高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：立體幾何動點與外接球歸類（解析版）

專題6-1立體幾何動點與外接球歸類

目錄

題型01四大基礎(chǔ)模型：三線垂直型.................................................................1

題型02四大基礎(chǔ)模型：對棱相等型................................................................4

題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型...................................................................6

題型04四大基礎(chǔ)模型：雙線交心型...............................................................10

題型05垂面型外接球............................................................................13

題型06二面角型外接球..........................................................................17

題型07四棱錐型外接球.........................................................................21

題型08圓錐形外接球............................................................................24

題型09棱臺型外接球............................................................................28

題型10圓臺型外接球............................................................................32

題型11內(nèi)切球型...............................................................................35

題型12最值型外接球...........................................................................41

題型13翻折型外接球...........................................................................44

題型14外接球計算截面.........................................................................47

高考練場.......................................................................................51

熱點題型歸納N

題型01四大基礎(chǔ)模型：三線垂直型

【解題攻略】

正方體的棱長為。，球的半徑為R,則:

①若球為正方體的外接球，則2尺=小°；

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

③球與正方體的各棱相切，則2R=也a

長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則外接球直徑=長方體對角線，即：不再

【典例1-1】在三棱錐P-ABC中，點A在平面中的投影是MC的垂心，若一ABC是等腰直角三角形

且AB=AC=1,PC=^3,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為

【答案】4萬

【分析】

設(shè).PBC的垂心為H,由AH,平面尸CB可證明PCLAB,AC1BP,APL3C,結(jié)合AB,AC推導(dǎo)出AB,

AP,AC兩兩互相垂直，則外接球半徑R滿足(2R)2=AP2+A32+AC，求出AP代入求解即可得出答案.

【詳解】

解：設(shè).P3C的垂心為連接BH,CH,AH,則A"JL平面P3C,如圖所示：

由垂心知，BH±PC,CH±PB,又BHAH=H,則尸CL平面AB”,又平面AB”，

所以尸C_LAB,

又AB1.AC,尸CcAC=C,所以AB,平面PAC,又PAu平面PAC,得

同理AC_LPA,則”=Jpc?-3=及,

所以AB,AP,AC兩兩互相垂直，設(shè)三棱錐尸-ABC的外接球半徑為R,

貝|J(2R)2=AP2+AB2+AC：,所以4々=4，球的表面積為=4》.故答案為：4萬.

【典例1-2】.在正三棱錐尸-ABC中，PALPB,P到平面A8C的距離為2,則該三棱錐外接球的表面積為

A.367cB.16兀C.------D.47r

3

【答案】A

【解析】因為B4_LPB,由正三棱錐的性質(zhì)知，PA,PB,PC兩兩垂直且相等.設(shè)PA=PB=PC=a,則

AB=BC=CA=y/2a-

得;xgx/XQ=；xgx（夜sin60°x2,

根據(jù)％怔=匕一PBC，

解得a=2G.

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為A,則2尺=苗2+正+尸。2=屈=6,所以H=3.

故所求外接球的表面積為36%.

故選：A.

[變式1-1](2022上?江西萍鄉(xiāng)?高三統(tǒng)考)三棱錐A-BCD中，AO，平面BCD,DCYBD,2AD=BD=DC=2,

則該三棱錐的外接球表面積為()

3兀9兀_"

A.—B.—C.9兀D.36兀

22

【答案】c

【「析】由題可知，可將三棱錐補成長方體，求長方體的外接球的表面積即可.

【詳解】由平面BCD,DCVBD,知三棱錐A-8CO可補形為以AD,DC,8。為三條棱的長方體，

如圖所示，

A

三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為凡

KlJ（27?）2=AD2+￡>C2+BD2=l+4+4=9,所以該三棱錐的外接球表面積為S=47tR2=9兀.故選：C.

【變式1-2］.（2020下?四川綿陽?高三統(tǒng)考）在邊長為4的正方形ABC。中，E,尸分別為48,BC的中點.

