡>,到達(dá)A,AE=AAB+//AC,

則4+〃的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

3.（2023?廣東東莞?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2AD=2CD=2CB=2,

點(diǎn)尸在線段2C上運(yùn)動(dòng)，^AP=xAB+yAD,則f+y2的最小值為（）

13

D.

?-4

考法八平面向量與奔馳定理

【例8-1】（2023春?江蘇鹽城）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)

的圖形與“奔馳"轎車（Mercedesbewz）的/ogo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理".奔馳定理：已知。是.ABC內(nèi)

一點(diǎn)，BOC,AOC,^。臺(tái)的面積分別為、,％-?,則SA-O4+SB-O3+SC-OC=0,。是—ABC內(nèi)的一

點(diǎn)，0BAC,BABC,回ACB分另I］是ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題IE項(xiàng)的有（）

A.若20A+302+40C=0，則臬：:%=4:3:2

B.若|O4=|Oq=2,ZAOB=y,且2OA+3OB+4OC=0,則S4ABC=^

C.若。4.03=08.OC=OCOA，則。為ABC的垂心

TT

D.若。為ABC的內(nèi)心，且50A+1202+130C=0，貝UZACB=-

S4

【例8-2】（2023春?寧夏銀川）己知點(diǎn)。是.ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足。4+203=根0。，產(chǎn)^=亍，則實(shí)數(shù)加

為.

【變式】

1.（2023秋?福建廈門?高二廈門一中?？奸_學(xué)考試）已知。為ABC的外心，AB=4,AC=6,

14

AO=-AB+-AC,貝ijABC的面積為（）

69

A.12B.12^/3

C.6D.66

2.（2023秋?河北保定?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）"奔馳定理"是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)?/p>

這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為"奔馳定理奔馳定理：已知。是ABC

內(nèi)一點(diǎn)，BOC,%AOC,AO3的面積分別為與，SB,SC,貝ijS4-OI+SB-OB+Sc?OCuO.設(shè)。是ABC

內(nèi)一點(diǎn)，AFC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,,BOC,AOC,AOB的面積分別為%,SB,Sc,若

30A+40B+50C=0，則以下命題正確的有（）

A

A.SA:%：%=3:4:5

B.。有可能是_ASC的重心

C.若。為，ABC的外心，則sinA:sin3:sinC=3:4:5

D.若。為ABC的內(nèi)心，貝UABC為直角三角形

3.（2023秋，江西宜春）（多選）"奔馳定理"是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與

"奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為"奔馳定理”.奔馳定理：已知。是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,

AOC,A05的面積分別為力、SB、SC,則有SAQ4+SB6?+SCOC=0,設(shè)。是銳角.ASC內(nèi)的一點(diǎn),

ZBAC,ZABC,NAC8分別是,ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的是（）.

A.若OA+OB+OC=0，則。為一ABC的重心

B.若04+208+300=0,則%：SR:k=1：2:3

C.若。為ABC（不為直角三角形）的垂心，貝UtanNBACOA+tanNABCQB+tanNACROCuO

D.若|OA|=|OQ=2,ZAOB=^,20A+30B+40C=0,則B科c=:

考法九平面向量中的新定義

【例9】（2023?江西鷹潭?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)向量?與b的夾角為凡定義。十Tosine+Zws.

已知向量a為單位向量，W=0,k-0=1,則。十人二（）

A.—B.eC.—D.20

22

【變式】

1.（2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：、6|=同心由。，其中夕為向量a與8的夾角.若同=2,忖=5,

ab=-6>則人可等于C）

A.6B.-6C.-8D.8

2.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）向量的夾角為6,定義運(yùn)算"③"：。區(qū)6=卜加卜ind,若

°=（6,1）,6=卜6,1）,則a（g）6的值為.

3（2022秋?重慶北倍?高三西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）（多選）設(shè)非零向量“，b的夾角為6,定義運(yùn)算

a*6=WJ4sin0.下列敘述正確的是（）

A.若Q*匕=0,貝！Jallb

B.若同M=l,則（a*%n=-l

C.設(shè)在ABC中，AB=a,AC=b>貝U2s

D.a*（b+c^=a*b+a*c（c為任意非零向量）

考點(diǎn)十平面向量與其他知識(shí)綜合

【例10-11（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知”（sin%］一4cos20/=（l,3sina-2）:e1’?