將△AED,△CED,△3EF分別沿￡>E,DF,E尸折起，使A,C,B三點重合于A,則三棱錐A-EKD

的外接球表面積為（）

A.3萬B.6TIC.12〃D.24〃

【答案】D

【分析】三棱錐A'-互力中，4。,4及4尸兩兩垂直，以它們?yōu)橄噜徖獍讶忮FA-EED中補成一個長方

體，長方體的外接球就是三棱錐A-EKD的外接球，由此易得球半徑，得面積.

【詳解】由題意三棱錐A-EED中，A'R4'￡A尸兩兩垂直，以它們?yōu)橄噜徖獍讶忮FA-EH）中補成一

個長方體，如圖，則長方體的外接球就是三棱錐A-ETO的外接球，

AE=AF=2,AO=4,則外接球半徑為R=-y/A'E2+A'F2+A'D2=-722+22+42=底,

22

表面積為S=4兀R，=4乃/（痣）？=24萬.

【變式1-3］（2018上?四川成都?高三成都外國語學(xué)校階段練習(xí)）已知正方形ABC。的邊長為4,E,尸分別

是8C,CD的中點，沿AE,EF,AE折成一個三棱錐P-AEF（使8,C,。重合于尸），三棱錐P-AEP的外

接球表面積為（）

A.6nB.12萬C.24萬D.48%

［答案］C

【分析】由題意畫出圖形，把三棱錐P-AEF補形為長方體，求出長方體的對角線長，得到三棱錐外接球的

半徑，代入球的表面積公式求解.

【詳解】解:如圖，

BC

由題意可得，三棱錐尸-A跖的三條側(cè)棱B4,PE,尸尸兩兩互相垂直,

且刈=4,PE=PF=2,

把三棱錐補形為長方體，則長方體的體對角線長為“2+2?+2?=2"，

則三棱錐PAEB的外接球的半徑為幾，

外接球的表面積為4萬x（指）=24萬.

故選C.

題型02四大基礎(chǔ)模型：對棱相等型

【解題攻略】

則該三棱錐的外接球表面積是（）

A.50兀B.100KC.150KD.200兀

【答案】A

【2?析】由于三棱錐對棱相等，可將它補成一個長方體，利用長方體求得其外接球的半徑，然后求出球表

面積即可.__

【詳解】因為SA=3C=5,SB=AC="I,SC=AB=扃,

所以可以將三棱錐5-ABC如圖放置于一個長方體中，如圖所示:

a2+Z?2=41

設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c,貝ij有。2+片=25,整理得02+加+°2=50,

b2+c2=34

則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑,

所以有a2+b2+c2=50=（2R）2=>R=~~~

所以所求的球體表面積為：S=4nR2=4xnx--=50兀.故選：A.

、2）

【典例1-2］（2019下?江蘇蘇州?高三江蘇省蘇州實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐尸-ABC中，PA,PB、

PC兩兩重直，AB=5AC=y/10,=則該三棱錐外接球表面積為.

【答案】14萬

【分析】三棱錐尸-ABC的三條側(cè)棱以、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接

球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的表面積.

【詳解】三棱錐尸-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接

球.

設(shè)PA=a,PB=b,PC=c,長方體的對角線長為/,

a2+b2=5,

+c1=\Q,/.i—J/+廿+/=,

b2+c2=13

，球的直徑是JU,球的半徑為半，

二球的表面積4萬x（浮）2=14".故答案為：14%.

【變式1-1]如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=BC=0PB=AC=2,PC=AB=亞,則三棱錐P-ABC

外接球的體積為（）

A.母兀B.#）兀C.屈兀D.6zr

【答案】C

【分析】將三棱錐尸-ABC放到長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為c,求出。涉,c即得三棱錐P-ABC

外接球的半徑，即得解._

【詳解】解：由題意，PA=BC=>/3,PB=AC=2,PC=AB=5將三棱錐尸-ABC放到長方體中，可

得長方體的三條對角線分別為6,2,5設(shè)長方體的長、寬、高分別為。力,c,

則Ja?+62=百，y]a2+C2=2>de。+及=布,解得。=1，b-y/2>c=拒.

所以三棱錐P-ABC外接球的半徑區(qū)」xyla2+b2+c2=".

22

4r-

???三棱錐外接球的體積丫=1乃&=依.故選：c

【變式1-2】在三棱錐尸一ABC中，PA=BC^4,PB=AC=5,PC=AB=?，則三棱錐尸―ABC的外

接球的表面積為（）

A.26兀B.12兀C.8兀D.24兀

【答案】A_

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對角線長分別為4,5,而的長方體，求出其體對角線長即可求解作答.

【詳解】三棱錐尸―ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=y/u,

構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4,5,而，則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的

直徑，如圖，

2222

設(shè)長方體的棱長分別為兀，y，z,則/+,2=]6,y+z=25fx+z=11,則Y+V+z?=26,

因此三棱錐P-ABC外接球的直徑為V26，

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4兀.（孚＞=26兀.

故選：A

【變式1-3】在三棱錐尸一ABC中，E4=BC=5,PB=CA=屈,PC=BA=2&則三棱錐尸一ABC的外

接球的表面積為（）

A.12兀B.8兀C.24兀D.29兀

[答案]口

【2?析】將棱錐補全為長方體，由長方體外接球直徑與棱長關(guān)系求直徑，進而求其表面積.

【詳解】三棱錐P—ABC中，PA=BC=S,PB=CA=屈,PC=AB=2y[5,

構(gòu)造長方體使得面對角線分別為5,2非，屈,則長方體體對角線長等于三棱錐外接球直徑2R,如圖所

不，

則儲+/+°2=29,即4H2=29,外接球表面積47rH2=29兀.

故選：D

題型03四大基礎(chǔ)模型：直棱柱型

【解題攻略】

存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r,滿

足正弦定理）

1.模板圖形原理

【典例1-1]（2022上?河南?高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知三棱錐S-ABC中，SB，平面A3C,若S5=4,=2,

2

BC=5,cosZABC=-,則三棱錐S-ABC的外接球表面積為（）

A.397rB.45〃C.43萬D.417r

【答案】D

【分析】由已知利用余弦定理求得AC,可得ABIAC,由S3,平面ABC,可知三棱錐可以補形為長方體,

此時三棱錐的外接球即為長方體的外接球，即可求得外接球的表面積.

【詳解】如圖，在ASC中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC,

2

BPAC2=4+25-2X2X5X-=21,貝UAB?+AC2=BC?,i^ABLAC,

又而平面ABC,將三棱錐S-ABC置于一個長方體中，可知三棱錐S-ABC的外接球半徑

22

則外接球表面積S=4兀R2=4171,

【典例1-2].（2022下,四川成都?高三成都七中校考開學(xué)考試）在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為等腰

梯形，底面A3CD.若尸3=AB=CD=AD=1,BC=2,則這個四棱錐的外接球表面積為（）

A.3兀B.4兀C.5兀D.6兀

【答案】C

【分析】先求得四棱錐的外接球的半徑，再去求外接球表面積即可解決.

【詳解】取BC中點E,連接EA、ED,取PC中點”，連接￡〃、BH,

等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=1,BC=2,

則有AD〃班，AD=BE,則四邊形AD￡B為平行四邊形，

則DE=AB=1,又CE=CD=1,則ACDE為等邊三角形，

則ZDCE=NABE=60,貝岫ABE為等邊三角形

則EB=E4=即=EC=1,故點E為等腰梯形ABCD的外接圓圓心，

[2PBC中，PH=CH,BE=CE,則PB〃〃E,”E=工PB=1

22

又尸3_L底面A5CD,則HE_L底面ABC。，HP=HB=HC

又HA=y/HE2+EA2=VHE2+EB2=HB>HD=^HE2+ED1=\JHE2+EB2=HB即

HP=HB=HC=HA=HD,

故點H為四棱錐尸-ABCD的外接球球心，

球半徑〃B="ffi2+EB2=,則四棱錐尸一ABCD外接球表面積為4彳半］=5無故選：C

_,JT

【變式1-1］（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）在三棱錐尸-ABC中，PA=AB,PAL平面ABC,ZABC^-,