【例10-2】（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是A,其共軌復(fù)數(shù)］

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是8,。是坐標(biāo)原點(diǎn).若A在第一象限，且0408=0,則士=（）

Z—Z

A.iB.-iC.2iD.-2i

【變式】

1（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知點(diǎn)A，&,4，,A”和數(shù)列｛%｝,｛2｝滿足

uuuuur（uuuuuruuuuuuir

44用=30$亍疝丁川"*）”44包+*4+42=（。也），若q=16,工分別為數(shù)列｛4｝,也｝的前〃

項(xiàng)和，貝U§60+2"o=（）

A.—20B.24A/3C.4873-20D.0

cos[e+^],sin(e+.2兀

2.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）（多選）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（cosasine）,B

3

《cos[e+/,sinp+yH,則()

A.\AB\=\BC\B.OA+OB=CO

Ulluuu

c.OA1OB0D.OA-OB+OC>0.

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在財(cái)8C中，0BAC=6O°,點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，E,尸分別為8。，。。的中點(diǎn),

若AZ）=1,則ARA尸+ACAE的最大值為

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）已知向量”，〃滿足〃=（2,3）,a—》=（—2,1）,則⑷2一歷『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量a=（1,1）,。=（1，一1）,若（a+幾。）_L，則（）

A.4+〃=1B.%+4=—1

C.加=1D.沏二一1

3.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量。=(3,4)/=(1,0),。=。+歷，若<a,c>=<dc>,貝()

A.-6B.-5C.5D.6

rr

4.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量。=(2,1)0=(-2,4),貝|〃一4()

A.2B.3C.4D.5

5.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在ABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.記CA=m,C0=幾，則C3二（

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

6.（2023?四川綿陽(yáng),四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若向量a=（x,2）/=（-1,2）,且（a+2b）//6,則問=

A.1B.5C.V29D.75

7.（2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量Q=b=（l,-1）,若（〃+勸）〃（/m+。），貝（J（）

A.丸+〃=1B.4+//=TC.M=1D.〃/二-1

8.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量。=（3,1）,〃=（2,2）,貝ljcos（a+b,a-/?）=（）

1V17

A.—B.立平

17~n~

TT

9.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量。力的夾角為三,同=2,|“=1,若（Q+勸）J_Z?,則,+刊=（）

A.573B.2A/3C.V2D.2V2

10.（2023?貴州六盤水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知〃）是相互垂直的單位向量.若向量04=〃—力，OB=2a+b，則

向量。4在向量AB上的投影向量為（）

—

B.

5555

C.2/

D.

5555

11.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考二模）已知向量a=（—3,0）,6=（2,1）,c=（A,-l）,2GR,若（a+2b）j_c,則匕在

c上的投影向量為（）

2（邁_4￡\6_3（6753后

A.5，-5B.C.5，-5D.

155J

12.（2023?海南?海南中學(xué)?？既＃├章迦切问且环N典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,

以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒

JT

洛三角形中，已知至=2,尸為弧AC上的一點(diǎn)，且=則5PC尸的值為（）

6

B.4+V2

c.4-273D.4+2為

13.（2023?重慶巴南?統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F,G分別是邊BC,CD,AD

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段E尸上的動(dòng)點(diǎn)，則GPAP的最小值為（）

2327

A.—B.3C.D.48

8T

14.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量Q=,b=（cose,sine）（0<e<7i）,則下列命題不正確的是（）

A.忖=1B.若〃//人貝！Jtan6=l

c.存在唯一的夕使得卜+q=|。-qD.卜+q的最大值為百

15.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，石是上靠近5的四等分點(diǎn)，=2OC,￡C與AD交于點(diǎn)M,

則AM=（）

3373-

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

105105

3272

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

75105

16.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在三角形ABC中，AB=3,AC=2,NA=60。，點(diǎn)M,N分別為邊A3,

uuiiuuuuumuum..