AB+BC=6,則三棱錐尸-ABC外接球體積的最小值為（）

A.8A/6TTB.16A/6TTC.24岳itD.32"兀

【答案】A

【分析】將三棱錐P-ABC可以補成長方體，從而得到PC為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，要想體積最

小，則尸C最小即可，設(shè)AB=x,表達出|PC|=j3（x_2y+24,從而得到|尸。*“=2灰，進而求出外接球

體積的最小值.

【詳解】根據(jù)題意三棱錐尸-ABC可以補成分別以BC,AB,PA為長、寬、高的長方體，其中PC為長方體的

對角線，

則三棱錐P-ABC的外接球球心即為PC的中點，要使三棱錐P-ABC的外接球的體積最小，則PC最小.

1K\

設(shè)AB=x,則*x,BC=6-x,|PC\=^AB-+PA2+BC2=^3（x-2）2+24,

所以當(dāng)尤=2時，|PC11nto=2而，則有三棱錐P-ABC的外接球的球半徑最小為",

41-

所以嗑故選：A

【變式1-2］（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考三模）三棱錐S-ABC中，SA_L平面ABC,AB1BC,SA=AB=BC.ji

點A分別作AELS3,AFLSC交S&SC于點E、F,記三棱錐S-R正的外接球表面積為1,三棱錐

S

S-ABC的外接球表面積為邑，則（）

【答案】B

【分析】取S4的中點。一SC的中點Q，連。或，O/,O2A,O2B,證明。2是三棱錐S-ABC的外接球

的球心，SC為該球的直徑；。1是三棱錐S-血的外接球的球心，SA為該球的直徑，設(shè)&4=AB=3C=。,

求出SC,根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.

【詳解】取的中點的中點牡，連。也，

S4SC01F,O2A,O2B,

因為SA_L平面ABC,A3,3C,ACu平面ABC,所以SAIBC,S4±AC,

因為AS人3C,SAr>AB=A,SA,ABu平面SAB,所以3C1平面SAB,

因為S3u平面SAB,所以3CJ_S3,

在直角三角形SAC中，。2是斜邊sc的中點，所以o/=as=ac,

在直角三角形SBC中，。2是斜邊sc的中點，所以o/=as=ac,

所以。2是三棱錐S-ABC的外接球的球心，SC為該球的直徑.

因為北，53,a是斜邊斜的中點，所以QE=QA=aS,

因為AFLSC,。1是斜邊&4的中點，所以op=aa=qs,

所以。I是三棱錐的外接球的球心，以為該球的直徑.設(shè)&4=鉆=3。=。，則

SC=V&42+AB2+BC2=43a，

qa27i

則S[=4兀?(一^-)2=a27i,S=4K-(----)2=4兀-=3/兀，所以手

2223a27i

選：B.

【變式1?3】（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面ABCQ,

底面ABCD為邊長為4的正方形，PA=5,則該四棱錐的外接球表面積為（）

C.75KD.57兀

【答案】D

【分析】首先確定底面ABCD外接圓半徑小則所求外接球半徑為R=，代入球的表面積公式

即可求得結(jié)果.

【詳解】:四邊形AB8為邊長為4的正方形，四邊形"8的夕卜:圓半徑/fR=2夜,

又24,平面ABC。，PA=5,四棱錐尸一ABCD的外接球半徑R=73Al=不8+務(wù)誓,

，四棱錐P-ABCD的外接球表面積5=4?！?57兀.故選：D.

題型04四大基礎(chǔ)模型：雙線交心型

【解題攻略】

解幾何體外接球（表面積/體積）的一般方法和步驟為：

1、尋找一個或兩個面的外接圓圓心

2、分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為外接圓圓心;

3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進而求出外接球表面積或體積.

如果表面有等邊三角形或者直角三角形：兩垂線交心法

1、包含了面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

2、等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心;

（2）直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；

【典例1-1】（2023下?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）已知四棱錐尸-ABCD的體積是

364，底面ABCD是正方形，是等邊三角形，平面平面則四棱錐P-ABCZ）外接球

表面積為（）

A.89兀B.88TIC.84TID.81兀

［答案］C

析】過P點作于E,則尸E為四棱錐的高，據(jù)此求出正方形棱長.再根據(jù)幾何關(guān)系找出外接球球

心，根據(jù)勾股定理求出外接球半徑即可.

設(shè)正方形ABCD的邊長為2x,在等邊三角形R4B中，過尸點作PEL居于E,

由于平面PAB_L平面ABCD,PE_L平面ABCD.

由于是等邊二角形，則=

二%"8=g?Ss.PE=；X（2x）2X屆=366，解得X=3.

設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，為正方形ABC。中心，。2為等邊三角形以8中心,

。為四棱錐P-ABCD外接球球心，則易知OOg為矩形，

則00,=EQ=LA￡>=X=3,PO,=-PE=--3^3=2-j3,

233

R=OP=yjoOl+POf=V9+12=V21,；.外接球表面積S=4TTX（e）2=84Tl.故選：C.

【典例1-2】（2022?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐尸-ABC中，平面ABC人平面P8C,ABC和.PBC都

是邊長為26的等邊三角形，若〃為三棱錐尸-ABC外接球上的動點，則點M到平面ABC距離的最大值

為（）

A.76->/2B.V6+V2

C.75-1D.75+1

【答案】D

【分析】設(shè)BC中點為T,ABC的外心為。-PBC的外心為口，過點。作平面A3C的垂線，過點02作

平面P3C的垂線，兩條垂線的交點。，則點。即為三棱錐尸-ABC外接球的球心，求出三棱錐尸-ABC外

接球的半徑，假設(shè)球心到平面ABC的距離得答案.

【詳解】解：設(shè)8C中點為T,ABC的外心為.PBC的外心為儀，過點。作平面ABC的垂線，過點

。2作平面P3C的垂線，兩條垂線的交點0,則點。即為三棱錐P-ABC外接球的球心，

因為ABC和「.PBC都是邊長為2石的正三角形，可得PT=AT=3,

因為平面尸3c4平面ABC,ATLBC,ATu平面ABC,平面「3Cc平面ASC=8C,

所以AT_L平面尸3C,又PTu平面尸3C,所以AT_LPT,

所以四邊形是邊長為的正方形，

XTO1=TO2=|AT=I,OO,TO21

所以外接球半徑R=OP=Joo；+o?p2=Vl+22=舊,所以M到平面ABC的距離dWR+OQ=石+1,

即點M到平面ABC距離的最大值為岔+1.故選：D.

［變式1-11（2021上?貴州?高三統(tǒng)考）在三棱錐S-ABC中，ZSBA=ZSCA=90°,底面ABC是等邊三角形，

三棱錐S-ABC的體積為g,則三棱錐5-ABC的外接球表面積的最小值是（）

A.124B.24萬C.6萬D.10〃

【答案】A

【分析】分別設(shè)出三棱錐的底面邊長和高，利用體積為3，則可得出其關(guān)系式.再利用三棱錐的底面邊長和

高表示出三棱錐S-ABC的外接球半徑，即可利用基本不等式得出其半徑的最小值，即可求出其表面積的最

小值.

【詳解】設(shè)三棱錐外接球的球心為0,三棱錐底面邊長和高分別為“，底面ABC的外接圓半徑為廠，則

由題意可知&4是三棱錐S-ABC的外接球的一條直徑，則匕，正/力=有，即〃％=12.