AC上的動(dòng)點(diǎn)，AN=yAC，其中x,y>。，x+y=l,點(diǎn)p,Q分別為MN,8C的中點(diǎn)，則|尸。|

取得最小值時(shí)，AP=（）

4331344-1

A.-AB+——ACB.-AB+——ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

7147147777

17.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD-A耳64的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)P滿足|必+尸耳+PG+尸，|=4,

則器混的取值范圍為（）

A.[0,4+25/2]B.[0,2+2夜]

C.[4-2立4+2@D.[2-2^,2+272]

18.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABC。中，加,雙分別為48,4。上的點(diǎn)，且

4.2

AM^-AB,AN^-AD,連接AC,MV交于P點(diǎn)，若AP,AC，則幾的值為（）

19.（2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？家荒＃┰贘1BC中，點(diǎn)。在邊BC上，且8D=2CD,AB-AD=

4ACAD,記BD,CD中點(diǎn)分別為E,F,且AE=所，貝Ijcos/￡AF=（）

1岳岳

A.-DR.-----rD.2

484I

20.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量。涉,c滿足同=網(wǎng)=1,卜|=0,且。+6+<?=0，貝!Jcos〈a-c,Z?-c〉=

()

21.（2023?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量°與單位向量e滿足，對(duì)任意feR都有卜Te3a-e|,貝*+e|的

最小值為（）

A.73B.2C.3D.4

22.（2023?福建廈門?廈門一中?？级＃┰贏OB中，已知卜&，網(wǎng)=1,ZAOB=45°,若OP=2OA+pOB,

且力+2〃=2,Ae[0,l],則OA在OP上的投影向量為％e（e為與。尸同向的單位向量），則相的取值范圍

是（）

23.（2023?湖南長(zhǎng)沙?周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BC。的邊長(zhǎng)為1,ABAD=~,G是菱形ABC。內(nèi)一

點(diǎn)，若GA+GB+GC=0,貝!iAG.A3=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

24.（2023?河南鄭州?校聯(lián)考二模）在ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=60°,尸是ABC的外接圓上的一

點(diǎn)，AP=mAB+nAC則”?+”的最小值是（）

111

A.-1B.——C.一一D.——

236

25.（2023春?黑龍江牡丹江?高一牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）若。是AABC所在平面上一定點(diǎn)，H,N,。在

'AR&C1

△ABC所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足0P=。4+力—+-~,2G（0,-H?）,則直線”一定經(jīng)過A5C的

U陰lACU、——

心，點(diǎn)H滿足|〃4卜|/汨卜|”@,則”是，ABC的心，點(diǎn)N滿足NA+A?+NC=0，則N是—/1BC的

心，點(diǎn)。滿足Q4QB=QBQC=QCQ4,則。是_ABC的心，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.外心，內(nèi)心，重心，垂心B.內(nèi)心，外心，重心，垂心

C.內(nèi)心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，內(nèi)心

26.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在，ASC中，sinABAC-PA+sinZABC-PB+sinZACB-PC=0>則點(diǎn)尸是

A5c的（）

A.重心B.內(nèi)心C.垂心D.外心

27.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）已知q、02為單位向量，,模卜道，非零向量“滿足k-Ze2]=1,則上「《

的最小值為（）

A.A/7B.J7-1C.6D.V3-1

28.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.如

圖1,這是一個(gè)青花瓷圓盤.該圓盤中的兩個(gè)圓的圓心重合，如圖2,其中大圓半徑R=3,小圓半徑r=2,

點(diǎn)尸在大圓上，過點(diǎn)尸作小圓的切線，切點(diǎn)分別是E,F,則所，尸=（）

5

B.一C.4D.5

9

29.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，4，A，，.，4，和數(shù)列｛見｝,｛。“｝滿足

uuuuur（7r?7r.uuuuuruuuuuuir

4A+i=（cos亍,sin亍J（九eN*）,anAnAn+l+%始A.=（0也），若q=1,S0,7；分別為數(shù)列｛q｝,也｝的前〃

項(xiàng)和，則無(wú)+2no=（）

A.-20B.24A/3C.48^-20D.0

30.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定點(diǎn)加在邊長(zhǎng)為1