O-AoC34

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,球心到底面ABC的距離為d=2.則

心=/+相4/+）

34h4hh4

故三棱錐S-ABC的外接球表面積為4版>12萬.

故選：A.

【變式1-2］（2022下?吉林?高三吉林一中?？迹┰谌忮F中，是邊長為2的正三角形，且平

面底面ABC,BC=4,44c=60。，則該三棱錐的外接球表面積為.

【答案】亭

【詳解】

如圖，。是三棱錐ABC外接球的球心，是，ABC外接圓的圓心，由球的性質(zhì)可得。。，平面A8C；

又；平面ZMB_L平面A3C,取的中點/，連接DM,

又?一池￡＞是邊長為2的等邊三角形，故。飲工AB且。M=6，又平面D4BC平面ABC=AB,DMu平面

DAB,.1DM，平面ABC,\DM//OOt,連結(jié)過。點作ON〃。幽所以四邊形是平行四

邊形，\MN=OO[,O[M=ON；

Be484

在，ABC中，BC=4,?BAC60°由正弦定理可得2r=.-—^^=方即：O,A=r=-=

sinDBACsin60。3

設(shè)三棱錐ABC外接球的半徑為R

2

在RJAQO中，AO=R,AOt=故OQ=J霜-3\MN=JR-—

在，AQB中，Aa=8Q=r且M是AB的中點，故。陽，48

在RtNAOiM中，AM=-AB=1,AO,=-j=故O1M=J—-1=\ON=

在Rf￡WO中,OD=R,ON=、故DN=QDN+MN=DM

\JR2-y+^2-y=6\卜畀^3-JR2-、兩邊平方得:R2-￡=3-2用Jw與+我_?

68p

F=W所以三棱錐。-ABC外接球的表面積為s=4pR2=4p7—

故答案為：言

【變式1-3］（2021上?江蘇南京?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在三棱錐尸-ABC中，ABC和.PBC都是邊長為2班

的正三角形，24=3應(yīng).若M為三棱錐「-48。外接球上的動點，則點M到平面ABC距離的最大值

為.

【答案】V5+1

【分析】設(shè)BC中點為T,可證明PT_LAT,設(shè)二ASC和二PBC的外心分別為。1和Q,過和。?分別作兩

個平面的垂線交于點。即為三棱錐P-A3C外接球的球心，求出外接球的半徑R=OP的長，M到平面A3C

的距離dVR+OQ即可求解.

A

【詳解】

設(shè)2C中點為T,ABC的外心為。-PBC的外心為利,

過點J作面ABC的垂線，過點儀作直線面PBC的垂線，

兩條垂線的交點。即為三棱錐P-ABC外接球的球心，

因為ABC和.PBC都是邊長為2石的正三角形，可得PT=AT=3,

又PA=3叵,所以AL+PF=”2,所以尸TJ_AT,

又因為ATJ_3C,BCcPT=T,所以AT,面尸8C,

因為ATu平面ABC,所以平面P3C，平面ABC,^.TOt=^AT=1,

所以四邊形。。苫。2是邊長為1的正方形，所以外接球半徑R=OP=《00；+OF=7174=V5,

M到平面ABC的距離dWR+OO]=岔+1,

故答案為：V5+1.

題型05垂面型外接球

【解題攻略】

【典例1-1】（2020下?廣東深圳?高三深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱錐P-ABC中，

PA=PB=3,BC=4叵,AC=8,AB1BC,平面平面ABC,若球。是三棱錐尸-ABC的外接球,

則球。的半徑為.

.A/1130回r765n3四

2222

【答案】A

【解析】取AB中點D,AC中點E,連PD,ED,得E為回ABC外接圓的圓心，且OE團平面然后求出國

PAB的外接圓半徑r和球心。到平面的距離等于d,由勾股定理得R="二即可得出答案.

【詳解】解：取AB中點D,AC中點E,連PD,ED

因為所以E為團ABC外接圓的圓心

因為OEEIPD,0E不包含于平面P4B,所以O(shè)EIB平面上4B

因為平面PAB_L平面ABC,PA=PB=3,得PD_LAB,EDIAB

所以PDL平面ABC,ED,平面R4B。且AB=JAC2-3c2=4逝,PD=1

所以球心0到平面PAB的距離等于d=ED=20

在回R4B中，PA=PB=3,AB=472，所以sin，PA2=；,

PB9

所以團必L8得外接圓半徑2r=.-5=9,即r=:

sm/PAB2

由勾股定理可得球。的半徑R=J廢+產(chǎn)=警故選A.

【典例1-2】（2021?高三課時練習(xí)）在邊長為2的菱形ABCD中，BD=2道,將菱形ABCD沿對角線AC折

起，使得平面ABC人平面ACD,則所得三棱錐BCD的外接球表面積為（）

8兀147120兀32兀

A.—B.C.D.

3333

【答案】C

【分析】由題意畫出圖形，由于與，ACD均為邊長為2的等邊三角形，取AC中點G,連接BG,DG,

則BG_LAC,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得出3GL平面ACD,再確定。為三棱錐A-BCD的外接球的球心，

結(jié)合已知求出三棱錐外接球的半徑R=0D,最后根據(jù)球的表面積公式求出外接球的表面積.

【詳解】解：,在邊長為2的菱形A8CD中，BD=2拒,

如圖，

由已知可得，ABC與，ACD均為邊長為2的等邊三角形,

取AC中點G,連接3G,DG,則_BG_LAC,DG=V3=>cosZ.GDA==>AGDA=—=>ZADC=—,

263

平面平面AC。，交線為AC,而BGu平面ABC,則BG,平面ACD,分別取△BCD與的

外心E,F,

過E,尸分別作兩面的垂線，相交于0,則。為三棱錐A-BCD的外接球的球心，

由VBC4與，ACD均為等邊三角形且邊長為2,Pi^OE=OF=-DG=—,DE=DG-GE,

333

：.OD=JOE。+E>=欄y+苧、孚,即三棱錐外接球的半徑：R=OD=半，

三棱錐4一38的外接球的表面積為：4萬xR2=4萬'（亭了二個.故選：C.

【變式1-1］（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知正方形A3CD的邊長為4,若將ABD沿8D翻折到

的位置，使得平面A5D_L平面BCD,分別為A3和8的中點，則直線被四面體A'-BCD的外

接球所截得的線段長為（）

A.75B.2A/5C.用D.2幣

【答案】D

【分析】首先取的中點。，連接AO,CO,根據(jù)題意得到。為四面體A-BCD外接球的球心，且半徑

R=2及,再計算的長度得到跖V=2g,從而得到。到肱V的距離為1,再計算直線被四面體

A-BCD的外接球所截得的線段長即可.

【詳解】取3。的中點。，連接AO,CO,如圖所示：

因為A0=C0=；5￡>,BO="7^=4&，所以。為四面體A—BCD外接球的球

心，且半徑R=2jL因為A3=AO,且。為5。中點，所以A'。，3。.平面A3。，平面3co=3。，所以

A'O_L平面BCD

過N作NELBD,過加作連接NO,MO如圖所示：

在RT4NEB中,BN=2,ZNBE=45，所以NE=BE=6，同理其尸=陽=夜，所以EB=20.

在中，EM=作用+（用=回,所以在RTZ\NEAf中，MN=｛（?『+（可=26.

又因為QW=ON=；A2=2,所以。到"N的距離=3^^[=/^=1,

所以直線MN被球0截得的線段長=2-JR2-I2=2不（2何-1=2幣.故選：D

【變式1-2]（2023上?江蘇連云港?高三?？迹┮阎忮FP-ABC,。為BC中點，

PB=PC=AB=BC=AC=2,側(cè)面PBC1底面ABC,則過點。的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的

取值范圍為（）

5兀7L27c27r_「cI

A.兀，二-B.-~C.——,271D.pl,2TI

L3J123」L3JL」

【答案】A--

【分析】連接尸2,QA,OA,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為0,設(shè)過點Q的平面為a,則當(dāng)時，

此時所得截面的面積最小，當(dāng)點。在以。為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性

質(zhì)即可得解.

【詳解】連接尸。，QA,由尸B=PC=AB=BC=AC=2,

可知：ABC和｛PBC是等邊三角形,

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為。，

所以球心。到平面ABC和平面PBC的射影是_ABC和二PBC的中心下，E,

P3C是等邊三角形，。為2C中點，

所以PQL3C,又因為側(cè)面P3C1底面ABC,側(cè)面PBCc底面ABC=5C,

所以尸底面A3C,而AQu底面A3C,因此PQL4Q,所以。FQE是矩形，

ABC和P3C是邊長為2的等邊三角形，所以兩個三角形的高//=12_132；=若,

在矩形。尸。石中，OE=FQ=Lh=同.AE=Mz=",連接04,

3333

所以C+EA?=『|=孚,設(shè)過點。的平面為a,當(dāng)OQLa時，

此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，00=刀尸+尸02=心"+[〃：=*=*鳳*

因此圓。的半徑為：一002=Jg_g=i,所以此時面積為兀42=兀，

當(dāng)點。在以o為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：兀/空〕=￡，

【變式1-3]（2023?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐P-ABC中，AC=PA=y/3AB=^BC,平面PAC,平面

ABC,PAIBC,^。為三棱錐P-ABC外接球。上一動點,且點Q到平面PAC的距離的最大值為0+舊，

則球。的體積為（）_

“2871432m

A.---nBn.---------n

33

_56V14-80M

C.--------71D.--------Tl

33

【答案】C

【分析】取AC的中點M,證明BM3平面PAC,從而可得創(chuàng)見平面PAC,可得BMSPA,再證出團平面ABC；

設(shè)BC=a,在0ABe中，利用余弦定理求出cosHABC及財8c的大小.設(shè)二ABC外接圓的圓心為。1，半徑為r,

球。的半徑為R,求出長度；連接QA,OA,求出QA長度；在amo中，利用勾股定理求出凡易知

O.O//PA,從而得。。國平面B4C,從而得點。到平面以C的距離等于點。到平面B4c的距離.根據(jù)點Q

到平面E4c距離的最大值為應(yīng)+J五可得a的值，從而求得R,再根據(jù)球的體積公式即可求解.

【詳解】取AC的中點M,HAB=BC,I3BM1AC,回平面R4C_L平面4BC,平面PAC'平面ABC=AC,

回環(huán)平面總C,EIRlu平面朋C,I3BM±PA,I3PA1BC,BMBC=B,回上4_!_平面ABC,

〃2,2_o21

設(shè)AC=PA=y/3AB=yJ^BC=y/3a,貝UcosZ.ABC=-----------=—，回AABC=120°,

2xaxa2

設(shè)，ABC外接圓的圓心為a，半徑為廣，球。的半徑為凡如圖所示，顯然8,M,三點共線，且。

平面PAC.

由AC=&,ZABC=120°,得3M=：a,1=島=a,0QAf--a；連接QA,OA,則QA=a,

22sin12002

由PAL平面ABC,且一ABC外接圓的圓心為可得R=1+0河=J%+a24a.

回OQ_L平面ABC,^OtO//PA,0。回平面出（?，回點。到平面E4C的距離等于點。到平面B4c的距離，

回點0到平面B4C距離的最大值為應(yīng)+何，EIO1M+R=；a+*。=0+舊，得a=20，

07?=A/14>

題型06二面角型外接球

【解題攻略】

二面角型求外接圓

在空間四邊形ABCD中，二面角C—AB—￡＞的平面角大小為a,1笈/）的外接圓圓心為Q,AABC的

外接圓圓心為。2，E為兩面交線A3的中點

所以/0再。2=a,O[E=m,O2E